Существование и единственность решений стохастических интегральных уравнений Ито-Вольтерра

§ 0.1 Постановка задачи, состояние исследуемых вопросов в литературе, краткое содержание результатов диссертации.

Стохастические интегральные уравнения Ито-Вольтерра вида являются естественным обобщением стохастических дифференциальных уравнений типа К.Ито. Уравнения вида (0.1) также появляются при исследовании различных вопросов теории стохастических дифференциальных уравнений. Широкий класс стохастических дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и стохастических интегро-дифференциальных уравнений может быть сведен к стохастическим интегральным уравнениям Ито-Вольтерра, это сведение аналогично соответствующему сведению в теории детерминированных уравнений. С другой стороны, в последнее время появился ряд статей прикладного характера [1,7,40,43,46,54,58−60,633″ в которых при построении математических моделей физических, технических, биологических и других явлений приходится пользоваться уравнениями вида (0.1). Таким образом, возникла необходимость построения общей теории таких уравнении. Хотелось, чтобы, по аналогии с детерминированной ситуацией, такая теория включала в себя (в соответствующих пределах) теорию стохастических дифференциальных уравнений типа К.Ито. Конечно, теория стохастических дифференциальных уравнений типа К. Ито заведомо окажется богаче теории стохастических интегральных уравнений Ито-Йольтерра, т.к. содержит результаты, специфические для дифференциальных уравнений. Например, в теории уравнений вида (0.1) нельзя пользоваться методами, основанными на независимости приращений решения, существенно ограничены возможности аналитических методов.

В теории стохастических дифференциальных уравнений наиболее глубоко разработаны вопросы существования и единственности решений (см., напр., £2−4,б, 10,11,19,21,84,25,41,45,52,56,57,63−651), в теории стохастических интегральных уравнений Ито-Вольтерра основными следует считать те же вопросы.

В первых работах по теории стохастических интегральных уравнений [40,48,58−60,62,63] ядро ЬсА,^,*} нулевое. Решения здесь рассматриваются как непрерывные функции со значениями в различ1&х банаховых пространствах случайных величин, ядро Ac, s, x} - как отображение при фиксированных Л? и s в соответствующем пространстве случайных величин. Основные методы исследования здесь — теоремы о неподвижных точках, основное условие существования и единственности решения — условие Липшица на отображение Результаты в этом направлении подытожены в [443.

Позднее Mawo^alv. h.H.V.^scVc* в «[543 и 1613, А, в ][53Ц аналогичными методами исследовали общее уравнение (0.1).

Dawson .45], F&Tvnwg V.H. 1463, Ю. Л. Далецкий ВД рассматривали некоторые частные уравнения вида (0.1) в гильбертовом пространстве, они получались в результате преобразования стохастических дифференциальных уравнений с локально Липшицевыми по фазовой переменной ядрами вне точек их одновременного обращения в нуль. Как показывает пример И. В. Гирсанова 3, такие уравнения могут иметь неединственное решение, факт существования решения таких уравнений следует из теоремы § 3.5 диссертации.

А.Ю.Шевляков £39], ТАго 1, &91 исследовали вопросы существования и единственности решения линейного стохастического интегрального уравнения Ито-Вольтерра с интеграруемым вторым моментом.

Т" Ьо Т. [5°] и Т. Н. Кравец ]1б] показали, что для существова-вания и единственности решения уравнения (0.1) с почти наверное непрерывными траекториями достаточно, чтобы ядра и.

6 удовлетворяли условию Липшица по первому и третьему аргументам. Позднее. А. М. Колодий ?13,143 ослабил условие на модуль непрерывности ядер по первому аргументу. В доказательствах прямо или косвенно используется известная теорема А. Н. Колмогорова о непрерывности траекторий случайного процесса (см., напр., ЦШ или ее обощения ][5,е.235],[22,с.139].

Стохастически непрерывные решения уравнения (0.1) с почти наверное суммируемыми с квадратом траекториями рассмотрены Т. Н. Кравец [153. Достаточные условия существования и единственности решений здесь весьма жесткие, например, ядра линейных уравнений им не удовлетворяют.

В «[18] Т. Н. Кравец рассмотрен вопрос о существовании слабого решения уравнения (0.1). Основное условие здесь — непрерывность детерминированных ядер Ac^j^j*) и и их частных производных поЪ первого порядка.

Следует отметить также статью йег^ет М, l zeR ?42], посвященную изучению свойств решений линейных стохастических интегральных уравнений Йто-Вольтерра.

Диссертация посвящена вопросам существования, единственности и зависимости от параметра решений стохастических интегральных уравнений Ито-Вольтерра. Хорошо известно, что в случае дифференцируемо сти ядер и по Ъ уравнение (0.1) может быть сведено к стохастическому дифференциальному уравнению без последействия, рассматривавшемуся И. Й. Гихманом и А. В. Скороходом в t.4,6] и другими. В диссертации условие дифференцируемо cm ядер по «fc, в каком бы то ни было вероятностном смысле или ему эквивалентное на ядра уравнения (0.1), нигде не накладывается.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы. В первой главе рассмотрены непрерывные в среднем квадратическом решения уравнения (0.1), во второй — стохастически непрерывные решения и решения с почти наверное непрерывными траекториями, в третьей рассмотрен важный частный случай — стохастические дифференциальные уравнения типа К.Ито.

1. Аотапов И. О., Белоцерковский С. М. .Качанов Б. О. Кочетков Ю.А. О системах интегро-дифференциальных уравнений, опшывающих неустановившееся движение жидкости в сплошной среде. -Дифференц. уравнения, 1982,18, JB9, с. 1628−1637.

2. Веретенников А. Ю. О сильных решениях и явных формулах для решений стохастических интегральных уравнений. Штем.сб., 1980,111(153)^3,с.434−452.

3. Гирсанов И. В. Пример неединственности решения стохастического интегрального уравнения К.Ито. Теория вероятностейи ее применения, 1962,7', 1еЗ, с.336−342.

4. Гихман И. И., Скороход А.В.-' Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наук. думка, 1968. — 356с.

5. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. -М.: Наука, 1971. -T.I. 664с.

6. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. -М.: Наука, 1975. -Т.З. 496с.

7. Далецкий Ю. Л. О некоторых задачах, возникающих в генетике популяций и экологии. В кн.:. Математические методы в биологии. Киев: Наук. думка, 1977, с.72−84.• ' 8. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. М.: Иностр. лит-ра, 1962. — T.I. — 895с.

8. Дьедонне Ж. Основы современного анализа, — М.:Мир, 1964,318с.

9. Звонкин А. К. Преобразование фазового пространства диффузионного процесса, уничтожающее снос. Штем.сб., 1974,93,М, с.129−149.

10. Звонкин А. К., Крылов Н. В. О сильных решениях стохастических дифференциальных уравнений. В кн. .-Труды школы-семинара по теории случайных процессов (Друскининкай, 26−30 ноября 1974).Вильнюс: Ин-т физики и математики АН ЛитССР, 1975, ч.2,с.9−88.

11. Колмогоров А. Н., Фомин G.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. — 624с.

12. Кояодий A.M. О существовании и единственности решений некоторых стохастических интегральных уравнений Ито-Вольтерра. -Донецк, 1982. 22с. — Рукрпжь представлена Донецким ун-том. Деп. в ВИНИТИ 17 мая 1982 г.,£2464−82.

13. Кравец Т. Н. О существовании решения стохастического интегрального уравнения типа Вольтерра. Теория случайных процессов, 1979, вып.7,с.57−62.

14. Кравец Т. Н. О существовании и единственности решения стохастического интегрального уравнения типа Вольтерра. Теория случайных процессов, 1980, вып.8,с.83−91.

15. Кравец Т. Н. О слабых решениях стохастических интегральных уравнений типа Вольтерра. Теория случайных процессов, 1981, вып.9,с.55−60.

16. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в простраштвах суммируемых функций. М.: Наука, 1966,500с.

17. Крылов Н. В., Розовский Б. Л. Об эволюционных стохастических уравнениях. В кн.: Современные проблемы математики (Итоги науки и техники), М.:ВИНИТИД979,Т.14,с .72−147.

18. Куратовский К. Топология. М. :Мир, 19бб. -Т.1. 594с.

19. Мельников А. В. О сильных решениях стохастических дифференциальных уравнений с негладкими коэффициентами. Теория• вероятностей и ее применения, 1979,24,JII, с.146−149.

20. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.:Мир, 1969. — 310с.

21. Рудин У. Основы математического анализа. М.:Мир, 1976.-319с.

22. Скороход А. В. Исследования по теории случайных процессов. -Киев: Изд-во Киевского ун-та, 1961. 216с.

23. Скороход А. В. О существовании и единственности решений стохастических диффузионных уравнений. Сиб.матем.журнал, 1961,2,Ж, с.129−137.

24. Федоренко И. В. О существовании, единственности и непрерывной зависимости от параметра решений стохастических интегральных уравнений Ито-Вольтерра. Изв.Сев.-Кавказок. науч. центра высш.школы, 1981, М, с. 35 -38.

25. Федоренко И. В. Существование непрерывного решения стохастического интегрального уравнения Ито-Вольтерра. Краснодар, 1981. — 14с. — Рукопись представлена Кубанским ун-том. Деп. ¦ в ВИНИТИ 28 января 1981 г., Ж341−81.

26. Федоренко И. В. О существовании решений стохастических интегральных уравнений Ито-Вольтерра.-В кн. сравнения на многообразиях (Новое в глобальном анализе-, Воронеж: ВГУД982, с.129−133.

27. Федоренко И. В. К вопросу о существовании сильного решений стохастического дифференциального уравнения типа К.Ито. -Теория вероятностей и ее применения, 1984,29,JII, с.120−123.

28. Халмош П. Теория меры. М.: Иностр. лит-ра, 1953. — 598с.

29. Харди Г., Литлвуд Дж., Полиа Г. Неравенства. М.: Иностр. лит-ра, 1948,473с.

30. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. — 720с.

31. Цалюк З. Б. О единственности решений уравнений Вольтерра. -Дифференциальные уравнения, 1969,5,1а2,с.228−239.

32. Цалюк З. Б. Функциональные неравенства Вольтерра. Изв.' высш.учебн.заведений. Математика, 1969, S3,с.86−95.

33. Цалюк З. Б. Интегральные уравнения Вольтерра. В кн.: Математический анализ (Итоги науки и техники), М.!: ВИНИТИ, 1977, Т. 15, с .131−198.

34. Цалюк З.Б.' К вопросу о сходимости последовательных приближений. В кн.: Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, вып.7, М.: Изд-во Университета Дружбы народов, 1969, с.67−74.

35. Шевляков А. Ю. Об однш классе стохастических интегральных уравнений. Теория случайных процессов, 1979, вып.7,с.118−127. 96.

36. MdW*^ ^isWi^vrWd ^(Xf^vieWL bW^Us/Mc.Wt;

37. W., 9z^tvvows"< V, Aw ex^Vemcc. -V^^ot^ ЪМ. аслЛ, ?o?.

38. UaiJiiviOiW S/T.^TsoWos С. P. t^eAevice ^во^^гчлпЛоуп ex^uA-b'ovi U^i^ojКаЛ*. я19*4,-v. Gb, p. Ml-MG.

39. TVo T, Ov" sVoetvas-Vic. iwV-e^evt.

40. TAo «I. 0y u. vvic^aeYxe.ss o^sotukows fl^ sVoe^a^Vc. of51. 1Ло SW^ASAIC 9-coc, AcagL, TOVjo, 1944, 2 0, -5M .

41. ТА о V. 0Y Ov e^Q^cxc.Vvc УуАе^ъоХe^ua-Viovt k-. fW. JoL? avv AeacL, 134 6,22,.

42. Vew-v M. Ovn Ov VoiAaitc*54. A, W.V., TsoVos C.9. Om aвАюсА0^^^- сУч^й^ТА^. ЛлМA^&-CAAVOYi AO «ЬуА^АИ^.-. VacA, yto^vеД apffc., 19K>V. 110^, 211−222.,.

43. UiWefc Hovliwuw Vo^Aexu лчАорхЛ ^uA'oмA ?**.<. С*Ц., W. A. wi vt, 19 * 1, С g p, — 98.

44. HCLCCO SX OYI или cyu? v?

45. РлД^еАА W.3./T.

46. Pactc^A J.9Tsocos C.P. Oy^ a sVocU.

47. Sao /W.V., TsoV. os c%9. cxisAreYiw 4 * 4AYIo ftViovt-^MeAt. peAut £еД sA (c)etcjsVc28 tiH. p. 99−109. .

.

48. T^oW®, C. o*.

49. ТъсЛьоъ C.p. S&ocWVic. vA-e<^.a?- e^u^Mow vt64. YatwU’T.of. *0?A*oyi"> ojf Ах^чЧ?

50. H"AHu VI^OVO W, 19*1, 15 5−1^.

51. V&Wmte Уа-^кМаЛ7. 0vVic wvmo^U^vi^sscf «ьойЛок* o^ е^иЛо^Л, 3. KM. UwW.,, U, 55VSC3.66.oiwA V> c^^WVioms, 3. Uwv. si'S,.