О бесконечных группах Фробениуса и Mp-группах

Актуальность темы

Изучение бесконечных групп с разного рода условиями конечности началось еще в 30-х—40-х годах прошлого века в школе О. Ю. Шмидта. Это было связано с попытками обобщить некоторые результаты по конечным группам на бесконечные группы. Результаты по этому направлению можно также найти в работах С. Н. Черникова [28, 29], М. И. Каргаполова [12, 13], В. П. Шункова [31, 32] и др.

Диссертационная работа также относится к этому разделу теории групп. В ней получены признаки непростоты некоторых бесконечных групп с условиями конечности и охарактеризованы Мр-группы. Признаки испростоты находят применение во многих областях теории групп. Одним из основных признаков непростоты является теорема Фробениуса. В 1901 году Г. Фробениус доказал, что в конечной группе G, обладающей парой Фробениуса (G, Н)) совокупность элементов, не содержащихся ни в Я, ни в одной сопряженной с Н подгруппе, вместе с единицей составляют нормальный делитель F группы G [40]. Теорема Фробениуса в полном объеме переносится на класс локально конечных групп [3, 4]. Также она справедлива и в классе (периодических) бинарно конечных групп, т. е. групп, в которых любая пара элементов порождает конечную подгруппу [20]. Однако теорема Фробениуса неверна в общем случае, более того, она неверна в классе периодических групп. В связи с этим фактом В. П. Шунковым определение пары Фробениуса было распространено на бесконечные группы. Напомним, что (G, Н) называется парой Фробениуса, если Н П Н° = 1 для любого элемента д eGH.

В.П. Шунковым был введен следующий аналог определения группы Фробениуса для бесконечных групп.

Определение. Группа вида G = F X Н называется группой Фробениуса [33], если выполняются следующие условия:

1) № П H = 1, g e G H.

2)GF = [)g?GH°{l}.

Идея рассматривать произвольные, не обязательно конечные группы Фробениуса Lg = (а, д~1ад) с циклическим неинвариантным множителем (а) принадлежит В. П. Шункову [20]. Признаки непростоты групп с произвольными подгруппами Фробениуса Lg позволяют делать более сильные заключения о строении групп с дополнительными условиями конечности. В диссертационной работе методика исследования групп также основана на изучении бесконечного множества подгрупп Фробениуса. В исследованиях бесконечных групп с различными условиями конечности потребовались более сильные признаки непростоты, чем теорема Фробениуса. Как правило, в них утверждается существование в G нормальной подгруппы — ядра некоторой группы Фробениуса. Подобные теоремы в школе В. П. Шункова принято называть признаками непростоты и они близки по содержанию к теореме Фробениуса. В значительной мере их появление было продиктовано потребностями развиваемой В. П. Шунковым и его учениками «положительной теории периодических групп». Получение признаков непростоты и исследования групп Фробениуса проводились А. И. Созутовым и В. П. Шунковым [19, 21, 22, 23, 24, 31, 33, 36].

Mp-группы с ручками порядка, отличного от двух, в группе без инволюций изучались в работах В. П. Шункова [34, 35, 36]. Мр-группы с ручками порядка 2 изучал В. О. Гомер [6]. В диссертации получен признак непростоты бесконечной группы. Из него как следствие получена характеризация Мр-групп с ручками порядка, отличного от трех.

Напомним определение Мр-группы.

Группа G называется Мр-группой, если для ее бесконечной нормальной полной абелевой р-подгруппы В с условием минимальности и элемента, а порядка р выполняются следующие условия: а) локально конечные^{-подгруппы} из Со (а)В/В конечныб) если некоторая полная абелева р-подгруппа С группы G содержится в множестве (JgeG (a, a9), то С < В.

Подгруппы В, (а) называются соответственно ядром и ручкой Мр-грунпы G.

Определение Мр-группы было введено В. П. Шунковым в конце 1983 года [34]. К классу Мр-групп относятся, например, черниковские группы, обладающие бесконечной р-подгруппой и почти регулярным элементом порядка р. Голоморфное расширение таких групп с помощью всякой группы внешних автоморфизмов является Мр-группой. Можно указать пример Мр-группы, у которой в некотором сечении элемент ручки и с ним сопряженный порождают бесконечную периодическую группу. Ядро Mp-группы не обязано совпадать с максимальной полной абелевой р-подгруппой [34]. В работах В. П. Шункова можно найти более специальные примеры [34, 36].

Цель работы. Охарактеризовать М^-группы с р-конечными ручками порядка, отличного от трех. Получить признак непростоты бесконечной группы, содержащей бесконечную систему подгрупп Фробениуса вида Lg = (а, а, 9) с неинвариантным множителем 6X2(3).

Методика исследования. Применяются теоретико-групповые методы исследования, в том числе разработанные научным руководителем автора В. П. Шунковым.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и снабжены доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории групп и при чтении специальных курсов лекций по алгебре.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Конференции молодых ученых (ИВМ СО РАН в г. Красноярске, 2002, 2003, 2004 гг.), на Международном семинаре по теории групп, посвященном 70-летию А. И. Старостина и 80-летию Н. Ф. Сесекина (УрГУ в г. Екатеринбурге, 2001 г.), на Международной конференции «Мальцевские чтения» (НГУ в г. Новосибирске, 2002, 2003 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [42]—[52], [54]—[55].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы (55 названий), занимает 75 страниц текста. Нумерация теорем, лемм, следствий и примеров в диссертации двойная: первое число — номер главы, второе — номер теоремы, леммы, следствия или примера.

1. Адян С. И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. — М.: Наука, 1975.

2. Адян С. И. Аксиоматический метод построения групп с заданными свойствами // Успехи матем. наук. 1977. — Т. 32, № 1. — С. 3−15.

3. Бусаркин В. М., Старостин А. И. О локально конечных расщепляемых группах // УМН. 1962. — Т. 17, № 6.

4. Бусаркин В. М., Старостин А. И. О расщепляемых локально конечных группах // Мат. сб. 1963. — Т.62, № 3. — С. 275−294.

5. Бусаркин В. М., Горчаков Ю. М. Конечные расщепляемые группы. -М.: Наука, 1968.

6. Гомер В. О. О группах с элементами конечных рангов: Дис.. канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 1992.

7. Горчаков Ю. М. Группы с конечными классами сопряженных элементов. М.: Наука, 1978.

8. Горчаков Ю. М. О локально нормальных группах // ДАН СССР. -1962. 147, № 3. — С. 537−539.

9. Журтов А. Х. Квадратичные элементы групп Фробениуса: Дис.. докт. физ.-мат. наук. Нальчик. 2003.

10. Журтов А. Х., Мазуров В. Д. О группах Фробениуса, порождённых квадратичными элементами // Международный семинар по теории групп. Тезисы докладов. Екатеринбург. 2001. — С. 77−81.

11. Измайлов А. Н., Шунков В. П. Два признака непростоты групп с бесконечно изолированной подгруппой // Алгебра и логика. 1982. — Т. 21, № 6. — С. 647−669.

12. Каргаполов М. И. Локально конечные группы, обладающие нормальными системами с конечными факторами // Сиб. мат. журн. 1961. — Т.2, № 6. — С. 853−873.

13. Каргаполов М. И. О разрешимых группах конечного ранга // Алгебра и логика. 1962. — Т.1, № 5. — С. 37−44.

14. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.

15. Куроти А. Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

16. Мерзляков Ю. И. Матричное представление групп внешних автоморфизмов черниковских групп // Алгебра и логика. -1969. Т. 8, № 4. — С. 478−482.

17. Мерзляков Ю. И. Рациональные группы. М.: Наука, 1980.

18. Подуфалов Н. Д. Конечные простые группы без элементов порядка 6, 10 // Алгебра и логика. 1975. — Т. 14, № 1. — С. 79−85.

19. Попов A.M., Созутов А. И., Шунков В. П. Группы с системами Фробениусовых подгрупп. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. — 211 с.

20. Сенашов В. И., Созутов А. И., Шунков В. П. Исследования групп с условиями конечности // Препринт № 2 ИВМ СО РАН. -Красноярск, 2003. 97 с.

21. Созутов А. И., Шунков В. П. Об одном обобщении теоремы Фробениуса на бесконечные группы // Мат. сб. 1976. — Т. 100, № 4. — С. 495−506.

22. Созутов А. И., Шунков В. П. О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами // Алгебра и логика. 1977. — Т. 16, № 6. — С. 711−735.

23. Созутов А. И., Шунков В. П. О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами, часть 2 // Алгебра и логика. 1979. Т. 18, № 2. С. 206−223.

24. Созутов А. И. Два признака непростоты группы с сильно вложенной подгруппой и конечной инволюцией // Мат. заметки. 2001 — Т. 69. Вып. 3. — С. 443−453.

25. Старостин А. И. Периодические локально разрешимые вполне расщепляемые группы // Известия вузов. Математика. 1960. — № 2. С. 168−177.

26. Старостин А. И. О группах Фробениуса // Укр. мат. журн. 1971. -Т. 23, № 5. — С. 629−639.

27. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962.

28. Черников С. Н. О локально разрешимых группах, удовлетворяющих условию минимальности для подгрупп // Матем. сб. 1951. — Т. 28, № 1. — С. 119−129.

29. Черников С. Н. К теории бесконечных специальных групп // Матем. сб. 1968. — Т. 7, № 6. — С. 539−548.

30. Черников С. Н. О периодических группах автоморфизмов экстремальных групп // Матем. заметки. 1968. — Т. 4, № 1. С. 92−96.

31. Шунков В. П. О некотором обобщении теоремы Фробениуса на периодические группы // Алгебра и логика. 1967. — Т. 6, № 3. С. 113−124.

32. Шунков В. П. Об одном классе р-групп // Алгебра и логика. 1970. Т. 9, № 4. С. 484−496.

33. Шунков В. П. Об одном признаке непростоты групп // Алгебра и логика. 1975. — Т. 14, № 5. — С. 576−603.

34. Шунков В. П. Mp-группы // Алгебра и логика. 1984. — Т. 23, 4. С. 445−475.

35. Шунков В. П. К определению Мр-группы // Алгебра и логика. 1986. Т. 25, № 1. С. 111−113.

36. Шунков В. П. Mp-группы. М.: Наука, 1990.

37. К теории конечных групп // Сборник переводов иностранных статей. М.: Мир, 1979.

38. Blackburn N. Some remarks on Cernikov p-groups // 111. J. Math. -1962. 6. — P. 421−433.

39. Feit W., Tompson J.G. Solvability of groups of odd order // Pacif. J. Math. 13, № 3. — P. 775−1029.

40. Frobenius G. Uber auflosbare Gruppen. IV // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. zu Berlin. 1901. — P. 1216−1230.

41. Thompson J.G. Finite groups with fixed point free automorphism of prime order // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1959. — 45. — P. 578−581.

42. Козулин C.H., Сенатов В. И., Шунков В. П. Группы с ручками произвольного простого порядка / / Тез. докл. III Межд. алгебраическая конф. Украины (Сумы, 2 8 июля 2001 г.). -Сумы: Изд-во Сум. гос. ун-т. 2001. — С. 192.

43. Козулин С. Н., Сенатов В. И., Шунков В. П. Группы с ручками произвольного простого порядка // Тез. докл. Украинский матем. конгресса. (Киев, 21−24 августа 2001 г.). Киев: Изд-во Института математики АН Украины. — 2001. — С. 33.

44. Козулин С. Н., Сенатов В. И., Шунков В. П. О бесконечных группах Фробениуса // Тез. докл. междунар. алгебраической конф., посвященной памяти З. И. Боревича (17−23 сентября, 2002). ПОМИ им. В. А. Стеклова. Санкт-Петербург, 2002. — С. 43.

45. Козулин С. Н., Сенатов В. И., Шунков В. П. Группы с ручками произвольного простого порядка // ИВМ СО РАН. 2002. — 34 с. Деп. в ВИНИТИ 22.07.02, № 1368 — В2002.

46. Козулин С. Н. О некоторых Мр-группах // Материалы конф. молодых ученых 2002. ИВМ СО РАН, Красноярск, 2002. — С. 17−18.

47. Козулин С. Н. О бесконечных группах Фробениуса // Материалы конф. молодых ученых 2003. ИВМ СО РАН, Красноярск, 2003. -С. 23−24.

48. Козулин С. Н., Сенатов В. И., Шунков В. П. О бесконечных группах Фробениуса // Тез. докл. междунар. конф. по математике и механике, (16−18 сентября, 2003). Томский государственный университет, Томск, 2003. — С. 44−46.

49. Козулин С. Н., Сенатов В. И., Шунков В. П. Характеризация Мр-групп // Тез. докл. междунар. конф. по математике и механике, посвященой 75-летию со дня рождения А. И. Кокорина (Иркутск, 2528 августа 2004 г.), Иркутск, 2004. С. 56−58.

50. Козулин С. Н. Характеризация Мр-групп // Материалы конф. молодых ученых 2004. ИВМ СО РАН, Красноярск, 2004. — С. 23−24.

51. Козулин С. Н., Сенатов В. И., Шунков В. П. О бесконечных группах Фробениуса // ИВМ СО РАН 2004. — 16 с. Деп. в ВИНИТИ 31.03.04, № 536 — В2004.

52. Kozulin S.N., Senashov V.I., Shunkov V.P. Non-simplisity of infinite groups // A.M.S.E., 2004 (принято в печать).

53. Козулин С. Н., Сенатов В. И., Шунков В. П. Группы с ручками порядка, отличного от трех // Укр. мат. журнал. 2004. — Т. 56, № 8. — С. 1030−1042.

54. Козулин С. Н. О группах, содержащих подгруппы Фробениуса // Препринт № 2 ИВМ СО РАН. Красноярск, 2004. — 19 с.