F-локальные подгруппы в группах с обобщённо конечными элементами

Если множество элементов конечного порядка в бесконечной группе G конечно, то ввиду известного результата Дицмана" [10] они составляют конечную вполне характеристическую подгруппу группы G. Если же множество таких элементов в G бесконечно, то естественно возникают различные вопросы об их расположении в группе [40].

Многие исследования в теории бесконечных групп посвящены доказательствам существования в группе «хороших» бесконечных подгрупп. Так, по известной теореме Каргаполова-Холла-Кулатилаки [11,44] любая бесконечная локально конечная группа содержит бесконечную абелевую подгруппу. Существует определённая параллель между подгруппами Силова в конечных группах и хорошими подгруппами в бесконечных группах, позволяющими применять при изучении бесконечных групп методы локального анализа. Учитывая важность таких подгрупп, на первом Всесоюзном симпозиуме по теории групп М. И. Каргаполовым был поставлен вопрос о существовании бесконечной абелевой подгруппы в произвольной бесконечной группе (вопрос 1.24 из [13]).

Вопрос 1.24. (М.И. Каргаполов). Всякая ли бесконечная группа обладает бесконечной абелевой подгруппой?

В 1967 г. В. П. Шунков [33] доказал существование бесконечных подгрупп с нетривиальным центром в периодических группах с инволюциями. В том же году С. П. Струнков положительно решил вопрос М. И. Каргаполова в классе бинарно конечных групп [28, 29]. П. С. Новиков и С. И. Адян [1] показали, что вопрос М. И. Каргаполова в общем случае решается отрицательно. В настоящее время известно много примеров бесконечных групп с конечными абелевыми конкретного класса групп. В 1974 г. В. П. Шунков доказал существование бесконечных абелевых подгрупп в бипримитивно конечных группах [36] и сопряженно бипримитивно конечных группах [38]. В диссертации дается положительное решение вопроса М. И. Каргаполова в классе групп более широком, чем вышеупомянутые классы групп.

С вопросом М. И. Каргополова тесно связан вопрос С. П. Стрункова 2.75 из [13]:

Вопрос 2.75 (С.П. Струнков). Пусть периодическая группа G содержит бесконечное множество конечных подгрупп, общее пересечение которых содержит неединичные элементы. Содержится ли тогда в G неединичный элемент, централизатор которого бесконечен.

Как показал К. И. Лоссов [15], в общем случае ответ на вопрос С. П. Стрункова отрицателен. С другой стороны, несомненный, а для групп со слабыми условиями конечности — значительный интерес, представляют необходимые и достаточные условия положительного (отрицательного) решения вопроса С. П. Стрункова для каждой конкретной группы. Так в [39, 40, 41] даны некоторые достаточные признаки существования в группе бесконечной подгруппы с нетривиальным центром. В диссертации вопрос С. П. Стрункова решается положительно при более слабых условиях конечности, чем в этих работах.

Вопросы М. И. Каргаполова и С. П. Стрункова решались В. П. Шунковым для различных классов групп [38, 40]. После решения в 1970 г. В. П. Шунковым ряда известных проблем минимальности в классе локально конечных групп, активизировались исследования групп, удовлетворяющих условиям конечности более слабым, чем локальная конечность. В настоящее время известно бесконечно много классов групп с различными условиями конечности [6, 17, 20]. Вместе с тем интенсивно развивается теория гиперболических групп, в которых вопросы существования подгрупп с фиксированным нетривиальным центром имеют немаловажное значение. В данной диссертации эти вопросы рассматриваются опираясь на конечность и разрешимость подгрупп вида.

Lg=(a, a8).

Пусть G — произвольная бесконечная группа. Любую ее бесконечную подгруппу Н с нетривиальным локально конечным радикалом назовем /локальной подгруппой. Если при этом Я содержит бесконечно много элементов конечного порядка, назовём её насыщенной. Неединичный элемент, а называется почти конечным, если почти для всех ge G подгруппы вида Lg=(a, as) конечны. Если подгруппы Lg=(a, ag) конечны и разрешимы, то элемент, а называется в диссертации конечным разрешимым. Если указанные свойства выполняются почти для всех элементов а9, то элемент, а называется почти конечным разрешимым.

Цель диссертациинайти достаточные условия существования в группе насыщенных /-локальных подгрупп, содержащих фиксированный элемент, и доказать существование бесконечных периодических абелевых подгрупп в обобщённо конечных группах.

Произвольное множество X конечных подгрупп группы G называется веером с основанием T=f] H^l, HteX (основание пустого веера будем считать произвольным) [25]. В. П. Струнков в [28, 29] такие множества называл букетами. Веер называется конечным или бесконечным в зависимости от конечности или бесконечности множества X. Произвольное подмножество YqX называется подвеером веера X. Амальгамой ^ (X) веера X называется теоретико-множественное объединение подгрупп веера X. Бесконечный веер X с основанием Т называется почти правильным, если основание любого бесконечного подвеера из X совпадает с Т. Бесконечный почти правильный веер X с основанием Т называется правильным, если Т&Х и для любой подгруппы V < Г такой, что имеет место включение.

Полурешеткой L (X) веераXназывают нижнюю полурешетку всех подгрупп, содержащихся в подгруппах веера X Множество J (X) i оснований всевозможных бесконечных подвееров бесконечного веера X,.

-¦-! называется основной полурешеткой веера X. Веер X называется ограниченным, если все цепи из полурешетки L (X) имеют конечную длину и неограниченным в противном случае.

Говорят, что смешанная группа G обладает периодической частью, если все её элементы конечного порядка составляют подгруппу [40]. Неединичный элемент, а конечного порядка произвольной бесконечной группы G назовём обобщённо конечным, если, а принадлежит основанию веера конечных подгрупп, амальгама которого почти полностью содержит неединичный класс сопряжённых элементов группы G. Другими словами почти для всех элементов с некоторого неединичного класса b подгруппы (а, с) конечны, т. е. выполняется (а, Ь) — условие конечности [40].

В случае, когда свойство обобщённой конечности справедливо для всех элементов простого порядка из G и наследуется всеми ее подгруппами и фактор-группами по периодическим нормальным подгруппам, назовем G обобщенно конечной группой.

В первой главе приведены результаты и методы, используемые при доказательстве основных результатов диссертации.

В главе 2 доказаны 3 теоремы.

Теорема 1. Пусть G — бесконечная группа, а и Ъ — инволюции, аёЪа и почти для всех элементов abG подгруппы (а, с) конечны. Тогда либо G обладает конечной периодической частью, либо инволюции аиЪ принадлежат насыщенным f-локальным подгруппам.

Приведены примеры групп, удовлетворяющие всем условиям теоремы, за исключением условия a t b°, для которых теорема не верна.

Теорема 2. Пусть G — бесконечная группа, а — элемент простого порядка р > 2 из G и почти для всех элементов a9eaG подгруппы (а, а9) конечны и разрешимы. Тогда либо G обладает конечной периодической частью, либо элемент, а принадлежит насыщенной f-локальной подгруппе.

Теорема 2 очень близка по содержанию к одному из основных результатов монографии [40] (теорема 4.1). Однако в условиях теоремы 4.1 из [40] требуется конечность всех подгрупп (а, а9). Кажущаяся очевидной равносильность слабого и сильного условий (а, а9)-конечности до сих пор не доказана [13] (вопрос 13.53). Кроме того, теорема 2 диссертации существенно используется в доказательстве теоремы 5, поскольку доказать конечность всех подгруппп вида {Ъ, Ь9), не удалось. Конечность таких подгрупп доказана только почти для всех элементов Ь9.

Теорема 3. Пусть G — бесконечная группа, а — инволюция, b — элемент л простого порядка р> 2 из G и почти для всех элементов ceb подгруппы {а, с) конечны и разрешимы. Тогда либо G обладает конечной периодической частью, либо хотя бы один из элементов а, b принадлежит насыщенной fлокальной подгруппе.

В теореме 4 главы 3 даются основы метода обособленных ядер Фробениуса. Пусть G — произвольная группа. Для любого неединичного элемента хе G через Nx будем обозначать множество всех элементов из ядер конечных фробениусовых подгрупп группы G, дополнением Фробениуса в которых является подгруппа <�х>. Допустим, что множество Nx бесконечно, элемент х не содержится ни в какой /-локальной насыщенной подгруппе группы G и любой бесконечный веер с основанием, содержащим элемент х, не может состоять из конечных неразрешимых подгрупп. Согласно сделанным предположениям каждая конечная х-допустимая подгруппа F0 с Nx содержится в конечной максимальной подгруппе F с Nx. Рассмотрим веер Fx всех максимальных фробениусовых подгрупп вида FA{T), где ядро F с Nx и дополнение Г содержит элемент х.

Теорема 4. Пусть G — группа, Fx — бесконечный веер конечных максимальных фробениусовых подгрупп группы G, Т — основание веера и элемент хе Т простого порядка не содержится в насыщенной f-локальной подгруппе. Тогда существует разбиение Fx = Y U Xj UХ2 U. UXn веера Fx на конечный или пустой веер Y и конечное число п правильных, вееров Х{ с основаниями Г/. При этом каждая подгруппа Не Х{ есть группа Фробениуса с неинвариантным множителем 7} (1=1, ., п) и ядро любой подгруппы из веера X] U Х2 U. U Х&bdquoпересекаются тривиально с ядром любой другой подгруппы этого веера.

Далее в главе 3 изучаются группы с обобщённо конечными элементами простых порядков, при a-b > 4.

Теорема 5. Пусть G — бесконечная группа, а и Ъ — элементы простых порядков из G, a-b > 4 и почти для всех элементов с е Ъ подгруппы {а, с) конечны и разрешимы. Тогда либо G обладает конечной периодической частью, либо хотя бы один из элементов а, Ь принадлежит насыщенной fлокальной подгруппе.

Теорема 6. Если все конечные подгруппы группы G разрешимы и каждое её сечение по конечной подгруппе либо есть группа без кручения, либо обладает обобщённо конечным элементом порядка >2. Тогда либо G обладает конечной периодической частью, либо G содержит бесконечную локально конечную подгруппу.

Из теоремы 6 вытекает.

Следствие 1. Если в обобщённо конечной группе множество элементов конечного порядка бесконечно и все её конечные подгруппы разрешимы, то она содержит бесконечную локально конечную подгруппу.

В главе 4 рассмотрен случай почти конечного элемента порядка 4 и пары «(а, Ь) при a-b = 8 (теоремы 7, 8). Доказано существование бесконечных локально конечных подгрупп в некоторых обобщенно конечных группах х теорема 9), а также в бесконечных группах периода 12 (теорема 10 и следствие 2).

Если в группе выполняется (а, 6)-условие конечности, то оно выполняется и для пары элементов простых порядков. Как показал В. П. Шунков [41], случай, а = Ъ = 2 и beaG особый, для него неверен аналог теоремы 1. Однако, если Ьеа, обе инволюции а, Ь принадлежат /локальным подгруппам, содержащим бесконечно много элементов конечного порядка. Тем самым случаи почти конечного элемента порядка 4 и пары (а, Ъ) при a-b = 8 выделяются в объекты отдельного исследования, проведённого в настоящей главе.

Теорема 7. Пусть G — бесконечная группа, а — элемент порядка 4 из G и почти для всех элементов а9 е а° подгруппы {а, а9) конечны и разрешимы. Тогда либо группа G обладает конечной периодической частью, либо элемент, а принадлежит f-локалъной подгруппе, содержащей бесконечно много элементов конечного порядка.

Теорема 8. Пусть G — бесконечная группа, а, Ъ — элементы из G, один из которых инволюция, а второй — элемент порядка 4, и почти для всех элементов b9 € bG подгруппы < а, Ь9) конечны и разрешимы. Тогда либо группа G обладает конечной периодической частью, либо хотя бы один из элементов а, Ь принадлежит f-локальной подгруппе, содержащей бесконечно много элементов конечного порядка.

Теорема 9. Если все конечные подгруппы группы Gразрешимы и каждое её сечение по конечной подгруппе либо есть группа без кручения, либо обладает обобщённо конечным элементом порядка >2. Тогда либо G обладает конечной периодической частью, либо G содержит бесконечную локально конечную подгруппу.

Теорема 10. Пусть G — бесконечная группа периода 2тп, где т>0, п-нечетно и каждая группа периода п локально конечна. Тогда любой 2- элемент h группы G содержится в подходящей бесконечной локально конечной подгруппе.

Благодаря известным результатам Бернсайда, Санова [18], Холла о локальной конечности групп периода 3,4, 6 в последние годы усилился интерес к группам периода 12 (см. вопрос Шункова 11.127 [5] и [23]).

Следствие 2. В бесконечной группе периода 12 каждый 2-элемент содержится в подходящей бесконечной локально конечной подгруппе.

Результаты диссертации были изложены на Международных конференциях в Томске (2003г.), Иркутске (2004г.), в Екатеринбурге (2005г.) на «Мальцевских чтениях» в Новосибирске (2003 -2005 гг.) и Красноярске «Алгебра и ее приложения» (2007г.). Кроме того, они обсуждались на семинарах при Красноярском государственном аграрном университете и Красноярской государственной архитектурно-строительной академии, а также на Красноярском городском семинаре «Алгебраические системы».

Во время работы над диссертацией автор получал поддержку Российского фонда фундаментальных исследований, гранты № 99−01−542, № 03−01−356 и Красноярского краевого фонда науки, грант № 9F0132.

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в [49] - [57].

Автор выражает благодарность научным руководителям профессорам В. П. Шункову и А. И. Созутову за постановку задачи, помощь в работе и внимание с их стороны.

1. Адян С. И. Проблема Бернсайда и тождества в группах.- М.-.Наука, 1975.

2. Адян С. И. Периодические произведения групп // Тр. мат. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова.- Т. 142. М.: Наука, 1976, — С. 3−21.

3. Алешин С. В. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодическихгруппах // Мат. заметки.- 1972.-Т. 11, N 3. С 319.

4. БеляевВ.В. Группы с почти регулярной инволюцией // Алгебра илогика.1987. Т. 26, N5. С. 531−535.

5. Бусаркин В. М., Горчаков Ю. М. Конечные расщепляемые группы.- М.:Наука, 1968.

6. Голод Е. С. О ниль-алгебрах и финитно аппроксимируемых группах//Изв.АН СССР. Сер. матем.- 1964. Т. 28, N 2. С. 273−276.

7. Горенстейн Д. Конечные простые группы, — М.: Мир, 1985.

8. Горчаков Ю. М. Группы с конечными классами сопряженных элементов.М.: Наука, 1978.

9. Гретцер Г. Общая теория решеток.- М.: Мир.- 1982.

10. Дицман А. П. О центре р-групп // В сб. Труды семинара по теории групп.- Москва.- 1938. С. 30−34.

11. Каргаполов М. И. О проблеме О.Ю.Шмидта// Сиб. матем. ж.-1963.-Т. 4, N1.-C. 232−235.

12. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп.- М.: Наука, 1977.

13. Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп. Изд. 15-е.-Новосибирск, 2002.

14. Курош А. Г. Теория групп.- М.: Наука, 1967.

15. Лоссов К. И. Достаточные условия вложимости амальгамы в61периодическую группу // Тезисы сообщений 19-й Всесоюзной алгебраической конференции. Часть 1. Львов, 1987. — С. 163.

16. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах.-М.: Наука, 1989.

17. Рожков А. В. Условия конечности в группах автоморфизмов деревьев // Алгебра и логика.- 1998. Т. 37, N 5 -С. 568 605.

18. Санов И. Н. Решение проблем Бернсайда для периода 4 // Учен. Записки ЛГУ. Сер. Матем.- № 10, — с. 166−170.

19. Сенашов В. И., Шунков В. П., Яковлева Е. Н. Группы с конечной периодической частью // Тез. докл. Международ, конф. «Алгебра и её приложения». — Красноярск, — 2002. С. 105−106.

20. Середа В. А., Созутов А. И. Об ассоциативных нильалгебрах и группах Голода// В сб. Труды 21 межвуз. Науч.-техн. Конф. (апрель 2003 г.). Математика.- Красноярск: КрасГАСА.-2003. С.21−44.

21. Созутов А. И., Шунков В. П. Об одном обобщении теоремы Фробениуса на бесконечные группы // Матем. сб.- 1976, — Т. 100, N 4.-С. 495−506.

22. Созутов А. И., Шлепкин А. К. О группах с нормальной компонентой расщепления // Сиб. матем. ж.- 1997. Т. 38, N 4. С. 897−914.

23. Созутов А. И., Шунков В. П. О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами // Алгебра и логика.- 1977.-Т. 16, N 6. С. 711−735.

24. Созутов А. И. О существовании в группе бесконечных подгрупп с нетривиальным локально конечным радикалом // Препринт ВЦ СО АН СССР в г. Красноярске.- 1980. С. 11−19.

25. Созутов А. И. О существовании в группе/локальных подгрупп// Алгебра и логика.- 1997, — Т. 36, N 5. С. 573−598.

26. Созутов А. И. О некоторых признаках непростоты групп синволюциямиМатематические системы Сб. науч. Тр. — Красноярск.-2004;С. 18−34.

27. Старостин А. И. О группах Фробениуса // Укр. Матем. Ж.- 1971. Т. 23, N5.-С 629−639.

28. Струнков Н. П. Подгруппы периодических групп // ДАН СССР.-1966.-Т. 170, N2. С. 279−281.

29. Струнков Н. П. Нормализаторы и абелевы подгруппы некоторых классов групп // Изв. АН СССР. Сер. матем- 1967. Т. 31, N 3. С. 657−670.

30. Холл М. Теория групп.- М.: ИЛ, 1962.

31. Череп А. А. О множестве элементов конечного порядка в бипримитивно конечной группе // Алгебра и логика.- 1987. Т. 26, N 4. С. 518−521.

32. Череп А. А. О бесконечных группах Фробениуса // Деп. в ВИНИТИ 11.03.91.-N 1014-В-91.

33. Шунков В. П. К теории периодических групп // ДАН СССР.- 1967. Т. 175, N6. С. 1236−1237.

34. Шунков В. П. О периодических группах с почти регулярной инволюциейАлгебра и логика.-1972. Т.11, N 4. С. 470−494.

35. Шунков В. П. О проблеме минимальности для локально конечных группАлгебра и логика.- 1972; Т. 9, N 2- С. 220−248.

36. Шунков В. П. Об абелевых подгруппах в бипримитивно конечных группах // Алгебра и логика, — 1973. Т. 12, N 5. С. 603−614.

37. Шунков В. П. О бесконечных централизаторах в группах // Алгебра илогика.- 1974. Т. 13, N 2. С. 224−226.

38. Шунков В. П. О достаточных признаках существования в группе бесконечных локально конечных подгрупп // Алгебра и логика.-1976.-T.15,N6. С. 716−737.

39. Шунков В. П. Мр-группы, — М.: Наука, 1990.

40. Шунков В. П. О вложении примарных элементов в группе.- ВО Наука.63Новосибирск, 1992.

41. Шунков В. П. Го-группы.- Новосибирск: Наука, Сибирская издательскаялфирма РАН, — 2000. 180 с.

42. W. Feit, On groups which contain Frobenius groups as subgroups // Pros. Symp. Math., Vol. 1,1959. P 22−28.

43. Felt W., Thompson J.G. Solvability of groups of odd order// Pacif. J. Math.-1963.-V. 13.-P. 771−1029.

44. Hall P. Kulatilaka С. K. A property of locally finite groups // J. London Math. Soc.- V. 39. P. 235−239.

45. Hartley B. A general Brauer-Fauler theorem and centralizers in locally finite groups // Pacif. J. Math.- 1992. V. 152, N 1. P. 101−117.

46. Higman G. Groups and ring which have automorphisms without nontrivial fixed elements// J. London Math. Soc- 1957. V. 32. P. 321−334.

47. Mamontov A. Involutions in group of period 12 // Алгебра и логика: Материалы международного российско-китайского семинара (Иркутскб 6−11 августа, 2007).-С. 127.

48. Thompson J.G. Finite groups with fixed-point-free automorphisms of prime order//Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.- 1959.-V. 45.-P. 578−581.Работы автора по теме диссертации.

49. Созутов А. И., Янченко М. В. О признаках существования в группе /локальных подгрупп П Тез. докл. Международ, конф. по математике и механике (Томск, 16−18 сентября 2003 г.).-Томск, — Изд-во ТГУ.- 2003. С 55−56.

50. Созутов А.И.-, Янченко М. В. О существовании в группе /-локальных подгрупп // В сб. Труды XXI межвуз. науч.-техн. конф. (апрель 2003 г.). Математика.- Красноярск: КрасГАСА.- 2003. С. 45−58.

51. Созутов А. И., Янченко М. В. О / -локальных подгруппах групп с (а, Ь)~ условием конечности // В сб. матер. XXII регион, науч.-техн. конф. «Проблемы архитектуры и строительства», — Красноярск: КрасГАСА.-2004. С. 16.

52. Созутов А. И., Янченко М. В. О некоторых признаках существования / локальных подгрупп в группе // В сб. матер. XXIII регион, науч.-техн. конф. «Проблемы строительства и архитектуры». -Красноярск: КрасГАСА.- 2005. С. 215−216.

53. Янченко М. В. О существовании в группе/локальных подгрупп // Вестник Красноярской государственной архитектурно-строительной академии.-Красноярск: КрасГАСА, — 2005. С. 301−302.

54. Созутов А. И., Янченко М. В. О существовании в группе /-локальных подгрупп // Сиб. матем. журн.- 2005. Т. 46.

55. Созутов А. И., Янченко М. В. Fлокальные подгруппы в группах с обобщенно конечным элементом порядка 2 и 4// Сиб. матем. журн.- 2007.Т. 48,№ 5.-С. 1150−1157.

56. Янченко М. В. Fлокальные подгруппы групп с инволюциями // Сб. тр. сем. «Математические системы». -Красноярск: КрасГАУ.- 2007. Вып. 6.-С. 122−127.