Развитие теории положительных решений квазилинейных эллиптических уравнений в RN и ее применения к моделям уединенных волн

Диссертация посвящена изучению вопроса существования нетривиальных решений квазилинейных эллиптических уравнений в пространстве и применению полученных результатов к исследованию физических моделей и описывающих их уравнений, в рамках которых возможно существование уединенных волн.

В настоящее время в различных областях физики большое количество исследований посвящено изучению нелинейных волновых процессов. Это относится к задачам гидродинамики, к различным вопросам теории плазмы и нелинейной оптики. В процессе развития теории нелинейных волн выявился ряд нелинейных волновых уравнений, которые имеют интересные свойства. Они обладают рядом интегралов движения, а также могут быть интегрируемы с помощью так называемого метода обратной задачи для вспомогательного линейного оператора. К числу таких уравнений относятся, например, известное одномерное уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ) и двумерное уравнение Кадомцева-Петвиашвили, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение Клейна-Гордона. Другим общим свойством указанных уравнений является наличие у них частного решения в виде уединенной бегущей волны. Под уединенным или локализованным решением понимается классическое решение, стремящееся к нулю на бесконечности. В настоящее время этой теме посвящено большое количество обзоров [1−6].

В 1964 г. Забужский и Крускал с помощью численного моделирования обнаружили, что два решения уравнения Кортевега — де Фриза, оба имеющие вид уединенной бегущей волны, взаимодействуют аналогично упругому столкновению частиц, обменивающихся импульсами. Обобщая этот факт, они ввели понятие солитонов, под которыми понимаются локализованные нелинейные волны, асимптотически восстанавливающие свою форму при взаимодействии с произвольным локальным возмущением.

Одна из задач, которая возникает в связи с изучением солитонов, состоит в выявлении физических моделей, для которых описывающие их уравнения допускают существование решения такого типа. В ряде случаев профиль волны может быть решением квазилинейного эллиптического уравнения, убывающим до нуля на бесконечности. Для простейших уравнений с однородной нелинейностью и постоянными коэффициентами такое решение может быть выписано явно. Впервые солитонное решение было получено Буссинеском в 1872 г. для одномерной модели длинных волн на поверхности жидкости. Оно положительное и экспоненциально убывает на бесконечности. Такой же профиль имеет и уединенная бегущая волна в уравнении Кортевега — де Фриза. Для уравнения Кадомцева-Петвиашвили [9], которое считается его двумерным обобщением, Сацума [10] получил точное n-солитонное решение, в случае п=1 называемое лампом. Это знакопеременная функция, медленно (обратно пропорционально квадрату расстояния от центра) убывающая на бесконечности. Известны солитонные решения уравнений sine-Gordon и Бюргерса, имеющие альтернативную уединенным волнам форму кинка.

Во многих работах рассматривался вопрос существования многомерных солитонов. В 1943 г. М. А. Лаврентьев опубликовал теоретические доказательства существования длинных уединенных волн на воде [45]. В [11−13] обсуждается, при каких условиях двумерные и трехмерные уединенные бегущие вихри могут появиться в плазме в рамках следующих моделей: дрейфовые потенциальные вихри, желобково-альфвеновские трубки, ионно-звуковые волны, тороидальные МГД-вихри. В монографии [38] изучается возможность существования двумерных солитонов в мелкой воде и атмосфере, а также трехмерных солитонов в мелкой стратифицированной атмосфере. В [71] вводятся три типа солитоноподобных структур, появляющихся в рамках моделей гидромеханики, таких как движение жидкости конечной глубины, двуслойной либо находящейся под ледовой пластиной. В монографиях [69, 70] исследованы явления заострения уединенных волн и их разрушения. В [39, 72] изучается вопрос существования нелинейных уединенных волн в ферромагнетиках. В работах [40−45] рассмотрены другие физические модели, в рамках которых имеются уединенные бегущие волны.

В ряде примеров для профиля волны получено квазилинейное эллиптическое уравнение с однородной нелинейностью, и высказано предположение о существовании его нетривиального уединенного решения, требующее математического обоснования.

В диссертации теория положительных решений квазилинейного эллиптического уравнения в ЕЛ' применяется к задаче о существовании решений эволюционных уравнений в виде уединенной бегущей волны. Рассматривается вопрос существования нетривиального решения эллиптических уравнений.

— Дм + Ь (х)и = /(х, и) (0−1) с нелинейностью, удовлетворяющей условию.

Я*, 0) = 0, (0.2) а также определенным условиям монотонности, убывания и роста в нуле и на бесконечности соответственно.

Также рассматривается вопрос существования собственной функции, т. е. решения нелинейного уравнения.

— А и + Ь (х)и = а/(х, и) (0.1') с собственным значением, а е К.

Задачи решаются как в ограниченной области с граничным условием Дирихле, так и во всем пространстве Е" с условием и -" 0, |.*| да. (0.3).

Изучаются свойства найденных решений, такие как гладкость, положительность, скорость убывания к нулю на бесконечности.

Уравнения (0.1) и (0.1') в силу (0.2) имеют, в частности, тривиальное решение. К типу (0.1) относится уравнение с параметром.

— Дм — Щх) и = а (х) | и Г2 и. (0.4).

Здесь 2 2, q = оо при N<2..

Простейшим примером (0.1) является одномерное уравнение.

— л" +Ьи = au2, х g M, (0.5) а > 0, Ъ > 0. При аг = 3 и Ъ = v его решение ип (х) = 2т]2 /ch2(rpc), удовлетворяет условию (0.3) и описывает форму уединенной волны w (jc, 0 = mj7(x-v0, бегущей со скоростью v = 4², являющейся частным решением уравнения Кортевега-де Фриза (рис. 0.1) w, + 6wwj + wni =0. Заметим, что возможность получить явный вид решения уравнения (0.5) основана на том, что оно является одномерным уравнением с постоянными коэффициентами. В общем случае необходимо использовать результаты теории существования уединенного решения задачи типа (0.1), (0.3)..

В качестве примера можно привести нелинейное уравнение Шредингера w, + Д w+ ?/(|w|2)w = 0..

Оно имеет солитоноподобное частное решение w (x, t) = и (х — 2kt) exp (i ((c"2 -k2)t + kx)), k e Iя,? = |k|, при k = 0 имеющее вид стоячей волны w (x, t) = exp (-ia)2t)u (x), если функция и удовлетворяет уравнению.

— Au + со2и — U{u2)u, хек". При потенциале U из определенного класса это уравнение может иметь сферически симметричное уединенное решение. В простейшем случае N = 1, U (t) = pt, р > 0, это уравнение с кубической нелинейностью:.

-и" +см = ри (0.6).

Оно имеет решение м (х) = <х>{21 Р)1'2 ск’озх), стремящееся к нулю на бесконечности..

Уравнения (0.5) и (0.6) имеют многомерное обобщение в виде уравнения с постоянными коэффициентами.

-Аи + Ьи = аи4−2 и, яеЕ", тУ>1. (0.7).

При 2 < # < уравнение (0.7) имеет уединенное радиально симметричное положительное решение. В [14] это показано методом стрельбы, основанном на сведении его к обыкновенному дифференциальному уравнению. В работах, использующих вариационный подход, решение ищется в классе радиально-симметричных функций IV,'2. При этом используются алгоритм симметризации Шварца [15−17], а также радиальная лемма Штрауса [18], в которой содержится равномерная оценка указанных функций при д-| те ..

Чтобы установить существование уединенного решения нетривиального квазилинейного уравнения в более общем случае, необходимо использовать специальные методы доказательства..

В силу условия (0.2) задача (0.1), (0.3) имеет по крайней мере тривиальное решение. Поэтому многие известные методы, гарантирующие существование решения, такие как вариации метода сжимающих отображений, для данной ситуации неприменимы. Для поиска нетривиального решения существует два основных вариационных подхода. Для задачи на собственное значение (О.Г) и задачи для уравнения (0.1) с однородной нелинейностью (/(х, и) = а (*)и|м|*~1, <7 > 2) применим метод условного экстремума. Для доказательства нетривиальной разрешимости уравнения (0.1) в более общем случае можно использовать метод перевала, сформулированный Амброзегги и Рабиновичем в 1973 г. [19]. Современное состояние этой теории изложено в [20]..

Краевая задача для уравнения (0.1) в ограниченной области с граничным условием Дирихле изучена к настоящему времени достаточно хорошо, что отражено в основополагающей статье С. И. Похожаева 1965 г. [21], в классических книгах по теории вариационных методов решения нелинейных задач [22−28] и современных монографиях [29−33]. Однако многие из разработанных методов не переносятся на случай неограниченной области и всего пространства ЕЛ'. Для вариационных методов это связано с тем, что оператор вложения Соболева РГ1,2(ЕЛ,> с ¿-'(К"), 2 не является компактным. Действительно, рассмотрим последовательность {м&bdquo-}&trade-=1, ип (х) = и0(х + еп), где .хеМ", и0 еДЁ^), е — базисный вектор в Е^. Любая ее подпоследовательность не сходится к нулю в ^(К"), хотя —> О слабо в И*2(К"), и ип ->0 в для любого Д>0..

Из других проблем, возникающих при решении задачи в К", можно отметить тот факт, что известное неравенство Пуанкаре верное для функций из № 012(П) при ограниченности области П, и его следствие.

Кя (п)^42(п),.

2<�д<�д в случае О = Мл' имеют аналог для функций из IV1−2 (Шк) лишь при N > 3 в виде неравенства Соболева [31].

Уравнение Эмдена-Фаулера (Emden-Fowler) [8].

— Дм =| и |9−2 и (0.8) при N > 3 показывает пример отличия задач в ограниченной и неограниченной областях. Это уравнение при 2 имеет положительное и счетное множество знакопеременных решений задачи Дирихле. При для «звездных» областей нетривиальное решение не существует. Уравнение (0.8) в К" с условием (0.3) при 2 < # < ц имеет знакопеременное решение при отсутствии положительного. При .

Приемы, применяемые для преодоления отмеченных трудностей решения задачи в К", накладывают определенные ограничения на функции Ь и /. В [34] требуется, например, чтобы выполнялась оценка /0,ы) < а (х)иич~2, с функцией д, стремящейся к нулю при |лг| °о либо принадлежащей классу /,/(ЕЛГ), ~ч При растущей на бесконечности функции, а [68] при условии Г ы (а (х)У2/ч сЬс <со используется весовое пространство.

•К, компактно вложенное в ¿-2(К")..

Лионе в 1984 г. [36, 37] разработал метод концентрированной компактности, основанный на сравнении исходной задачи в Р/ с «задачей на бесконечности». Это требует существования у функций Ъ и / равномерных пределов при |.х| -«оо. Среди других методов, применяемых при решении задач для уравнений (0.1), (0.Г) с условием (0.3), известны метод малых возмущений [33], топологический метод [29] и метод расслоения [34]. Ряд известных подходов к решению квазилинейных эллиптических уравнений, такие как метод фазовой плоскости, теория Люстерника-Шнирельмана, изложены в обзорной книге [35]..

Среди уравнений типа (0.1) существуют не имеющие нетривиального уединенного решения. Примером служит уравнение (0.7) с показателем степени нелинейности д, превышающим критический показатель Соболева <7*. Это может быть показано с помощью тождества Похожаева [21]..

В некоторых работах, где существование солитонных решений показывается с физическим уровнем строгости, встречается утверждение: «так как мы ищем локализованное решение, то можно пренебречь зависимостью функции Ъ от переменной х». Оно ошибочное. Действительно, рассмотрим уравнение.

-и" + Ь (х)и = и2, хеШ, (0.9) с переменным коэффициентом Ъ таким, что Ьх) > 0. Интегрируя (0. 9) по Е с весом их), с учетом уединенности решения получаем, что ^Ь'(х)и2 (х)(Ь = 0, а я это противоречит нетривиальности решения. Таким образом, нетривиальное решение задачи (0. 9), (0.3) не существует. При этом для любой ограниченной области задача Дирихле для данного уравнения нетривиально разрешима..

Этот пример показывает, что на наличие решения поставленной задачи влияют, в частности, определенные свойства коэффициента, а при линейном члене..

Если нетривиальное решение задачи во всем пространстве Е" существует, то его можно найти как предел последовательности решений задачи Дирихле для уравнения (0.1) в расширяющейся системе ограниченных областей. В случае, когда искомое решение не существует, такая последовательность может оказаться расходящейся. Приведенный выше пример показывает, что задачу в Е" в общем случае нельзя заменить на задачу в сколь угодно большой ограниченной области..

В диссертации исследуются свойства квазилинейных эллиптических уравнений (0.1), (0.Г) в ограниченной области и пространстве Е", N>1. Установлено существование нетривиальных решений, стремящихся к нулю на бесконечности, в задачах с параметром и при наличии нелинейности достаточно общего вида, удовлетворяющей определенным условиям, с анизотропной зависимостью от переменных. С помощью полученных теорем для ряда физических моделей определены условия существования уединенных бегущих волн..

В разделах 1 и 2 главы 1 диссертации решается задача о нетривиальном решении квазилинейного эллиптического уравнения (0.4) с условием (0.3). В этой постановке имеется параметр Я, который находится в окрестности минимального собственного значения. При значении параметра, большем собственного значения л, линейный оператор не является положительно определенным, что влечет трудности при использовании известных подходов..

В докритической области (при Л < Л1) решение можно искать как точку минимума одного функционала на линии уровня второго. В сверхкритической области (при Л>Л,) такой условный минимум отсутствует, так как за счет наличия собственных функций первый функционал неограничен снизу. В этой ситуации предлагается расширить постановку задачи и искать критическую точку при наличии ограничения, связанного со вторым функционалом..

Решение оказывается условно-седловой точкой. По одному из направлений, касательных к линии уровня второго функционала и связанному с собственной функцией, оно реализует локальный максимум, а по ортогональному к нему направлению — локальный минимум. Для доказательства существования положительного решения используется специальная модификация метода перевала с условием. Обычно указывается сферический барьер между тривиальной функцией и некоторой функцией с достаточно большой нормой. Если значение параметра Л больше первого собственного значения, применению стандартного подхода препятствует наличие собственной функции. В диссертации в качестве барьера предлагается использовать пересечение линии уровня одного из функционалов с пространством, являющимся ортогональным дополнением к собственной функции..

В разделе 1.1 с помощью описанного метода получены результаты о существовании нетривиального решения задачи Дирихле квазилинейного эллиптического уравнения (0.4) в ограниченной области..

В разделе 1.2 рассматривается задача в пространстве М". В этом случае появляется трудность, связанная с отсутствием компактности вложения Соболева, что влечет проблему с доказательством слабой непрерывности функционалов. Для ее решения применяется метод концентрированной компактности Лионса в форме метода сравнения с «задачей на бесконечности». Сочетание этого подхода со стандартным методом перевала достаточно известно. В работе предложена специальная реализация метода перевала, для которой техника сравнения была модифицирована. В случае, когда значение параметра превышает первое собственное значение, пришлось ограничиться рассмотрением уравнения с симметрией. Предложенный подход является новым и может быть использован и для решения других нелинейных задач..

В разделах 3 и 4 главы 1 рассматривается задача о существовании нетривиального решения уравнения (0.1) из пространства с нелинейностью / = /(*, и), удовлетворяющей определенным условиям монотонности, роста на бесконечности и убывания в нуле, при наличии неравномерной зависимости от переменных (анизотропии). Применение в этом случае известных подходов, таких как метод концентрированной компактности Лионса, не годится, так как сравнение с «задачей на бесконечности» накладывает на коэффициенты и правую часть уравнения требование о существовании равномерных пределов на бесконечности. Доказаны теоремы о существовании уединенных положительных решений уравнения (0.1) и задачи на собственное значение (0.Г). Метод решения учитывает анизотропию уравнения и основан на рекурсивном (по номеру переменной) алгоритме построения последовательности Пале-Омэйла или минимизирующей последовательности соответственно..

В разделе 1.3 данный подход используется для решения задачи (0.1), (0.3) методом условного экстремума..

В разделе 1.4 с помощью метода перевала показывается существование собственной функции нелинейной задачи (0.Г), (0.3). Полученная теорема является основой для решения задачи о поиске двумерной уединенной бегущей волны в поле одномерного решения (зонального потока), которая рассмотрена в главе 3..

В главе 2 диссертации изучаются свойства уравнения, описывающего динамику уединенных волн в атмосфере быстровращающихся планет. В разделе 2.1 рассматривается задача для уравнения, полученного В. И. Петвиашвили [40]: д д и~Аи) ±(и + т]и2) = си} (и, Ди), (0.10) хеЕ2,?е[0,со), т] >0,а>0, J (u,¦w) = ux? иХг. Оно имеет частное решение м (.т, в виде вихря, бегущего со скоростью V вдоль оси 0х, профиль и которого является решением двумерного квазилинейного уравнения типа (0.1)..

В разделе 2.2 исследуется численный метод решения уравнения (0.1) в пространстве Е" ..

В разделе 2.3 с помощью численного моделирования показывается, что указанное уединенное решение является солитоном согласно введенному выше определению..

В разделе 2.4 изучается уравнение Ландау-Лифшица-Гильберта [77], описывающее динамику намагниченности ферромагнетиков. На его стационарных решениях достигается минимум энергии Гиббса среди векторных функций постоянной длины. С помощью численного моделирования с различными начальными распределениями решалась задача о поиске уединенных решений, называемых доменными стенками, не обладающих аксиальной симметрией. Такие решения были найдены в анизотропной сфере. Для изотропного случая показано, что множества аксиально-симметричных функций достаточно для решения задачи условного минимума, и не существует нерадиальной функции, обладающей меньшим значением энергии..

В главе 3 полученные в главе 1 результаты исследования квазилинейного уравнения (0.1) в с переменным коэффициентом Ь и сложной правой частью / с анизотропной зависимостью от переменных х, / =, применяются к решению задачи о существовании локализованных бегущих вихрей..

В разделе 3.1 рассматривается уравнение.

Дм = /2(2(:с2) + и (дО)-/2(г (*2)), лг = (х13дг2) б Е2, (0.11) с функцией г = г (х2), являющейся решением уравнения.

-гх2) = Мх2^{х2)), х2 е Е1. (0.12).

Дифференцируемые функции /?, /2 удовлетворяют определенным требованиям. Они позволяют методом барьера показать существование решения уравнения (0.12) в Е1, обладающего заданной асимптотикой на бесконечности, и применить теорему 1.4.1 о существовании нетривиального уединенного решения к уравнению (0.11). По изложенной схеме решены следующие задачи..

В разделе 3.2 на фоне зонального потока в атмосфере быстровращающейся планеты найдена уединенная волна типа диполя..

В разделе 3.3 с помощью полученной в разделе 1.4 теоремы получены условия, при которых может существовать бесконечно гладкий вихрь типа антициклона с параметрами, зависящими от характеристик зонального потока..

В разделе 3.4 при наличии неоднородного электрического поля в замагниченной плазме найдена бегущая уединенная волна с положительным бесконечно гладким профилем. Показано существование волны с профилем и, удовлетворяющим условию (0.3) и уравнению (0.11), на фоне зонального потока с потенциалом скорости ц/, для которого функция г (х2) = ц/(х2) + ух2 является решением уравнения (0.12). Тогда >//(х2)+ и (хх-^, х2) — решение уравнения (0.10)..

Профили вихря и фонового одномерного решения находятся численно..

В заключении сформулированы основные результаты диссертации..

Положения диссертации отражены в 16 публикациях [87−102] и докладывались на научных семинарах в МГУ и МЭИ и международных конференциях..

Основные результаты диссертации состоят в следующем..

— Доказаны теоремы: о существовании нетривиального уединенного решения квазилинейного эллиптического уравнения с параметром в ограниченной области и в пространстве М", в доказательстве которых используется специальная модификация вариационного метода перевалао существовании положительных собственных функций и положительного решения квазилинейного эллиптического уравнения с анизотропными коэффициентами и нелинейностью общего вида, удовлетворяющей определенным условиям,.

— С использованием полученных теорем найдены условия существования уединенных бегущих волн в виде: вихря типа диполя и вихрь с положительным профилем в атмосфере быстровращающейся планеты на фоне зонального потокаволны с положительным профилем в замагниченной плазме при наличии неоднородного электрического поля..

— Проведено численное моделирование динамики волн для изучения вопроса устойчивости вихрей и процесса их взаимодействия..

— С помощью численного решения уравнения Ландау-Лифшица-Гильберта в сферических координатах изучен вопрос о существовании нерадиальных микромагнитных конфигураций..

Заключение.