Формирование у учащихся основной школы умений и навыков доказательных рассуждений при обучении математике

Актуальность. В последние годы проблема совершенствования математического образования стала предметом оживлённых дисскусий, ведутся интенсивные поиски реформирования образования, усиления развивающей и воспитательной роли математики в общем образовании школьников.

Проблема образования сегодня признаётся одной из главных мировых проблем (О.А.Абдулина, Б. С. Гершунский, В. С. Леднев, В, Д. Шадриков и др.).

В работах математиков В. И. Арнольда, Д. В. Аносова, А, Н. Колмогорова, А. С. Столяра, П. М. Эрдниева и др. освещены принципиальные вопросы, связанные с усилением логической основы школьного курса математики.

Государственная политика в сфере образования отражена в федеральной программе «Развитие образования в России», которая предполагает реформирование, модернизацию образования путём внедрения новых, информационных технологий обучения. В научной литературе отмечается, что «модернизация страны опирается на модернизацию образования, на его содержательное и структурное обновление».

Инновации характеризуются существенными изменениями в содержании обучения, введением новых стандартов, переходом на многоуровневую систему профессиональной подготовки специалистов, фундаментализацией образования, сменой традиционной парадигмы образования на личностно ориентированную и, что закономерно, кардинальными изменениями в методах и формах обучения.

Модернизация, сложившаяся в последнее десятилетие в XX в. системы образования возможна на основе единства изменений в институциональной сфере образования, целенаправленно осуществляемых государством через систему нормативно-правовых актов и сущностной модернизации, которая достигается за счет инновационных поисков целевых, содержательных и процессуальных её характеристик с ориентацией их на гуманистическую парадигму образования, т. е. прежде всего — на поиск новых концептуальных основ. В этом двухстороннем процессе роль механизма модернизации выполняют инновационные процессы, в которых проявляется саморазвитие образовательных систем. Под их влиянием изменяется не только отдельные компоненты — цели, содержание, методы и технологии обучения но, прежде всего — сущностная концептуальная основа.

Одной из центральных проблем, стоящих перед педагогической наукой и практикой, является создание единой системы умственного развития школьников.

Мышление формируется в процессе изучения каждого предмета. Далеко не последнюю роль в его развитии играет обучение математике. При этом такая работа успешнее проходит у учителя, который проводит её осознано и целенаправленно.

Как отмечает А. Н. Колмогоров, «ответственность преподавания математики здесь особенно велика, так как знакомство с началами логики практически в значительной мере происходит на уроках математики» [76], стр. 36.

Проблема формирования логических рассуждений, приёмов умственной деятельности при обучении математике состоит не в том, чтобы изучить специально и обособленно логику, как отдельный предмет, а в том, чтобы необходимые элементы стали неотъемлемой частью самого преподавания математики, важным инструментом, повышающим его эффективность и влияние на логическое развитие учащихся. «Необходима мыслительная, логическая программа, которая должна быть реализована в начальных и средних классах школы» (A.A. Столяр [140], стр. 14).

В 1997 году были проанализированы результаты тестирования выпускников 50 стран, в том числе и России, по математике и физике. Сравнительный анализ математической и естественнонаучной подготовки показал, что результаты тестирования математического образования выпускников наших средних школ не утешительны. Россия попала в группу стран, набравших средний балл, существенно более низкий, чем международный. Целью данного тестирования было оценить состояние математической подготовки общеобразовательных средних учебных заведений в сопоставлении с различными системами образования. Проверка проводилась по трём областям:

1. Содержательная — какой понятийный аппарат освоил выпускник в школе? Проверяется не воспроизведение знаний и понятий, принципов и законов, а усвоение фундаментальных понятий, принципов и законов.

2. Процессуальная — сформированы ли интеллектуальные умения, позволяющие проводить логические мыслительные операции и устанавливать причинно-следственные связи при решении повседневных задач.

3. Контекстуальная — может ли выпускник школы использовать знания, полученные в школе при решении повседневных задач, в контексте реальных жизненных ситуаций.

Основной вывод, который был сделан относительно российских школьников: по большинству заданий результаты тестов российских школьников сравнимы со средними международными, однако по второму блоку заданий (процессуальная область) они значительно ниже международных.

По результатам проведенного сравнительного анализа были сделаны и некоторые рекомендации, относящиеся к преподаванию математики в средних учебных заведениях. Перечисляя цели обучения математике, на первом месте указано:

1. За время общего и продолжительного обучения в средней школе следует достигнуть в возможно большей мере воспитательных целей изучения математики, относящихся к интеллектуальной деятельности и формированию характера. Эти цели сводятся к процессам логического мышления (рассуждать, анализировать, абстрагировать, схематизировать, мыслить дедуктивно, обобщать, специализировать, применять, критиковать, и т. д.), к духу наблюдения, пространственные и количественные представления, к интуиции и выражению в абстрактной области, к развитию внимания и способности сосредоточиться, к воспитанию настойчивости и привычки работать упорядоченно и, наконец, к формированию научного духа (объективность, интеллектуальная честность).

Таким образом, умение рассуждать, анализировать, аргументировать, логически грамотно излагать свои мысли, проводить доказательные рассуждения при решении задач является одной из основных целей в процессе обучения математике.

В обучении школьников доказательству важное место принадлежит формированию навыков проведения логических рассуждений. К сожалению, многие школьные учебники математики мало внимания уделяют этому. Это придаёт процессу формирования навыков доказательных рассуждений, логического мышления стихийный, не целенаправленный характер, что в конечном итоге отрицательно сказывается на уровне развития логического мышления у учащихся.

Исследования психологов и педагогов В. В. Выготского, Д. Б. Леонтьева, С. Л. Рубинштейна, Л. В. Занкова, В. В. Давыдова, Н. М. Стоткина и др. показывают, что при определённых условиях можно достичь не только высокого уровня логического мышления, но и общего развития. В традиционном обучении формирование навыков логических рассуждений выступает как желательный, но далеко не предсказуемый продукт обучения.

В психико-методической литературе проблема формирования доказательных рассуждений у учащихся рассмотрена, в основном, применительно к обучению математике в старших классах.

В то же время, всемерное проникновение математических методов во все отрасли науки и практики предъявляет повышенные требования к качеству математической подготовки будущих специалистов.

Обсуждая проблемы математического образования, известный математик Д. В. Аносов пишет: «Сейчас во всём мире происходит существенное увеличение техногенной составляющей в жизни и в профессиональной деятельности каждого человека. Поэтому возрастает значение полноценной математической и естественнонаучной подготовки каждого выпускника школы, а не только будущего специалиста».

Теоретическими исследованиями в области совершенствования преподавания математики занимаются многие отечественные и зарубежные учёные: В. П. Беспалько, П. Я. Гальперин, В. А. Далингер, И. Л. Никольская, В. М. Лернер и др. Обзор научно-педагогической литературы по данной проблеме показывает, что учёными исследуются психолого-педагогические и методические основы развития мышления учащихся (А.В.Усова, Г. Л. Луканкин, Л. В. Виноградова, Л. М. Фридман, Т.А.Кондрашенкова), определяются теоретические основы развития умственных действий школьников (Н.Ф.Талызина), формирования понятий при обучении математике (С.И.Иванов, И. М. Сарро, Л. С. Шварцбурд, Г. Д. Дроздеев, И. Я. Виленкин и др.), развитие логического мышления при изучении различных разделов математики (А.И.Александрова, Б. В. Бирюков, Н. Я. Варнавская, В.И.Крупич).

В диссертационных исследованиях П. И. Самсонова, Г. А. Имановой, Ж. Д. Ахмедова, А. А. Окунева и др. рассматриваются отдельные аспекты, касающиеся специфики математических доказательств, методики обучения индуктивным обобщениям, обучения различным методам доказательств в ходе преподавания математики.

Научить учащихся правильно строить доказательные рассужденияодна из самых сложных задач, стоящих перед учителем математики. Как показывает практика, многие ученики не могут самостоятельно сформулировать утверждения, вытекающие из приведённых ранее рассуждений. Часто в ходе решения учащиеся только намечают схему доказательства, обосновывая некоторые не основные утверждения.

Как правило, учитель больше ориентируется на привитие ученику конкретных знаний и умений, потому что их легко выявить и проверить. Развитию способностей, которые проявятся через несколько лет, не всегда уделяется достаточное внимание. В результате навыки проведения доказательных рассуждений оказываются у многих учащихся совершенно недостаточными.

В начале систематического курса геометрии многие ученики не понимают для чего «доказывают», что такое «доказательство», для них доказательства теорем превращаются в трудные задачи. Отвечая на уроках, рассказывая доказательство теоремы, они в лучшем случае дословно воспроизводят книжные слова.

В настоящее время актуальность темы возрастает в связи с тем, что осуществляемый процесс гуманизации образования предполагает направленность обучения на развитие личности, в частности, на формирование нравственности, чему способствует обучение доказательству.

Всё сказанное обосновывает актуальность проблемы исследования: поиск путей и средств формирования умений и навыков доказательных рассуждений при обучении математике в основной школе.

Целью исследования является обоснование и разработка методики формирования умений и навыков доказательных рассуждений у учащихся 5−9 классов.

Объект исследования — процесс обучении математике в основной школе.

Предмет исследования — формирование у учащихся 5−9 классов умений и навыков проведения доказательных рассуждений при обучении математике в основной школе.

Гипотеза исследования заключается в том, что можно повысить эффективность формирования умений и навыков проведения доказательных рассуждений у учащихся 5−9 классов, если обучение математике вести по разработанной нами методике.

Теоретико-методологическую основу исследования составили идеи, фундаментальные положения.

• психологических и педагогических теорий деятельности и личности (Л.С.Выготский, П. Я. Гальперин, Т. Н. Леонтьев, В. В. Давыдов, Н. В. Талызина, И. С. Якиманская и др.);

• в области теории развивающего обучения (Н.Я.Виленкин, В. В. Давыдов, Л. В. Занков, Н. А. Менчинская, Д. В. Эльконин и др.);

• в области новых педагогических технологий теории педагогических систем (В.П.Беспалько, В. М. Монахов, Н. М. Скаткин и др.);

• в области педагогической диагностики (К.Ингенкамп, М. В. Кларин, В. М. Монахов и др.);

• основополагающие идеи методистов — математиков (А.А.Столяр, А. М. Пышкало, П. М. Эрдниев, Г. И. Саранцев и др.).

Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы исследования потребовалось решение следующих задач:

1. Выявить психолого-педагогические и методические основы формирования у учащихся умений и навыков проведения доказательных рассуждений в процессе обучения математике.

2. Разработать методику формирования умений и навыков доказательных рассуждений у учащихся основной школы.

3. Разработать систему упражнений для целенаправленной подготовки учащихся к проведению доказательств и методику внедрения ее в учебный процесс.

4. Разработать и экспериментально проверить систему упражнений и методику формирования умений и навыков доказательных рассуждений.

Для решения поставленных задач и проверки гипотезы применялись следующие методы исследования: изучение и аналитический отбор философской, психолого-педагогической и методической литературы, анализ существующих программ, учебников и методических пособий по математике, наблюдение за деятельностью учителей и учащихся, индивидуальные собеседования с учащимися, учителями, анкетирование, тестирование, педагогический эксперимент, методы математической статистики.

Научная новизна заключается в том, что — теоретически обоснованы и практически подтверждены возможные пути и средства формирования у учащихся основной школы умений и навыков доказательных рассуждений в практике обучения математике;

— разработаны приемы формирования умений навыков доказательных рассуждений у учащихся основной школы и методика их реализаций в практике обучения математике.

Теоретическая значимость заключается в том, чтовыявлены научно-методические аспекты формирования у учащихся основной школы умений и навыков доказательных рассуждений при обучении программному материалу по математике;

— определены пути и средства обучения доказательным рассуждениям, которые могут быть базой при усовершенствовании методики обучения математике.

Практическая значимость состоит в том, что результаты исследования и разработанная система упражнений могут быть использованы в практике учителей и методистами при совершенствовании программ, учебников и методических пособий для школ, педколледжей.

Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечивается опорой на основные положения в педагогике и психологиина разнообразные методы исследований, статистические методы обработки результатов экспериментовна многократные проверки теоретических выводов, практических рекомендаций в опыте работы учителей школ.

Апробация и внедрение результатов исследования проводились в течении ряда лет как в сельских, так и в городских школах, в частности: СОШ № 37 г. Махачкала, СОШ № 33 г. Махачкала, Усемикентская СОШ Каякентского района.

Решение поставленной задачи выполнялось в течение шести лет.

На первом этапе (1999 — 2000гг) были определены предмет, цель и задачи исследования, проводились наблюдение и анализ психологопедагогической и методической литературыготовилось и выборочно проводилось экспериментирование методических рекомендаций.

На втором этапе (2001 — 2003гг) разработаны и определены основные положения предлагаемой методики, а также материал для более широкой экспериментальной проверки. На этом этапе проводился педагогический эксперимент, в котором проверялись наши предложения и рекомендации, обобщались его результаты и вносились коррективы в требования к отбору содержания, в систему упражнений, в методические рекомендации.

На третьем этапе (2004;2005 гг.) проводилась обработка полученных в ходе дидактических экспериментов результатов на основе методов математической статистики: анализ, систематизация, обобщение, содержательная интерпретация, оформление выводов диссертационного исследования.

Основные положения, результаты и материалы исследования докладывались и обсуждались на ежегодных научно-практических конференциях преподавателей и сотрудников ДГПУ, на методических секциях учителей г. Махачкалы, на встречах со студентами Дагестанского государственного педагогического университета, на учебно-методических семинарах кафедры методики преподавания математики и информатики математического факультета ДГПУ, материалы исследования были использованы преподавателями при подготовке студентов к курсовым и дипломным работам.

По результатам исследования были опубликованы следующие материалы:

1. О воспитании логической грамотности при введении основных понятий геометрии. Сб. Актуальные проблемы математики, информатики и их методик преподавания. ДГПУ, 2005.

2. Учебно — тренировочный материал по математике для учащихся V — IX классов, г. Махачкала 2006 г.

3. Задачи как средство развития логического мышления учащихся. СБ. Вопросы науки и образования. ДГПУ, 2005.

4. Об уровне строгости в школьной геометрии. СБ. Высшее профессиональное образование в РД: Проблемы, тенденции, перспективы. Вып.2 РГПУ им. Герцена. СПб: 2006 г.

5. Об использовании информационных технологии в преподавании. Сб. Российское образование в XXI веке: проблемы и перспективы, г. Пенза, 2006 г.

6. На защиту выносятся:

1) Обоснование целесообразности и возможности подготовки учащихся к проведению доказательных рассуждений при обучении математике.

2) Система задач и упражнений, способствующих формированию умений и навыков доказательных рассуждений, и методика её реализации.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

Заключение

.

Целью нашего исследования явилось научное обоснование подготовки учащихся к проведению доказательных рассуждений для её реализации при обучении математике. Мы предполагали, что уровень математической подготовки учащихся будет выше, если, начиная с пятого класса, будет обращено внимание учителя математики на подготовку учащихся к проведению доказательных рассуждений, на развитие их логической культуры. Для реализации поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решение следующих задач:

1) провести анализ литературы и разработку вопросов развития логической культуры учащихся;

2) разработать систему упражнений и методических рекомендаций для реализации концепции формирования доказательных рассуждений на всех этапах обучения математике;

3) оценить её эффективность;

4) вносить разработанную технологию в учебный процесс.

Глава I диссертационного исследования посвящена решению первой и частично второй задач. Была изучена и осмыслена научно-педагогическая литература по теории развития умственной деятельности при обучении математикеразличные приемы поиска доказательных рассужденийпо управлению процессом развития математического мышленияисследована проблема математического контроля за процессом формирования доказательных рассуждений и сформулированы требования для решения этой проблемы на всех этапах обучения.

Решению остальных задач исследования посвящена Глава II. Разработана система упражнений и методических рекомендаций по различным разделам школьной математики.

Основным методическим обеспечением курса математики служат системы целенаправленных упражнений. В диссертации выявлена возможность использования упражнений в качестве средства формирования математических понятий, навыков доказательных рассуждений на различных уровнях.

Педагогический эксперимент, проводившийся диссертантом в период с 1999 по 2005 годы в различных школах города и республики, и статистическая обработка его результатов подтвердили исходную гипотезу. Было показано, что уровень подготовки учащихся к проведению доказательных рассуждений значительно выше, если реализовать предложенную методику обучения математическим доказательствам.

Таким образом, в диссертационном исследовании:

1. Изучена возможность формирования навыков проведения рассуждений в процессе обучения математике.

2. Выявлены требования к организации учебного процесса в 5−9 классах и педагогического контроля за развитием доказательных рассуждений учащихся.

3. Определена роль упражнений в формировании умений и навыков проведения доказательств и методика их подбора на разных уровнях подготовки.

4. Предложена система упражнений и методика управления процессом формирования доказательных рассуждений через различные приёмы умственной деятельности. Методические рекомендации, предложенные автором, могут быть использованы в процессе обучения математике в разных классах, на всех этапах обучения.