Алгебраические методы в теории интегрируемых уравнений Клейна-Гордона

Открытие в конце 60-х начале 70-х годов метода обратной задачи рассеяния МОЗР для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных стало замечательным не только тем, что появился новый класс уравнений, важных с физической точки зрения и допускающих точные решения. Он привлекателен своими глубокими связями с различными разделами математики на первый взгляд не имеющих отношения к проблемам интегрирования дифференциальных уравнений: спектральная теория операторов, группы Ли, теория рассеяния, дифференциальная алгебра и др. Такие уравнения стали называться интегрируемыми МОЗР или просто интегрируемыми [1]. Этот факт придал МОЗР алгоритмическую эффективность и позволил ему быстро проникнуть в прикладную теоретическую физику. Так, солитонные решения, как простейшие решения этих уравнений давно нашли приложения в гидродинамике (в различных аспектах), нелинейной оптике, сверхпроводимости, физике плазмы, твердого тела и др. Это объясняется как разработанностью метода, так и его вычислительной эффективностью — получающиеся решения убывают на бесконечности, выражаются в элементарных функциях и легко анализируются.

Как известно, МОЗР требует, чтобы потенциалы были быстроубы-вающими. Это условие является достаточно жестким. В противном случае, как показывают исследования, требуется существенное развитие и модификация самого МОЗР. Помимо него был разработан ряд других методов получения солитонных и близких к ним решений. Поскольку эти методы не используют аппарат прямой и обратной задачи рассеяния их принято называть прямыми методами. К ним относятся метод билинейных форм Хироты, преобразования Бэ-клунда (ПБ) [2], преобразования Дарбу (ПД) [3], схема одевания Эахарова-Шабатр. И хотя все они в той или иной степени эквивалентны, метод ПД отличается из них наибольшей простотой и от/г* ед сутствием специальной техники, неоЬходимой, например в методе.

Хироты, и ограничений на затравочные потенциалы. Решения в элементарных функциях всех известных типов наиболее легко могут быть получены методом ПД. В самом деле, почти все элементарные решения интегрируемых нелинейных уравнений, отличные от соли-тонных, первоначально были получены в рамках прямых методов. К этим решениям относятся алгебраические солитоны [4, 5, б, 7] и по-зитоны, недавно открытые В. Б. Матвеевым [9]. Как ни удивительно, несмотря на большую эффективность метода ПД, до сих пор не было предпринято попыток «одевания» нетривиальных затравочных решений. Этот факт не нашел отражения даже в специальной монографии [3]. Солитоны и близкие к ним решения более менее без труда могут быть получены и в рамках других прямых методов. Трудности в них начинаются именно с нетривиальных решений. Практически все стационарные решения интегрируемых нелинейных уравнений выражаются в эллиптических функциях. Естественно было бы предпринять такую попытку и установить связь получаемых интегрируемых потенциалов с классическими потенциалами типа потенциалов Ламе. Такие решения принято называть солитонами на эллиптическом фоне. Несмотря на то, что эта идея лежит на поверхности, единственным примером где строились такие решения являлась до недавнего времени работа Кузнецова Е. А. и Михайлова A.B. [8]. Способ, которым авторы получают их, представлял существенную модификацию МОЗР (схема Шабата) и является достаточно громоздким. Несмотря на наличие многих сопутствующих формул, окончательный вид решения так и не приводится, хотя формулы были бы достаточно компактны. Сравнительно недавно такие решения (в рамках преобразований Бэклунда) появились для эллиптического варианта уравнения sine-Gordon, но как и свойственно этому методу, решение и используемая техника не отличается прозрачностью [10, И]. Не понятно как модифицировать этот подход для других интегрируемых уравнений. Если использовать ПД то все проблемы попросту исчезают и остается одна — явное интегрирование [L-А]-пары. Как показывает опыт (автор проделывал эту процедуру для уравнения Кортевега-де Вриза, модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза, уравнений sine-Gordon, Цицейки, Савада-Котера, нелинейного уравнения Шредингера и системы Манакова) это интегрирование однотипно, не требует дополнительных средств, поскольку сводится к интегрированию простых классических потенциалов в спектральных задачах, определяемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. К этому стоит добавить, что во многих интересных случаях решения получаемые таким способом являются пока единственными из известных нетривиальных.

Одним из самых интересных следствий стало обобщение задачи интегрирования этого класса уравнений в случае периодических и ква, зипериодических решений. Если рассматриваемый период устремить к бесконечности, то мы попадаем в рамки собственно теории солитонов. Оказалось, что наиболее интересными свойствами обладают те решения интегрируемых уравнений, для которых спектр ассоциированной спектральной задачи имеет зонную структуру с конечным числом лакун. Здесь, как и в МОЗР, термин интегрируемость понимается не в смысле наличия общего интеграла уравнения (подобно уравнению Лиувилля), а в смысле возможности представить исследуемое нелинейное дифференциальное уравнение как условие совместности (интегрируемости) системы линейных дифференциальных уравнений относительно новой векторно-значной функции (Ф-функции) Ф* = U (xytЛ) Ф.

0.1).

Цгх = V{x>t Л) Ф или в геометрической интерпретации, представления нулевой кривизны.

В середине 70-х годов выяснилось, что основы и математический аппарат для получения периодических и квазипериодических решений целиком лежит в алгебраической геометрии [12] и теории меро-морфных функций на компактных римановых поверхностях. Теория солитонов является самым простым предельным случаем этой более общей ситуации. В связи с этим, конечнозонными стали называться потенциалы (матрицы J7, V) для которых соответствующая алгебраическая кривая (спектр оператора) имеет конечный род. Естественным термином стало алгебро-геометрическое интегрирование. Идейные основы развиваемой в дальнейшем техники уже имелись к тому времени. Так в 1961 г. Ахиезером Н.й. [13] впервые была обнаружена роль абелевых функций и задачи обращения Якоби в спектральной теории оператора Шредингера с12 л? -и{х)¦

Анализ этой работы позволил Матвееву В. Б. и Итсу А. Р. [14] описать весь класс конечно-зонных потенциалов и выписать их динамику во времени в силу уравнения Кортевега де-Вриза (КдВ) щ + б и их — иххх = 0. Одновременно стала ясна универсальность формулы для Ф-функции как однозначной мероморфной на компактной римановой поверхности конечного рода функции с существенной особенностью заданного вида. Метод, таким образом, стал универсальным и именуется сейчас как аксиоматика функции Бейкера-Ахиезера. Несмотря на то, что эта деятельность оформилась в отдельное направление, со своими ответвлениями, с прикладной точки зрения, алгебро-геометрические решения значительно уступают солитонным. Причина состоит в их сложности — во всех случаях решения выражаются не в элементарных функциях, а через многомерную ©—функцию компактной римановой поверхности фигурирующей в формуле (0.2). Хотя явная формула для ©—функции известна (она выражается многомерным рядом Фурье), с вычислительной точки зрения, это очень сложный объект. Параметры ряда определяются по периодам абелевых интегралов 1-го рода, а Ш — периоды абелевого интеграла 2-го рода О (Р). Только в особых ситуациях ©—функция способна распадаться на более простые и, в частности, на функции Якоби. Для последних известны формулы в виде быстро сходящихся рядов.

С физической же точки зрения, алгебро-геометрические решения нисколько не «хуже» солитонных. Наоборот, их класс значительно шире и часто именно они позволяют описывать новые физические эффекты. Яркий пример тому дает теория сверхпроводящего контакта Джозефсона, построенная на основе интегрируемого уравнения sine-Gordon [15, 16].

Проблема эффективизации общих в-функциональных формул стала основной еще на ранней стадии развития метода. Таковой она остается и сейчас.

Существует несколько направлений, по которым как предполагается, можно продвинуться в решении этой проблемы. Имеется в виду идеи связанные расщеплением ©—функций высших родов на 0-функции низших родов на основе симметрий алгебраических кривых [17,18,19, 20, 21, 22,23], редукции абелевых интегралов к эллиптическим [24, 25, 26, 27, 28], униформизации автоморфными функциями [29, 30, 31] и др. В конечном счете все указанные направления, за исключением униформизации, нацелены на решение проблемы редукции общей О-функции рода д к эллиптическим, т. е. функциям Якоби. Ситуация с g — 2,3 не является исключением. Как известно, в этом случае можно вообще выкинуть риманову поверхность, т.к. любая матрица Л-периодов голоморфных дифференциалов общего положения будет соответствовать некоторой компактной рима-новой поверхности. Первый пример в этом направлении — работа [32] о вещественных 2-зонных решениях уравнения СГ (численное моделирование см. [33]). Однако даже здесь, получающиеся формулы по эффективности значительно уступают решениям с привлечением аппарата эллиптических функций. В общем понятно почему это так — алгебраические кривые рода д = 1 единственные, на сегодняшний день, для которых проблема униформизации решена полностью как с аналитической точки зрения (единственный модуль, дифференциальные уравнения, теоремы сложения, отсутствие специальных дивизоров), так и с вычислительной (0-функции Якоби и особенно так называемые qформулы Эрмита). Для высших родов ситуация намного сложнее несмотря на известные современные успехи.

До сих пор отсутствует в достаточной мере эффективное решение этой проблемы, которое позволило бы пользоваться униформизиру-ющими функциями как инструментом.

В 1980 г. [34] Кричевером был сделан важный шаг суть которого заключается в следующем. Рассматривать изначально кривые накрывающие не комплексную плоскость, а кривые накрывающие тор — кривую рода 1.

Щк, а) = кп + /2(а) кп~2 4- /3(л) кп~3 +. = 0, где fi (а) — мероморфные функции на торе. Эта идея была навеяна классическими работами Эрмита, Аль фана [35, 36, 37, 38] по интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений с параметрами (в современной трактовке — спектральные проблемы) и эллиптическими коэффициентами dn tP-1.

ЬФ = ^ФОЛ) + щ (ж, Л) —Ф (жЛ) +. + ип (х, А) Ф (жЛ) = 0, х х (0.3).

Как известно, в этих работах не было даже намека на связь с алгебраической геометрией римановых поверхностей и тем более накрытий. Эта связь и была подмечена в работе [34]. Спустя некоторое время Требих и Вердье [39, 40] открыли свои известные эллиптические потенциалы и стало ясно, что в этом направлении можно получать много новых и красивых результатов, что трудно сделать в общих подходах в проблеме редукции. Утвердился термин — «эллиптические солитоны». Новый взгляд на технику интегрирования спектральных задач позволил попутно получать примеры редукции абелевых интегралов к эллиптическим [28, 41] и результаты из чистой алгебраической геометрии. И хотя такой подход ограничен тем, что рассматривается только класс поверхностей накрывающих тор, по количеству конструктивных результатов он покрывает все остальные. С конца 80-х годов и по сегодняшний день здесь было получено большое число точно решаемых задач в основном в работах Энольского В. З. и Смирнова А. О. [77, 79, 81, 82, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 76, 41, 84, 85, 95, 96, 97, 98]. Количество новых интегрируемых потенциалов увеличилось настолько, что последние работы носят классификационный характер. Под интегрируемым потенциалом мы понимаем функции щ (х) в некоторой спектральной задаче (0.3), для которой можно выписать ее общее решение при произвольном параметре Л. Сразу стоит заметить, что изучаемая проблема имеет 2 основных аспекта: получение интегрируемых потенциалов и динамика данных потенциалов во времени. Вторая проблема намного труднее первой, но в рамках теории эллиптических солитонов в ней тоже имеются достижения. Так для рода д = 2 (уравнение КдВ) как показано в [76] задача сводится к алгебраической (см. также [109]). Алгебраический характер носит и первый аспект.

Разумеется, проблемы формулируеые и решаемые в диссертации не ограничиваются конкретными уравнениями, но мы взяли в качестве основного объекта исследования класс интегрируемых уравнений Клейна-Гордона (КГ).

U* = F (U). (0.4).

Он интересен своей уникальностью, так как содержит всего 3 уравнения: уравнение Лиувилля.

U* = еи, уравнение sine-Gordon.

Uxt = 4smU (0.5) и уравнение.

Uxt=eu-e~2u, (0.6) известное ранее как уравнение Додда-Буллафа.

Первое из них имеет общий интеграл и обычно представляет интерес не само по себе, а тем, что возникает в связи с другими интегрируемыми уравнениями. Второе уравнение по своей универсальности (как физической так и математической) не уступает знаменитому уравнению КдВ. Наиболее интенсивное его иследование приходится на 70-е годы. Оно было одним из первых уравнений для которого были быстро установлены все атрибуты уравнений, называемых теперь интегрируемыми МОЗР: метод Хироты, преобразования Бэ-клунда, [L-A]-napa, собственно МОЗР, гамильтонова структура и т. д. Если не учитывать математическую сторону возникновения этого уравнения (А.Эннепер, 1870), то первым замечательным примером возникновения и приложения его в физике явилась работа [45] по аналитическому описанию распространения ультракороткого оптического импульса в резонансной среде. В последствии, число областей, где возникало это уравнение как модельное, описывающее поведение различных физических процессов, существено увеличилось. Подробная библиография по приложениям имеется в монографиях [43, 44]. Известно приложение эллиптического варианта уравнения СГ в статистической физике [120].

Уравнение (0.6) имеет меньшее число физических приложений. Единственное из известных, это работа Капцова О. В. [119], в которой численно (для этого уравнения) изучались профили стационарных течений несжимаемой идеальной жидкости. Тем не менее эллиптический вариант этого уравнения.

Uхх «Ь Uyy — е е обнаружил интересные свойства. Существование двумерной (бесконечной) цепочки замкнутых несингулярных вихреобразованжй, расположенных в шахматном порядке. Как показывает опыт, для уравнения СГ в эллиптическом варианте таких решений пока не обнаружено [11]. Отметим также, что все 3 уравнения представляют большой интерес как точно решаемые нетривиальные нелинейные Лоренц-ковариантные скалярные модели теории поля.

Как уже отмечалось, связь с различной математикой (в частности с чисто алгебраическими манипуляциями) свойствена всем интегри-румым уравнениям. Это обнаруживается как на элементарном уровне (теоремы суперпозиции, ПБ) так и в более сложных аспектах. Мы имеем в виду алгебраический характер метода Эрмита-Кричевера. Если для уравнения СГ алгебраическая суперпозшда давно известна (мы даем ее самое общее эффективное решение), то для уравнения (0.6) это вовсе нетривиальный факт. В связи с этим можно поставить общую задачу: как получать формулы алгебраической суперпозиции для нелинейных интегрируемых уравнений вообще? Оказалось, что эта проблема, как и свежий взгляд на метод Эрмита-Кричевера имеют общие корни — теорию полиномиальных идеалов. То что используемая техника (в методе Эрмита-Кричевера) будет носить характер исключения переменных из алгебраической системы уравнений было известно еще Эрмиту. Как показывается дальше, для однополюсных потенциалов, т. е. для потенциалов имеющих единственный полюс в параллелограмме периодов, задача действительно сводится к исключению одной, двух переменных из системы 3-х уравнений взятием результантов от некоторых полиномов. Собственно теория исключения, даже в своей элементарной части, здесь не требуется. Несмотря на то, что порядок полиномов быстро растет с ростом рода кривой, результанты всегда факторизуются (иначе и не может быть) так, что кривая легко извлекается. Еще легче находятся формулы накрытия р (а) = ДМ) р'(а) = fif (M). и голоморфных дифференциалов. Ситуация меняется когда нрихо-дится рассматривать многополюсные потенциалы. Число переменных сразу возрастает и элементарная техника исключения практически не срабатывает.

Теория исключения, как в своей классической формулировке, так и в современной, является далеко не завершенной. Однако, открытие в 60-х годах Бухбергером алгоритма отыскания стандартного базиса [103] привело к своего рода революции в вычислительной алгебраической геометрии. Оказалось, что решение всякой системы полиномиальных уравнений может быть автоматизировано на основе вышеуказанного алгоритма (алгоритм так называемых полиномов сизигий или 5-полиномов). В частности, можно дать однозначный ответ на вопрос о принадлежности полинома идеалу. За последние 30 лет в этой области найдено много новых алгоритмических приемов [101, 100, 102]. Мы показываем, что метод Эрмита-Кричевера в своей самой общей постановке есть алгебраическая проблема, решение которой дается универсальным способом — стандартным базисом с лексикографическим упорядочиванием.

Отметим еще соответствие предлагаемой методики и методики на основе анализа накрытий тора (см. например [76]). Наш подход не удобен для классификации потенциалов и выяснении их общих свойств. Но с алгоритмической точки зрения (явные формулы для Ф-функции, накрытий и редукции абелевых интегралов к эллиптическим) он использует более элементарные средства и автоматизируется, так как основан на едином алгоритме. Формально, базис Гроб-нера может рассматриваться как универсальный, но далеко не всегда эффективный рецепт. В действительности, его желательно использовать в комбинации с методом характеристических множеств [104, 105, 106] либо методом триангуляции [102]. Именно так было исследовано большинство из интегрируемых потенциалов рассматриваемых в § 3.3.

С нелинейными уравнениями исследуемыми в диссертации связаны 2 спектральные проблемы.

Ф" (жЛ) — 4¦ «I + А) ЩхА) = 0 (0.7) для уравнения СГ и.

Ф'" (жЛ) — (иХЗ! + и2х) Ф (жЛ) — Л Ф (жЛ) = 0 (0.8) для уравнения (0.6). Первая из них фактически эквивалентна уравнению Шредингера.

Ф" (жЛ) — (U (x) 4- Л) ЩхЛ) = 0, для которого построено много интегрируемых потенциалов. Если интегрируемый потенциал Щх) найден, то его прообраз (начальный профиль для уравнения СГ) и (х) восстанавливается интегрированием уравнения Риккати ul + и2 = U{x).

Это более простая задача, так как после логарифмической замены переменных их = In* Ч> сводится вновь к линейному уравнению 2-го порядка.

Рш = и{х)<�р, но без дополнительного параметра Л. Аналогичная картина с (0.8). Здесь мы имеем проблему интегрирования спектральной задачи 3-го порядка.

Ф" '(жЛ) — Щх) ЩхА) — А Ф (жА) = О (0.9).

Задачи типа (0.9) как и вообще спектральные проблемы 3-го порядка мало изучены. Даже в рамках эллиптических решений только недавно стали появляться работы посвященные им [85, 99, 84]. В общем 0-функциональном подходе, насколько известно автору, конкретные результаты в этой связи малочисленны. Причина ясна. Кривые вообще говоря являются не гиперэллиптическими, а задаются 3-листным накрытием плоскости ш3 -(- <�х (А) ш 4- Ь (Х) = О, поэтому нельзя изначально предсказать характер точек ветвления. Впрочем, кубические кривые сами по себе обладают большим разнообразием. В § 3.3 предъявлен интегрируемый 2-х полюсный потенциал с интересной особенностью — оба полюса произвольны, но ни кривая ни накрытие не зависят от их расположения. Такое явление, по видимому, невозможно в спектральных задачах 2-го порядка.

Основной целью диссертации, таким образом, является стандартизация алгебраической техники встречающейся в теории интегрируемых уравнений на примерах уравнений КГ.

Диссертация состоит из 3-х Глав и 2-х Приложений. Первая Глава посвящена уравнению СГ. В § 1.1 показывается как уравнение СГ возникает при описании динамики крупномасштабных волн Россби. Исходные уравнения как обычно имеют достаточно сложную структуру из-за чего приходится применять методы сингулярной теории возмущений либо методику проектирования [114]. Сначала уравнения редуцируются к системе 3-волнового взаимодействия, которая далее сводится к уравнению СГ. В § 2.1 выводится формула алгебраической суперпозиции обобщающая классический результат Бианки. Далее выводятся явные формулы для Ф-функции и солитонных решений на фоне периодического эллиптического решения (§ 1.3). Завершает Главу 1 нерекурсивная общая формула для позитонов к-то порядка (§ 1.4).

Глава 2 начинается с более подробного обсуждения результатов, имеющихся на данный момент времени, в теории уравнения (0.6). Здесь же затрагиваются исторические аспекты этого уравнения § 2.1. Специфические особенности элементарных многофазных решений и ПД для (0.6) кратко излагаются в § 2.2. В § 2.3 излагается проблема интегрирования [Ь-А]-пары для периодического эллиптического решения уравнения (0.6). Выводятся явные формулы для Ф-функции и нового конечнозонного 4-фазного решения связанного с алгебраической кривой 2-го рода. § 2.4 посвящен выводу теоремы суперпозиции. В нем исправлены ошибки в обозначениях работы [42], в результате чего формула суперпозиции стала выглядеть более компактно. Подробное доказательство теоремы на основе метода базисов Гроб-нера отнесено в Главу 3, в которой подробно обсуждаются методы теории полиномиальных идеалов в теории интегрируемых нелинейных уравнений. Так, в § 3.1 излагается полностью алгебраический взгляд на классический метод Эрмита-Кричевера нахождения точно интегрируемых потенциалов в спектральных задачах с эллиптическими коэффициентами. Показывается, как на основе этого подхода доказывается единственность потенциала Требиха-Вердье. В § 3.2 на основе техники § 3.1 получен конечно-зонный 2-х полюсный потенциал с произвольным расположением полюсов в спектральной задаче 3-го порядка (0.8).

В § 3.3 алгебраическая техника нашла свое неожиданное применение в проблеме обобщения идеи интегрирования уравнения Ламе на основе так называемой функции Эрмита.

Ф (*-А) = Ф1(®-А) Ф2(ж-А).

Окончательный результат носит отрицательный характер в том смысле, что конструктивная роль обобщения функции Эрмита теряется вследствие громоздких формул. Результат не может быть упрощен.

В § 3.4 на основе техники базисов Гробнера приведено прямое доказательство теоремы суперпозиции для (0.6). Как побочный результат, предъявлено доказательство теоремы об отсутствии контактных АПБ для (0.6) и выведены АПБ для него.

В Приложении, А кратко изложены основные мотивы и определения из теории стандартного базиса (базиса Гробнера).

Вся графическая информация, иллюстрирующая содержание диссертации отнесена в Приложение В. В нем содержатся многомерные диаграммы Лэма, графики позитона и его столкновения с сингулярным солитоном уравнения зЬ-вогёоп. Уравнение (0.6) иллюстрируется графиками поведения 2-х фазного еолитона и его двойной суперпозиции. Завершается диссертация списком использованной литературы.

Автор приносит благодарность научному руководителю — Лебле Сергею Борисовичу за постановку задач, стимулирующие обсуждения и постоянное внимание к работе.

1. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков СЛ., ПитаевскийЛ.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи, М. (1980).

2. Солитоны. Под ред. Новикова С. П., М.1983.

3. Matveev V.B., Salle М.А. Darboux Trasformation and solitons, Springer Series in Nonlinear Dynamics (Springer-Verlag, Berlin 19 991).

4. Takahashi M., Konno K.J. Phys. Jap (1989), v.58, n.10, p.3505−3508.

5. Ablowitz M.J., Satsuma J. J.Math.Phys. (1978), v.19, p.2180−2186. Solitons and rational solutions of NLE.

6. Ono H. J.Phys.Soc.Jap. (1975), v.39, p.1082−1091. Algebraic solitary waves in stratified fluid.

7. Ono H. J.Phys.Soc.Jap. (1976), v. 41, p.1817−1818.

8. Кузнецов E.A., Михайлов A.B. ЖЭТФ (1974), т.67, вып.5(11).

9. Matveev V.B. Phys.Lett.A (1992), v. l66,p.205.

10. Borisov A.B., Kiseliev V.V. Physica D (1988), v.31, p.49−64.

11. Borisov A.B. et all Physics Letters A (1985), v. lll, n.1,2.

12. Чеботарев Н. Г. Теория алгебраических функций, М. 1948.

13. Ахиезер Н. И. ДАН СССР, (1961), т. 141, вып.2, стр.263−266.14 1516.