Асимптотика автомодельных решений диссипативных задач газовой динамики

Физико-математические модели многих процессов основаны на системе уравнений газовой динамики с учетом различных физических эффектов. Газодинамическое движение в них играет важную, а зачастую и определяющую роль. Уравнения газовой динамики — это математическое выражение основных законов сохранения (массы, импульса и энергии). Сами по себе уравнения газовой динамики не линейны. Получено много важных результатов в отдельных разделах газовой динамики, но, тем не менее, общих методов решения газодинамических задач в настоящее время не существует, нет также доказательств единственности решения в общем случае. Это объясняется сложностью уравнений газовой динамики и, прежде всего, их нелинейностью, так как давление, плотность, температура и скорость должны быть определены из решения нелинейной системы уравнений в частных производных. В то же время именно нелинейность порождает многие эффекты, к примеру, ударные волны и волны разрежения, с которыми приходится считаться в практически важных случаях. Задача о поршне и задача о точечном взрыве являются примерами нелинейных задач, в которых возникает ударная волна.

Для понимания сути явлений значительную помощь оказывают различного рода упрощенные модели, в том числе основанные на уравнениях, допускающих наличие автомодельных решений. Автомодельные решения могут играть существенную роль не только в анализе отдельных качественных сторон явлений, но и в исследованиях принципиального характера, позволяющих установить общие закономерности процессов на определенной стадии их развития.

Препятствием на пути получения точных аналитических решений является также ряд существенных особенностей в задачах прикладной математики, таких как нелинейности, изменяющиеся коэффициенты, границы сложной формы и многое другое. Таким образом, для получения информации о решениях уравнений мы вынуждены прибегнуть к приближенным методам. Среди них следует выделить, прежде всего, асимптотические методы, которые дают приближенные решения и представляют собою разложения по малым параметрам задач. Они дают возможность изучить асимптотические свойства решений, которые не могут быть установлены численными методами. Следует особо отметить метод пограничных функций, который позволяет в ряде задач прикладной газовой динамики учесть вязкость и теплопроводность.

Считая коэффициенты вязкости и теплопроводности малыми параметрами, можно попытаться найти асимптотическое разложение некоторых функций по этому малому параметру, также входящему и в противодавление. Несмотря на принципиальное ограничение точности асимптотических приближений они, как правило, дают верное представление о качественном поведении неизвестных функций.

В данной диссертации для получения асимптотических разложений решений задач газовой динамики применяется метод пограничных функций [7],[8].

Объектами наших исследований являются задачи о поршне и точечном взрыве. В отличие от многих авторов [2−3],[10],[12],[14], которые изучали эти задачи для газа, лишенные вязкости и теплопроводности, нашей целыо являются задачи с малыми параметрами в коэффициентах вязкости и теплопроводности.

Задача о точечном взрыве впервые возникла в связи с необходимостью описать явления, которые имеют место при взрывах зарядов малого объема и веса, но обладающих большой энергией.

Пусть в объеме, достаточно малом по сравнению с объемом окружающей среды, сосредоточена малая масса взрывчатого вещества, и в некоторый момент времени происходит взрыв, сопровождающийся быстрым выделением энергии, причем плотность выделившейся энергии (количество энергии в единице объема) намного больше плотности энергии окружающей среды. При этом произойдет мгновенное повышение давления и температуры среды в окрестности взрыва и возникает сильная ударная волна, затухающая по мере ее распространения от места взрыва.

Учет всех факторов, влияющих на распространение взрывной волны в реальных условиях, делает вопрос о теоретическом описании явления взрыва весьма сложной задачей. Здесь, как и в ряде других сложных явлений, для успешного решения проблемы необходима некоторая идеализация, заключающаяся в учете только тех факторов, которые являются преобладающими в развитии всего явления. В явлениях, связанных со взрывами, такой идеализацией является предположение о том, что процесс выделения энергии происходит мгновенно, а объем, занятый взрывчатым веществом, и масса взрывчатого вещества заряда считаются равными нулю, т. е. в случае сферической симметрии взрыв будет происходить в точке, при цилиндрической симметрии — вдоль прямой, при плоской симметрии — вдоль плоскости. Термином точечный взрыв, соответствующим сферическому случаю, называют также взрывы вдоль прямой и вдоль плоскости, что соответствует на практике взрывам достаточно длинных прямолинейных круглых цилиндрических зарядов (цилиндрический взрыв) и зарядов, размещенных вдоль плоскости (плоский взрыв).

Несмотря на некоторую идеализацию, принятую при постановке задачи о точечном взрыве, теория точечного взрыва дает возможность получить" с достаточной для практики точностью все необходимые данные о характере возникающего при взрывах неустановившегося движения среды. Это связано с тем, что в процессах взрыва, встречающихся на практике, выделение значительной энергии всегда происходит за весьма короткий промежуток времени и в малом объеме, по сравнению с объемом, занятым окружающей средой. Так, при взрыве заряда тротила (химическое взрывчатое вещество с калорийностью около 1000 к-кал/кг), занимающего объем сферы радиуса один метр при весе заряда около 7 тонн, выделение химической энергии порядка 7−106 к-кал происходит за доли миллисекунды [9].

Еще более быстрое выделение энергии может происходить при электрических разрядах и взрывах тонких металлических проволок, через которые пропускается импульсный ток, несущий большую энергию. Для описания возникающего при этих процессах движения среды также применимы выводы теории точечного взрыва.

Сравнение результатов, полученных согласно теории точечного взрыва, с экспериментальными данными позволяет сделать вывод, что явления обычных химических взрывчатых веществ будут достаточно точно описываться теорией точечного взрыва на тех расстояниях, где влияние газообразных продуктов взрыва не сказывается существенно на движении среды. Для взрыва тротила в воздухе это имеет место, начиная с расстояний,-для которых масса газа, вовлеченного в движение ударной волной, примерно в 10 раз больше массы взрывчатого вещества заряда [9].

Следует отметить, что теория точечного взрыва наиболее точно описывает распространение ударных волн, возникающих при атомных взрывах, так как для них время выделения энергии ничтожно мало, а плотность энергии взрыва намного больше плотности энергии взрывов химических взрывчатых веществ.

Теория точечного взрыва также нашла свое новое важное приложение к задачам обтекания тонких затупленных тел потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью. Выводы, основанные на результатах теории точечного взрыва с плоскими и цилиндрическими волнами, в ряде случаев дают хорошее совпадение с данными экспериментов по обтеканию затупленных плоских тел и тел вращения гиперзвуковым потоком.

Из вышесказанного вытекает важность решения задач, связанных с теорией точечного взрыва.

Задача о поршне является одной из наиболее распространенных краевых задач, встречающихся в приложениях. Например, ее частным случаем является задача о движении газа, формирующемся в результате перемещения в нем твердого тела или системы тел (вообще — твердых непроницаемых границ). При заданном законе движения тела положение его поверхности известно в любой момент времени. Эта поверхность является, таким образом, поверхностью типа у/{{) = с/", с > 0, а > 0, следовательно, контактная характеристика полностью задана.

На практике задача о поршне находит применение в вопросах, связанных с предварительным быстрым сжатием газа, а также с явлениями удара и откола [33].

Постановка задачи о поршне. В неподвижный политропный газ, л заполняющий все пространство Я, в момент времени ^ = 0 начинает вдвигаться с заданной скоростью ^'(0 поршень, форма которого соответствует плоской, цилиндрической или сферической симметрии. Впереди поршня возникает ударная волна, идущая по покоящемуся газу. Требуется определить скорость перемещения ударной волны, а также движение газа между ней и поршнем в предположении автомодельное&trade-.

В газовой динамике широко распространена «модель поршня» — задача о поршне, решение которой при определенных условиях является автомодельным. Термин «автомодельный» буквально означает «себе подобный». Обычно в это понятие вкладывается тот смысл, что распределения в пространстве зависящих от времени величин связаны друг с другом некоторым преобразованием масштабов измерения зависимых и независимых переменных. Модель поршня часто используется для описания поведения различных физических объектов. Так, задачу о сильном взрыве с учетом газообразных продуктов взрыва можно исследовать, моделируя движение этих газообразных продуктов движением поршня, имеющего плоскую, цилиндрическую или сферическую поверхность, пренебрегая при этом начальными размерами массы взрывчатого вещества [14]. Задача об установившемся обтекании тонкого тела потоком с большой сверхзвуковой скоростью с достаточно хорошим приближением аналогична задаче о нестационарном движении поршня [34]. При изучении солнечных вспышек, плазмы солнечного ветра и ударных волн в космическом пространстве привлекаются разнообразные теоретические описания движения газа, в том числе гидродинамическое приближение. С целью идеализации источника возмущений плазмы часто рассматривают модель поршня и модель точечного взрыва с последующим движением поршня. Если предполагать, что энергия подводится в течение достаточно долгого времени, то процесс вспышки можно моделировать расширением поршня в газе [14].

В мишенях, облучаемых мощным потоком лазерного излучения, в результате поглощения энергии в некотором слое вблизи поверхности резко повышаются температура и давление. В результате этого часть мишени будет разлетаться наружу, а внутренние области слоя пойдут вглубь, сжимая впереди себя вещество. Другими словами, по отношению к внутренней части мишени нагретый слой действует как поршень (см., например, [35]).

Из вышесказанного становится понятно, что существует целый ряд задач газовой динамики, сводящихся к задаче о поршне, которая в связи с этим представляет большой интерес для изучения.

Согласно [13], диффузия, теплопроводность и вязкость осуществляются одним и тем же механизмом — непосредственным молекулярным переносом. Теплопроводность можно рассматривать как «диффузию энергии», а вязкость — как «диффузию импульса». Поэтому можно утверждать, что коэффициент диффузии, температуропроводность и кинематическая вязкость имеют один и тот же порядок величины, и при изучении обеих задач коэффициенты вязкости и теплопроводности можно представить виде р, = ф, Л = еЛ, где б — число Кнудсена. В дальнейшем в рассматриваемых задачах величина б будет считаться малым параметром.

В работе [12] был отмечен случай, когда система газовой динамики с учетом вязкости и теплопроводности допускает автомодельное решение, однако вопрос о зависимости этого решения от параметров вязкости и теплопроводности не изучался.

В настоящей диссертации рассматривается именно этот случай для задач о поршне и точечном взрыве.

Действительно, рассмотрим систему уравнений газовой динамики в форме законов сохранения для вязкого и теплопроводного газа в эйлеровых координатах: р, + {ри)х + риу/х = 0, (, ри), +{р + ри2) х + ри2у/х = (рих)х, (.рЕ), + [ри (Е + р/р) — риих ]х+[ри (Е+р/рриих) }у/х = = (Лвх)х+Я вху/х. Если в данной системе сделать замену л: Р и аГ.

Р о.

ЧМ а-1.

2л/2Ла-2 яХ*.

Е = Е.

2тг2.2а-2 р = р, и = уи, в = у2ё, р = у2р, Е = у2Ё, д = уд, г = у2г, х = уг х то получим систему д&trade- 17/ ч, 21−2а о/ л5^ а— = Р{ы, у, у, а) + а -(IV, V)—, ду ау да ду ду ау да где, а = е^2а, п=(Г, в), у = (д, г, х), г У И и р + г.

Я).

Уи У.

V ?

-—[яе + ги-х]—в л У. v + уц у. ., ч2 2а-(у уУ, а уУ.

— ч.

У а) У 1 > (У~]).

F0 = дУ У~1и о) [Ы е = ¦ в г-1) и.

При, а = ½ эта система становится системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменной у.

Асимптотика задачи ищется в виде разложения по степеням <�у для = на полуоси у0<�у<�со в предположении разрыва (ударной волны) вырожденного решения в точке у = 1 > у0, то есть в виде.

Х = Х + ПХ, Х (у, &) =^Хк (у)стк, ПХ (г], а) =? ПкХ (1г)ак, т/ = — к=0 к=0 «» где ПкХ (т7) = {ЩХ (Т]) при 7] < 0, ЩХ{г]) при г/ > о}. Для нахождения параметра найдена формула сг.

Л = ехР.

2- Ж ы О ф (5) где Ф (^) — известная функция.

Случай цилиндрической симметрии рассмотрен детально во втором параграфе первой главы. В этом случае задача допускает два интеграла: интеграл энергии и интеграл адиабатичности. Благодаря этим соотношениям решение задачи может быть полностью определено.

Для этого случая также найдено условие существования ударной волны: для этого необходимо, чтобы у> у0, где у0 = 2,67- корень уравнения /-1 у+ 1) 2у Лу-2 = 2. Также доказано, что энтропия за фронтом ударной волны возрастает, т. е. выполнено условии устойчивости ударной волны.

Путем применения метода последовательных приближений доказывается существование и единственность решения задачи, находятся оценки пограничных функций и невязок вида. С помощью применения теоремы Хоппенстеда [17] доказано, что решение может быть продолжено на бесконечность.

Теорема 1.

Пусть выполнено условие существования ударной волны.

Тогда в окрестности вырожденного решения существует решение задачи такое, что при достаточно малом б.

Х-Хп<�С8П+Ъ.

Важно, что в отличие от работы Н. Л. Крашенинниковой [12], где утверждалось отсутствие ударных волн в случае цилиндрической симметрии, в работе показано, что ударные волны возникают при выполнении условия У>Уо.

Далее в работе рассматривается случай а-½ для общей геометрии течения. Этот случай интересен тем, что задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Благодаря этому факту и тому, что исходную систему можно провести к одному уравнению, в правой части которого числитель и знаменатель имеют формы многочленов, с помощью аппарата Пуанкаре полностью изучен фазовый портрет этого уравнения и характер его особых точек. В результате исследования обнаружено, что в случае и = 0,1 ударной волны не возникает.

Полученный вывод о том, что в случае сферической симметрии (т.е. при у = 2) и /е (1−5/3] перед поршнем возникает ударная волна, полностью согласуется с результатами, формально полученными Н. Л. Крашенинниковой [12], но, в отличие от последних, является строго обоснованным.

В третьем параграфе первой главы диссертации для случая общей геометрии течения и, а = 1 / 2 однозначным образом определены все внутренние параметры для функций всех порядков, включая высшие. Это позволяет построить асимптотическое решение задачи высокого порядка в этом случае.

Во второй главе рассматривается задача о точечном взрыве в случае цилиндрической симметрии. Эта задача описывается системой р, + (ри)х + ри/х = О, (ри), + (р + ри2) х + ри2/х = (//иД, (/??), +1> (? ¦+ Р/Р)1 + [ри{Е + Р/Р) ]/* = (Я (9Г + fiUUx) x + + fiuux) lx, с начальными и краевыми условиями р, и, р)[=о = (р0,и0,р0) = const, u (0,t, s) = 0, где второе условие является условием симметрии течения, р0 = р0, и0 = 0, р0 — 0, у > 1, у = ср /су, р0 — противодавление. Кроме того, предполагается, что на оси симметрии при t — О мгновенно выделяется энергия 2тиЕ0, которая остается постоянной для всего объема движущегося газа, и справедливо равенство.

00 о.

Систему можно привести к тихоновской форме и далее искать асимптотику в том же виде, что и в первой главе диссертации.

Благодаря тому, что задача допускает интеграл энергии и интеграл адиабатичности, система для нахождения регулярной части разложения может быть сведена к одному уравнению.

Коэффициенты сингулярного разложения ПХ ~{TIw, nv) находятся из следующих систем для нулевого и А:-го приближений: dI7ow tj F dI7ov n dI7kwП F dn"V — П f dr] drj drj dr] при условии, что ЩХ 0 при rj -" -оо, П+кХ -> 0 при г/ -> со, к = 0,1,2,.

Из условий сопряжения и условий Гюгопио определяются начальные данные для регулярной части разложения, а также величины [р'к, и'к, р1к^.

На первом шаге нулевая асимптотика определяется не полностью, так как остается неопределенным внутренний параметр К0'. Этот параметр находится далее при построении асимптотики первого порядка. В работе установлено условие для однозначного определения внутренних параметров.

Это условие было проверено численно для различных значений параметра у и было обнаружено, что оно выполняется для /<3.1 и для />3.2.

Обоснование асимптотики проводится для краевой задачи в переменных (р, р), поскольку вырожденное решение, соответствующее этой задаче, является ограниченным на полуоси 0 < у < оо по компонентам р и р.

Одновременно с обоснованием асимптотики с помощью применения метода последовательных приближений проводится доказательство теоремы существования и единственности решения задачи.

Аналогично тому, как это сделано в первой главе, находятся оценки пограничных функций и невязок вида СУ,+1. Также показано, что решение может быть продолжено на бесконечность.

Теорема 2.

Пусть выполнено условие I (/) + 1⁰.

Тогда в окрестности вырожденного решения существует решение задачи, удовлетворяющее краевому условию с невязкой порядка и такое, что при достаточно малом е.

У* 1 при к = 1,2,., я:

О' где С не зависит от е, а п— любое.

В приложении к диссертации собран и адаптирован теоретический материал [17, 19−20, 25], используемый при построении асимптотики решений исследуемых задач. Перечислены условия, полученные в работе [19], при которых существует единственное решение х{1,/л) краевой задачи и имеет место неравенство х (1,/л) — X,/л) < с/лп+] при 0</<1.

Далее подробно объясняется понятие условной устойчивости, для этого используется материал монографий [19] и [25]. Также приведен алгоритм нахождения асимптотики общей краевой задачи вида.

N Ф. ч 0, = (1) ш т.

2а).

7(0,//) = /, (ЗЪ) где определены на & = Д * Оу, а Ярг хЯчу При 0 < / < 1, а постоянные диагональные матрицы, а и Ь таковы, что, а = diag{Ek, Q}, а + Ъ — Ер? и дано обоснование асимптотического разложения решения задачи.

Асимптотика решения краевой задачи (1)(2а)(2Ь) ищется в виде.

Х = х (^уи) + Пх (г0,//) + бх (г1,/4 (3) где = = = причем * = к=0 к=0 к=0 ш.

Теорема 3.

Пусть выполнены условия А. Тогда при достаточно малом 0 < ¡-л < //0 существует решение задачи (1), (2Ь), удовлетворяющее краевым условиям (2а) с ошибкой порядка 0(/л" +]), и неравенству х", И)-Хп (?, 1и)\<�С1и^ (4) при 0</<1, где константа С не зависит от /Л, а ^"(Л/О — частичная сумма разложения (3).

В завершение в приложении приведена теорема Хоппенстенда, изложенная в работе [17], в которой при определенных условиях доказано существование решения начальной задачи вида.

О', 7.

Б У' = уЦ0) = уа, Ж.

РЛ на полубесконечном интервале^о — ^ <�со, и сходимость этого решения к решению вырожденной системы при? —> О равномерна на всех замкнутых подмножествах из ¿-о — ^ < 00 ¦

На теоретические сведения, изложенные в приложении, мы опираемся при изучении поставленных в работе задач. Поскольку ранее этот материал был представлен в разрозненном виде, в том числе частично только в иностранной литературе, было решено переработать его, адаптировав под интересующие нас задачи, и изложить отдельно.

Результаты предлагаемой диссертации обсуждались на Ш международной конференции «Математические идеи П. Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания», Обнинск, 2006 [26],[29], на международной конференции «Тихонов и современная математика», Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 2006 [27], на IV международной конференции «Математические идеи П. Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания», Обнинск, 2008 [28], на семинаре Института Математического Моделирования РАН, Москва, в 2009 году.

По теме диссертации было опубликовано 6 работ в период с 2005 по 2009 гг. Из них, в реферируемых журналах из перечня ВАК опубликованы 2 работы ([30],[31]).

Заключение

.

До настоящего времени для задач газовой динамики, описывающих поведение системы с учетом вязкости и теплопроводности, асимптотика решений не строилась. В данной работе впервые построена асимптотика для диссипативных задач.

Изученные в работе системы уравнений газовой динамики с учетом диссипации при помощи специально подобранных замен переменных и ряда проведенных преобразований впервые приводятся к тихоновской форме. При изучении задачи о поршне для общей геометрии течения при, а = ½ обнаружено, что исходную систему можно полностью исследовать с помощью сферы Пуанкаре. Благодаря этому изучен фазовый портрет системы и характер ее особых точек. Впервые строго доказывается тот факт, что ударная волна при, а = ½ существует только в случае сферической симметрии и только если показатель среды / е (1−5/3].

Для задачи о поршне в цилиндрическом случае найдено условие существования ударной волны. Для этого необходимо выполнение условия результат получен впервые и он опровергает результаты работы [12], в которой утверждается отсутствие ударных волн в случае цилиндрической симметрии. Также доказано, что энтропия за фронтом ударной волны возрастает, т. е. выполняется условие устойчивости ударной волны.

При изучении задачи о точечном взрыве нами было найдено условие существования решения задачи 1(у) +1⁰, где /(/) — известная функция от параметра у = ср! су, являющегося показателем адиабаты Пуассона.

Выполнение этого условия было проверено численно и было обнаружено, что условие соответствует /<3.1 и />3.2. При таких / в окрестности вырожденного решения существует решение задачи (3.4)(3.4Ь),.

0, где /0 = 2,67- корень уравнения.

Данный удовлетворяющее условию (3.4с) с невязкой порядка 0(еп+]) и такое, что при достаточно малом? выполняется — Хи|| < Се" +], 0<�е<�е0, где С не зависит от е, а плюбое.

В данной работе полностью обосновывается построенная асимптотика решения задач, т. е. найдены оценки уклонений найденных асимптотических разложений от точных решений.

В заключение выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Вилю Асадулаевичу Тупчиеву за постановку задач, полезные обсуждения и постоянное внимание к работе.