Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений с двумя малыми параметрами

Дифференциальные уравнения с малыми параметрами при старших производных возникают при моделировании и исследовании ряда физических, биологических, химических явлений и процессов. Подобного рода уравнения встречаются также в теориях автоматического регулирования, нелинейных колебаний, в газовой динамике, при описании гироскопических систем. Эти уравнения называют сингулярно возмущенными. Их особенностью является то, что порядок вырожденного уравнения, получающегося из исходного при нулевых значениях параметров, ниже порядка исходного уравнения. Вследствие этого решение вырожденного уравнения не может удовлетворить всем условиям, заданным для первоначального уравнения. Для достаточно широкого класса сингулярно возмущенных задач характерно свойство быстрого изменения решения в некоторых областях — пограничных и переходных слоях.

Основополагающими в теории сингулярных возмущений являются работы А. Н. Тихонова [50−52], в которых дается общая постановка задачи Коши для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при производных и обосновывается предельный переход от решения исходной задачи к решению вырожденной задачи при стремлении к нулю параметров.

Построение приближенных решений сингулярно возмущенных задач проводится различными как численными, так и асимптотическими методами. Общепризнанными среди асимптотических методов являются метод пограничных функций (А.Б. Васильева [6,9−14], В. Ф. Бутузов [6,7,12,13], JI.A. Люстерннк [15], М. И. Вишик [15], М. И. Иманалиев [31]), метод усреднения (Н.М. Крылов [35], Н. Н. Боголюбов [3], Ю. А. Митропольский [3,41]), метод регуляризации сингулярных возмущений (С.А. Ломов [39]), методы теории релаксационных колебаний (Л.С. Понтрягин [46,47], Е. Ф. Мищенко [42], Н. Х. Розов [42]), метод сращивания асимптотических разложений.

Л. Прандтль [64], A.M. Ильин [23,27−30]), методы типа ВКБ (В.П. Маслов [40]) и другие, каждый из которых позволяет решать определенный круг задач. Различные подходы к изучению сингулярно возмущенных задач изложены также в монографиях В. Вазова [8], Дж. Коула [34], J. Kevorkian [61], А. Х. Найфэ [44,45], М. В. Федорюка [53] и работах многих других авторов (см., например, [1,2,4,5,16,17,19,21,22,24−26,37,43,54−56,58,62,63,65]).

Начальная задача для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с одним малым параметром при производных давно и достаточно хорошо изучена. Между тем, реальные задачи очень часто зависят сингулярным образом от нескольких малых параметров. Исследование таких задач намного сложнее, и они изучались лишь в сравнительно небольшом числе работ. Пионерскими в этом направлении являются работы А. Н. Тихонова [51,52] и И. С. Градштейна [17,18], в которых, в частности, изучался предельный переход при стремлении к нулю параметров. Вопросы построения и обоснования асимптотики решения систем уравнений, содержащих при производных параметры различных порядков малости, рассматривались в работах А. Б. Васильевой [9−11]. Алгоритм асимптотического расщепления систем линейных дифференциальных уравнений, зависящих от двух малых параметров, на подсистемы меньшей размерности изложен в работах Н. А. Сотниченко, С. Ф. Фегценко [48,49]. Вопрос о построении общего решения подобных систем при некоторых условиях на матрицу при производных и матрицу системы изучался в работах В. П. Яковца, М. А. Стрельникова [59,60]. Исследованию предельного перехода в некоторых сингулярно возмущенных задачах с малыми параметрами, зависящими от переменной дифференцирования, посвящены работы Н.А. Коси-ченко [32,33]. В монографии Р. П. Кузьминой [36] исследуется задача Коши для почти регулярной системы, системы с целыми степенями малого параметра при производных, а также системы с двойной сингулярностью. Эти задачи соответствуют различным способам вхождения малого параметра в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этих типов задач приводится построение рядов, которые являются асимптотическими разложениями решений или сходятся к решению на соответствующих промежутках времени. В работах R.E. O’Malley, jr. [62, 63] строились асимптотические разложения решений начальных и краевых задач. При этом предполагалась зависимость между малыми параметрами. Асимптотика решения линейного уравнения второго порядка, сингулярно зависящего от двух малых параметров, не связанных между собой, рассматривалась для краевой задачи Г. И. Шишкиным [57].

В диссертации рассматривается следующая сингулярно возмущенная задача. Исследуется задача Коши для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя малыми параметрами при производных. Изучается поведение решения задачи на конечном промежутке времени. Новизна проблематики настоящего исследования заключается в том, что малые параметры, стоящие в уравнениях системы каждый при своей производной, стремятся к нулю независимо друг от друга. Таким образом, речь идет о построении асимптотики решения, равномерно пригодной при любых соотношениях между малыми параметрами.

Диссертация содержит введение, три главы и список литературы.

1. Боглаев Ю. П. О двухточечной задаче для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при производной // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1970. — Т. 10, № 4. — С. 958−968.

2. Боглаев Ю. П. О численных методах решения сингулярно возмущенных задач // Дифференц. уравнения. — 1985. — Т. 21, № 10. — С. 18 041 806.

3. Боголюбов Н. Н., Митрополъский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974.

4. Борисов Д. И. О сингулярно возмущенной краевой задаче для Лапласиана в цилиндре // Дифференц. уравнения. — 2002. — Т. 38, № 8. — С. 1071−1078.

5. Борисов Д. И. О некоторых сингулярных возмущениях периодических операторов // Теор. мат. физ. 2007. — Т. 151, № 2. — С. 207−218.

6. Бутузов Б. Ф., Васильева А. Б., Федорюк М. Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений // «Итоги науки. Матем. анализ, 1967». ВИНИТИ АН СССР. М., 1969.

7. Бутузов В. Ф. Асимптотические формулы для решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных, справедливые на бесконечном промежутке // Вестн. МГУ. 1963. — № 4.

8. Базов В. Асимптотические разложения решений дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1968.

9. Васильева А. Б. Асимптотические формулы для решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих при производных параметры различных порядков малости // Докл. АН СССР. — 1959. — Т. 128, № 6. С. 1110−1113.

10. Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных// Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1963. — Т. 3, № 4. С. 611−642.

11. Васильева А. Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной// УМН. — 1963. — Т. 18, № 3. — С. 15−86.

12. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. — М.: Наука, 1973.

13. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высшая школа, 1990.

14. Васильева А. Б. Асимптотические формулы для решений обыкновенных дифференциальных уравнений с малым множителем при старшей производной, справедливые на бесконечном промежутке // Докл. АН СССР. 1962. — Т. 142, № 4. — С. 709−712.

15. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957. — Т. 12, № 5. — С. 3−122.

16. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. — М.: Изд. МГУ, 1971.

17. Град штейн PI. С. Дифференциальные уравнения, в которых множителями при производных входят различные степени малого параметра // Докл. АН СССР. 1952. — Т. 82. № 1. — С. 5−8.

18. Градштейн И. С. Применение теории устойчивости A.M. Ляпунова к теории дифференциальных уравнений с малыми множителями при производных // Матем. сб. 1953. — Т. 32 (74), № 2. — С. 263−286.

19. Градштейн И. С. О решениях на временной полупрямой дифференциальных уравнений с малыми множителями при производных j j Матем. сб. 1953. — Т. 32 (74), № 3. — С. 533−544.

20. Годунов С. К. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: Учебн. пособие. Т. 1. Краевые задачи. — Новосибирск: Изд. Новосиб. ун-та, 1994.

21. Данилин А. Р. Асимптотика оптимального значения функционала качества при быстростабилизирующемся непрямом управлении в регулярном случае // Дифференц. уравнения. — 2006. — Т. 42, № 11. — С. 1473−1480.

22. Данилин А. Р. Асимптотика оптимального значения функционала качества при быстростабилизирующемся непрямом управлении в сингулярном случае // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 2006. Т. 46, № 12. — С. 2166−2177.

23. Долбеева С. Ф., Ильин A.M. Асимптотика решения дифференциального уравнения с малым параметром при условии пересечения линий устойчивости предельного решения // Докл. РАН. — 2006. — Т. 408, № 4. С. 443−445.

24. Дифференциальные уравнения с малым параметром. — Свердловск. УНЦ АН СССР, 1980.

25. Дифференциальные уравнения с малым параметром. — Свердловск. УНЦ АН СССР, 1984.

26. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. — М.: Мир, 1983.

27. Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Матем. заметки. — 1969. Т. 6, № 2. — С. 237−248.

28. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. — М.: Наука, 1989.

29. Ильин A.M. Асимптотические методы в анализе. — Челябинск: Изд. ЧелГУ, 2007.

30. Ильин A.M., Долбеева С. Ф. Асимптотика решения дифференциального уравнения с малым параметром в случае двух решений предельного уравнения // Труды ИММ УрО РАН. 2006. — Т. 12, № 1. — С. 98−108.

31. Иманалиев М. И. Асимптотические методы в теории сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных систем. — Фрунзе, Илим, 1972.

32. Косиченко Н. А. О системах с переменными малыми параметрами при старших производных. — М., 1999. — 42 с. — Деп. в ВИНИТИ 9.04.99. № 1072-В99.

33. Косиченко Н. А. Сингулярно возмущенные задачи с переменными малыми параметрами. — М., 1999. — 56 с. — Деп. в ВИНИТИ 28.04.99. № 1337-В99.

34. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. — М.: Мир, 1972.

35. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н.

Введение

в нелинейную механику. — Киев: Изд-во АН УССР, 1937.

36. Кузьмина Р. П. Асимптотические методы для обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Едиториал УРСС, 2003.

37. Куржанский А. Б., Филиппова Т. Ф. О методе сингулярных возмущений для дифференциальных включений // Докл. АН СССР. — 1991. Т. 321. № 3. — С. 454−459.

38. Лаппо-Данилевский И. А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. — М., 1957.

39. Ломов С. А.

Введение

в общую теорию сингулярных возмущений. — М.: Наука, 1981.

40. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. — М.: Наука, 1977.

41. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. — Киев: Наукова думка, 1971.

42. Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. — М.: Наука, 1975.

43. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. — М.: Наука, 1981.

44. Найфэ А. Х. Методы возмущений. — М.: Мир, 1976.

45. Найфэ А. Х.

Введение

в методы возмущений. — М.: Мир, 1984.

46. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1970.

47. Понтрягин Л. С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1957. — Т. 21, № 5. — С. 605−626.

48. Сотниченко Н. А., Фещенко С. Ф. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений. — Препринт Института математики АН УССР, Киев, 1980.

49. Сотниченко Н.А.К вопросу расщепления систем дифференциальных уравнений, зависящих от двух параметров // Дифференц. уравнения. 1987. — Т. 23, № 9. — С. 1640−1642.

50. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матем. сб. — 1948. — Т. 22 (64), № 2. — С. 193 204.

51. Тихонов А. Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Мат. сб. 1950. — Т. 27 (69), № 1. — С. 147−156.

52. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Матем. сб. — 1952. — Т. 31 (73), № 3. С. 575−586.

53. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1983.

54. Фещенко С. Ф., Шкиль Н. И., Николенко Л. Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. — Киев: Нау-кова думка, 1966.

55. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. — М.: Мир, 1999.

56. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. теория и приложения. — М.: Мир, 1988.

57. Шишкин Г. И. Первая краевая задача для уравнения второго порядка с малыми параметрами при производных // Дифференц. уравнения.- 1977. — Т. 13, № 2. С. 376−378.

58. Шпиль Н. И., Ста, рун И.И., Яковец В. П. Асимптотическое интегрирование линейных систем дифференциальных уравнений с вырождением. — Киев, 1991.

59. Яковец В. П. Асимптотика общего решения линейной сингулярно возмущенной системы с двумя малыми параметрами // Дифференц. уравнения. 1993. — Т. 29, № 2. — С. 256−266.

60. Yakovets' V.P., Strel’nikov М.А. Construction of Asymptotic Solutions of Linear Systems of Differential Equations with Two Small Parameters // Ukrainian Mathematical Journal. 2003. — Vol. 55, № 7. — P. 1163−1180.

61. Kevorkian JCole J.D. Multiple Scale and Singular Perturbation Methods. Springer-Verlag, N.Y. 1996.

62. O’Malley R.E., jr Two-Parameter Singular Perturbation Problems for Second-Order Equations // J. Math, and Mech. — 1967. — Vol. 16, № 10. P. 1143−1164.

63. O’Malley R.E., jr Introduction to Singular Perturbation. — Academic Press, N.Y., 1974.

64. Prandtl L. Uber Flussigkeitsbcwegung bei sehr kleiner Reibung // Verhandlungen des dritten internationalen Mathematiker Kongresses, Heidelberg, 1904, Leipzig. — 1905. S. 484−491.

65. Smith D.R. Singular-Perturbation Theory. An Introduction with Applications. — Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1985.

66. Ильин A.M., Коврижных O.O. Асимптотика решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами // Докл. РАН. — 2004. Т. 396, № 1. С. 23−24.

67. Коврижных, О. О. Построение асимптотического решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами // Труды 35-й Региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики». Екатеринбург, 2004. — С. 144−146.

68. Коврижных О. О. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной системы линейных уравнений // Дифференц. уравнения.- 2005. Т. 41, № 10. — С. 1322−1331.

69. Коврижных О. О. Об асимптотическом разложении решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами // Тезисы докладов секции «Асимптотические методы» Международной конференции «Тихонов и современная математика», Москва, 2006. — С. 66.

70. Коврижных О. О. Об асимптотическом решении сингулярно возмущенной системы с двумя малыми параметрами // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2007. — Т. 13, № 2. — С. 124−134.

71. Данилин А. Р., Коврижных О. О. Об асимптотике решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами // Дифференц. уравнения. 2008. — Т. 44, № 6. — С. 738−747.

72. Коврижных О. О. Асимптотические формулы для решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами // Труды 39-й Всероссийской молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург: УрО РАН, 2008. — С. 133— 137.