Модели и методы исследования управляемости систем с регулярным и хаотическим поведением

Работа посвящена исследованию математических моделей динамических систем управления с конечномерными пространствами состояний, имеющих различные типы поведения. Основное внимание уделено нахождению условий управляемости этих систем, получению оценок времени управления и построению управляющих воздействий, обеспечивающих достижение заданных целей управления.

Проблема управляемости имеет длинную историю и продолжает оставаться одной из самых актуальных проблем теории управления. Точкой отсчета современного периода развития теории можно считать появление работ Калмана [120],[121],[121], в которых были получены условия управляемости систем, правые части которых являются линейными функциями по состояниям и управлениям. Вслед за этими работами появились многочисленные работы других авторов и за почти полувековой период получено много результатов по управляемости динамических систем. За последние годы были разработаны новые методы исследования управляемости динамических систем и выявлен ряд причин, обусловливающий управляемость или неуправляемость динамических систем.

Практически одновременно с исследованием управляемости линейных систем стала исследоваться управляемость нелинейных систем. Было сделано несколько попыток создания общей, или абстрактной теории систем (работы Калмана Р. [43], Кухтенко А. И. и др. [48], Блкина В. И. [24] и некоторые другие). Ряд интересных результатов получен благодаря применению методов обшей теории, однако большинство работ посвящено исследованию более частных вопросов. Много результатов получено при исследовании управляемости динамических систем, принадлежащих конкретным классам систем. Важным классом нелинейных систем является класс билинейных систем, т. е. систем, правые части которых являются билинейными функциями по состояниям и управлениям.

Линейные и билинейные системы являются простейшими моделями локального описания систем управления. А именно, линейная система является моделью системы управления в окрестности точки общего положения, билинейная система является моделью систем управления в окрестности точки покоя.

Значительные успехи в исследовании управляемости нелинейных систем были достигнуты благодаря применению геометрических и алгебраических методов исследования управляемости, в частности применению дифференциально-геометрических и теоретико-групповых методов. Это направление было актуальным на протяжении многих лет. Описание результатов, полученных применением дифференциально-геометрических и теоретико-групповых методов, можно найти в ряде обзоров, в частности в обзоре [5] Андреева Ю. Н., в обзоре [2] Аграчева A.A., Вахрамеева С. А., Гамкрели-дзе Р.В. и в обзоре [22] Вахрамеева С. А. и Сарычева A.B. В этих обзорах приводятся результаты по управляемости гладких динамических систем как абстрактных так и более конкретных классов. Некоторые новые результаты отражены в книге [4] Аграчева А. А и Сачкова Ю. Л. Класс систем, линейных по управлению, представляется особенно важным, так как предполагается, что управление будет осуществляться достаточно малыми по величине воздействиями, что не приводит к существенному изменению динамики исходной системы. В рамках дифференциально-геометрического подхода был получен ряд результатов по управляемости систем, линейных по управлению, (см. например, [60, 24, 116, 157]). Следует отметить, что дифференциально-геометрические методы являются наиболее подходящими для исследования свойств локальной управляемости, в целом же проблема управляемости имеет глобальный характер, т. е. относится ко всему пространству состояний. С этой точки зрения интерес представляют нелинейные системы достаточно общего вида.

Однако, разграничение систем по признаку линейный или нелинейный представляется поверхностным и не раскрывает особенностей этих систем.

Действительно, если в линейной системе сделать замену переменных, т. е.

• «» рассмотреть ее в новой системе координат, то она станет нелинейной, но сущность ее при этом не изменится. Возможны и обратные замены переменных, превращающие нелинейные системы в линейные. Установить существование таких замен переменных является трудной задачей. Некоторые ее частичные решения даны в работах [135, 158].

Более адекватным представляется деление систем на классы по характеру поведения (простое или сложное) их траекторий. Сходным, хотя и не тождественным, является деление систем на классы по принципу регулярности или хаотичности поведения их траекторий. Наиболее отчетливо свойства регулярного поведения проявляются у систем Морса-Смейла, а свойства хаотического поведения — у гиперболических систем вблизи их аттракторов достаточно сложной структуры, которые иногда называют странными. Несколько огрубляя ситуацию, можно сказать, что эта разница • поведения проявляется в том, что у систем с регулярным поведением близкие траектории не расходятся на протяжении достаточно большого промежутка времени, а у систем с хаотическим поведением траектории расходятся достаточно быстро. Отметим, что у систем, пограничных между этими > классами, указанные свойства ослабляются, и с практической точки зрения отнести эти системы к каким-либо определенным классам иногда бывает затруднительно. В частности, некоторые системы Морса-Смейла с достаточно большим числом компактных инвариантных множеств могут демонстрировать весьма сложное поведение, см. рис. 2.16. Как известно, одним из сценариев возникновения хаоса является переход через границу класса систем Морса-Смейла, [34].

Одним из факторов, влияющих на управляемость систем, является ее способность возвращаться в исходные состояния. Свойством возвращаемос-ти могут обладать как системы с регулярным, так и хаотическим поведением. В настоящей работе исследуется проявление свойства возвращаемости на различных моделях регулярных и хаотических систем.

Другим фактором, влияющих на управляемость систем, является соотношение исходных характеристик пространства состояний с характеристиками, индуцированными системой управления. Например, в работах [60], [61],[27],[28] и других исследовался вопрос, каким образом управляемость зависит от соотношения исходной топологии пространства состояний и топологии, индуцированной динамической системой управления. Другой пример относится к работе [15], где показано, что система управления с регулярным поведением индуцирует в пространстве состояний структуру специального клеточного комплекса, свойства которого обусловливают управляемость системы. На свойствах этого клеточного комплекса основан метод Болтянского В. Г. регулярного синтеза управлений. В данной работе иссле-• дуется вопрос о существовании клеточных комплексов специального вида для рассмотренных классов регулярных систем.

Опыт исследования систем с разными типами поведения показывает, что обычно оказывается невозможно управлять системами с регулярным и хаотическим поведением одними и теми же способами. Для систем с регулярным поведением успешно применяется метод регулярного синтеза управлений, [15]. Для систем с хаотическим поведением для управления часто используется существование всюду плотных траекторий, [159]. Таким образом, не существует универсального метода исследования управляемости произвольных динамических систем, кроме их численного моделирования. Численное моделирование имеет следующие недостатки. Во-первых, из-за того, что динамическая система имеет бесконечное множество состояний, часто не представляется возможным ее исчерпывающее исследование. Во-вторых численное моделирование не дает обычно понимания причин управ* ляемости или неуправляемости динамических систем. Эти обстоятельства являются побудительными мотивами для качественного исследования динамических систем управления, осуществленного в настоящей работе, причем при исследовании учитываются особенности систем с регулярным или хаотическим поведением.

Остановимся сначала на системах управления с регулярным поведением. В данной работе для некоторых классов таких систем предлагается метод управления, который является новым вариантом метода регулярного синтеза управлений. Этот метод состоит в построении двух так называемых встречных последовательностей многообразий, элементы которых называются клетками. Элементами первой последовательности обычно являются устойчивые многообразия для некоторых критических элементов (обычно предельных циклов). Размерности элементов этой последовательности убы.

• вают. Элементами второй последовательности обычно являются неустойчивые многообразия для некоторых критических элементов (обычно также предельных циклов). Размерности элементов этой последовательности возрастают. В соответствии с предлагаемым методом движение происходит по клеткам, поочередно принадлежащим то одной, то другой последовательности. Переключение движений с элементов одной встречной последовательности на элементы другой встречной последовательности организовано так, что позволяет осуществить переход из начального заданного состояния в конечное заданное состояние.

Основное внимание в работе уделено применению метода встречных последовательностей для управления линейными по состоянию системами. Класс линейных по состоянию систем является важным, в частности, по следующей причине. К исследованию управляемости таких систем можно свести исследование управляемости произвольных гладких систем в окрестности их инвариантных множеств достаточно простой природы, таких как точки покоя, предельные циклы, инвариантные торы и некоторые другие. В данной работе рассмотрен ряд примеров такого сведения. Некоторые математические постановки задач об управлении линейными по состояниям системами можно найти в работах Кучеры [136] и Суссмана [155]. Однако задача о глобальной управляемости линейных по состояниям систем произвольной размерности не получила достаточно полного решения. Изложенные в этой работе новые условия управляемости линейных по состоянию систем основаны на публикациях автора [88], [90]. Для формулировки условий управляемости введены некоторые новые понятия, в частности понятие спектрального типа линейной по состояниям системы управления, понятие проективных компонент системы и понятие о зацеп-ляемости этих компонент.

• В предлагаемой работе исследуется управляемость грубых линейных систем, т. е. систем, сохраняющих свои свойства при малых возмущениях их параметров. Они называются системами общего положения. Нелинейные системы, дающие при линеаризации грубые линейные системы, достаточно адекватно характеризуются своими линейными приближениями.

Следует отметить, что многие понятия, введенные для линейных по состоянию систем, могут быть соответствующим образом модифицированы для гладких динамических систем управления достаточно широкого класса (без предположения наличия у них каких-либо специальных свойств). Поэтому методы управления, применявшиеся первоначально для линейных по состояниям системам, могут быть применены для управления регулярными системами более общего вида, без обязательной их линеаризации. Однако практически удается исследовать управляемость нелинейных систем общего вида лишь невысокой размерности, [129, 130]. Это связано с трудностью локализации их инвариантных множеств даже численными методами.

Обратимся теперь к системам с хаотическим поведением. Как уже отмечалось, системами с хаотическим поведением иногда невозможно управлять методами, пригодными для систем с регулярным поведением. Главная причина этого заключается в трудности осуществить регулярный синтез управлений (см. подробнее об этом в разделе 2.12). Однако, у систем с хаотическим поведением имеются всюду плотные траектории, что позволяет тривиально решить вопрос об их глобальной управляемости при наличии локальной управляемости. Примерная схема управления может быть осуществлена следующим образом. Для начальной и конечной точек пространства состояний существует (базовая) траектория, проходящая сколь угодно близко от них. Поэтому с помощью подходящего локального управления можно перейти из начальной точки на указанную траекторию, затем двигаться по этой траектории (достаточно большое время) до следующей подходящей точки, затем снова с помощью подходящего локального управления перейти с траектории в конечную точку.

Особенностью систем с хаотическим поведением является возможность применять управляющие воздействия сколь угодно малой интенсивности, так как базовая траектория проходит сколь угодно близко от начальной и конечной точек. Однако, это может сделать время управления сколь угодно большим. Поэтому для систем с хаотическим поведением на первый план выходят вопросы исследования зависимости времени управления от интенсивности управлений, а также от величин, характеризующих хаотичность системы.

В настоящее время исследование управляемости систем с хаотическим поведением проводится весьма интенсивно, что привело к появлению большого числа работ, в которых исследовались системы различных классов. Современное состояние теории управления хаосом и история вопроса освещены в обзоре [8, 9]. Мы перечислим здесь лишь некоторые из работ. Во-первых, отметим работу [143], в которой заложены основы так называемого ОСУ-метода, получившего развитие во многих последующих работах. В этой работе полученные оценки времени управления зависят степенным образом от уровня локальных управлений. Далее отметим работу [159], в которой исследовались необратимые одномерные систем на единичном отрезке и с помощью методов символической динамики получены оценки времени управления логарифмического типа. В работе [153] исследовалась управляемость гамильтоновых систем и отмечалось, что в области хаотического поведения траекторий время управления зависит логарифмически от размера областей локальной достижимости и, следовательно, от уровня локальных управлений. Из других подходов можно отметить работы, использующие методы обратной связи ([117, Ыс1оп А.], [149, К.] и др.) Имеется большое число работ, в которых время управления системой оценивалось численно. Для примера укажем на работы [99, 141].

В данной работе для систем с хаотическим поведением в качестве основной задачи рассматривается задача оценивания времени управления для различных класс систем. Для этого мы используем такую характеристику степени хаотичности как скорость роста объемов начальных множеств в неустойчивых направлениях. Связь скорости роста объемов и степени хаотичности системы отмечалась в работах [160, 142].

Укажем на одну особенность метода управления, использованного в данной работе: управляющие воздействия разделяются на основные (базовые) и вспомогательные (корректирующие). В качестве множества допустимых основных управлений обычно берется множество кусочно-постоянных управлений, а качестве множества вспомогательных управлений — множество кусочно-непрерывных управлений малой интенсивности. Основные (базовые) управления доставляют всевдотраектории движений системы управления и обеспечивают «почти управляемость» системы в пространстве состояний. Поэтому они имеют глобальный характер. Вспомогательные (корректирующие) управления позволяют замыкать эти всевдотраектории и получать настоящие траектории движения в пространстве состояний. Преимущество данного подхода разделения управлений на основные и корректирующие проявляется в том, что каждая из этих составляющих может проектироваться отдельно с тем, чтобы обеспечить заданные свойства совокупной системы. Такое разделение управлений имеется во многих реальных системах управления.

В ряде рассмотренных ниже задач управления можно ограничиться сравнительно небольшим (обычно конечным) множеством основных управлений. Отметим, что для систем с хаотическим поведением как правило можно обойтись всего одним основным управлением, которое соответствует динамической системе, имеющей всюду плотные траектории. Для систем с регулярным поведением множество основных управлений обычно более.

I обширно, причем мощность множества основных управлений обусловливается количеством качественно различных фазовых портретов семейства векторных полей, задающих систему управления. Последнее же связано с числом бифуркаций, происходящих в этом семействе векторных полей. Заметим также, что имеется ряд сценариев, при которых регулярное поведение системы сменяется хаотическим после прохождения определенного количества бифуркаций.

Как отмечалось ранее, при управлении динамической системой в предлагаемом методе управления используется свойство локальной управляемости вдоль основных траекторий. Поэтому желательно, чтобы это свойство не было исключительным. В работе использовано, что по крайней мере для аналитических систем свойство локальной управляемости не является исключительным. Кроме того, для достаточно гладких систем наличие этого свойства может быть эффективно проверено с помощью ранговых критериев.

Выше мы касались вопросов качественного исследования управляемости систем. Остановимся на проблеме конкретного построения управлений. Что касается систем с регулярным поведением, то при исследовании их управляемости (методом встречных последовательностей) одновременно строится последовательность базовых управлений. Локальные же управления строятся стандартным способом (см. например [2]). Для систем с хаотическим поведением при качественном их исследовании обычно лишь используется существование управлений, обеспечиващих заданные цели управления.

• Для построения конкретных управлений полезными оказываются методы символической динамики. Методы символической динамики могут применяться для систем управления любой природы, но особенно эффективны они для систем с хаотическим поведением. В настоящей работе некоторый • специальный вариант метода символической динамики, предложенный в [54], приспособлен для поиска управляемых траекторий, ведущих из начальной точки в желаемую целевую точку.

Структура текста работы следующая. Работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, и заключения. Первая глава имеет вспомогательный характер. В ней описываются рассматриваемые объекты и ими порожденные структуры. Вторая глава посвящена исследованию управляемости класса линейных по состоянию динамических систем управления и некоторым классам регулярных систем с достаточно простым поведением. Основное внимание в этой главе уделяется получению достаточных условий управляемости по части переменных при различных предположениях о свойствах системы. Третья глава посвящена исследованию управляемости динамических систем управления с хаотическим поведением. Основное внимание в этой главе уделяется получению оценок сверху и снизу времени управления, а также получению оценок в среднем времени управления при различных предположениях о степени хаотичности систем. На основе полученных оценок решается задача о распределении ресурсов для управления состояниями системы, для создания хаоса и для улучшения свойств локальной управляемости. Четвертая глава посвящена вопросам построения управлений для динамических систем. В этой главе на основе методов символической динамики и методов локального управления указан конструктивный способ построения траектории, вдоль которой система может быть переведена из заданного начального состояния в желаемое конечное состо-• яние под действием последовательности допустимых управлений, которая также строится. В заключении дана общая сводка полученных результатов. В работе приведено значительное число примеров и иллюстраций. Список их дан в приложении.

Используемые в работе сведения по теории динамических систем, в основном, взяты из книг [44] и [17], а по теории случайных процессов — из книг [33, 68, 96, 50]. Часть общепринятых понятий и определений приводится, на другие понятия указаны ссылки, причем необязательно на первоисточники.

Заключение

.

В настоящей работе рассмотрены некоторые классы динамических систем управления, которые могут иметь регулярное или хаотическое поведение траекторий. Причем в одних частях пространства состояний у системы может наблюдаться регулярное поведение, а в других — хаотическое. Для исследования управляемости систем были предложены некоторые методы и при этом было показано, что для управления системой следует применять методы, адекватные типу системы.

В областях с регулярным поведением траекторий для управления применялся метод встречных последовательностей, в котором главную роль играют базовые (глобальные) управления, а локальные управления имеют вспомогательный (корректирующий) характер. В частности, для линейных по состоянию систем с помощью этого метода были достаточные условия управляемости, неизвестные ранее. Эти условия сформулированы в терминах спектрального типа системы.

В областях с хаотическим поведением метод управления основывался на существовании в этих областях всюду плотных траекторий для некоторого базового управления. Локальные управления использовались для управления вдоль плотных траекторий. Было исследовано несколько классов ха-I отических систем, различающихся по степени хаотичности. Основные результаты для систем этих классов относятся к оценкам времени управления системами в зависимости от интенсивности локальных управлений и степени хаотичности систем. Было выявлено, что увеличение степени хаотичности системы приводит к уменьшению времени управления системой. В связи с этим с целью уменьшения времени управления системой была поставлена и решена задача о распределении ресурсов для управления состояниями системы, для создания хаоса и для улучшения свойств локальной управляемости.

В работе была выявлена связь между свойствами возвращаемости и управляемости системы: свойство управляемости проявляется в способности системы возвращаться в любое исходное положение под действием допустимых управлений. При этом было отмечено различное влияние регулярного и хаотического поведения траекторий динамических систем на свойство возвращаемости траекторий в исходное состояние, следовательно, на управляемость. При регулярном поведении траекторий базовой системы для обеспечения возвращаемости траекторий требуется применять управления достаточно большей величины. При хаотическом поведении системы по истечении большого промежутка времени наблюдается почти возвраща-емость траектории базовой системы в исходное положение, т. е. даже при нулевом локальном управлении. Таким образом, в соответствующих областях можно ограничиться малыми по величине локальными управлениями для замыкания траектории.

В работе для рассмотренных классов регулярных систем установлено существование клеточных комплексов специального вида, которые обеспечивают управляемость системы. На свойствах этого клеточного комплекса основан метод управления с помощью встречных последовательностей многообразий.

Для построения управляющих воздействий были применены методы символической динамики локальных управлений, которые показали свою эффективность как для регулярных, так и для хаотических систем. к.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Для линейных по состояниям систем управления вида х = А{и)х получены следующие результаты об управляемости по части переменных: а) достаточные условия проективной управляемости линейных полисистем (теорема 2.2.1) и к ним сводящимся линейных систем (теорема 2.3.1) — б) достаточные условия радиальной управляемости линейных систем (теорема 2.3.3) — в) достаточные условия проективной управляемости линейных систем с тривиальным спектральным типом (теорема 2.3.2) — г) достаточные условия проективной управляемости линейных систем с нетривиальным спектральным типом и свойством зацепляемости (теорема 2.3.4).

2. Для управления динамическими системами достаточного общего вида предложен метод встречных последовательностей многообразий. Доказана управляемость системы, для которой существует такая последовательность многообразий (теорема 2.4.1). Дано применение этого метода для управления линейными по состояниям системами.

3. Для систем, допускающих линеаризации, получены следующие условия управляемости: а) достаточные условия управляемости нелинейных систем в окрестности точки покоя (теорема 2.11.1) — б) достаточные условия управляемости нелинейных систем в окрестности замкнутой траектории (теорема 2.11.2).

4. Для хаотических систем получены оценки сверху и снизу времени управления при различных предположениях о степени хаотичности систем. Исследованы следующие классы систем: а) равномерно гиперболические системы (теоремы 3.5.1, 3.5.2, 3.5.3) — б) гиперболические в среднем системы (теоремы 3.6.1, 3.7.1, 3.9.1) — в) нейтральные системы (теоремы 3.10.1, 3.10.2) — г) слабо хаотичные системы (теорема 3.11.1) — д) нестационарные слабо хаотичные системы (теоремы 3.13.1 — 3.13.10).

5. Поставлена и решена задача о распределении ресурсов для управления состояниями системы, для создания хаоса и для улучшения свойств локальной управляемости, (теорема 3.12.1).

6. На основе методов символической динамики и локального управления дан способ нахождения траектории, вдоль которой система может быть переведена из заданного начального состояния в желаемое конечное состояние, и дан способ нахождения последовательности управлений, осуществляющих движение по этой траектории (теорема 4.3.1).