Бирациональные свойства многообразий модулей полустабильных пучков ранга два на проективной плоскости

Актуальность темы

Цели работы. Описание геометрических свойств многообразий модулей стабильных и полустабильных когерентных пучков на алгебраических многообразиях является одним из интенсивно развиваемых направлений современной алгебраической геометрии. Актуальность этого направления обусловлена как задачами внутри самой алгебраической геометрии, так и многочисленными приложениями в дифференциальной геометрии и топологии, глобальном анализе и теоретической физике. Так, многообразия модулей векторных расслоений Е ранга 2 с нулевым первым классом Чжэня на гладкой комплексной проективной поверхности 5, стабильных относительно поляризации Я, индуцируемой проективным вложением поверхности S, в силу соответствия Кобаяши-Хитчина интерпретируются в калибровочной теории как пространства инстантонов, т. е. модулей 5/7(2)-связностей на Е, антиавтодуальных относительно ходжевой метрики дн на поверхности 5, рассматриваемой как гладкое 4-мерное многообразие. Это соответствие имеет нетривиальное продолжение на компактификации алгебро-геометрических многообразий модулей по Гизекеру-Маруяме и соответствующие компактификации по Уленбек пространств инстантонов. Важную роль в этой теории играют бирациональные перестройки многообразий модулей пучков (соответственно, перестройки пространств инстантонов) при бираци-ональных перестройках поверхностей, в частности, при раздутии поверхности в точке 5 5. Первый результат в этом направлении для пучков ранга 1 с нулевым первым классом Чжэня и вторым классом Чжэня С2 = 2 (первый нетривиальный случай), когда соответствующее пространство модулей есть схема Гильберта Hilb25, получен в статье А. С. Тихомирова [14], в которой дано точное описание бирациональной перестройки Hilb2 S Hilb2 S как композиции двух раздутий и одного стягивания с гладкими центрами (см. теорему 1.1.1 ниже). Случай пучков ранга 2 в алгебраической геометрии до настоящего времени оставался открытым, а параллельные результаты в калибровочной теории были впервые получены в диссертации А. Кинга [8] для ранга 3 и выше для инстантонов со вторым классом Чжэня С2 = 1. А. Кинг рассматривает случай некомпактной поверхности, а именно, S = С2 и, соответственно, S есть плоскость С2 с раздутой точкой, и доказывает гипотезу П. Кронхеймера о том, что при г > 2 многообразие модулей SU (г)-инстантонов с зарядом п = 1 на раздутой плоскости С2, пополненное по К. Уленбек (теоретико-калибровочной эквивалент многообразия М (0,1) для пучков ранга г > 2 при п = 1), получается из многообразия модулей инстантонов на С2 раздутием вдоль подмногообразия идеальных инстантонов с особенностью в центре раздутия (теорема 1.1.2).

А.С.Тихомиров в 2002 г. сформулировал гипотезу о том, что в случае, когда S = Р2, для малых значений п второго класса Чжэня и надлежащим образом выбранной поляризации Я на плоскости с раздутой точкой S = Fi многообразие Mj[(0, п) модулей Я-полустабильных когерентных пучков ранга 2 с классами Чжэня с — О, С2 = п на поверхности Fi есть многообразие Мр2(0,п) модулей полустабильных когерентных пучков ранга 2 с классами Чжэня с — 0, С2 = п на проективной плоскости Р2, раздутое вдоль подмногообразия пучков, не локально свободных в центре раздутия Fi —> Р2 -точке xq. Целью настоящей диссертации является доказательство гипотезы А. С. Тихомирова в случае С2 = 2, а также в случае oi — 3 для открытого подмножества Mq многообразия Мрг (0,3), полученного удалением из Мр2(0,3) точек, соответствующих классам изоморфизма пучков Е, имеющих особенность длины lXo (Ew/E) > 2 в точке xq или имеющих особенность в xq, но с l (Evw/E) = 3.

Методы работы и научная новизна. При исследовании применяется конструкция многообразий модулей полустабильных (по Гизекеру) пучков Е ранга 2 на проективной плоскости, в которой многообразие Мрг (с1, сг) реализуется как хороший фактор в смысле геометрической теории инвариантов по действию группы SL (n), п = С2, на подходящем открытом подмножестве G произведения грассмановых многообразий 0(n+ci, 3п) х Gr (n — с — 2, Зп), при этом пучок Е задается как когомологический пучок комплекса Кронек-кера (см. [9], [10]). В работе также используется техника универсальных семейств над подходящей базой, классы S-эквивалентности которых представлены точками многообразия модулей. Существование таких семейств, а также наличие универсального комплекса Кронеккера, когомологическим пучком которого и является универсальное семейство пучков над GxP2, позволяет провести необходимые вычисления и построить универсальное семейство пучков на поверхности Хирцебруха Fi с требуемыми классами Чжэня. Важное место в исследовании занимает техника перестроек Маруямы, которая используется для построения универсального семейства на Fi.

Все полученные в работе результаты являются новыми.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении геометрических свойств многообразий модулей полустабильных когерентных пучков без кручения ранга 2 на алгебраических поверхностях.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии при кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета им. К. Д. Ушинского, на научных конференциях «Чтения Ушииского» (Ярославль, 2004 — 2006 гг.), на Международной научной конференции «Колмогоровские чтения — IV» (Ярославль, 2006 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в статьях [19], [20].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. В первой главе имеется 3 параграфа, во второй — 6 параграфов и в третьей — 4 параграфа.

Список литературы

содержит 20 наименований. Общий объем диссертации — 76 страниц.

1. Barth W. Moduli of vector bundles on the projective planeII Invent. Math. 42 (1977). P. 63−91.2. Brieskorn E. Uber holomorphe? n-Bundel iiber Pi / / Math. Ann.157 (1967). P. 343−357.

2. Brun J., Hirschowitz A. Variete des droites sauteuses du fibre instanton general II Compos. Math. 53 (1984). P. 325−336.

3. EUingsrud G., Gottsche L. Variation of moduli spaces and Donaldson invariants under change of polarization 11 J. ReineAngew. Math. 467 (1995). P. 1−49.

4. Friedman R., Morgan J.W. The diffeomorphism types of certain algebraic surfaces, II11 J. Differential Geometry, 37 (1988). P. 371−398.

5. Huybrechts D., Lehn M. The geometry of Moduli Spaces of Sheaves. Aspects of Mathematics. E 31. Braunschweig: Vieweg, 1997,269 p.

6. Hulek K., Le Potier J. Sur I’espace de modules des faisceaux semistables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur F^ / / Ann.Inst. Fourier, Grenoble, 39, 2 (1989). P. 251−292.

7. King A. Instantons and holomorphic bundles on the blown-up plane. D. Phil. Thesis, Oxford, 1989, 68 p.

8. Le Potier J. Fibres stables de rang 2 sur P2© / / Math. Ann. 241 (1979). P. 217−256.

9. Mumford D., Fogarty J. Geometric Invariant Theory. SpringerVerlag, 1982, 220 p.

10. Room T.G. The geometry of determinantal loci. Cambridge: Univ. Press, 1938, 483 p.

11. Tikhomirov A.S. On birational transformations of Hilbert schemes of an algebraic surface // Matem. Zametki, 73, No.2 (2003). P. 281−294 (Russian). English translation: Mathem. Notes, 73, No.2 (2003).P. 259−270.

12. Tikhomirov A.S. The main component of the moduli space of mathematical instanton vector bundles on P^ // Journal of Math. Sciences Vol. 86 (1997). P. 3004−3087.

14. Оконек К., Ш н е й д е р М., Шпиндлер X. Векторные расслоения па комплексных проективных пространствах. М.: Мир, 1984, 308 с.

15. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1981, 597 с. П У Б Л И К, А Ц И И ПО Т Е М Е ДИССЕРТАЦИИ.

16. Сорокина М. Е, Вирациональные свойства многообразия модулей стабильных пучков ранга 2 с классами Чаюэня с — О, С2 = 3 на поверхности Fi // Ярославский педагогический вест-ник, Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2006, Ж (49). 65−72.76.