Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Таганрогский государственный педагогический институт Физико-математический факультет Кафедра математического анализа

Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора

Курсовая работа студента 3-го курса Колоколовой К.В.

специальности математика Научный руководитель Кандидат физ.-мат. наук, доцент Ляхова Н.Е.

Дата сдачи _______________20__г.

Дата защиты _______________20__г.

Оценка____________________

Научный руководитель ____________________/____________________/

Таганрог 2011

1. Формула Тейлора

1.1 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

1.2 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

1.3 Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора

2. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора

2.1 Изложение метода

2.2 Примеры вычисления пределов с помощью формулы Тейлора Заключение Список литературы

Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу.

Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 — 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4−10 членов разложения в ряд.

Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.

Все вычисления в калькуляторе построены на том, что некая функция хоть и выглядит не очень красивой после разложения в ряд, но за то очень удобно вычислять.

Возьмите например простую функцию sin (x) и вам нужно вычислить допустим sin (134) Как вы это сделаете? А вот разложив эту функцию в ряд, Вы сможете подставить в нее значение Х. При этом теория рядов позволяет узнать сколько членов ряда нужно иметь для заданной точности.

В курсовой показано, как с помощью формулы Тейлора можно легко находить пределы функций.

1. Формула Тейлора

1.1 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

формула тейлор предел функция степенной

Лемма 1. Если функция f (x) имеет в точке х₀ производную n-го порядка, то существует многочлен Р_n(х) степени не выше n такой, что

Р_n(х_о) = f(x₀), (x_o) = (x_o), k = . (1)

Этот многочлен представляется в виде

Р_n(х_о) = f(x₀)+(x-x₀)++ …+. (2)

· Пусть ц (x) = (x - x₀)^m, где m ? N. Тогда ц (x₀) = 0,

ц^(k)(x₀) = (3)

Из (3) следует, что многочлен Р_n(х), заданный формулой (2), удовлетворяет условиям (1). Этот многочлен называют многочленом Тейлора n-го порядка для функции f (x) в точке x₀. *

Лемма 2. Пусть функции ц(x) и ш (х) определены в д-окрестности точки x₀ и удовлетворяют следующим условиям:

1) для каждого х ? U_д(x₀) существуют и ;

2) ц (x₀) = ц'(х₀) = … = цⁿ(х₀) = 0;

ш (x₀) = ш'(х₀) = … = шⁿ(х₀) = 0; (4)

3) ш(х) ? 0, (x)? 0 для х? и для k = .

Тогда для каждого х ? существует точка , принадлежащая интервалу с концами х_о и х такая, что

. (5)

· Пусть, например, x ? (x_о, x_о + д). Тогда, применяя к функциям ц и ш на отрезке [x₀,x] теорему Коши (Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(x)? 0 во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка ? (a, b) такая что

) и учитывая, что ц(x_o) = ш(х_о) = 0 в силу условий (4), получаем

, x₀ . (6)

Аналогично, применяя к функциям и на отрезке [x_o,] теорему Коши, находим

=, x₀ . (7)

Из равенств (6) и (7) следует, что

=, x₀ .

Применяя теорему Коши последовательно к функциям и, и, …

…, на соответствующих отрезках, получаем

где x₀

Равенство (5) доказано для случая, когда x ? (x_о, x_о + д). Аналогично рассматривается случай, когда x ? (x_о — д, x_о). *

Теорема 1. Пусть существует д > 0 такое, что функция f (x) имеет в д - окрестности точки х_о производные до (n + 1) - го порядка включительно.

Тогда для любого х ? найдется точка е, принадлежащая интервалу с концами х_о и x, такая, что

(x-

x₀)++…+

. (8)

· Пусть х ?, Р_n(х) = многочлен Тейлора для функции f (x). Обозначим

r_n(x) = f (x) - P_n(x). (9)

Так как многочлен Р_n(х) удовлетворяет в силу леммы 1 условиям (1), то из равенства (9) следует, что

r_n(x_o) = r'(x_o) = … = (x_o) = 0. (10)

Рассмотрим функции ц (х) = r_n(х), ш (х) = (x-x_о)ⁿ⁺¹. Эти функции удовлетворяют условиям леммы 2, и поэтому для них выполняется равенство (5), т. е.

(11)

так как (х) 0, х) = (n + 1)!. Из равенств (11) и (9) следует формула (8). *

Замечание 1. Функцию r_n(x) = называют остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа. Формула (8) справедлива и при x= x₀.

Следствие. Если функции ц и ш дифференцируемы n раз при х х_о и удовлетворяют условиям , k = , при , то ц (x) > ш (x) при .

· Обозначим f (x) = ц(x) — ш(х). Тогда = 0 при k = = 0, и по формуле (8) получаем Если х > х_о, то е > х_о, = > 0, и поэтому f(x) > 0, т. е. ц(x)> ш(х) при х > х_о. *

Пример 1. Доказать, что:

а) для t? R;

б) (12)

? а) Применяя формулу (8) при n = 2 и x_о = 0 к функции f (t) = sint, получаем, откуда следует, что для t? R.

б) Если f (x) = sin x, то f(0) = f⁽²⁾ = f⁽⁴⁾ =0, f `(0) = 1, f⁽³⁾ = -1, f⁽ⁿ⁾(x) = (sin x)⁽ⁿ⁾ = =sin (x + n ). Применяя формулу (8) при n = 5, получаем

откуда следует правое неравенство (12), так как, очевидно, . Используя формулу (8) для f (x) = sin x при n = 3, x_о = 0, докажем левое неравенство (12). ?

1.2 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Теорема 2. Если существует, то

· Из существования следует, что функция f (x) определена и имеет производные до (n — 1)-го порядка включительно в д-окрестности точки x_о. Обозначим ц(х) = r_n(x), ш (х) = (x-x_о)ⁿ⁺¹, где функция r_n(x) определяется формулой (9). Функции ц (х) и ш (х) удовлетворяют условиям леммы 2, если заменить номер n + 1 на номер n — 1 (см. равенства (10)). Используя лемму 2 и учитывая, что = 0, получаем где е = е (x) и

(15)

Пусть, тогда из неравенств (15) следует, что, и в силу существования существует

= = так как выполняются равенства (10). Таким образом, правая часть формулы (14) имеет при предел, равный нулю, а поэтому существует предел левой части этой формулы, также равный нулю. Это означает, что =, или f (x) — Р_n(х), = = откуда следует равенство (13). *

Замечание 2. Формулу (13) часто называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или локальной формулой Тейлора.

Разложить функцию f (x) по формуле Тейлора в окрестности точки до — значит представить ее в виде (13).

Теорема 3. Если существует и если при

то

· По теореме 2 справедлива формула (13), и так как по условию выполняется равенство (16), то Переходя к пределу при в равенстве (18), получаем =.Отбросив в левой и правой частях этого равенства одинаковые слагаемые и и разделив обе части полученного равенства на, имеем

=.

Переходя в этом равенстве к пределу при, находим f '(x_o) =. Продолжая эти рассуждения, получаем равенства (17). *

Замечание 3. Теорема 3 означает, что представление в виде (16) функции, имеющей в точке х_о производную n-го порядка, единственно: коэффициенты разложения (16) выражаются по формулам (17).

Пример 2. Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки x₀ = 0 до о(х_n).

Воспользуемся равенством (1 + x + … +)(1 — x) = 1 —, откуда = = 1 + x + … ++, где = = о() при 0. Таким образом

= 1 + x + … ++ о(). (19)

Так как функциябесконечно дифференцируема при x? 1 (имеет производные любого порядка), то по теореме 3 формула (19) дает искомое разложение. ?

1.3 Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора

Если x₀ = 0 и существует, то равенство (13) принимает вид о (),. (20)

Формулу (20) называют формулой Маклорена.

Замечание 4. Пусть функция f (x) бесконечно дифференцируема на интервале (- l, l). Если эта функция является четной, то ее производнаянечетная функция, и, наоборот, производная нечетной функции — четная функция. Отсюда следует, что для нечетной функции f выполняются условия = 0, k N, а для четной функции f— условия = 0, k N, так как любая непрерывная нечетная функция принимает при x = 0 значение нуль.

Поэтому формулу (20) для бесконечно дифференцируемой четной функции можно записать в виде

о (),. (21)

а для нечетной функции — в виде о (),. (22)

В формуле (21) остаточный член записан в виде о(), а не в виде о(), так как для четной функции f выполняется условие = 0, и поэтому член многочлена Тейлора, который следует за слагаемым, равен нулю. Аналогично рассматривается вопрос о записи остаточного члена формулы (22).

а) Показательная функция. Если =, то f (0) = 1 и = 1 при любом n. Поэтому формула (20) для функции записывается в виде

= 1 + х + + + … + + о (),. (23)

или б) Гиперболические функции. Так как = sh x — нечетная функция, = ch x, = 1 при k = 0,1,2,…, то по формуле (22) получаем

sh x = х + + + … + + о (),, (24)

или

sh x = .

Аналогично по формуле (21) находим

ch x = 1 + + + …+ +. (25)

или

ch x = .

Замечание 5. Так как sh x =, ch x =, то формулы (24) и (25) можно получить, используя равенство (23) и равенство = +о (), .

в) Тригонометрические функции. Функция f(x) = sin x является нечетной, откуда

= sin (+) = cos =

Поэтому по формуле (22) находим

sin x = х — + + … + + о (), (26)

или

sin x =.

Аналогично, f(x) = cos х — четная функция, = cos (2n) = и по формуле (21) получаем

cos x = l — + +…+ +, (27)

или

cos x =.

г) Степенная функция. Пусть f (x) =, где б R. Тогда =

= б (б — 1)…(б — (k — 1))(1 + x)^{б — k}, откуда получаем = б (б — 1)…(б — (k — 1)). Обозначим

Тогда по формуле (20) получим Отметим важные частные случаи формулы (29).

1) = 1 + x + x² + … + xn +, (30)

или Формула (30) была получена другим способом в п. 2 (пример 2).

2) = 1 — x + x² + … + xⁿ +, (31)

или д) Логарифмическая функция. Если f (x) = 1n (1 + x), то f (0) = 0,

= ,

и по формуле (20) находим

1n (1 + x) = x — +

или

1n (1 + x) =

Заменяя в формуле (32) x на —x, получаем

1n(1 — x) = - x - - — …- + (33)

или

1n(1 — x) =

Пример 3. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки x₀ = 0 до функцию f(x), если:

a) f (x) = б) f (x) =

в) f (x) =ln; г) f (x) =.

а) Применяя формулу (29) при б = -, получаем где Обозначим (2k — 1)!! =), тогда

(34)

Из формулы (34) при n = 3 находим б) Так как, то, применяя формулу (31), получаем в) Используя равенство ln = и формулу (33), находим

ln

г) Так как f (x) = х+3, то, применяя формулу (23), получаем

f(x) = x(

или

f (x) =

т. е.

f(x) = ?

Пример 4. Разложить по формуле Маклорена до o (x²ⁿ +1) функцию

f (x) = cos⁴ x.

· Используя равенство, получаем

cos⁴ x =

откуда по формуле (27) находим

cos⁴ x = ?

Замечание 6. Если существует и известно разложение функции+,

где, то

),

т.е.

),

Пример 5. Разложить по формуле Маклорена до o (x²ⁿ +1) функции:

a) arctg x; б) arcsin x; в) 1n (x +).

· а) Так как-то, используя формулу (31) и замечание 6, получаем

), ,

откуда

arctg x =), (36)

Из формулы (36) при n = 2 находим

(37)

б) Используя замечание 6, равенство (34) и формулу (arcsin x)' =, получаем откуда Из формулы (38) при n = 2 находим

(39)

в) Так как-то, используя замечание 6 и разложение (34), получаем

откуда Из формулы (40) при n = 2 находим

? (41)

Пример 6. Разложить по формуле Маклорена до функции:

а) tg x; б) th x.

· а) Функция tg x является нечетной, и поэтому tg x = а₁х + а₃x³ + а₅x⁵ + +о (x⁶),, где а₁ = 1, так как tg x ~ x при. Используя равенство sin x = =cos x tgx и разложения (26), (27), получаем Приравнивая коэффициенты при и, находим, откуда и поэтому

(42)

б) Так как th x — нечетная функция, то th x = а₁х + а₃x³ + а₅x⁵ ++о (x⁶),

где а₁ = 1 (th x ~ x при). Применяя формулу sh x = ch x th x и используя разложения (24), (25), получаем откуда, сравнивая коэффициенты при и, находим. Следовательно,

.? (43)

Замечание 7. Прием, использованный для нахождения разложений (42) и (43), называют методом неопределенных коэффициентов.

Замечание 8. Разложение функции f(x) по формуле Тейлора (16) заменой

х — х_о = t обычно сводится к разложению функции g(t) = f (х_о +t) по формуле Маклорена (20).

Пример 7. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки х₀ = -2 до о() функцию

· Так как, то, полагая х = t — 2, получаем Применяя формулы (30) и (31), находим

откуда

2. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора

2.1 Изложение метода

Рассмотрим предел при отношения, где f (0) = g (0) = 0, т. е. предел типа

Будем предполагать, что

Тогда разложение функции f по формуле Маклорена (20) имеет вид Аналогично, предполагая, что по формуле (20) находим

Из равенства (44) и (45) следует, что Если m = n, то Если m < n, то если же m > n, то

.

2.2 Примеры вычисления пределов с помощью формулы Тейлора

Пример 1. Найти

· Используя формулы (24), (26), (31) и (42), где

·

sh x = х + + + … + + о (), ;

sin x = х — + + … + + о (),

= 1 — x + x² + … + xⁿ + ;

Откуда получаем Искомый предел равен -4. ?

Пример 2. Найти

· Пусть f (x) и g(x) — соответственно числитель и знаменатель дроби. Тогда, используя формулы (43) и (27), где

.

cos x = l — + +…+ + ,

получаем

g(x)=

Поэтому числитель f (x) следует разложить до Применяя формулы (41), (35) и (25), где

;

;

ch x = 1 + + + …+ + ,

находим Откуда получаем Искомый предел равен -16. ?

Локальная формула Тейлора часто используется при вычисление предела при функции. Если и разложение функции f по формуле Маклорена имеет вид (44) т. е.

а функция представляется при в виде то, используя формулу

получаем Пример 3. Найти

· Используя формулы (39) и (24), где

sh x = х + + + … + + о (), ,

получаем Используя формулы (23), (33) и (42), где

= 1 + х + + + … + + о (),

1n(1 — x) = - x - - — …- +

получаем

=

=

По формуле (46) находим, что

При вычисление предела с помощью формулы Тейлора в конечной точки можем положить и свести задачу к вычислению предела при t = 0.

Неопределенности видов, 0 ?,? —? обычно приводят к пределу типа

Пример 4. Найти

· Обозначим тогда

Полагая, получаем

где при б =, n = 2, получаем Следовательно

что искомый предел Пример 5. Найти

· Используя формулы (23) и (27), где

= 1 + х + + + … + + о (),

cos x = l — + +…+ + ,

получаем Откуда получаем

Заключение

В данной курсовой работе был рассмотрен метод вычисления пределов с помощью формулы Тейлора.

Рассмотренный метод является достаточно эффективный при вычисление пределов.

Список использованных источников

1. Тер-Крикоров А. М. Курс математического анализа. Учеб. пособие для вузов.- 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

2. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Том 1. Издательство «Наука».Главная редакция Физико-математическо Литературы. Москва 1968 г.

3. Ляшко И. И., Бояргук А. К., Тай Я. Г. и др. Справочное пособие по математическому анализу. Ч.1.

Введение

в анализ, производная, интеграл. Киев, издательство объединение «Вица школа», 1978 г.