10.2 Основные уравнения.116.
10.3 Численный метод.120.
10.4 Результаты исследований.123.
10.4.1 Верификация метода.123.
10.4.2Роль первого фактора нелинейности.127.
10.4.3 Роль второго фактора нелинейности.131.
10.4.4Роль третьего фактора нелинейности.131.
10.4.53аключение.131.
11 Применение вихревого метода для расчета гидродинамических характеристик (ГДХ) подводных крыльев. 135.
11.1 Решение двумерных нелинейных нестационарных волновых задач вихревым методом.135.
11.1.1 Верификация вихревого метода.136.
11.1.2Гидр о динамические характеристики крыльевых профилей в условиях сильного нелинейного взаимодействия со свободной поверхностью.138.
11.2 Исследование трехмерных нелинейных стационарных волновых задач вихревым методом.146.
11.2.1 Верификация метода.148.
99 102.
103 103 107.
11.2.2 Роль нелинейных факторов при расчете волнового следа быстроходных судов.156.
11.2.3 О взаимном влиянии концевых вихрей и волновой поверхности.159.
12 Динамика концевых вихрей над экраном. 165.
12.1 Введение.165.
12.2 Динамика вихревого шнура в ближнем вихревом следе крыла.168.
12.2.1 Особенности вихревого следа экраноплана.. 168.
12.2.2 О возможном подъеме концевого вихря над экраном.170.
12.3 Неустойчивость и динамика концевых вихрей над твердой поверхностью в идеальной жидкости. Дальний вихревой след.177.
12.3.1 Линейная теория устойчивости концевых вихрей над твердой поверхностью. .177.
12.3.2 Нелинейная динамика концевых вихрей над экраном в идеальной жидкости.186.
12.3.3 Заключение.188.
12.4 Время распада вихревого следа над экраном при больших высотах полета.190.
12.5 Взаимодействие двумерного вихря с твердой стенкой в вязкой жидкости.193.
12.5.1 Введение.193.
12.5.2 Особенности численной схемы.196.
12.5.3 Результаты расчетов.197.
12.5.4 Заключение.206.
12.6 Трехмерная неустойчивость концевых вихрей вблизи экрана в вязкой жидкости.206.
12.6.1 Особенности численной схемы.212.
12.6.2 Результаты численных исследований.213.
12.6.3 Заключение. Сценарий распада вихрей вблизи экрана вследствие длинноволновой конвективной неустойчивости.217.
13 Расчет отрывного обтекания двумерного контура потоком вязкой жидкости. 220 13.1 Особенности численной схемы.220.
13.2 Тестовые расчеты.224.
14 Перезамыкание вихревых линий в вортонных системах227.
Заключение
.
Часть I.
Результаты исследования.
Расчеты, выполненные для вихря с циркуляцией Г = 0.5 при различных высотах полета H и радиусах сг, представлены на рис. 3.46 и 3.47.
По результатам исследования можно сделать следующие выводы i) Подьем концевого вихря вблизи экрана предсказан аналитически и подтвержден численными расчетами ii) При малых высотах полета численные и асимптотические результаты для подьема вихря согласуются неудовлетворительно. Асимптотическая модель дает завышенные результаты по сравнению с численной моделью для подьема вихря при малых высотах полета Н. Причина разногласия результатов состоит в неточности асимптотической модели локальной самоиндукции и предположении H ~ 0(1) — Согласование двух моделей для бокового движения приемлемо для всех высот полета Н. iii) Чем меньше H и радиус вихря, тем больше подьем вихря. Численные расчеты при H < 0.5 и, а < 0.01 не удались из-за сильной неустойчивости, порожденной самоиндукцией. Представленные на рис. 3.46 и 3.47 результаты получены при реальных значениях Hua. iv) С практической точки зрения подьем вихря незначителен, но на расстояниях одной-полутора хорд крыла он сравним по величине с опусканием концевого вихря, порожденным индукцией противолежащего концевого вихря. При размахе более двух хорд самоиндукция вихря может полностью нейтрализовать индукцию противолежащего концевого вихря. Следовательно, в практических методиках расчета взаимодействия крыла экраноплана и его горизонтального оперения типа предложенной в диссертации [66] можно по праву пренебречь взаимной индукцией концевых вихрей вблизи экрана, предполагая, что она нейтрализована самоиндукцией, возникающей на криволинейном шнуре.
13.3 Неустойчивость и динамика концевых вихрей над твердой поверхностью в идеальной жидкости. Дальний вихревой след.
13.3.1 Линейная теория устойчивости концевых вихрей над твердой поверхностью.
Рассмотрим два концевых вихревых жгута Ьт, т = 1,2 равной, но противоположной по знаку циркуляции Г (Рис. 3.48) над твердой поверхностью (экраном). Взаимная индукция концевых вихрей приводит к опусканию вихрей в вертикальном направлении, которое при малых высотах полета к вследствие влияния стенки незначительно. Воздействие стенки на малых высотах полета к вызывает отклонение вихрей в боковом направлении. В данном анализе этот фактор не учитывается, и в дальнейшем будет показано, что он не существенно сказывается на результатах. Поэтому анализ линейной устойчивости проводится для модельной задачи, в которой два спутных вихря расположены в плоскости параллельной экрану на высоте к, и расстояние между вихрями равно Ь. Рассматриваются процессы распада вихревого следа в дальнем поле и индукцией крыла, генерирующего спутные вихри, пренебре-гается. Экран будем учитывать методом зеркального отражения. Скорость, индуцированная в произвольной точке рп = хп{—у^—гпк п — ого вихревого шнура, определяется законом Био-Савара: Г т=1.
Рт ~ Рп) дрт — х ^ йхг рт — Рп дхг,.
От — 2кк — 2к (ртк) — рп) др. х I.
-°о |Рт — - 2к (ртк) — рп дх 2%длт)йХг иХ-пг.
Сообщил! вихревой системе малые возмущения:
3.26).
Рт ~ $Рт, 5рт = Ы + (тк (3.27).
Подставив (3.27) в (3.26) ., получим выражение для линейной по возмущениям части приращения скорости:
Г 2 Г г га=1 ^.
8р т. — 6рп) др, х р^-рп°3 дх.
— гТ 0 .г.
— Ъ.
Рис. 3.48 Геометрические характеристики течения.
Яе (ск) 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0.
0.4 0.8 1.2 1.6 0. 0.4 0.8 1.2 1.6 0. 0.4 0.8 1.2 1.6 /3.
Рис. 3.49 Зависимость вещественной части собственного числа, а от безразмерной частоты 0.
1 1 1 1 Н=1.5 /т (а) ^ 1111 Н=0.575: 0 ПА а.: II: .'•^, 33 1 1 Н=0.5 (а) = 0 -= 0.063.
Н=0.475 о 1 :1 ' (1 1 Н=0.438 л — ]1}, Н=0.375 Л, А: 1 м.
5рт — 2к (т — 8рп) др х 0 ихт-ос р?-2кк-рп°* дхг ОО.
Я=1 — - 2Ш,|5 ахг т рш — Рп° - 2ккъа))йхт, (3.28) где Ьх = О, Ь2 = 1.
В дальнейшем предполагается, что:
Линеаризованное уравнение эволюции возмущений имеет вид [24].
— д8рп -+ = (3.30).
Подставляя (3.28),(3.29) в (3.30) получаем интегро-дифференциальное уравнение для эволюции возмущений, которое из-за громоздкости здесь не приводится. Рассмотрим экспоненциальное решение этого уравнения вида 6рп (х, 1) = 8р*еаг+гкХп. В результате предполагаемой экспоненциальной формы решения интегродифференциальное уравнение эволюции возмущений сводится к системе линейных алгебраических уравнений для компонент вектора 8р*, п = 1,2:
А + а1) В = 0, (3.31) где: В =, (*, (*), А = К), а = 2&trade-62/Г, аи = 4Я/(1 + 4Я2)2, а12 = -6ЯХо (/1 + 4Я2),.
ЛТТ2 ЛТТ а13 = -р2ш + ф (2Н) — ¼Н2 — 12Я2Хо (2Я) + —— + 2.
1 + 4Я2 (1 + АН2)2 «Х4 = -М (1) — ФЫТТШ2) + 12Я2хо (^1 + 4Я2)], 2.
4 Я2 1 + 4Я2 (1 + 4Я2)2 «32 = -[Ф (1) — ФЫ1 + 4IP) + 3xo (VT+HP) — 3Хо (1)],.
21 = —"12, «22 = — All, «23 = — «14) «24 = —"13, «33 = —"11, «34 = «12, «41 — — «32, «42 = —"31, «43 = —"34, «44 = —"33, с f°° cos ж + ж sin ж —1 Z» 00 cos/? ж = Js -?3-dx, Xo (f}, y) = JQ (x2 + y2)5j2dx, cos (3x COS/Зх + ^xsin/3×1.
Х (Р>У) = / / 2 I 23/2dx^(P^yj= / -/ 2 I 23/2-dx,.
Jo (ж + У2)3'2 Jo (ж2 + y2f'2 где /3 = kbбезразмерное волновое число, I — единичная матрица, 6 — безразмерное расстояние среза, введенное для учета самоиндукции вихрей, Я — h/b. Согласно [24] 8 = 0.321 с/З/Ь, где с — диаметр вихревого жгута. Из единственности решения уравнений (3.31) находятся значения безразмерного коэффициента усиления а.
В случае Я —> со уравнения (3.31) переходят в аналогичные уравнения, полученные Кроу [24]. В этом случае можно скомбинировать собственные векторы 8р*, представив суммарное движение состоящим из набора симметричных и несимметричных относительно диаметральной плоскости движений. Как показано в [24], доминирующей неустойчивостью оказывается длинноволновое симметричное колебание. Для крыла эллиптической формы в плане были получены следующие величины: ?3 = 0.73, а = 0.83, L = 8.66. Возмущенные вихри располагаются на фиксированных плоскостях, наклоненных к горизонтали под углом г? примерно 48 градусов. При Я —> 0 система (3.31) асимптотически стремится к системе aril + «13С1 = 0 or] 2 + а24(2 = 0 «31??1 + а<�Г = 0.
42 Ъ + «С2* = 0 (3.32).
13 = -И2 + ф (2Н) — ¼Я2 — 12#2Хо (2Я)], «31 = — [—си/92 + ф (2Н) — ¼Я2].
Как видно из (3.32), влияние концевых жгутов друг на друга при Н —> 0 исчезает. Неустойчивость определяется взаимодействием с зеркальными вихрями. Повсюду при Н —" 0 и с/(26) < Н плоскости, содержащие любое максимально неустойчивое колебание, наклонены к горизонтали под углом примерно — 42 градусов. При Н —" 0 размерный максимальный коэффициент усиления возмущений, а стремится к бесконечности как ~ 1/Н2.
В промежуточной зоне 0 < Н < оо при реальных значениях с существует несколько экстремумов в зависимости а (/3) (Рис. 3.49). В дальнейшем под «(/?) понимается максимальное для данного /3 вещественное значение собственного числа. При больших Н в области низкочастотных возмущений появляется максимум (пунктир), соответствующий взаимодействию концевых вихрей с зеркальной системой. Собственное число, а системы (3.31) и собственный вектор, соответствующие этому максимуму, являются комплексными и между компонентами собственного вектора существует разность фаз. С уменьшением Н этот максимум растет и смещается в сторону высокочастотных колебаний. Неустойчивость, соответствующая этому максимуму, представляет собой раскручивающийся спиралевидный вихрь. Максимум вещественного решения соответствует колебательному движению вихря в наклонных плоскостях. При уменьшении Н этот максимум смещается в сторону коротких волн и при Н ~ 0.5 вырождается, затем вновь растет и при Л < 0.438 начинает доминировать. В диапазоне 0.438 < Н < 0.575 преобладает максимум комплексного решения. При Н — 0.5 в зоне длинноволновых возмущений рождается второй максимум вещественного решения. При снижении Н этот максимум растет и смещается к коротким волнам. При Н < 0.3 существует только один экстремум, соответствующий вещественному собственному числу.
Таким образом, линейный анализ предсказывает существование трех зон неустойчивости вихревых шнуров над экраном (Рис. 3.50). В верхней зоне 0.575 < Н < со неустойчивость, подобно неустойчивости Кроу, развивается в плоскостях, наклоненных под углами 33 и 42 градуса при Н = 0.575 и 48 градусов при Н = оо, соответственно (Рис. 3.51). Следует отметить отсутствие симметрии в развитии следа относительно диаметральной плоскости аппарата в зоне действия экранного эффекта. Контакт концевых вихрей в этой зоне Н, по прогнозам линейного анализа, происходит ниже плоскости несущего крыла в пределах его размаха.
Рис. 3.50 Схема неустойчивости концевых вихрей вблизи экрана аг.
Рис. 3.51 Плоскость развития неустойчивости при различных высотах полета Л. Точечные линии: 1 — И = 0.2,2 — 0.313,3 — 0.375,4 — 0.438,5 — 0.575- 5—зона спиралевидной неустойчивости. Н.
Рис. 3.52 Зависимость наибольшей части вешествекяого числа, а от безразмерной высоты Н. ш.
Схема распада вихревого следа в верхней зоне та же, что и за летательными аппаратами в безграничной среде. При Я = 0.575 точка контакта концевых вихрей находится на экране. В нижней зоне при Я < 0.4 концевые вихри взаимодействуют очень слабо. Неустойчивость подобна симметричной неустойчивости Кроу и определяется взаимодействием с зеркальными вихрями. Вихревые шнуры дробятся на вихревые структуры более мелкого масштаба посредством взаимодействия с экраном [121]. Интенсивность роста возмущений в этой зоне максимальна. Вихревой след крыла Л = 4 разрушается в симметричные волны длиной около 2.66 при Я = 0.4, что почти в 3.3 раза короче, чем волны неустойчивости за самолетом [24]. Масштаб времени неустойчивости в 6 раз меньше соответствующего масштаба времени неустойчивости следа за крылом самолета и при Я ~ 0 может быть сравним с масштабом времени сворачивания вихревой пелены. Чем меньше высота расположения вихрей, тем больше интенсивность роста возмущений (Рис. 3.52) и частота, соответствующая максимальному вещественному собственному числу. Соответствующая длина волны возмущений уменьшается при Я —> 0 (Рис. 3.53).
Вернемся к вопросу о состоятельности используемой модели концевых вихрей, в которой пренебрегается боковым отклонением вихрей. Можно заключить, что развиваемая здесь теория асимптотически корректна при больших высотах полета Я —> оо. Теория также асимптотически корректна при малых высотах полета Я —" 0, так как в этом случае взаимодействие между двумя концевыми вихрями не существенно по сравнению с взаимодействием вихря и экрана. В этом случае ориентация вихря в горизонтальной плоскости не играет роли. Рассмотрим средние высоты полета. Пусть вихрь заклинен к оси ох под углами «&-у и которые могут быть оценены следующим образом.
Г 4Я2 -Г 1.
V, ~ ——г. ."", V2.
2тгЛ1 + 4 Я2' 4тгЯА1 + 4Я2' где циркуляция Г обезразмерена по хорде крыла. Можно посчитать и убедиться, что углами ду и можно пренебречь в интервале 0.1 < Н < 1.5 для типичных крыльевых конфигураций самолетов и экранопланов. Таким образом, вихревую модель линейного анализа можно считать обоснованной.
В промежуточной узкой зоне 0.438 < Я < 0.575 имеет место н.
Рис. 3.53 Зависимость частоты возмущения, соответствующего моде с максимальным вещественным 'собственным числом, от безразмерной высоты Н. спиралевидная неустойчивость вихря. Эта зона является буферной зоной между двумя типами решения, двумя типами распада вихревых следов над экраном. Рост возмущений в буферной зоне минимален (Рис. 3.52). Как следует из проведенных систематических расчетов, величина диаметра шнура в реальном диапазоне его изменения слабо влияет на результаты.
13.3.2 Нелинейная динамика концевых вихрей над экраном.
Линейная теория устойчивости не может описать полную картину процесса эволюции возмущений в сложных системах. Поэтому для оценки поведения вихрей при конечных возмущениях выполнено исследование нелинейной неустойчивости вихревых шнуров с помощью численного метода вихревых частиц-вортонов.
Из уравнений переноса завихренности и трактории жидких частиц может быть получена следующая численная схема, определяющая динамику вихревых частиц в идеальной жидкости (см., например, (2.52)) где ш — вектор завихренности, АЬ — шаг по времени, X— лагранже-ва координата жидкой частицы, V— скорость частицы. Вихревые трубки заменим совокупностью М сферических вихревых частиц-вортонов с радиальным распределением завихренности: где иа— значение Со в центре частицы, а— радиус ядра распределения (радиус вихревой трубки), г— радиус-вектор, отсчитываемый от центра частицы.
Уравнения (3.33 -3.34) для частиц-вортонов имеют следующий вид: в идеальной жидкости й{ь + Аг, х) = X) + х) Ч)ь (г, х) Аг г{г + аь) = г (г) + Щ дг,.
3.33).
3.34).
3.35).
Зе ^ ' (ГгГцУа 47 Г з -§—5—)> га = ~ = (3−36).
1 м г* АО = +? — (3.37).
Деформация вихревой трубки приводит к деформации ее поперечного сечения. При этом согласно теореме Гельмгольца циркуляция поперечного сечения трубки I остается постоянной. Из этого условия можно получить соотношение для изменения радиуса трубки: т (£ + = а г) у/1ЩЩТ+М) (3.38).
Практически расчет по схеме (3.36 -3.38) сводится к следующим операциям: а) При£ = 0 задаются начальные условия Со (Х, 0), г (X, 0) = Х, сг (Х, 0) — б) при t =? + по формулам (3.36 -3.38) рассчитываются новые значения ?3, г, сгв) осуществляется сплайновая аппроксимация вдоль осевой дуги вихревого шнура г (з), сг (з), где 5— длина дуги. Находится новая система вортонов, расположенных вдоль осевой дуги, с учетом плотной упаковки и отсутствия наложения вортонов друг на другаг) переход к следующему шагу по времени.
В численных расчетах, результаты которых представлены на Рис. 3.54, рассматривалось неустойчивое поведение бесконечного шнура с циркуляцией / = 0.5 и радиусом ядра 0.04 на высоте к = 0.1. Целью расчетов было исследование неустойчивости на малых высотах .При этом, как показал линейный анализ, влиянием второго концевого вихря можно пренебречь. В качестве начального условия было выбрано гармоническое возмущение оси шнура с амплитудой 0.02, соответствующее при этих параметрах максимально неустойчивой гармонике, определяемой по линейной теории устойчивости. Как показывают расчеты нелинейной эволюции, можно выделить несколько характерных стадий развития неустойчивости вихревого шнура над экраном (Рис. 3.54). Вслед за линейной стадией следует нелинейная стадия, на которой происходит растяжение участков шнура, расположенных ниже его невозмущенного положения. Синусоидальность вихревого шнура нарушается. Как и предсказывает линейная теория, шнур сближается с твердой поверхностью. В расчетах фиксировалось минимальное расстояние 0.001. В зоне контакта шнура с экраном возникает интенсивное вихревое растяжение (Vortex stretching). Длина шнура интенсивно растет (по оценкам Siggia [165] возрастает до бесконечности за конечный промежуток времени), а его поперечное сечение и расстояние до экрана уменьшается. В реальности на этой стадии существенно влияние вязкости, которая ликвидирует растянутые зоны контакта. При сближении двух вихрей в свободном потоке также образуется перемычка, которая исчезает за счет диффузии завихренности противоположного знака. Над экраном роль второго вихря играет индуцированный пограничный слой. Взаимная диффузия вихря и пограничного слоя приводит к перезамыканию вихря на твердую поверхность. В рамках данного раздела вязкость не рассматривалась. Для того чтобы прогнозировать процесс на следующих стадиях, была искусственно ликвидирована часть вихревого шнура, стелящаяся по твердой поверхности. Эту процедуру можно рассматривать как косвенный учет вязкости или искусственное моделирование процесса перезамыкания. На этой стадии вихревой шнур превращается в шпилькообразные вихревые структуры [57]. Поле скоростей, индуцированных зеркально-отраженной вихревой системой, приводит к сжатию горловины и образованию замкнутых вихревых структур в окрестности твердой поверхности.
Заключение
.
Представленная диссертация была посвящена дальнейшему развитию и применению эффективной и многообещающей технологии решения проблем гидродинамики — вычислительному методу вихревых частиц.
В плане развития вихревого метода и его алгоритмов автором были решены следующие задачи:
• Предложен метод аппроксимации трехмерного вихревого поля набором вихревых частиц с учетом условия соленоидальности 8.
• Разработан метод аппроксимации ограниченного трехмерного вихревого обьема набором вихревых частиц с учетом условия соленоидальности.
• Получены базовые расчетные формулы для ряда новых вихревых частиц (вихревые параллепипеды, эллипсоиды, экспоненциальные вортоны).
• Получена схема расщепления уравнений Навье-Стокса в контексте вычислительного метода вихревых частиц.
• Предложен способ учета граничных условий на твердой и свободной поверхностях в рамках полученной схемы расщепления.
• Разработан численный метод расчета задач динамики вязкой жидкости с помощью вычислительного метода вихревых частиц.
8совместно с М. А. Васиным.
Рис. 3.85 Объяснение механизма в изф ев ©-го перезамыкания в вортонных системах.
2 36.
• Разработан численный метод вихревых частиц для расчета задач динамики вязкой турбулентной жидкости в рамках метода крупномасштабного моделирования вихрей (LES).
• Рассмотрена устойчивость вихревых методов по Нейману [159]. Предложена процедура регуляризации задачи динамики тонкой вихревой пелены. Предложен новый способ снижения сингулярности и повышения устойчивости при расчете динамики системы дискретных вихрей.
• Предложены новые численные методы расчета волновых движений в идеальной жидкости на основе вихревого метода.
В сфере применения вихревых методов были получены следующие новые результаты:
• Обнаружены три новые типа неустойчивости вихревых шнуров вблизи твердой поверхности. Теория конвективной неустойчивости концевых вихрей обобщена на случай движения вблизи поверхности земли.
• Представлены оценки продолжительности существования следа на больших отстояниях от стенки.
• Исследовано взаимодействие концевых вихрей с твердой стенкой в вязкой жидкости. Предложен сценарий распада концевых вихрей над экраном.
• Предсказана возможность подьема концевого вихря над твердой поверхностью в ближнем следе низколетящего крыла.
• Доказана необходимость учета нелинейных граничных условий на свободной поверхности при расчете гидродинамических характеристик быстроходных судов.
• Исследовано взаимное влияние волновой поверхности и концевых шнуров. Обнаружено явление сцепления вихрей и продольных волн.
• Моделирование перезамыкания в вортонных системах.
• Разработана и апробирована новая версия метода вихревых частиц для случая отрывного обтекания цилиндра.
• Выявлены основные факторы нелинейности гидроаэродинамических характеристик крыльев вблизи границы раздела.
Поскольку диссертация была во многом направлена на разработку новых численных схем, в тексте работы содержатся многочисленные примеры верификации методов путем сравнения полученных результатов с экспериментом, точными решениями и результатами, полученными иными численными методами.
Практическая ценность работы состоит в разработке методов, алгоритмов и промышленных программ для расчета гидроаэродинамики быстроходных судов. Эта часть работы имела не условное формальное, а фактическое внедрение в промышленность.
Отдельные этапы работы неоднократно докладывались на конференциях и семинарах Морского Технического университета, ЦНИИ им. А. Н. Крылова, НТО Судпрома, ЦАГИ, института океанологии РАН, Технического Университета Брауншвайга (Германия), Исследовательского института Судостроения (Южная Корея). Работа была представлена на международных конференциях в Германии, США, Японии, Южной Кореи, Израиле и России: IUTAM Symposium on Dynamics of slender vortices 1997, Евромех Коллоквиум 315 1994, Немецкий аэрокосмический конгресс 1996, FAST 1993, HPMV 1992, Workshop on «WIG Crafts 1995, 27-я Израильская конференция по механике 1998, международные конференции по экранопланам 1993 и 1994, симпозиум памяти A.M. Васина 1995 и конференция, посвященная трехсотлетию Российского флота 1994. По материалам диссертации опубликовано около 30 статей, в том числе шесть из них в отечественных и международных реферируемых журналах.
В качестве своих ближайших перспектив в развитии и приложении метода вихревых частиц автор отмечает следующие направления:
• Применение и дальнейшее развитие метода вихревых частиц для исследования турбулентного движения жидкости в рамках феноменологических моделей и метода LES. Построение чисто вихревых внутрисеточных моделей.
• Применение метода вихревых частиц для расчета вязкого отрывного обтекания крыльевых конфигураций. Создание промышленных программ.
• Дальнейшие исследования в области трехмерного взаимодействия концевых вихревых шнуров и твердой стенки. Включение моделей турбулентности. Получение новых результатов для вихревых конфигураций различного типа и при различном состоянии окружающей среды.
Автор является представителем научной школы кафедры гидромеханики Ленинградского кораблестроительного института, где он начал заниматься вихревыми методами под руководством проф. B.K. Трешкова. Тематика исследований также во многом определилась благодаря сотрудничеству автора с проф. М. А. Васиным. В работе использовались материалы кандидатских диссертаций В. Г. Щигунова и А. Е. Таранова. Отдельные этапы данной работы финансировались ЦКБ по СПК, АО Технологии и транспорт, MTD Limited, Фондом Александра Гумбольдта и РФФИ. Всем им автор выражает свою искреннюю благодарность.
