Экспоненциальные и ограниченные решения линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами

Диссертационная работа посвящена исследованию некоторых вопросов теории линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами на оси и полуоси. Такие уравнения являются естественным обобщением уравнений, ядра которых зависят от разности аргументов t — s. Отличительной особенностью интегральных уравнений с периодическими ядрами является то, что условие периодичности ядра K (t + cj, s + со) = K{t, s) обеспечивает перестановочность интегрального оператора с оператором сдвига Tkux (t) = x (tf ku), к? Ъ. Это обеспечивает наличие у изучаемого уравнения многих свойств, характерных для уравнений типа свертки (K (t, s) = K (t — s)), у которых интегральный оператор перестановочен с любым оператором сдвига Ти. Поэтому полученные в работе результаты имеют соответствующие аналоги в теории уравнений с ядрами, зависящими от разности аргументов (см., например, [14], [61], [20]).

Интегральные и интегро-дифференциальные уравнения с периодическими ядрами, обыкновенные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, а так же операторы, порождаемые такими уравнениями, изучались в работах Н. В. Азбелева и его учеников [1], А.Б. Ан-тоневича [2], А. Г. Баскакова [3] - [8] и его учеников, Ю. Г. Борисовича [9],.

В.Р. Винокурова [11] - [13], В. Г. Курбатова [47],[48], В. Ф. Пуляева [62] -[72], П. М. Симонова [77], Ю. Н. Смолина [13], Е. Ю. Савчиц [74], З.Б. Ца-люка [80] - [82], Т.А. Burton’a [85] - [87] и других [15], [28], [29], [46], [55],.

Уравнения в частных производных с периодическими коэффициентами рассматривались П. А. Кучментом [49] - [53], А. И. Милославским [56], [57] и другими авторами.

Основы теории интегральных уравнений с ядрами, зависящими от разности аргументов t—s, были заложены в работах Н. Винера и Э. Хопфа, М. Г. Крейна [44], И. Ц. Гохберга [18]. Глубокие результаты по теории таких уравнений, а также их дискретных аналогов были получены в работах.

1) 00.

58], [59].

Ф.Д. Гахова и Ю. И. Черского [14], [83], И. А. Фельдмана [20], [78], Н. К. Карапетянца, С. Г. Самко [32] - [36], И. Б. Симоненко [75], [76], З. Б. Цалюка, В А. Дербенева [23], [80] - [82], В. Б. Дыбина [24]—[26], Я. М. Ерусалимского [27], B.C. Пил иди и других [37], [38], [41], [43]. Укажем также на работы И. И. Воровича, В. А. Бабешко и их учеников, в которых рассматриваются прикладные аспекты теории сверточных интегральных уравнений в динамических задачах теории упругости.

Примерами периодических ядер может служить функция Грина си* стемы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Поэтому изучаемые уравнения с периодическими ядрами могут возникать при исследовании свойств решений дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений методами интегральных уравнений. Кроме того, различные задачи, возникающие в биологии и механике, приводят к математическим моделям, которые описываются интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями с периодическими ядрами на оси и полуоси, причем с точки зрения приложений, интерес представляют в первую очередь ограниченные решения, а также решения, имеющие определенный рост (в частности, экспоненциальный).

Основными целями работы являются:

— изучение свойств интегральных операторов вида (1) с периодическим ядром в пространстве непрерывных функций, имеющих не более чем экспоненциальный рост;

— описание структуры пространства экспоненциальных решений линейного однородного интегрального уравнения на оси с периодическим ядром — т.

— изучение условий нетеровости неоднородного уравнения на оси с периодическим ядром ;

— изучение условий конечномерности пространства ограниченных решений линейного однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси;

— получение интегрального представления решения неоднородного уравнения с периодическим ядром на полуоси;

— уточнение асимптотического поведения экспоненциально убывающих при t +оо решений однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси.

Наряду с линейными уравнениями с периодическими ядрами автором изучались почти периодические решения нелинейных интегральных уравнений [88].

Подобные задачи изучались для других классов уравнений, а также в случае других пространств [65] - [70], [74]. Исследование задач, сформулированных выше, ввиду специфики пространств, в которых рассматриваются уравнения, потребовало привлечения иной техники. В тоже время, такие вопросы, как структура пространства решений однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси и асимптотика его решений, ранее не исследовались.

В работе используются методы теории линейных непрерывных операторов. Существенным при исследовании интегральных уравнений с периодическими ядрами является использование операторного аналога дискретного преобразования Фурье, применялись также методы аналитических векторных функций. Для изучения уравнения на полуоси был использован аппарат факторизации операторнозначных функций, а также порождаемой ею факторизации соответствующих интегральных операторов.

В качестве основных результатов работы можно выделить следующие:

— найдены условия, при которых пространство решений однородного интегрального уравнения с периодическим ядром на оси конечномерно и имеет базис, состоящий из решений типа Флоке;

— для неоднородного уравнения с периодическим ядром на оси указаны условия всюду разрешимости, получено интегральное представление решения;

— исследована нетеровость уравнения на оси в различных случаях роста весовой функции;

— для однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси в случае нетеровости указаны условия конечномерности пространства ограниченных решений;

— для неоднородного уравнения на полуоси получены необходимые и достаточные условия однозначной всюду разрешимости, найдено интетральное представление решенияаналогичное интегральное представление одного из решений получено и в случае, когда уравнение не является однозначно всюду разрешимым;

— найдена асимптотика имеющих экспоненциальное убывание на бесконечности решений однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси.

Работа носит теоретический характер.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

— Весенние Воронежские математические школы «Понтрягинские чтения X, XIV, XV». Воронеж, 1999, 2003, 2004;

— VII Международная научная конференция «Математика. Экономика. Экология. Образование». Ростов-на-Дону, 1999;

— Международная научная конференция «Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения». Воронеж, 2000;

— X Международная научная конференция «Математика. Экономика. Образование». Ростов-на-Дону, 2002;

— III Всероссийская молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения — 2003». Казань, 2003;

— VI Казанская международная летняя школа-конференция «Теория функций и смежные вопросы». Казань, 2003;

— Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Воронеж, 2005; а также неоднократно на семинаре по дифференциальным и интегральным уравнениям проф. Цалюка З. Б. на кафедре дифференциальных уравнений Кубанского государственного университета.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [89] -[103]. В работах [89], [92], [95], выполненных совместно с научным руководителем В. Ф. Пуляевым, ему принадлежит постановка задачи. Выбор методов исследования и доказательства принадлежат автору диссертации. В работах [91], [93] В. Ф. Пуляеву принадлежат постановка задачи и рекомендации относительно методов исследований.

Перейдем к обзору результатов диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Антоневич А. Б. Условия обратимости операторов с выпуклой рационально независимой системой сдвигов// Докл. АН СССР. 1981. -Т.256, N2 1.-С. 11−14.

2. Баскаков А. Г. Абстрактный гармонический анализ и асимптотические оценки элементов обратных матриц// Матем. заметки. 1992. — Т.52, № 2. — С. 17 — 25.

3. Баскаков А. Г. Некоторые условия обратимости линейных дифференциальных и разностных операторов// Докл. РАН. сер. матем. 1993. -Т.ЗЗЗ, № 3. — С. 282 — 284.

4. Баскаков А. Г., Чернышев М. К. Некоторые условия обратимости дифференциальных операторов второго порядка// Укр. матем. ж. -1995. Т.47, т. — С. 411 — 413.

5. Баскаков А. Г. Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов// Изв. РАН. сер. матем. 1997. — Т.61, № 6. — С. 3 — 26.

6. Баскаков А. Г. О корректности линейных дифференциальных операторов// Матем. сборник. 1999. — Т.190, № 3. — С. 3 — 28.

7. Баскаков А. Г. Гармонический анализ линейных операторов. Воронеж: ВГУ, 1987. — 164 с.

8. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. -М.: Наука, 1964. 267 с.

9. Винокуров В. Р. Об ограниченности решения системы интегральных уравнений Вольтерра с периодической матрицей// Уч. зап. Уральского ун-та. 1960. — Вып. 23. № 2. — С. 3 — 9.

10. Винокуров В. Р. Об интегральных уравнениях Вольтерра с бесконечным промежутком интегрирования// Дифференц. уравнения. -1969. Т.5, № 10. — С. 1894 — 1898.

11. Винокуров В. Р., Смолин Ю. Н. Об асимптотике уравнений Вольтерра с почти периодическими ядрами и запаздываниями// Докл. АН СССР. 1971. — Т.201, № 4. — С. 771 — 773.

12. Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. — 295 с.

13. Гельфанд И. М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами// Докл. АН СССР. 1950. — Т.73. № 6. — С. 1117- 1120.

14. Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е. Коммутативные нормированные кольца. М.: Физматгиз, 1960. — 316 с.

15. Гольденгершель Э. И. Спектр вольтеррова оператора на полуоси и экспоненциальный рост решений систем интегральных уравнений типа Вольтерра// Матем. сборник. 1964. — Т.64, № 1. — С. 115 — 139.

16. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов// Успехи мат. наук. 1958. — Т.13, Вып.2. — С. З — 72.

17. Гохберг И. Ц. Задача факторизации оператор-функций//Изв. академии наук СССР, серия математич. 1964. — Т. 28. — С. 1055 — 1082.

18. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. — 352 с.

19. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. М.: Мир, 1962. Т.1. — 895 с.

20. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука, 1967. 472 с.

21. Дербенев В. А., Цалюк З. Б. Асимптотические поведение резольвентынеустойчивого уравнения Вольтерра с ядром, зависящим от разности аргументов// Матем. заметки. 1997. — Т.62, № 1. — С. 74 — 79.

22. Дыбин В. В., Джиргалова С. В., Мельник А. Б. Дискретный оператор типа свертки в пространстве {а,/3}р, 1 < р < оо//РГУ. Ростов-на Дону, 2002. — 49 с. — Деп. в ВИНИТИ 11.02.2002., № 46-В2002.

23. Дыбин В. Б., Джиргалова С. Б. Составные дискретные свертки в пространстве {а,(3}р, 1 < р < оо.(Ч.1)//РГУ. Ростов-на Дону, 2003. -32 с. — Деп. в ВИНИТИ 14.01.2003., № 90-В2003.

24. Дыбин В. Б., Джиргалова С. Б. Составные дискретные свертки в пространстве {а, /3}р, 1 < р < оо.(Ч.П)//РГУ. Ростов-на Дону, 2003. -45 с. — Деп. в ВИНИТИ 12.11.2003., № 1946;В2002.

25. Ерусалимский Я. М. Необходимые и достаточные условия нетеровости операторов мультипликативной дискретной свертки// Изв. Сев.-Кавк. научн. центра высшей школы. Серия естеств. науки 1973. — № 4. -С. 105 — 107.

26. Зверкин A.M. К теории линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и периодическими коэффициентами// Докл. АН СССР. 1959. — Т.128, № 5. — С. 882 — 885.

27. Зверкин A.M. О полноте системы решений типа Флоке для уравнений с запаздыванием// Дифференц. уравнения. 1968. — Т.4, № 3. -С. 474 — 478.

28. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. — 624 с.

29. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. — 742 с.

30. Карапетянц Н. К. Дискретные уравнения типа свертки в одном исключительном случае// Сибирск. матем. ж. 1970. — Т.11, № 1. — С. 80 -90.

31. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. О дискретных уравнениях Винера-Хопфа с осциллирующими коэффициентами// Докл. АН СССР. -1971. Т.200, № 1. — С. 17 — 20.

32. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Об индексе некоторых классов интетральных операторов// Изв. АН Арм ССР. матем. 1973. — Т.8, JV® 1. -С. 26 — 40.

33. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения. Ростов-на-Дону: РГУ, 1988. — 188с.

34. Карапетянц Н. К. К вопросу о полной непрерывности операторов типа свертки//Изв. вузов. Математика. 1980. — № 1. — С. 41 — 49.

35. Карлович Ю. И., Кравченко В. Г., Литвинчук Г. С. Теория Нетера сингулярных интегральных операторов// Изв. вузов. Математика. -1983. № 4. — С. 3 — 27.

36. Карлович Ю. И. С*-алгебры операторов типа свертки с дискретными группами сдвигов и осциллирующими коэффициентами// Докл. АН СССР. 1988. — Т.302, № 3. — С. 535 — 540.

37. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов// Успехи мат. наук. -1971. — Т.26, Вып. 4. — С. 15 — 41.

38. Келдыш М. В., Лидский В. Б. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов. В кн.: Избранные труды. Математика. — М.: Наука, 1985. — С. 332 — 354.

39. Колесников И. А. Некоторые условия обратимости разностных операторов. Диссканд.физ.мат.наук. Воронеж, 2000. — 106с.

40. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Мир, 1989. — 624с.

41. Коробейник Ю. Ф. Операторы сдвига на числовых семействах. -Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 1983. 156с.

42. Крейн М. Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов// Успехи матем. наук. 1958. — Т.13, Вып. 5. — С. 3 — 120.

43. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. — 104с.

44. Кузнецов В. В. Спектральный анализ периодических операторов. Дисс— канд.физ.мат.наук. Воронеж, 1996. — 121с.

45. Курбатов В. Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения-Воронеж: Изд. ВГУ, 1990. 168с.

46. Курбатов В. Г. Об алгебрах разностных и интегральных операторов// Функц. анализ и прил. 1990. — Т. 24, ДО 2. — С. 98 — 99.

47. Кучмент П. А. О нетеровых операторах в паре банаховых пространств// Тр. научно-иссл. ин-та матем. ВГУ. Воронеж, 1971. -Вып. 3. — С. 61 — 77.

48. Кучмент П. А. Представление решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными и периодическими коэффициентами (обзор). В кн.: Теория операторных уравнений. -Воронеж: Изд. ВГУ, 1979. — С. 62 — 69.

49. Кучмент П. А. О представлении Флоке решений линейных гипоэллип-тических систем дифференциальных уравнений в частных производных с периодическими коэффициентами// Функц. анализ и его прил. -1979.-Т. 13, № 1. С. 72.

50. Кучмент П. А. К теории Флоке для периодических линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом// Успехи мат. наук. 1979. — Т. 34, № 3. — С. 201 — 202.

51. Кучмент П. А. О теории Флоке для параболических и эллиптических граничных задач в цилиндре// Докл. АН СССР. 1981. — Т. 258, № 2. -С. 269 — 299.

52. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.:Наука, 1973. — 738с.

53. Ланге Б. В., Рабинович B.C. Критерий нетеровости псевдодифференциальных операторов на Rn с символами класса C°°(i?n х Rn)// Докл. АН СССР. 1985. — Т. 285, № 6. — С. 1317 — 1320.

54. Милославский А. И. К теории Флоке для параболических уравнений// Функц. анализ. 1976. — Т. 10, № 2. — С. 80 — 81.

55. Милославский А. И. Теория Флоке для абстрактных параболических уравнений с периодическими коэффициентами: Диссканд.физ.мат.наук. Ростов-на Дону, 1976.

56. Мухамадиев Э. М. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций// Матем. заметки. 1972. -Т.11, Вып.З. — С. 269 — 274.

57. Мухамадиев Э. М. Исследование по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных уравнений// Матем. заметки. -1981. Т. ЗО, Вып. 3. — С. 443 — 460.

58. Никольский Н. К. Лекции об операторах сдвига. М.: Наука, 1980. -384 с.

59. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.:Мир, 1979. — 493 с.

60. Пуляев В. Ф. Существование асимптотически^{-периодических} решений у интегральных уравнений Вольтерра. // Изв. Сев.-Кавк. научн. центра высш. школы. Серия естеств. наук. 1973. — № 4. — С. 75 — 78.

61. Пуляев В. Ф., Цалюк З. Б. Об асимптотически а—периодических решениях у интегральных уравнений Вольтерра// Дифференц. уравнения. 1974. — Т.10, № 6. — С. 1103 — 1110.

62. Пуляев В. Ф., Цалюк З. Б. К вопросу о допустимости некоторых пар пространств для линейных операторов и уравнений Вольтерра// Дифференц. уравнения. 1983. — Т.19, № 4. — С. 684 — 692.

63. Пуляев В. Ф. Экспоненциальные решения интегральных уравнений// Изв. вузов. Математика. 1988. — № 6. — С. 75 — 78.

64. Пуляев В. Ф. Степенные решения интегральных уравнений// Изв. Сев.-Кав. научн. центра высш. школы. Естеств. науки. 1988. -№ 1. -С. 46 — 52.

65. Пуляев В. Ф. Ограниченные и почти периодические решения линейных интегральных уравнений. I// Дифференц. уравнения. 1989. — Т.25, № 10. — С. 1787 — 1798.

66. Пуляев В. Ф. Ограниченные и почти периодические решения линейных интегральных уравнений. II// Дифференц. уравнения. 1990. — Т.26, № 8. — С. 1423 — 1432.

67. Пуляев В. Ф. Ограниченные и почти периодические решения линейных интегральных уравнений. III// Ред. ж. «Дифференц. уравнения.— Минск, 1989. 20 с. — Деп. в ВИНИТИ 11.08.89. № 5416-В89.

68. Пуляев В. Ф. Экспоненциальные решения интегральных уравнений// В межвуз. сб. «Интегральные и дифференциальные уравнения». -Краснодар, 1992. С. 58 — 75.

69. Пуляев В. Ф., Сокол Г. Ф. О структуре решений линейных однородных интегральных уравнений с периодическими ядрами// Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2001. — Спецвып. — С. 131 — 132.

70. Пуляев В. Ф. Развитие теории линейных интегральных уравнений с периодическими и почти периодическими коэффициентами: Диссдокт.физ.мат.наук. Краснодар, 2001. — 313с.

71. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. — 587 с.

72. Савчиц Е. Ю. Линейные интегральные операторы и уравнения с периодическими и почти периодическими ядрами: Диссканд.физ.мат.наук. Краснодар, 2002. — 111с.

73. Симоненко И. Б. О многомерных дискретных свертках. // Матем. ис-след. Кишинев, 1968. Т. З, № 1(7). — С. 108 — 122.

74. Симоненко И. Б. Новый общий метод исследования линейных операторных и интегральных уравнений 1(H)// Изв. АН СССР, сер. матем. 1965. — Вып.З. — С. 567 — 586. (1965. — Вып.З. — С. 775 — 782.).

75. Симонов П. М., Чистяков А. В. О разрешимости периодических уравнений// Вестник Пермского ГТУ. Матем. и прикл матем. 1994. -№ 1.-С. 61−71.

76. Фельдман И. А. Об асимптотике решений некоторых систем интегральных уравнений// ДАН СССР 1964. — Т.154, № 1. — С. 57 — 60.

77. Функциональный анализ. Под ред. С. Г. Крейна.(Серия «Справочная математическая библиотека») М.:Наука, 1972. — 544 с.

78. Цалюк З. Б. Об устойчивости уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения. 1968. — Т.4, № 4. — С. 1967 — 1979.

79. Цалюк З. Б. О допустимости некоторых пар пространств для интетральных операторов и уравнений Вольтерра// Дифференц. уравнения. 1977. — Т.13, № 11. — С. 2096 — 2098.

80. Цалюк З. Б. Интегральные уравнения Вольтерра// Итоги науки и техники. Сер. матем. анализ / ВИНИТИ-М. 1977. — Т. 15. — С. 131 — 198.

81. Черский Ю. И. Дискретно-непрерывная система уравнений сверт-ки//Изв.ВУЗов мат. № 10, 1999. — С.81 — 82.

82. Bochner S., Fillips R.S. Absolute convergent Fourier expansion for non commutative normed rings// Ann. of Math. 1942. — V.43, № 3. — P. 109 -118.

83. Burton T.A. Periodic solutions of linear Volterra equations// Funkcial. Ekvac. 1984. — № 27. — P. 229 — 253.

84. Burton T.A. Periodic solutions of integrodifferential equations// J. Amer. Math. Soc. 1985. — V.31, № 3. — P. 537 — 548.

85. Burton T.A., Becker L.S., Kriszin Т.К. Floquet theory for a Volterra equation// J. London Math. Soc. 1988. — V.2, № 37. — P. 141 — 147.

86. Барсукова В. Ю. О почти периодичности ограниченных решений нелинейных интегральных уравнений// Природа. Общество. Человек. Вестник Южно-Российского отделения Междунар. Академии наук высш.шк. 1996. — № 4 — 5. — С.51 — 55.

87. Барсукова В. Ю., Пуляев В. Ф. Структура экспоненциальных решений линейных однородных интегральных уравнений с периодическими ядрами // Кубан. гос. ун-т. Краснодар, 2000. — 25с. — Деп. в ВИНИТИ 6.05.00, № 329-В00.

88. Барсукова В. Ю. О разрешимости линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами в пространстве функций экспоненциального роста// Кубан.гос.ун-т. Краснодар, 2000. — 14 с. — Деп. в ВИНИТИ 24.10.00, № 2691—В00.

89. Барсукова В. Ю., Пуляев В. Ф. Об экспоненциальных решениях периодических интегральных уравнений// Тр. Рос. ассоц. «Женщины-математики». 2002. — Т. 10, № 2. — С. 89 — 93.

90. Барсукова В. Ю., Пуляев В. Ф. Об асимптотике решений интегральногоуравнения на полуоси с периодическим ядром// Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. — № 4. — С. 3 — 5.

91. Барсукова В. Ю., Пуляев В. Ф. Об асимптотике экспоненциальных решений линейных интегральных уравнений на полуоси// Соврем, методы в теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней мат. школы «Понтрягинские чтенияXIV». Воронеж, 2003. — С. 15 — 16.

92. Барсукова В. Ю. О свойствах интегральных уравнений с периодическими ядрами в пространстве суммируемых с экспоненциальным весом функций//Лобачевские чтения 2003. Материалы третьей Всерос. молодеж. науч. школы-конфер.- Казань, 2003 — С.74−76.

93. Барсукова В. Ю., Пуляев В. Ф. О существовании экспоненциальных решений интегральных уравнений с периодическими ядрами на оси// Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов/АГПУ. Армавир, 2004. — Вып.1. — С.13 — 17.

94. Барсукова В. Ю. О неоднородном интегральном уравнении с периоди-^ ческим ядром на полуоси//Соврем. методы в теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней мат. школы «Понтрягинские чтенияXV». Воронеж, 2004. — С. 23 — 24.

95. Барсукова В. Ю. О свойствах решений линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами на полуоси//Соврем, методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней мат. школы. Воронеж, 2005. — С. 27 — 28.

96. Барсукова В. Ю., Пуляев В. Ф. О структуре решений линейных однородных интегральных уравнений в пространстве функций экспоненциального роста// Современные методы в теории краевых задач «Понт-рягинские чтенияX»: Тез. докл. Воронеж, 1999. — С. 27.

97. Барсукова В. Ю., Пуляев В. Ф. Об экспоненциальных решениях линейных интегральных уравнений// VII Междунар. конф. «Математика. Экономика. Экология. Образование. «: Тез. докл. Ростов-на-Дону, 1999. — С. 12 — 13.

98. Барсукова В. Ю. О свойствах решений линейных однородных интегральных уравнений на оси с периодическими ядра-ми//Междунар.научн. конф. «Нелинейный анализ и функц.-дифф. уравнения». Воронеж, 2000. — С. 50 — 51.

99. Барсукова В. Ю., Пуляев В. Ф. Об экспоненциальных решениях периодических интегральных уравнений// X Междунар. конф. «Математика. Экономика. Образование. «: Тез. докл. Ростов-на-Дону, 2002. — С.62 — 63.

100. Барсукова В. Ю., Пуляев В. Ф. Об интегральном уравнении с периодическим ядром на полуоси//Докл. VI Казанской междунар. летней шк.-конф." Теория функций и смеж. вопросы". Казань, 2003. С.29−31.