Доказательство теоремы Ферма для n=3

Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=3.

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:

Аⁿ+ Вⁿ = Сⁿ (1).

где n — целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.

Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:

Аⁿ = Сⁿ — Вⁿ (2).

Рассмотрим частное решение уравнения (2) при показателе степени n=3. В этом случае уравнение (2) запишется следующим образом:

A³ = C³ — B³ = (C-B) • (C² + C· B +B²) (3).

Обозначим: C — B = K (4).

Отсюда: C=B+K; B=C-K (5).

Из уравнений (3), (4) и (5) имеем:

A³ = K [C²+ C• (C-K) + (C-K) ²] =3K· C² — 3K² •C +K³ (6).

Отсюда:

3K· C² — 3K² •C — (A³ — K³) = 0 (7).

Уравнение (7) рассматриваем как квадратное параметрическое с параметрами, А и К и переменной величиной С. Решая его, получим:

C = (8).

Число C будет целым только при условии, если:

= 3N•K² (9).

Отсюда: 12K•A³ — 3K⁴ = 9N² · K⁴.

A = K (10).

K = A (11).

Из анализа формулы (10) следует, что для того чтобы число A могло быть целым числом, число N должно быть нечетным числом.

Рассмотрим решение уравнения (10) на числовых примерах.

N =1; A=K.

N =3; A = (1,9129…) · K.

N =5; A = (2,6684…) • K.

Рассмотрим решение уравнения (11) на числовых примерах.

1. N =1; K=A.

N =3; K = (0,5227…) · A.

N =5; A = (0,3747…) • A.

Из приведенных примеров следует, что только при N =1 числа K и A являются целыми числами, при этом K = A. В этом случае из уравнения (8) следует:

C=K=A.

А из уравнения (5) следует: B=0.

Следовательно, только при C=K=A и при B=0 уравнение (2) имеет решение в целых числах. Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при показателе степени n=3.