Асимптотическое поведение минимальной поверхности над полосой

Теория минимальных поверхностей интенсивно развивалась в течение всего последнего столетия и продолжает развиваться в различных направлениях в настоящее время. Важнейшие результаты этой теории стали классическими и широко известными благодаря работам Ф. Альмгрена, С. Н. Бернштейна, JI. Берса, Дж. Дугласа, И.С. С. Ниче, Р. Оссермана, A.B. Погорелова, Дж. Саймонза, Г. Федерера, Р. Финна, У. Флеминга, А. Т. Фоменко, а также в самые последние годы — Ю. А. Аминова, Э. Бомбьери, A.A. Борисенко, Э. Де Джиорджи, Э. Джу-сти, О. В. Иванова, В. М. Миклюкова, У. Микса, И. Х. Сабитова, Л. Саймона, В. Г. Ткачева, A.A. Тужилина, Д. Хофмана и др.

Минимальные графики 2 = f{x, y) над областями R2 описываются квазилинейным дифференциальным уравнением.

Особое внимание многих исследователей было направлено на изучение решений этого уравнения в неограниченных областях. В значительной мере этому способствовала знаменитая теорема С. Н. Бернштейна (1915) [5], о том, что всякое целое решение уравнения (0.1) является линейной функцией переменных х, у. В работах Р. Финна [43], Л. Берса [6], X. Дженкинса [И], Р. Оссермана [30], Л. Саймона [37], В. М. Миклюкова [21] теорема С. Н. Бернштейна была распространена на различные классы уравнений типа минимальных поверхностей.

Другим важным результатом для минимальных графиков над неограниченными областями в К2 является следующая теорема И.С. С. Ниче.

0.1) где / = f (x, y), fx = %, fy = f |V/|2 =? + /у2.

1965 года [28]:

Пусть 0, а С К2 — сектор раствора 0 < а < п и пусть / — решение уравнения минимальных поверхностей в Если / < О, на границе д&а> то / < О всюду в Г2а.

В связи с этим, И.С. С. Ниче был поставлен следующий вопрос. Будет ли единственным С2- решение / уравнения минимальных поверхностей с некоторым значением на границе дО., где П С.

Проблема единственности является одной из основных при изучении решений уравнения (0.1) над неограниченными областями. Первые результаты в этом направлении, в том числе, для областей более общего вида, были получены в 1981 году В. М. Миклюковым [23]. Исследованию поведения решений уравнения минимальных поверхностей и уравнений типа минимальных поверхностей, заданных над неограниченными областями, посвящены работы Д. К. Ноулза [29], В. М. Миклюкова [22]— [24], А. Г. Воробьева, В. М. Миклюкова [10], В. И. Пелиха [32, 33], Р. Лан-жевина, Г. Левитта, X. Розенберга [19], В. М. Миклюкова, В. Г. Ткачева [25, 26], Л. Ф. Тэма [39], Р. Ланжевина, X. Розенберга [20], Е. Ф. Ванга [7, 8], В. Хенгатнера, Г. Скобера [44], Р. Са Ярпа, X. Розенберга [38], В. Г. Ткачева [40], С. О. Хогана, Д. Сигела [45], П. Коллина [15], П. Кол-лина, Р. Краста [16], А. Н. Кондрашова [17].

Необходимо отметить, что успехи в развитии теории минимальных поверхностей в значительной мере обусловлены тесной взаимосвязью между геометрическим строением и функциональными свойствами этих поверхностей. В частности, ключевую роль во многих исследованиях играет тот факт, что сужение координатной функции на минимальную поверхность является гармонической функцией в ее метрике. В случае двумерных минимальных поверхностей известно их полное описание в терминах голоморфных функций (представление Вейерштрасса). Это дает возможность прямого применения для исследования минимальных поверхностей методов теории конформных отображений.

Целью диссертации является следующее.

• Исследование асимптотического поведения функций, голоморфных в метрике минимальной поверхности, заданной над полуполосой. В частности, получение для этих функций версий хорошо известного принципа Фрагмена—Линделефа.

• Изучение допустимой скорости стабилизации «на бесконечности» геометрических характеристик минимальных поверхностей.

• Исследование асимптотического поведения решения /(х, у) уравнения (0.1).

Основные результаты диссертации базируются на применении методов теории конформных отображений поверхностей на плоские области.

Работа носит теоретический характер. Следующие результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми:

1) теоремы типа Фрагмена—Линделефа для функций голоморфных в метрике минимальной поверхности, заданных над полуполосой;

2) оценки допустимой скорости стремления к постоянному вектору градиента решения уравнения минимальной поверхности, заданного над полу пол осой;

3) оценки допустимой скорости стремления к нулю гауссовой кривизны минимальной поверхности над полуполосой.

Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании геометрических свойств минимальных поверхностей в И3, квазилинейных эллиптических дифференциальных уравнений, а также могут найти применение в специальных курсах по математическому анализу.

Результаты работы докладывались на международном конгрессе ассоциации «Женщины-математики» (Москва, 1994 г.), на международной конференции «Математика. Моделирование. Экология» женщин-математиков (Волгоград, 1996 г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава и семинарах «Геометрический анализ и его приложения» кафедры математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета (1992—2003 гг.), 11-ой Саратовской зимней школе-конференции «Современные проблемы теории функций и их приложения» (2002 г.), региональной научной конференции «Математический анализ и его приложения» (Волгоград, 2002 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[4].

Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на девять параграфов, списка литературы и изложена на 75 страницах. Нумерация параграфов подчинена нумерации глав. Библиография содержит 45 наименований.

1. Акопян Р. С. (Akopyan R.S.) About the admissible speep of approaching to zero of Gaussian curvature of minimal surface above semi-strip // Proceedings of international congress of the association «women-mathematicians». N. Novgorod. 1994. 1.1. P. 7—9.

2. Акопян Р. С. О допустимой скорости стремления к постоянной градиента решения уравнения минимальной поверхности над полуполосой // Математика. Моделирование. Экология. Тезисы докладов 4 межд. конф. женщин-математиков. Волгоград. 1996. С. 18.

3. Акопян Р. С. Условия стабилизации минимальной поверхности над полуполосой // Докл. РАН. 1999. Т. 368. N 5. С. 583−585.

4. Акопян Р. С. Теоремы типа Фрагмена—Линделефа для минимальной поверхности над полуполосой // Вестник ВолГУ 2001. В. 6. N 1. С. 65−75.

5. Бернштейн С. Н. Об одной геометрической теореме и приложениях к уравнениям в частных производных эллиптического типа // Собр. соч. Т. 3. М.: Изд-во АН СССР. 1960. С. 251−258.

6. Вере Л. (Bers L.) Nonlinear elliptic equation without nonlinear entire solutions //J. Rat. Mech. and Anal. 1954. V. 3. P. 767−787.

7. Ванг Е. Ф. (Hwang J.F.) Comparison principles and Liouville theorems for prescribed mean curvature equation in unbounded domains // Ann. Scuola Norm. Sup. Risa. 1988. V. 15. N 4. P. 341−355.

8. Ванг Е. Ф. (Hwang J.F.) A uniqueness theorem for the minimal surface equation // Pacific J. of Math. 1996. V. 176. N 2. P. 357−365.

9. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции // М.: Наука. 1988. 509 с.

10. Воробьев А. Г., Миклюков В. М. О некоторых асимптотических свойствах субрешений уравнений типа минимальных поверхностей // Сиб. мат. журн. 1982. T. XXIII. N 1. С. 25−31.

11. Дженкинс X. (Jenkins H.) On quasilinear elliptic equations which arise from variational problems // J. Rat. Mech. 1956. V. 10. P. 705—728.

12. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия // М.: Наука. 1979. 760 с.

13. Евграфов М. А. Аналитические функции // М.: Наука. 1991. 448 с.

14. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции // М.: Наука. 1979. 320 с.

15. Коллин П. (Collin P.) Deux exempes de graphes courbure moyenne constante sur une bande de R2 // C. R. Acad. Sci. Paris. 1990. N 311. P. 539−542.

16. Коллин П., Краст P. (Collin P., Krust R.) Le Probleme de Dirichlet pour lequation des surfaces minimales sur des domaines non bornes // Bull. Soc. Math. France. 1991. N 199. P. 443−462.

17. Кондратов A.H. Двумерные минимальные поверхности в псевдоевклидовом пространстве // Докл. АН России. 1999. Т. 365. N 3. С. 319−321.

18. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров // М.: Наука. 1978. 832 с.

19. Ланжевин Р., Левитт Г., Розенберг X. (Langevin R., Levitt G., Rosenberg H.) Complete minimal surfaces with long line boundaries // Duke Math. J. 1987. V. 55. N 4. P. 1−11.

20. Ланжевин Р., Розенберг X. (Langevin R., Rosenberg H.) A maximum principle at infinity for minimal surfaces and applications // Duke Math. J. 1988. V. 57. N 3. P. 819−828.

21. Миклкжов В.M. Об одном новом подходе к теореме Берштейна и близким вопросам уравнений типа минимальных поверхностей // Матем. сб. 1979. Т. 108. N 2. С. 268−289.

22. Миклюков В. М. Об асимптотических свойствах субрешений квазилинейных уравнений эллиптического типа и отображений с ограниченным искажением // Мат.сб. Т. 111. N.1. 1980. С. 42−66.

23. Миклюков В. М. Некоторые особенности поведения решений уравнений типа минимальной поверхности в неограниченных областях // Матем. сб. 1981. Т. 116. N 1. С. 72−86.

24. Миклюков В. М. Некоторые вопросы качественной теории уравнений типа минимальной поверхности // Граничные задачи математической физики. Киев: Наук, думка. 1983. С. 137—146.

25. Миклюков В. М., Ткачев В. Г. О строении в целом внешне полных минимальных поверхностей в R3 // Изв. вуз. Мат. 1987. Т. 31. С. 30−36.

26. Миклюков В. М., Ткачев В. Г. (Miklyukov V.M., Tkachev V.G.) Denjoy—Ahlfors Theorem for Harmonic Functions on Riemannian Manifolds and External Structure of Minimal Surfaces // Proc. Geom. and Anal. 1996. V.4. N 4. P. 547−587.

27. Ниче И.С.С. (Nitsche J. С. С.) Vorlesungen uber Minimalflachen // Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. 1975.

28. Ниче И.С.С. О новых результатах в теории минимальных поверхностей // Матем. сб. переводов. 1967. Т. 11. N 3. С. 37—100.

29. Ноулз Д. К. (Knowles J.К.) A note on the spatial decay of a minimal surface over semi-infinite strip //J. Math. Anal. Appl. 1977. V. 59. N 1. P. 29−32.

30. Оссерман P. (Osserman R.) On the inequality Au < f (u) // Pacif. J. Math. 1957. V. 4. N 7. P. 1641−1647.

31. Оссерман P. Минимальные поверхности // Успехи мат. наук. 1967. Т. XXII. N 4. С. 55−136.

32. Пелих В. И. Оценки искажения при конформном изображении минимальной поверхности // ТГУ, Тюмень, 1980. Деп. в ВИНИТИ 20 марта 1981. N 1266−81.

33. Пелих В. И. Теоремы Фрагмена—Линделефа на минимальных поверхностях // Геометрический анализ и его приложения. Научные школы ВолГУ. 1999. N 1. С. 352−368.

34. Погорелов А. В. Геометрия // М.: Наука. 1983. 288 с.

35. Радо Т. (Rado Т.) On the problem of Plateau // Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Berlin: Springer-Verlag. 1933.

36. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии //М.: Наука. 1956. 420 с.

37. Саймон Л. (Simon L.) Equation of mean curvature in 2 independent variables // Pacific J. Math. 1977. V. 69. N 1. P. 245−268.

38. Ca Ярп P., Розенберг X. (Sa Earp R., Rosenberg H.) The Diriclet problem for the minimal surface equation on unbounded planar domains // J. Math. Pures Appl. 1989. N 68. P. 163−183.

39. Тэм Л. Ф. (Tam L.F.) On the uniqueness of capillary surfaces without gravity over an infinite strip, Indiana Univ. Math. J. 1987. N 36. P. 79−89.

40. Ткачев В. Г. О некоторых свойствах средней кривизны графиков над областями в Rn // Докл. АН СССР. 1990. Т. 314 N 1. С. 140— 143.

41. Тужилин А. А., Фоменко А. Т. Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей // М.: Наука. 1991. 176 с.

42. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления // Санкт-Петербург. Т. 2. 1997. 800 с.

43. Finn R. On a problem of type, its application to elliptic partial differential equations //J. Rat. Mech. and Anal. 1954. V. 3. P. 789−799.

44. Хенгатнер В., Скобер Г. (Hengartner W., Schober G.) Curvature estimates for some minimal surfaces // Complex analysis. Birkhauser. Basel. 1988. P. 87−100.

45. Хоган С. О., Сигел Д. (Horgan С.О., Siegel D.) On the asymptotic behavior of a minimal surface over a semi-infinite strip //J. Math. Anal. Appl. 1990. V. 153. N 2. P. 397−406.