Аппроксимация операторов в нормированных операторных идеалах

В 1940 году Данфорд, Петтис и Филлипс ([74], [122]) заметили, что сепарабель-ные сопряженные банаховы пространства и слабо компактные операторы обладают примечательным свойством: всякий оператор из Ь{ц) в сепарабелыгое сопряженное пространство и всякий слабо компактный оператор из ?1 (р) допускают интегральные представления с измеримыми по Бохнеру функциями. Это свойство, по-видимому, впервые выделило в теории интегральных представлений линейных операторов сепарабельные сопряженные пространства и рефлексивные пространства из класса всех банаховых пространств и класс слабо компактных отображений — из класса всех операторов в банаховых пространствах.

В 1955 году появилась фундаментальная работа А. Гротендика [80], в которой среди огромного множества общих результатов содержались утверждения, значительно обобщающие теоремы Данфорда, Петтиса и Филлипса и показывающие, что сепарабельные сопряженные пространства, рефлексивные пространства и слабо компактные операторы кроме свойств, указанных этими математиками, обладают также и множеством других замечательных свойств. В частности, А. Гротендик ввел понятия интегральных и ядерных отображений в общих локально выпуклых пространствах и показал, что если А", У — банаховы пространства, то пространства интегральных и ядерных из, А в У совпадают по крайней мере в каждом из следующих случаев: 1) одно из пространств рефлексивно, 2) сопряженное к А' пространство сепарабельно, 3) У сепарабельно и сопряжено к некоторому банахову пространству. С другой стороны, оказалось, что слабо компактные отображения обладают аналогичными свойствами, а именно, произведение слабо компактного оператора с интегральным отображением является ядерным оператором. Однако, эти результаты, как и большая часть работы [80], оставались незамеченными в течение более чем десяти лет (главным образом, вследствие очень большой общности и трудности работы [80]).

В середине 1960;х годов появление монографии Н. Динкулеану [73] возбудило интерес к изучению свойств векторнозначных мер и, особенно, к исследованию интересной проблемы в теории мер со значениями в банаховых пространствах, а именно, вопроса о том, для каких векторнозначных мер справедлив аналог теоремы Радона-Никодима и, в частности, какие банаховы пространства обладают тем свойством, что всякая мера ограниченной вариации со значениями в этом пространстве и абсолютно непрерывная по некоторой скалярной мере ц имеет производную по ц (в дальнейшем о таких пространствах стали говорить, что они обладают свойством Радона-Никодима). В то же время, появление ряда работ А. Пича во второй половине 1960;х годов дало толчок к исследованию различных классов операторов в банаховых пространствах, — здесь одним из интересных вопросов был вопрос о совпадении некоторых (вообще говоря, различных) пространств операторов.

Эти две проблемы поначалу исследовались независимо друг от друга. Однако, довольно быстро выяснилось, что они имеют интересную общую точку пересечения, — и этой общей точкой оказались как раз сепарабельные сопряженные пространства и рефлексивные пространства. С одной стороны, по-существу еще Данфордом, Петтисом и Филлипсом было показало, что все эти пространства обладают свойством Радона-Никодима. С другой стороны, после введения двух новых классов операторов в банаховых пространствах — р-интегральных и р-ядерных отображений — А. Перссоном [120] было установлено, что всякий р-интегральный оператор, действующий из рефлексивного пространства, либо из пространства с сепарабельным сопряженным, является р-ядерным. Более того, в последнем случае вновь (как и у А. Гротендика) проявилось интересное свойство слабо компактных операторов: оказалось, что произведение 11 Т р-интегрального оператора II с любым слабо компактным отображением Т будет р-ядерным оператором (см. [120]- таким образом, эти результаты явились частичным обобщением упоминавшихся результатов А. Гротендика). Кроме того, сепарабельные сопряженные и рефлексивные пространства стали фигурировать в различных теоремах типа Данфорда Филлипса-Петтиса об интегральных представлениях линейных отображений, действующих из пространств Ьр ((л) (см., например, [167]). Все эти факты, однако, являлись довольно разрозненными, и не совсем понятно было, имеют ли они одну и ту же природу и если имеют, то что общее соединяет операторы со значениями в сепарабельных сопряженных пространствах со слабо компактными операторами. Возникла проблема объединения всех указанных, а также ряда других результатов в единую теорию, которая объясняла бы, почему именно операторы со значениями в сепарабельных сопряженных пространствах, а также слабо компактные операторы обладают теми примечательными свойствами, о которых говорилось выше.

Первые шаги в этом направлении были сделаны сразу рядом математиков, в особенности Дж. Дистелем [69]. Он показал, что любой интегральный оператор со значениями в пространстве X будет ядерным тогда и только тогда, когда пространство X обладает свойством Радона-Никодима. Кроме того, Дистель обобщил теорему Гротендика и в другом направлении: если сопряженное X* к пространству X обладает свойством Радона-Никодима, то всякий интегральный оператор из X будет ядерным. Полное описание сопряженных пространств со свойством Радона-Никодима в этих терминах было дано автором в кандидатской диссертации: X* обладает свойством Радона-Никодима тогда и только тогда, когда всякий интегральный оператор из X является ядерным.

Интересные результаты о возможностях того или иного аналитического представления линейных отображений, в частности, и в связи со свойством Радона-Никодима, были получены A.B. Бухваловым [4−8]. Так в [5] он установил, что пространство X*, сопряженное к банахову пространству X, обладает свойством Радона-Никодима тогда и только тогда, когда для любого банахова идеального пространства Е с условием, А любой оператор с абстрактной нормой из X в Е допускает аналитическое представление с измеримой по Бохнеру Х*-значной функцией. Этот результат был затем независимо передоказан автором (см. [28]) и некоторым образом дополнен. Таким образом, упоминавшиеся выше свойства сепара-бельных сопряженных и рефлексивных пространств стали укладываться в рамки единой теории — теории пространств со свойством Радона-Никодима. Однако все еще в стороне оставались слабо компактные отображения, обладающие многими свойствами, аналогичными свойствам операторов со значениями в сепарабельных сопряженных пространствах.

Для того, чтобы включить факты об операторах, принимающие значения в сепарабельных сопряженных пространствах, и о слабо компактных операторах в единую схему, в начале 1974 года автором [29] (и независимо Вернером Линде [100]) был введен и исследован новый класс операторов в банаховых пространствах — класс операторов типа RN (операторов Радона-Никодима). Оказалось, что такой подход с единой точки зрения объясняет, почему так похожи (в известном смысле) свойства слабо компактных отображений и отображений со значениями в сепарабельных сопряженных пространствах: каждое слабо компактное отображение, также как и тождественные отображения сепарабельных сопряженных пространств в себя, являются операторами типа RN .

До сих пор речь шла об аналитическом направлении развития теории пространств и операторов со свойством Радона-Никодима. Но независимо от этой ветви теории и сначала незаметно возникло геометрическое направление. Оно берет свое начало с одной «индивидуальной» теоремы Риффеля. В своей работе [137] он ввел, как уже сегодня ясно, понятие исторической важности — понятие заостренности множества в банаховом пространстве («dentability» , — вольный перевод этого слова принадлежит автору [32]). Заостренность множества означает, что можно вырезать сколь угодно маленький шарик в этом множестве так, что после «пломбирования» — взятия замкнутой выпуклой оболочки оставшегося куска — вне полученного множества останется центр шарика. Риффель доказал теорему об индивидуальной характеризации векторной меры: такая мера имеет производную относительно некоторой вероятности тогда и. только тогда, когда «она локально имеет заостренный (dentable) усредненный образ» .

В 1973 г. Мэйнард [108] ввел понятие^{-заостренности,} когда почти не было связей между геометрической и аналитической частями теории пространств со свойством Радона-Никодима. В действительности, его основной результат представлял собой первую геометрическую характеризацию пространств со свойством RN. В [108] он, по-существу, установил, что банахово пространство обладает свойством Радона-Никодима тогда и только тогда, когда всякое его ограниченное подмножество з-заостренное. Вскоре было получено еще несколько важных результатов в этом направлении. Важнейшим из них в тот период времени, пожалуй, следует считать теорему Дэйвиса и Фелпса [68]. Они непосредственно и просто доказали, что факт заостренности каждого ограниченного подмножества в банаховом пространстве («наследственная заостренность») равносилен тому, что каждое ограниченное множество в данном пространстве является /-заостренным (и, следовательно, тому, что пространство обладает свойством RN). /-Заостренность множества отличается от заостренности тем, что вместо замкнутых выпуклых оболочек рассматриваются выпуклые оболочки множеств. В тот период времени это был достаточно впечатляющий результат. Методы статьи Дэйвиса-Фелпса не позволяли, однако, получить «локальный вариант» их теоремы, именно, показать, что понятия «наследственных» заостренности, ¿—заостренности и /-заостренности равносильны для любого замкнутого выпуклого ограниченного множества (с пустой внутренностью). В том же 1974 году Хуф [85] все же сумел частично перенести результат Дэйвиса-Фелпса на такие множества (модифицируя построения Мэйнарда). Он показал, что для произвольного замкнутого ограниченного выпуклого множества в банаховом пространстве его наследственная заостренность — то же самое, что и его наследственная s-заостренность (при этом основным инструментом Хуфа была техника векторного интегрирования).

Впервые полностью на случай произвольного замкнутого ограниченного выпуклого множества результат Дэйвиса-Фелпса был перенесен автором [38] в 1979 году (см. ниже теорему 1.1.2). К сожалению, эта заметка автора осталась незамеченной, и в 1983 году Е. Bourgin [58] привел свое «первое решение» этой задачи.

В дальнейшем в исследование геометрических свойств как пространств, так и множеств со свойством Радона-Никодима подключились многие другие известные математики, среди которых, несомненно, следует отметить Ж. Бургейна (например, [56]). Автор, кроме указанного выше результата из [38], также получил ряд геометрических характеристик как операторов типа RN, так и множеств «со свойством Радона-Никодима». Последнее понятие было введено автором, независимо от остальных математиков, в заметке [34], и затем исследовалось с разных точек зрения, особенно с геометрической и топологической, в работах как автора (19 792 001; [37−39, 49, 52]), так таких известных математиков как С. Stegall, W.M. Ruess, I. Namioka, В. Cascales, G. Vera (1986;2000; [62, 63, 155−158, 160, 111]).

В первой главе изложение части наших исследований операторов Радона-Никодима и их связей с аппроксимацией в различных идеалах операторов мы начнем с рассмотрения геометрических свойств этих операторов. Наша цель — пройти путь от первых геометрических свойств операторов RN (§ 1) через аналитическую часть теории до примеров применения некоторых понятий заостренности к аппроксимации (типа гротендиковской) операторов конечномерными (§ 9). Примерно в середине пути мы получим очень важные для главы II характеристики операторов RN как Ip-Np-мультипликаторов (§ 4), а также покажем, каким образом эти характеристики могут быть применены для обобщения одной теоремы А. Гротендика о соотношениях между свойствами аппроксимации и ограниченной аппроксимации для операторов (§ 5). Во второй главе мы переходим к детальному исследованию возможностей аппроксимации конечномерными операторов из различных операторных идеалов и изучению соответствующих свойств аппроксимации.

Аппроксимационные свойства в операторных идеалах (эта проблематика, в основном, восходит к А. Гротендику, П. Сафару и А. Пичу) занимают значительное место в современной теории операторов. Примерами операторных идеалов общего характера являются идеал ядерных операторов и идеал компактных операторов в алгебре всех линейных непрерывных операторов, а примерами тесно связанных с этими идеалами аппроксимационных свойств являются свойства аппроксимации и ограниченной аппроксимации А. Гротендика, введенные им в 1955 г.

Еще в конце 20-х годов прошлого века С. Банахом была поставлена проблема существования базиса в произвольном сепарабельном банаховом пространстве. В своей знаменитой работе 1955 года А. Гротендик поставил более общий вопрос о наличии в любом банаховом пространстве свойства аппроксимации (существование базиса в данном пространстве влечет за собой выполнение условия аппроксимации для этого пространства). Если за время, прошедшее от работ С. Банаха до работ А. Гротендика, большинство специалистов занималось тем. что строило базисы в конкретных банаховых пространствах, то после выхода в свет работы А. Гротендика — по прошествии, однако, десятилетия — математики, работающие в соответствующей области геометрической теории операторов, пошли также путем различного рода обобщений (вводя более слабые аппроксимационные условия), склоняясь все более к тому, что ответы на вопросы С. Банаха и А. Гротендика отрицательны.

Лишь в 1972 г. П. Энфло [75] построил пример сепарабельного рефлексивного пространства без свойства аппроксимации (и, следовательно, без базиса). Это стимулировало дальнейшее исследование гротендиковских аппроксимационных свойств, в которое включились такие крупные специалисты как П. Сафар, У. Б. Джонсон, Т. Фигель, А. Пелчинский, А. Дэйви, А, Шанковский, А. Пич и ряд других. Например, Т. Фигель и У. Б. Джонсон [76] сразу же после появления работы П. Энфло построили пример банахова пространства со свойством аппроксимации, но без свойства ограниченной аппроксимации, а А. Шанковский [162] показал, что «почти в каждом» банаховом пространстве есть подпространство без свойства аппроксимации.

Работы этих математиков стимулировали исследования и в ряде других направлений. Так сразу же снова встал вопрос о существовании банахова пространства без свойства аппроксимации порядка р для р > 1, впервые рассмотренного П. Сафаром (1970). В течение 10 лет никакого существенного продвижения в связи с вопросами П. Сафара и близкими проблемами (которые ставились также А. Пелчинским, А. Пичем и др.) не наблюдалось. Лишь в 1981 г. автору [41] удалось ответить на все основные вопросы этих математиков, построив, в частности, примеры как пространств без свойств аппроксимации порядка р, так и примеры пространств со свойством аппроксимации, но без свойства ограниченной аппроксимации порядка р (р > 1). Примерно в то же время Ж. Пизье [127] построил свой знаменитый контрпример к одной из последних гипотез А. Гротендика. Однако с 1985 г. в этой области функционального анализа на время наступило некоторое затишье — слишком трудными оказались остававшиеся в тот период открытыми в теории аппроксимации в операторных идеалах проблемы.

Стимулом к новым исследованиям явилась работа Г. А. Уиллиса (1992; [166]), в которой был построен пример пространства со свойством компактной аппроксимации, но без свойства аппроксимации. К этим исследованиям подключились такие специалисты как А. Дефант, Ф. Флорет [67], У. Б. Джонсон, К. Л. Гарсиа, П. Касаза, X. Ярхов [60, 61]. Последние два математика, используя результат Г. А. Уиллиса, в 1996 г. передоказали полученную автором еще в 1983 г. [45] теорему о неравносильности свойств компактной аппроксимации и компактной ограниченной аппроксимации.

В последующие годы к исследованиям интенсивно подключились А. Лима, О. Ни-гаард, Е. Ойа [99]. Они, в частности, исследуя варианты обобщения известной теоремы Дэйвиса-Фигеля-ДжонсонаПелчинского, получили новые характеристики пространств со свойствами аппроксимации, компактной аппроксимации и др. В конце 1990;х интерес к изучгению аппроксимационных условий, в частности свойств аппроксимации порядка р, проявился и в таких странах как Испания (университет г. Севилья [64]), Индия (университет г. Дели- 2001, [96]), Швеция (университет г. Уппсала- 2001, см. [93]). Так, в продвижение к открытому до сих пор вопросу о наличии в Н°° свойства аппроксимации, испанские математики М. Д. Контрерас и С. Диас-Мадригал показали (2000; [64]), что это пространство обладает так называемым свойством иМАРр для р > 1, обобщая, таким образом, наилучший в этой задаче до них один результат БургейнаРейнова (1983; [57]). Наконец (и это, видимо, стоит отметить), в 2002 г. работы всех упоминавшихся выше математиков, не в последнюю очередь и автора, повлияли на возникновение соответствующих исследований в Египте (университет г. Каир).

В главе II мы как раз и будем иметь дело с известными проблемами теории аппроксимации операторов в квазинормированных операторных идеалах.

Приведем подробное изложение результатов диссертации.

В главе О даны предварительные сведения, обозначения, определения.

1. Айзенштейн М. Х., Брудный Ю. А., Вычислимые интерполяционные функторы, Исследования по теории функций многих вещественных переменных, Ярославль: ЯГУ, 1986, pp. 3−35.

2. Александров П. С., Урысон П. С., Мемуар о компактных топологических пространствах, М.: Наука, 1971.

3. Бурбаки Н., Общая топология, вып. 3 М.: Наука, 1975.

4. Бухвалов A.B., Пространства вектор-функций и тензорные произведения, Сиб. матем. ж. 13 (1972), No 6 1229−1238.

5. Бухвалов А.В.^ Об аналитическом представлении операторов с абстрактной нормой, Докл. АН СССР 208 (1973), No 5 1012−1015.

6. Бухвалов A.B., Аналитическое представление операторов при помощи измеримых вектор-функций, Вестник ЛГУ (1974), No 7 157−158.

7. Бухвалов A.B., Об аналитическом представлении операторов с абстрактной нормой, Изв. вузов (1975), No 11 21−32.

8. Бухвалов A.B., О двойственности функторов, порождаемых пространствами вектор-функций, Изв. АН СССР 39 (1975), No 6 1284−1309.

9. Бухвалов А. В, Факторизация компактных операторов и пример рефлексивной банаховой решетки без свойства аппроксимации, ДАН СССР 227 (1976), по. 3.

10. Глускин Е. Д., Кисляков C.B., Рейнов О. И., Тензорные произведения абсолютно р-суммирую-щих операторов и правые (/р, Nр)-мультипликаторы, Записки научн. сем. ПОМИ 89 (1979), 85−102.

11. Гротендик А., О пространствах (?) и CD?), Математика 2 (1958), по. 3, 81−128.

12. Данфорд Н., Шварц Дж-EL, Линейные операторы (общая теория) Том1, Москва: Иностранная литература (1962), 895 с.

13. Кадец М. И., Фонф В. П., Некоторые свойства множества крайних точек единичного шара пространства Банаха, Мат. Заметки 20 (1976), 315−319.

14. Канторович Л. В., Вулих Б. З., Пинскер А. Г., Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах, М.—Л., Гостехиздат.

15. Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, второе издание, Москва: Наука, 1977, 742 с.

16. Кашин Б. С., Саакян A.A., Ортогональные ряды, Москва: Наука (1984), 496.

17. Кисляков C.B., О прострсгнети"ах с малым аннулятором, Записки науч. семин. ЛОМИ 65 (1976), 192−195.

18. Кисляков C.B., Два замечания по поводу равенства ПР (Х, •) = 1Р (Х, •), Записки науч. семин. ЛОМИ 113 (1981), 135−148.

19. Левин В. Л., 'Тензорные произведения и функторы в категориях банаховых пространств, определяемые К В-линеалами, Тр. Моск. матем. обва 20 (1969), 42−82.

20. Левин В. Л., К двойственности некоторых классов линейных операторов, действующих между банаховыми пространствами и банаховыми решетками, Сиб. матем. ж. 14 (1973), по. 3, 599−608.

21. Лидский В. Б., Несамосопряженные операторы, имеющие след, Докл. АН СССР 125 (1959), по. 3, 485−488.

22. Люстерник Л. А., Соболев В. И., Краткий курс функционального анализ, М.: Высш. Школа (1982), 271.

23. Макаров Б. М., Самарский В. Г., Слабая секвенциальная полнота и близкие к ней свойства некоторых пространств операторов, Теория операторов и теория функций, 1, ЛГУ, Ленинград, 1983, 122−144.

24. Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, М.: Наука, 1974.

25. Оя Э., Рейнов О., Контрпример А. Гротендику, Известия АН Эстонской ССР. ФизикаМатематика 37 (1988), 14−17.

26. Пич А., Ядерные локально выпуклые пространства, Москва: Мир, 1967.

27. Пич А., Операторные идеалы, Москва: Мир, 1982, 536 с.

28. Рейнов О. И., Свойство Радопа-Никодима и интегральные представления линейных операторов, Функц. анализ и его приложен. 9 (1975), 87−88.

29. Рейнов О. И., Операторы типа RN в банаховых пространствах, Докл. АН СССР 220 (1975), по. 3, 528−531.

30. Рейнов О. И., Операторы типа RN и аналитические представления линейных операторов, В кн. Теория операторов в функциональных пространствах, Новосибирск: Наука, 1977, рр. 283 295.

31. Рейнов О. И., Некоторые классы множеств в банаховых пространствах и топологическая характеристика операторов типа RN, Записки научн. сем. ЛОМИ 73 (1977), 224−228.

32. Рейнов О. И., Геометрическая хар актер из ация RN-операторов, Матем. заметки 22 (1977), вып. 2, 189−202.

33. Рейнов О. И., Операторы типа RN в банаховых пространствах, Сиб. матем. журн. 19 (1978), 4 857−865.

34. Рейнов О. И., RN-множества в банаховых пространствах, Функц. анализ и его приложен. 12 (1978), no. 1, 80−81.

35. Рейнов О. И., Об одном классе универсально измеримых отображений, Матем. заметки 26 (1979), по. 6, 949−954.

36. Рейнов О. И., О наследственно заостренных множествах в банаховых пространствах, Записки научн. сем. ПОМИ 89 <1979), 294−299.

37. Рейнов. О. Об интегральных представлениях линейных операторов, действующих «а пространства 2/1 (S1,ZL, А*), Матем. заметки 27 (1980), № 2 283−290.

38. Рейнов О. И., О некоторых векторно-региеточных характеристиках операторов типа RN, Матем. заметки 27 (1986), вьга. 4 € 07−620.

39. Рейнов О. И., Свойства аппроксимации порядка р и существование не р-ядерных операторов с р-ядерными вторымисопряженными, ДАНCCGP 256 {1981), но. 1, 43−47.

40. Рейнов О. И. О банаховых пространствах без свойства аппроксимации Функц. анализ и его приложения. Т. 16. 1982; Вьга. 4. С. 84−85.

41. Рейнов ОЛ-Исчезновение тензорных элементов в шкале р-ядерных операторов, в кн. «Теория операторов и теория функций». Л.:ЛГУ {1983), 145−165.

42. Рейнов О. И., Простое доказательство двух теорем А. Гротендика, Вестн. ЛГУ 7 (1983), 115−116.

43. Рейнов О. И., Насколько плохим может быть банахово пространство со свойством аппроксимации?, Матем. заметки 33 {1983), по. вып.-6, 833−846.

44. О. И. Рейнов, Аппроксимация операторов в банаховых пространствах, Применения функционального анализа в теории приближений, Калинин, КГУ (1985), 128−142,.

45. Рейнов О. И., О непрерывности, шкал некоторых операторных идеалов, в кн. Проблемы математического анализа, выя. 19: Нелинейные-уравнения и математический анализ, Новосибирск: Научная книга, 1999, рр. 193−214.

46. Рейнов О. И., Аппроксимационные свойства АР3 и р-ядерные операторы (случай 0 < s ^ 1), Записки научн. сем. ПОМИ 270 (2000), 277−291.

47. Рейнов О. И., Геометрические свойства универсально измеримых отображений, в кн. Проблемы математического анализа, вып. 21, Новосибирск: Научная книга, 2000, рр. 193−210.

48. Рейнов О. И., О линейных операторах с р-ядерными сопряженными, Вестник СПбГУ, Сер. 1 (2000), вып. 4 с. 24−27.

49. Рейнов О. И., О факторизации операторов через пространства /р, Вестник СПб ГУ. Сер.1 2 (2000), вып. 2 (No 8), 27−32.

50. Рейнов О. И., Аппроксимационные свойства и некоторые классы операторов, в кн. Проблемы математического анализа, вып. 23, Новосибирск: Научная книга, 2001, pp. 147−205.

51. Рейнов О. И., Насколько плохим может быть банахово пространство со свойством аппроксимации? II, в кн. Проблемы математического анализа, вып. 24, Новосибирск: Научная книга, 2002, pp. 205−216.

52. Шеффер X., Топологические векторные пространства, Москва: Мир (1971), 360 с.

53. Эдварде Р., Функциональный анализ. Теория и приложения, Мир, Москва, 1969. 1071 е.

54. Bourgain J., On dentability and ike Bishop-Phelps property, Isr. J. Math. 28 (1977), no. 4, 265−271.

55. Bourgain J., Reinov O.I., On the approximation properties for the space H°°, Math. Nachr. 122 (1985), 19−27.

56. Bourgin R.D., Geometric Aspects of Convex Sets with the Radon-Nikodym Property, Lecture Notes in Math., 993 Springer, Berlin-Hiedelberg-New York, 1983. 474 pp.

57. Casazza P.G., Approximation properties, Handbook of the geometry of Banach spaces, W. В Johnson and J. Lindenstrauss, vol. 1, Elsevier, Amsterdam — London New York — Oxford — Paris — Shannon — Tokyo, 2001, pp. 271−316.

58. Cascales В., Namioka I., Vera G., The Lindelof property and fragmentabihty, Proc. Amer. Math. Soc. 128 (2000), 3301−3309.

59. Cascales В., Manjabacas G., Vera G., Fragmentability and compactness in C (K).-spaces, Studia Mathematica 131 (1998), 73−87.

60. Contreras M. D., Diaz-Madrigal S., Uniform approximation properties for spaces of analytic functions, Math. Nachr. 210 (2000), 85−91.-65. Dareie A.M., The approximation problem for Banach spaces, Bull. London Math. Soc. 5 (1973), 261−266.

61. Davis W. J, Figiel Т., Johnson W.B., Pelczynski A., Factoring weakly compact operators, J. Functional Analysis 17 (1974), 311−327, M?50#S01?

62. Defant A. and Floret F., Tensor norms and operator ideals, North-Holland, Amsterdam, London, New York, Tokio, 1993.

63. Davis W.J., Phelps R.R., The Radon-Nikodym property and dentable sets in Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 45 (1974), 119−122.

64. Diestel J., The Radon—Nikodym property and coincidence of integral and nuclear operators, Rev. Roumaine Math. PuresAppl. 17 <1972), 1611−1620.

65. Diestel J., Geometry of Banach spaces, Lecture Notes in Math., 485 Berlin-Hiedelberg-New York, 1975. 282 pp.

66. Diestel J., Uhl J.J., Vector measures, Math. Survey, Amer. Math. Soc., Providence RI 15 (1977).

67. Diestel J., Jarchow H., Pietsch A., Operator ideals, Handbook of the geometry of Banach spaces, W. В Johnson and J. Lindenstrauss, vol. 1, Elsevier, Amsterdam London — New York — OxfordParis — Shannon — Tokyo, 2001, pp. 437−496.

68. Dincuieanu N., Vector Measures, Pergamon Press, New York, 1967.

69. Dunford N., Pettis В J., Linear operations on summable functions, Trans. Amer. Math. Soc. 47 (1940), 323−392.

70. Enflo P., A counterexample to the approximation property in Banach spaces, Acta Math. 130 (1973), 309−317.

71. Figiel Т., Johnson W.B., The approximation property does not imply the bounded approximation property, Proc. Amer. Math. Soc. 41 (1973), 197−200.

72. Ghoussoub N., Johnson W.B., Counterexamples to several problems on the factorization of bounded linear operators, Proc. AMS 92 <1984), 233−238.

73. Gordon Y., Lewis D.R., Retherford H.R., Banach ideals of operators with applications, J. Funct. Anal. 14 (1973), no. 1, 85−129.

74. Gordon Y., Reisner S., Some geometrical propeties of Banach spaces of polynomials, Isr. J. Math. 42 (1982), 99−116.

75. Grothendieck A., Produits tensoriels topologiques et espases nucleaires, Mem. Amer. Math. Soc. 16 (1955), pp. 196 + 140.

76. Gr0nbaeck N., Willis G.A., Approximate identities in Banach algebras of compact operators, Canadian Math. Bui. 36 (1993), 45−53.

77. Heinrich S., Closed operator ideals and interpolation, J. Functional Analysis 35 (1980), 397—411.

78. HuffR.E., Dentability and the Radon-Nikodym property, Duke Math. J. 41 (1974), no. 1, 111−114.

79. Huff R.E., Morris P.D., Geometric characterizations of the Radon-Nikodym property, Studia Math. 56 (1976), 157−164.

80. Ionescu Tulcea A., lonescu Tulcea C., Topics in the theory of lifting, Springer, Berlin — Heidenberg — New York, 1969. 189 p.

81. James R.C., A separable somewhat reflexive Banach spaceswith nonseparable dual, Bull. Amer. Math. Soc. 80 (1974), 738−743.

82. Johnson W.B., Factoring compact operators, Israel J. Math. 9 (1971), 337−345.

83. Johnson W.B., A complementary universal conjugate Banach space and its relation to ihr appro x-mation problem, Israel J. Math. 13 (1972), 301−310, AfR48#4700.

84. Johnson W.B., Banach spaces all of whose subspaces have the approximation property, Seminaire d’analyse fonctionelle 1979;1980 (1980), exp. 16 1−11.

85. Johnson W.B., Banach spaces all whose subspaces have the approximation property, Special Topics of Applied Mathematics, North-Holland, 1980, pp. 15−26.

86. Kaijser S., Reinov O., On a-nudearity and total accessibility for some tensor norms a, Acta et Commentationes Universitatis Tartmensis de Mathematica 5 (2001), 59−64.

87. Kakutani S., Concrete representation of abstract (L)-spaces and the mean ergodic theorem, Ann. of Math. 42 (1941), no. 2, 523−537.

88. Kakutani S., Concrete representation of abstract (M)-spaces, Ann. of Math. 42 (1941), no. 2, 994−1024.

89. Karn Anil K., Sinha Deba P., Compact operators whose adjoints factor through subspaces of lp, Studia Math. 150 (2001), no. 1, 17−33.

90. Kwapien S., On a theorem of L. Schwartz and its applications to absolutely summing operators, Studia Math. 38 (1970), 193−201.

91. Kwapien S., Isomorphic characterizations of inner product spaces by orthogonal series with vector valued coefficients, Studia Math. 44 (1972), 583−595.

92. Lima A., Nygaard O., Oja E., Isometric factorization of weakly compact operators and the approximation property, Israel J. Math. 119 (2000), 325−348.

93. Linde W., An operator ideal in connection with the Radon-Nikodym property of Banach spaces, Math. Nachr. 71 (1976), 65−73.

94. LindetJstrauss J., On James' paper «Separable Conjugate Spaces», Israel J. Math. 9 (1971), 279−284.

95. Lindenstrauss J., Weakly compact sets — their topological properties and the Banach spaces they generate, Symposium on Infinite Dimensional Topology, Prinston, N.J., Prinston Univ. Press (1972), 235−273.

96. Lindenstrauss J., Pelczynski A., Absolutely summing operators in Cp spaces and their applications, Studia Math. 29 (1968), 275−326.

97. Lindenstrauss J., Rosenthal H.P., The Cp spaces, Isr. J. Math. 7 (1969), 325−349.

98. Lindenstrauss J., Stegall Ch., Examples of separable spaces which does not contain 11 and whose duals are non-separable, Studia Math. 56 (1975), 81−105.

99. Lindenstrauss J., Tzafriri L., Classical Banach spaces I: Sequence spaces, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg — New York, 1977.

100. Maurey B., Demonstration d’une conjecture de A. Pietsch, C. R. Acad. Sei. Paris, Ser. A 274 (1972), 73−76.

101. Maynard H.B., A geometrical characterization of Banach spaces having the Radon-Nikodym property, Trans. Amer. Math. Soc. 185 (1973), 493−500.

102. Mickael E., Continuous selections, Ann. Math. 63 (1956), 361−382.

103. Namioka I., Phelps R.R., Banach spaces which are Asplund spaces, Duke Math. 42 (1975), 735.

104. Namioka I., Radon-Nikodm compact spaces and fragmentability, Mathematika 34 (1987), no. 2, 258−281.

105. F. Oertel, Extension of Finite Rank Operators and Operator Ideals with the Property (I), Math. Nachr. (2002), 144−159.

106. Oja E., Reinov O.I., Un contre-exemple a une affirmation de A. Grothendieck, C. R. Acad. Sc. Paris, Serie I 305 (1987), 121−122.

107. MLPelczysski A., Banach spaces on which every unconditionally converging operator is weakly compact, Bull. Acad. Polon. Sei. Math. Astro. Phys. 10 (1962), 641−648.

108. Pelczynski A., p-integral operators commuting with group represetations andexamples of quasi-p-integral operators which are not p-integral, Studia Math. 33 (1969), 63−70.

109. Pelczyriski A., Banach spaces of analytic functions and absolutely summing operators, AMS Regional Conference Series in Mathematics, 30 Providence, 1977.

110. Pelczyriski A., Ovsepian R.I., The existence in any separable Banach space of a fundamental, total and bounded biorthogonal sequence and related constructions of uniformly bounded orihtmomal system in ?2, Otticha Math. 54 (1975), no. 2, 149−159.

111. Persson A., On some properties of p-nuclear and p-integral operators, Studia Math. 33 (1969), 213−232.

112. Persson A. and Pietsch A., p-nucleare und p-integrale Abbildungen in Banachraumen, Studia Math. 33 (1969), 19−62.

113. Phillip" R.S., On linear transformations, Tran. Amer. Math. Soc. 48 (1−94(c)), 5IS-541.

114. Pietsch A., Quasinukleare Abbildungen in normierten R (amen, Math. Ann. 165 (1966), no. 1, 76−90.

115. Pietsch A., Theorie der Operatorenideale (Zusammenfassung), Jena, 1972.

116. Pietsch A., Operator ideals, North-Holland, Deutscher Verlag der Wiss., Berlin, 1978. 451 p.

117. Pisier G., Estimations des distances a un espace euclidien et des constantes de projection des espace de Banach de dimensions finie, Seminaire d’analyse fonctionelle 1978;1979 (1979), exp. 10, 1−21.

118. Pisier G., Counterexamples to a conjecture of Grothendieck, Acta Math. 151 (1983), 181−208.

119. Pisier G., Weak Hilbert spaces, Proc. London Math. Soc. 56 (1988), 547−579.

120. Reinov O.I., On some Banach ideals of operators, Studia Math. 69 (1980), no. 2, 125−133.

121. Reinov O.I., Approximation properties of order p and the existence of non-p-nuclear operators with p-nuclear second adjoints, Math. Nachr. 109 (1982), 125−134.

122. Reinov O.I., A finite dimensional aspect of the existence of non-nuclear operatorswith nuciear ajoints, Reports of the Univ. of Stockholm., No 12 (1983).

123. Reinov O.I., A survey of seme results m connection with Grothendieck approximation property, Math. Nachr. 119 (1984), 257−264.

124. Reinov O.I., Un contre-exemple a une conjecture de A. Grothendieck, C. R. Acad. Sc. Paris, Serie 1 296 (1983), 597−599.

125. Reinov O.I., Sur les operateurs p-nucleaires entre espaces de Banach avec bases, C. R. Acad. Se. Paris. — Serie I 316 (1993), 905−307.

126. Reinov Oleg, On non-nuclear operators with nuclear adjoints, Estonian Acad. Sei. Phis. Math. 45 (1996), no. 2/3, 226−233.

127. Retherford J.R., Applications of Banach ideals of operators, Bull. Amer. Math. Soc. 81 (1975), 978−1012.

128. RiefFel M.A., Deniable subsets of Banach. spaces vuith applications to a Radon-Nikodym property, Proc. Conf. Functional Analysis, Thompson Book Co., Washington, D.C., 1967, pp. 71−77.

129. Rosenthal H.P., On infective Banach spaces and the spaces for finite measures n, Acta Math. 124 (1970), 205−248.

130. Rosenthal H., On relatively disjoint families of measures, with some applications to Banach space theory, Studia Math. 37 (1971), 13−36.

131. Rosenthal H.P., On factors of C0,1} with non-separable dual, Israel J. Math. 13 (1972), 361−378.

132. Rosenthal H.P., A characterization of Banach 3paces containing 11, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 71 (1974), no. N6, 2411−2413-.

133. Rosenthal H.P., The Banach spaces C{K) and Lp (fi), Bull. Amer. Math. Soc. 81 (1975), 763−781.

134. Rosenthal H.P., Pointwise compact subset of the first Baire class, Amer. J. Math. (1977), no. 2, 362−378.

135. Saab E., A characterizationof w* -compactconvex sets having the Radon-Nikod'ym property, Bull. Sci. Math. 104 (1980), 79−88.

136. Saphar P., Produits tensoriels d’espaces de Banach et classes d’applications lineaires, Studia Math. 38 (1970), 71−100 M. R43#878.

137. Saphar P., Hypothese ddpproximation a lardre p dans les espaces de Banach et approximation dapplicaiion p-absolument sommantes, Isr. J. Math. 13 {1972), 379−399.

138. Schachermeier V., Additif au theorem (4−3) du Expose 4 du Seminaire Maurey-Schwartz 1974;75, Seminaire Maurey—Schwartz {1974/1975).

139. Schatten R., A theory of cross spaces, Ann. Math. Studies 26 (1950).

140. Schwartz L., Seminaire. Applications radonifiantes, Paris, Ecole Polytechnique, Centre de Math-ematieques, 1969;1970.

141. Schwartz L., Radon measureson arbitrary topological spaces and cylindrical measures, Oxford Univ. Press, for Tata Inst, of Fund Research, London, 1973.

142. Schwartz L., Seminaire Maurey-Schwartz (1974/1975), expose V-VI.

143. Stegall Ch., Banach spaces whose duals contain Zi ® with applications to the study of dual L (p) spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 175 (1973), 463−477.

144. Stegall C., The Radon-Nikodym property in conjugate Banach spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 206 (1975), 213−223, Affl51#10 581.

145. Stegall C., A proof of the Huff-Morris Radon-Nikodym theorem, Seminaire Maurey-Schwartz 1975/76, Centre de Math., Ecole Polytech., Paris, 1976.

146. StegalI C, Optimization and differentiation in Banach spaces, Linear Algebra Appl. 84 (1986), 191−211.

147. Stegall C., More fads about conjugate Banach spaces with the Radon-Nikodym property, Acta Univ. Carol., Math. Phys. 31 (1990), no. 2, 107−117.

148. Stegall C., Large subsets of dual Banach spaces, Acta Univ. Carol., Math. Phys. 32 (1991), no. 2, 41−46.

149. Stegall C., Functions of the first Baire class with values in Banach spaces, Proc. Am. Math. Soc. Ill (1991), no. 4, 981−991.

150. Stegall Ch., Retherford J.R., Fully nuclear and completely nuclear operators with applications to L and Loospaces, Trans. Amer. Math. Soc. 163 (1972), 457−493.

151. Stegall C.P., Ruess, W.M., Exposed and denting points in duals of operator spaces, Isr. J. Math. 53 (1986), 163−190.

152. Swartz C., An operator characterization of vector measures which have Radon-Nikodym derivatives, Math. Ann. 30 (1973), 77−84.

153. Szankowski A., Subspaces without approximation property, Israel J. Math. 30 (1978), 123−130.

154. Thomas E., Sur les applications lineaires 1-sommantes et nikodymisantes, C.R. Acad. Sci. Paris Ser. A 278 (1974), 253−255.

155. Troyanski S.L., On locally uniformly convex and differentiable norms in certain non-separable Banach spaces, Studia Math. 38 (1971), 173−180.

156. Uhl J. J .Jr., A note on the Radon-Nikodym property, Rev. roumaine math, pures. et appl. 17 (1972), no. 1, 113−115.

157. Willis G.A., The compact pproximation property does not imply the approximation property, Studia Math. 103 (1992), 99−108.

158. Wong T.K., On a class of absolutely p-summing operators, Studia Math. 39 (1971), 181−189.