Асимптотическое разложение решения задачи Коши для сингулярно возмущенных систем гироскопического типа

Внимание математиков к проблемам теории сингулярно возмущенных уравнений было привлечено в конце сороковых годов известными работами А. Н. Тихонова / I, 2 /. Хорошо известно, что уравнения такого типа возникают в теории нелинейных колебаний, теории гироскопических систем, теории автоматического регулирования и др. Асимптотические методы анализа сингулярно возмущенных уравнений требуются как для аналитического исследования свойств их решений, так и для последующего численного интегрирования.

Предлагаемая диссертация в основном посвящена асимптотическому интегрированию задачи Коши для некоторых классов сингулярно возмущенных систем на «больших» отрезках времени.

Для нелинейных сингулярно возмущенных систем неколебательного типа наиболее развитым является метод погранфуикций А. Б. Васильевой, впервые изложенный в / 3 /. Результаты исследования этим методом широкого круга задач обобщены в монографиях А. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова / 4, 5 /. Построение погранслойной асимптотики решения нелинейной сингулярно возмущенной задачи Коши проводится в основном в тех же предположениях, что и в теореме А. Н. Тихонова.

Рассматривается задача Коши вида.

Одним из условий применимости метода погранфункций к задаче Коши (0.1), (0.2) является выполнение следующего требования: все.

0.1).

0.2) собственные значения A- (t) матрицы численной на решении вырожденной задачи должны при всех.

ЫШ] удовлетворять неравенству 4 /, гл.3).

Если теорема А. Н. Тихонова и метод погран^ункций предполагают неколебательный характер решения, то метод регуляризации С. А. Ломова / 6 / позволяет не разделяя рассматривать колебательный и неколебательный случаи. Схема метода регуляризации на примере слабо нелинейной сингулярно возмущенной задачи имеет следующий вид (/ 6 /, гл. УП, § I).

Рассматривается задача Коши гх'-АШ+ъЗил)*^), = (0.3).

Здесь Z — пмерный вектор, A (t) — /г*/г — матрица,, Кмерные вектор-пункции. Регуляризованная асимптотика задачи (0.3) строится при слелующих предположениях. Собственные числа комплексной матрицы A (i) удовлетворяют при каждом условиям: а) li (i) *Jj (t), б) Re Aid)'0, Л [Li) ±0, i-й.

Предполагается, что спектр матрицы A (t) является резонансным, т. е. существуют такие целочисленные векторы /77 — —^ тп) с Imj — m-i*.+ mn ^ 3, что имеют место тождества в) (m, Mti) zrnih (t)±~ +Пп.ЛпШ*Ли Ш для всех i е [0,Т] при некоторых U? i.

При выполнении ряда дополнительных предположений регуляризо-ванное асимптотическое решение задачи Коши (0.3) строится следую-щия образом. Вместо (0.3) рассматривается задача.

0.4) где f (t) — - JL-'(i)}U), г — f (i) t у, /Су, t) m = ZFty + fCt), t), у ° ~ f (0). Регуляризирующие функции вводятся по формулам ^ ъа. г) * ySMvdr, г-а.

Рассматривается такая функция Ц (t, XJ %), что.

У t)/^^ ^ 5 У <4 t), где yQt) — точное решение задачи (0.4),, VfcJ • Для функции ставится задача у (0,0,ъ) = у°- (0.5).

Здесь Д^'Я/ОО ^ ftxa '^ешение задачи (0.5) определяется в виде формального ряда lj (t, X г) ® ^ ^гС^я). Далее вводятся классы функций, в которых устанавливается разрешимость итерационных задач. Круг задач, решаемых методом регуляризации, достаточно широк. Этим методом проводится, во-первых, асимптотическое интегрирование задачи Коши для сингулярно возмущенных линейных и нелинейных систем, содержащих только быстрые переменные, на конечном отрезке времени (/ 6 /, ч.1, гл. 2, 7). Метод регуляризации применительно к таким системам изложен также в многочисленных работах С. А. Ломова / 7-II /, С. А. Ломова и В. Ф. Сафонова / 12 /, В. Ф. Сафонова / 13−17 /. Обобщение метода регуляризации на некоторые нелинейные системы с быстрыми и медленными переменными проведено в работах А. И. Кобрина и Ю. Г. Мартыненко / 18 / и В. Ф. Сафонова / 19 /. Метод регуляризации для интегрирования сингулярно возмущенных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами изложен в / 6, ч.1, гл. 5 /, а также в работах А. Д. Рыжих / 20−22 /.

Различным аспектам приближенного интегрирования сингулярно возмущенных уравнений посвящены книги Н. Н. Боголюбова и Ю.А.Мит-ропольского / 23 /, В. Вазова / 24 /, М. Ван-Дайка / 25 /, Ю. А. Митропольского / 26 /, Н. Н. Моисеева / 27 /, А. Х. Найфе / 28 /, С. Ф. Фещенко, Н. Й. Шкиля и Л. Д. Николенко / 29 / и др.

Названные исследования в области сингулярно возмущенных уравнений имеют не только самостоятельную теоретическую ценность, но и многочисленные приложения. Не перечисляя всего спектра прикладных задач, в которых успешно применяются метод погран-функций А. Б. Васильевой и метод регуляризации С. А. Ломова, остановимся наиболее подробно на задачах, возникающих в механике твердого тела, и, в частности, в теории гироскопических систем. Всюду в дальнейшем под гироскопическими системами мы будем понимать системы, в которых имеет место гироскопический эффект. Как правило, появление этого эффекта связано с присутствием в системе нескольких вращательных движений, таких что частота одного из них на несколько порядков выше остальных частот. Актуальность применения асимптотических методов в таких задачах подтверждают многочисленные работы. В работе / 30 / И. В. Новожилов изучил условия, при которых метод погранфункций применим к решению задачи о движении гироскопа в кардановом подвесе. Этому же вопросу посвящена работа А. И. Кобрина, Ю. Г. Мартыненко, И. В. Новожилова / 31 /. В статье / 32 /, а также в упоминавшейся уже работе / 18 /, А. И. Кобрин и Ю. Г. Мартыненко развивают метод регуляризации для асимптотического интегрирования уравнений движения гироскопа в кардановом подвесе. В статье Ф. Л. Черноусько и А.С.Шамае-ва / 33 / возможности метода погранфункций демонстрируются на примере задачи динамики твердого тела с упругими и диссипативны-ми элементами.

Во всех перечисленных работах асимптотика задачи Коши для сингулярно возмущенного уравнения строится на конечном отрезке времени.

Другой подход к аналитическому исследованию уравнений гироскопических систем предлагается в монографии В. И. Зубова / 34, гл. Ш, 1У /. Уравнения движения гироскопической системы рассматриваются в векторно-матричной записи вида.

AoX+hAiX+JLJtZ iijM tf-A+(о.б).

Здесь fl — большой положительный параметр, который в ряце случаев можно рассматривать как кинетический момент быстро вращающихся роторов, входящих в состав гироскопической системы. JlotAi. — вещественные постоянные Tlxflматрицы, X — вектор Предполагается, что функции fs, fsi, fsij (координаты соответственно вектор-функций.

Х=Хо, Х’ХаПри t = 0. (0.7).

Через Л /я,.А по обозначаются корни уравнения й (А, Х+Л<) -О, через JUio,. .jJJno — корни уравнения (ju.A, + А") = О.

В предположениях, что.

I) Rtljo <0, Re/ija<0, j = 1.n.

2) не существует целых неотрицательных чисел ГП{, tli п П Z.m.1⁵, 9ZL гц*2,, таких что п п.

Z, rri{ Aio = Aj0 } 2 Г nijMio =fjo i-1 по крайней мере для одного j ;

3) величины Aj0 и величиныJJjo различны (j = ir0-доказано, что задача Коши (0.6), (0.7) имеет решение вида.

Х~ Y~m, где Ymоднородные формы степени Ш относит-1 тельно #10, -'i^no, Х-10,'.-, %-rio. Коэффициенты этих форм являются рядами, расположенными по степеням затухающих при 1⁰ экспонент. В свою очередь, коэффициенты этих рядов являются функциями, голоморфными относительно tffi в окрестности точки oL = 0 .

Предложенный В. И. Зубовым способ интегрирования задачи (0,6), (0.7) (которая становится сингулярно возмущенной после очевидных преобразований) приводит к построению сходящихся функциональных рядов по степеням U~ Yk при всех t^O, если начальные значения Яю, •••> %по, Хю, • -ч^по достаточно малы по абсолютной величине.

Однако, применение этого способа встречает определенные трудности. Они связаны прежде всего с тем, что наиболее распространенные уравнения движения гироскопической системы в нелинейной постановке / 35−38 / не удовлетворяют, вообще говоря, условиям I) и 2).

Прежде чем сформулировать подученные в диссертации результаты, остановимся на работах, посвященных асимптотическому интегрированию сингулярно возмущенных нелинейных дифференциальных уравнений на асимптотически больших и бесконечных отрезках времени. В обширной литературе по теории сингулярно возмущенных уравнений этому вопросу посвящено небольшое число работ. Асимптотика решения задачи Коши для тихоновских систем при дополнительных ограничениях на них построена в работах А. Б. Васильевой / 39 / и В. Ф. Бутузова / 40 / на полубесконечном промежутке времени. Практически в тех же предположениях это сделано в работах Ф.С.Хоппен-стедта /41, 42 /. На асимптотически больших отрезках времени систему гироскопического типа после перехода к быстрому времени Sможно приближенно интегрировать методом усреднения по схеме В. М. Волосова / 43, 44 / в случае малых начальных скоростей. Этот подход нашел отражение в работах М. Б. Балачандра и П. Р. Сетна / 45, 46 /. Однако, как отмечают авторы в / 45 /, схема Волосова метода усреднения дает в этом случае результат для систем гироскопического типа на промежутке i G [о, г/к J если демпфирование осуществляется по нелинейному закону. В то же время, именно случай линейного демпфирования представляет практический интерес, так как в большинстве механических систем влияние вязкого трения моделируется членами, линейными по обобщенным скоростям / 37 /.

В некоторых работах / 47, 48 / на асимптотически больших отрезках времени интегрируются системы вида tг = v (t, x, у, 2),, ? = fa % sX.

Решение такой системы предлагается определять в виде При этом составляющие решения вычисляются в соответствии с методом пограничных функций /3, 4 /, а компонента решения отыскивается при помощи метода усреднения.

Значительное число работ посвящено изучению сингулярно возмущенных систем с периодическими коэффициентами. Л. Флэтто и Н. Левинсон / 49 / рассматривали систему уравнений.

W = faW*), (0−8) правая часть которой Тпериодически зависит от Т. Предполагая, что соответствующая (0.8) вырожденная система имеет ненулевое Тпериодическое решение «9(Т), jf-(X), авторы получили достаточные условия существования у системы (0.8) Тпериодического решения Х*(Туt), такого что /X*(%i)t/ф— /-С?)I 0 при ё. Одним из главных предположений, сделанных авторами / 49 /, является предположение о том, что собственные значения матрицы /-СФ) имеют ненулевые вещественные части. Как уже отмечалось, уравнения движения гироскопических систем, как правило, таковы, что условия таких теорем, как теоремы А. Б. Васильевой и Я. Флэтто, Н. Левинсона, не выполняются. В аналогичных предположениях рассматривались сингулярно возмущенные системы уравнений с периодическими коэффициентами в работе / 24 /. В статье / 50 / Ю. А. Коняев рассматривает системы вцца со z: **A*(i)y + f (t*) (0 9) dt k-o ^ J с периодическими коэффициентами. Доказательство существования периодического решения, а также представление его в виде асимптотического ряда по степеням % проводится в этой работе в условиях, допускающих существование чисто мнимых собственных значений у матрицы Ло (Ь) • В аналогичных предположениях в / 50 / изучается нелинейная задача eft к=0.

Работы / 51−53 / посвящены вопросу существования периодических решений у линейных сингулщшо возмущенных систем дифференциальных уравнений.

В статье / 54 / автор изучает сингулярно возмущенные уравнения гироскопического типа. При этом предполагается, что «правые части» уравнений периодически зависят от медленного времени ft/н. Физически это предположение означает, что обобщенные силы медленно меняются по отношению к реальному времени t. В естественных предположениях доказывается существование у системы периодического решения, если вырожденное уравнение имеет ненулевое Тпериодическое решение (всюду термин «периодическая зависимость» относится к медленному времени Т). Предлагаемая работа состоит из трех глав. Первая глава посвящена асимптотическому интегрированию систем гироскопического типа / 37, 45 / g * LHGM+Btol % = {,№ f {(*, tA (0.10) где HG&) — матрица гироскопических сил, зависящая от большого параметра /7, Ь (ос.) — симметрическая положительно определенная матрица, характеризующая диссипативные силы, f0(x), j (xj щ) слагаемые, характеризующие потенциальные и другие силы системы, причем if) имеет порядок не ниже второго по координа-с/х там. В главе I система (0.10) рассматривается в виде di ' s ътЩ + fs (x)[yJ* co. II) cj~L 5? /S'.

Здесь, у — flмерные векторы, ёу, S> - множество таких Пмерных целочисленных векторов с неотрицательными координатами Sj, что jslSi+ Sn < No} *?. Задача.

Коши для (0.11) ставится в виде х (0, (0.12)" .

Такие начальные значения для обобщенных координат X и их скоростей у, являются в гироскопических системах естественными. Более того, «малость» поряцка? для переменной ^ в системах вида (0.11) следует ожвдать, если учесть, что у системы вида (0.11) существует устойчивое интегральное многообразие медленных прецессионных движений вида у — Щ) — h’L Сх). f 55 /.

В отношении системы (0.11) делаются следующие предположения. Матрицы G (x), В (х) и вектор-функции (s? S) предполагаются бесконечно дифференцируемыми и равномерно ограниченными шесте со всеми производными в некоторой области Вещественная матрица Q (x) является кососимметрической невырожденной матрицей при всех. Предполагается, кроме того, что все собственные значения матрицы G (x) попарно различны в области ?). Так как спектр невырожденной вещественной кососимметрической матрицы состоит из попарно сопряженных чисто мнимых собственных значений / 56 /, то существует бесчисленное множество наборов целых неотрицательных чисел Iрь-'зрп}, для которых выполняется резонансное соотношение вида для некоторого ^ - & - я*. В главе I этот вопрос будет рассмотрен подробно.

Далее, предполагается, что матрица В (х) является диагональной, причем все элементы ее главной диагонали? j (x) > 0 при X е Т). Это соответствует случаю, когда в гироскопической системе имеет место полная диссипация.

В процессе построения асимптотики рассматривается нелинейная задача Коши dt которая, по предположению, имеет решение при всех целиком принадлежащее области ?). Эти условия являются основными. При их выполнении удается построить формальное асимптотическое разложение решения задачи Коши (0.11), (0.12) в виде Ы tL и.

Хг, = Z.*'z*0!) Z bit w к-0 к* 2, V*/ N z. *к[у*ео (0.13) равномерно пригодное на отрезке [0} T/t], где Хк, к = 0}Ы, fc, IN, nnCV, Vя «2, v-ftCf), p* - n.

— мерные гладкие вектор-функции t>l — г), <�§, которые либо затухают по экспоненте, либо, затухая по экспоненте, быстро осциллируют. При этом y^fr, «9juk удовлетворяют оценкам вида / ?)/? б в*/3, I’OjufH^)! ^ Сыр для некоторых С >0 и, равномерно по *&€.((>,&], iz T/t], t* in. В § 3 главы I доказывается асимптотический характер полученного формального разложения (0.13). Таким образом, для систем вида (0.11) в предположениях главы I удается провести полное разделение движений в системе на медленно меняющееся (прецессионное), которому в формулах (0.13) отвечают слагаемые ,))к (5) и приближающееся к нему по экспоненте нутационное, которому в (0.13) соответствуют последние слагаемые.

Результаты, относящиеся к построению асимптотического разложения решения задачи Коши (0.11), (0.12), на отрезке 1е опубликованы в работе / 57 /.

В § 4 главы I рассмотрен пример, иллюстрирующий возможности предложенного алгоритма. Изучается задача о движении системы, состоящей из твердого тела со сферической полостью, в которой находится другое твердое тело сферической формы. В узком зазоре между сферой и стенками действуют вязкие силы. Такая модель была предложена М. А. Лаврентьевым / 58 / для описания движения твердого тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью, и исследована Ф. Л. Черноусько / 59 / с точки зрения устойчивости перманентных вращений описанной системы тел. В предлагаемой диссертации построены первые члены асимптотики решения уравнений, описывающего движение в окрестности стационарного режима. По этим членам можно судить о характере стремления решения к устойчивому положению равновесия.

§ 5 главы I посвящен еще одному способу построения асимптотики решения задачи Коши (0.11), (0.12). Этот способ связан с введением новых независимых переменных. При этом на каждом шаге для определения коэффициентов разложения решения по степеням % возникают уравнения, часть которых является уравнениями в частных производных. В сделанных предположениях устанавливается разрешимость этих уравнений в некоторых классах функций. Коэффициенты при различных степенях & построенной таким образом асимптотики являются в свою очередь многочленами по степеням этих переменных. Материал § 1.5 изложен в работе / 60 /.

Вторая глава предлагаемой диссертации посвящена асимптотическому интегрированию задачи Коши для системы вида на промежутке i? [0, ^}, if > О t при /71-d. Случай произвольного tn>i изложен в работе / 61 /. Уравнения вщда (0.14) возникают, например, в теории гироскопических систем на подвижных основаниях. Здесь вектор-функции HLj>s (xtb)(s?S) предполагаются Г-периодическими по i при всех XG В с R^. При система уравнений (0.14) записывается в виде = v Cli 7 ъ* ^ (0Л5) где £>=Н. Задача Коши для (0.15) ставится в виде t) = < Щ ^ «V*' <0Л6).

Относительно коэффициентов дифференциального уравнения (0.15) делаются в основном те же предположения, что и в главе I. Однако, построение разложения решения задачи Коши (0.15), (0.16) и обоснование асимптотического характера построенного формального разложения решения имеет ряд особенностей.

Отметим, что в данной главе изучается вопрос существования ограниченного при всех t е [0, VsJ решения задачи Коши (0.15), (0.16). Это решение, вообще говоря, периодическим по t не является. А именно, асимптотическое разложение решения задачи Коши.

0.15)-(0.16) строится в виде N, Ы «.

Уоо — Zffy Ц т) + 2- v-fk (t о^а г), где Xfr, ,, Vjut являютсяпериодическими функциями t и гладкими функциями t и &t при всех значениях индексов к, V, JU. Функции J/V/r ft, t) и 'Ojlik (4 имеют более сложный, чем в главе I, вид, но удовлетворяют тем же оценкам.

При определении коэффициентов разложений (0.17) возникают уравнения вида д-ф2К act,?)р®- +, (оде) c/I ut ' где — Гпериодические функции t и гладкие функции?. Эти уравнения исследуются способом, предложенным В. В. Стрыгиным. Этот способ имеет много общего с тем, которым обычно пользуются при определении коэффициентов асимптотических разложений в методе усреднения / 23, 44 /. А именно, через Mi (QdjT)} обозначается среднее значение Тпериодической функции CL (lj?) за период Т .

Уравнение (0.18) перепишем в виде dp (f) + дгЦ, 1) «[a (ili)-Ml{ait1f)}]p®+ [i (t, f)~ dl 9t '.

— нtlt (tj)}] * MtfattVjpV + Mt {ищ.

Будем теперь определять функцию p (f)из уравнения Mt [a (t, T)}pCV + Mt {1(Щ начальное условие для задается), a Z (tti) из уравнения д-1М~[аа, Г)-Mtfa (b, v}]p (t) t Шд-Мь {6 (tj)}.

Последнее уравнение имеет Тпериодическое по t решение, которое определяется с точностью до произвольного слагаемого, зависящего только от переменной *f. Определенные трудности возникли при обосновании асимптотического характера формальных разложений (0.17). При этом было построено асимптотическое разложение решения линейной сингулярно возмущенной системы уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами, что дало возможность получить необходимые оценки на фундаментальную матрицу этой системы. Заметим, наконец, что если в задаче Коши (0.14) отсутствует «большой» параметр Н в правой части дифференциального уравнения, то ее можно проинтегрировать способом, изложенным в главе I, с небольшими изменениями на промежутке.

1е [ 0,1,4 ].

В заключение в главе 2 приводится исследование задачи о движении Земли вокруг центра масс, выполненное совместно с В.В.Стры-гиным и И. В. Гриневич.

В третьей главе диссертации рассматривается один способ асимптотического интегрирования задачи Коши для квазилинейной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений на конечном отрезке времени. Вначале рассматривается линейная задача Коши вида.

Ло (Vх +JLi (t)z thiib) di <�Ш* ВоШу * (0Л9) di.

0> t) — A.

Кроме естественных предположений о гладкости коэффициентов дифференциальных уравнений, на матрицы ЛоШ и Во ({) накладываются следующие требования: а) все собственные значения матрицы JLofi) являются чисто мнимыми, отличны от нуля и различны при всех {б [ЦТ] - б) все собственные значения матрицы B0(t) находятся при всех te [о, Г] в левой полуплоскости.

Асимптотика решения задачи Коши (0.19) в сделанных предположениях имеет вид.

Хао * ъ®- * и°$ + jk/(x*a) + и*а'' ^(г)).

Ъо — + Ю * + v*а*)+ ъсф.

Zm* Mi) + ZL + *>k (i, D 1k-1 где, , SxCi) — гладкие функции tefa, T] ¦ U.^, V*.

ЪГк — быстро осциллирующие и равномерно ограниченные при всех ie[0}T] и ё&euro-(О, функции- %(х), %(х), & ('%) — функции типа погралслоя, к^О .

Аналогично строится асшлптотика решения задачи Коши g ^ = rfft^ar * ha, + g на, л, у, Z) Ъ^.^Ш+чСО,*.!/.*) (0>20) — aft у, г)* * i0,4,2) + at.

Здесь условия a), <5), сформулированные для систеш (0.19), заменяются аналогичными условиями на матрицы A (tt 2J и.

0= A (1,Z)3. + h (i, tj, Щ) о — уау. ю = a (l, I + fa,? 3), Ш-Ь.

Изложенный в главе 3 алгоритм соединяет в себе характерные особенности двух методов — метода регуляризации и метода пограничных функций, что отвечает специфике задачи. Результаты главы 3 изложены в / 62 /.

Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему:

I. Для автономных систем сингулярно возмущенных уравнений гироскопического типа построено асимптотическое разложение решения задачи Коши по степеням малого параметра вблизи интегрального многообразия медленных движений. Особенность предложенного алгоритма состоит в том, что полученное разложение решения является равномерно пригодным на асимптотически больших отрезках времени.

2. Изучены системы сингулярно возмущенных уравнений гироскопического типа с периодическими коэффициентами. Доказано существование ограниченного на асимптотически больших отрезках времени решения задачи Коши для таких систем, которое, вообще говоря, периодическим не является. Построена асимптотика этого решения по степеням малого параметра.

3. Рассмотрена система, содержащая быстрые и медленные переменные, асимптотическое интегрирование которой как методом регуляризации, так и методом погранфункций, вообще говоря, не представляется возможным. Изучается задача Коши для такой системы на конечном отрезке времени и строится асимптотическое разложение ее решения, коэффициенты которого содержат как быстро осциллирующие функции, так и функции типа погранслоя.

Результаты диссертации по мере их получения докладывались на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам в теории сингу-лярно-возмутценных уравнений (Алма-Ата, 1979 г.), на семинаре кафедры математики физического факультета Московского государственного университета (1983 г., руководитель семинара — д.ф.-м.н., проф. А.Б.Васильева), на семинаре кафедры нелинейных колебаний Воронежского государственного университета (1984 г., руководитель семинара — д.ф.-м.н., проф. А.И.Перов).

В заключение выражаю искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору В. В. Стрыгину за постоянное внимание, плодотворное обсуждение результатов и ценные советы.

В данной работе применяется поглавная нумерация параграфов, формул, определении, лемм, теорем и замечаний. Первая цифра означает номер главы, остальные — номер соответствующего параграфа, формулы, определения, леммы, теоремы и замечания.

1. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра. — Матем. сб., 1948, 22 (64), с. 193−204.

2. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных. Матем. сб., 1952, 31 (73), с.575−586.

3. Васильева А. Б. Построение равномерного приближения дня решения систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Матем. сб., I960, 50, № I, с.43−58.

4. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. -272 с.

5. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: изд-во Моск. гос. ун-та, 1978. -106 с.

6. Ломов С. А.

Введение

в общую теорию сингулярных возмущений. -М.: Наука, 1981. 400 с.

7. Ломов С. А. Об одном методе регуляризации сингулярных возмущений. ДАН СССР, 1967, 177, $ 6, с.1273−1276.

8. Ломов С. А. Об одном общем методе асимптотического решения дифференциальных уравнений. В кн.: Труды Международной конф. по нелинейным колебаниям, т.1. Киев, 1970, с.368−374.

9. Ломов С. А. Асимптотическое решение дифференциальных уравнений с параметрами. ДАН СССР, 1971, 196, В 2, с.285−288.

10. Ломов С. А. Метод возмущений для сингулярных задач. ДАН СССР, сер. матем., 1972, 36, с.635−651.

11. Ломов С. А. Формализм неклассической теории возмущений. -ДАН СССР, 1973, 212,? I, с.33−36.

12. Домов С. А., Сафонов В. Ф. Метод регуляризации для систем со слабой нелинейностью в резонансном случае. Матем. заметки, 1979, 25, № 6, с.871−889.

13. Сафонов В. Ф. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных систем со слабой многочленной нелинейностью. Тр. МЭИ, 1974, 201, с.142−150.

14. Сафонов В. Ф. Метод регуляризации для систем со слабой многочленной нелинейностью. В кн.: Всесоюзная конференция по асимптотическим методам. Фрунзе: йлим, 1975, с.314−317.

15. Сафонов В. Ф. Аналитические решения одной задачи нелинейной теории метода регуляризации. Тр. МЭИ, 1976, т.292, с. 103−107.

16. Сафонов В. Ф. Регуляризованные асимптотические решения нелинейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений. ДАН СССР, 1977, т.235, В 6, с.1274−1276.

17. Сафонов В. Ф. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных систем нелинейных дифференциальных уравнений. ЙАН СССР, сер. матем., 1979, т.43, Jfc 3, с.628−653.

18. Кобрин А. И., Мартыненко Ю. Г. Асимптотическое решение слабо нелинейной системы. Дифф. уравнения, 1977, т.13, й 6, с. I008-I0I9.

19. Сафонов В. Ф. Метод регуляризации и асимптотические решения систем с медленными и быстрыми переменными. В кн.: Всесоюзная конференция по асимптотическим методам, ч.1. Алма-Ата: Наука, 1979, с. 77.

20. Рыжих А. Д. Асимптотическое решение линейного дифференциального уравнения с быстро осциллирующим коэффициентом. Тр. МЭИ, 1978, 357, с.92−94.

21. Рыжих А. Д. Применение метода регуляризации для уравнения с быстроосциллирующими коэффициентами. В кн.: Всесоюзнаяконференция по асимптотическим методам, ч.1. Алма-Ата: Наука, 1979, с.64−66.

22. Рыжих А. Д. Асимптотика решения одной задачи, содержащей быстро осциллирующий коэффициент с ненулевым начальным аргументом. В кн.: Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. Куйбышев: КГУ, 1980, с. II3-I24.

23. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. 4-е изд. — М.: Наука, 1974. -503 с.

24. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. — 464 с.

25. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. — 310 с.

26. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. -Киев: Наукова думка, 1971. 440 с.

27. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. -2-е изд., перераб. М.: Наука, 1981. — 400 с.

28. Найфе А. Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. — 455 с.

29. Фещенко С. Ф., Шкиль Н.й., Николенко Л. Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами. Киев: Наукова думка, 1966. -251 с.

30. Новожилов И. В. О применении асимптотических разложений теории дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной душ исследования гироскопических систем. Изв. АН СССР, сер. МТТ, 1970, & 4, с.50−57.

31. Кобрин А. И., Мартыненко Ю. Г., Новожилов й.В. Применение методов теории сингулярно возмущенных уравнений для исследования гироскопических систем. В кн.: Всесоюзная конференция поасимптотическим методам. Фрунзе, Клим, 1975, с. 321.

32. Кобрин А. И., Мартыненко Ю. Г. Об одном методе построения асимптотического решения задачи о движении гироскопа в кардановом подвесе. Изв. АН СССР, МТТ, 1971, J6 3, с.40−47.

33. Черноусько Ф. Л., Шамаев А. С. Асимптотика сингулярных возмущений в задаче динамики твердого тела с упругими и диссипатив-ными элементами. Изв. АН СССР, МТТ, 1983, К°. 3, с.33−42.

34. Зубов В. И. Аналитическая динамика гироскопических систем. -Л.: Судостроение, 1970. 317 с.

35. Николаи Е.1. Гироскоп в кардановом подвесе. 2-е изд. -М.: Наука, 1964. — 136 с.

36. Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963. — 482 с.

37. Меркин Д. Р. Гироскопические системы. М.: Наука, 1974. -344 с.

38. Климов Д. М., Харламов С. А. Динамика гироскопа в кардановом подвесе. М.: Наука, 1978. — 208 с.

39. Васильева А. Б. Асимптотические формулы для решений обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при производной, справедливые на бесконечном промежутке. ДАН СССР, 1963, 142, В 4, с.769−772.

40. Бутузов В. Ф. Асимптотические формулы для решения системы дифференциальных уравнений с множителем при производной на полубесконечном промежутке. Вестник МГУ, с. 1,1963,№ 4, с.3−14.

41. Uopptnsteadt 7. С. $Cnyulca ptthurixxtioris on. ike. infinite, inieiiral. «Ttans. of Ihz QMC «v. /?3, tJ2, 1966, p. 521−555.

42. Hoppentteac/t 9. C. Pzopettus of Solutions of otdLncajy, diffeimtial tfuations with, small poz&rwtzts," -" Comил. Putt and CLppt. ГПсШг. Ол. and Qfpt. 45, /W.

43. Волосов В. М. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений. УМН, 17 (1962), .*> 6, с.3−126.

44. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: изд-во Моск. ун-та, 1971. — 506 с.

45. PR. Sdhna, М. batu, Batachandid. On ПопССпюь. Gyioicopic Systems. tTltcficuucs loday. Vot.3, Ntur Уогк: Ptigamon Pttss, 191−6, p. i9iЗ.ЧЪ.

46. Stlkna, P. R., M. д. batcithcubdtci. «d Уиг&гоиЩсиЫогъ of //ie method of avixaqiay fot Systems totth. TuroTune SacUes’J Omch. Red. JTltch. Oinal. 58{.1915)tf>.2Gt-28b.

47. Эфендиев B.B. Асимптотическое решение сингулярно возмущенной начальной задачи на промежутке О, li *. В кн.: Всесоюзная конференция по асимптотическим методам в теории синг. возм. уравнений, ч.1. Алма-Ата, 1975, с.168−169.

48. Эфендиев В. В. Усреднение в сингулярно возмущенных задачах управления по параметрам. Деп. в ВИНИТИ, № 1890−77.

49. Флэтто Л., Левинсон Н. Периодические решения сингулярно возмущенных систем. Математика, 1958, 2, $ 2, с.61−68.

50. Коняев Ю. А. О существовании периодических решении некоторых систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производной. ДАН, 1982, т.264, № I, с.40−44.

51. Божко В. А. О периодических решениях системы линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. Изв. ВУЗов. Математика, 1980, № 3 (214), с.80−84.

52. Шкиль Н. И. О периодических решениях систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных. Тр. У Между-нар. конф. по нелинейным колебаниям, т.1. Киев, 1970, с. 623−629.

53. Рапопорт И. М. О некоторых асимптотических методах в теориидифференциальных уравнений. Киев: изд. АН УССР, 1954. -290 с.

54. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. 3-е изд. — М.: Наука, 1967. -575 с.

55. Горелова Е. Я., Стрыгин В. В. Представление решения задачи Коши сингулярно возмущенных систем вблизи интегрального многообразия на асимптотически больших отрезках времени. В кн.: Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений.