«Приближенные вычисления» – разработка факультативного курса и проектирование творческой задачи для 7-8 классов

«Приближенные вычисления» — разработка факультативного курса и проектирование творческой задачи для 7-8 классов

(Дипломная работа)

Введение

Глава 1. Приближенные вычисления в математике и школьной программе

1. Математические задачи, приводящие к необходимости развития аппарата приближенных вычислений

2. Тема «Приближенные вычисления» в школьной математике

1. Понятия, связанные с приближенными вычислениями

2. Анализ содержания школьных учебников

3. Приближенные вычисления в школьной математике и их возможное место Глава 2. Факультативный курс «Приближенные вычисления» для 7−8 классов

1. Факультативные курсы как формы дополнительного образования школьников

2. Цели, задачи, структура факультативного курса

3. Описание содержания курса

4. Апробация курса анализ результатов Глава 3. Творческая работа как форма дополнительного образования школьников

1. Творческая деятельность и математическое творчество

2. «Изучение скорости сходимости разных методов при решении квадратных уравнений» — тема творческой работы Заключение Литература Приложения

В школьной программе наиболее полно представлены понятия числа, функции. Приближенные вычисления затрагиваются намного меньше, для изучения предлагаются, главным образом, только два алгоритма: округление и нахождение погрешности. Необходимость изучения приближенных вычислений подчеркивал Брадис В. М. [8]: «…отсутствие в школьных программах специального раздела, посвященного приближенным вычислениям, является серьезным дефектом этих программ, весьма неблагоприятно сказывающимся на математической культуре молодежи, оканчивающей среднюю школу». Школьникам тема представлена как вспомогательная, не важная, не представляющая интереса для изучения. Существует проблема: приближенные вычисления — самостоятельное и очень интересное направление в математике — не представлено учащимся. Расширить представления школьников об этой области математики, показать, что приближенные вычисления являются отдельным направлением, обогатить исследовательский опыт учащихся возможно в рамках дополнительных образовательных форм, например, в форме факультативного курса. Поэтому целью дипломной работы является разработка факультативного курса и выявление учебно-исследовательских задач на материале приближенных вычислений.

Для достижения цели решались следующие задачи:

— Определение места приближенных вычислений в математике и школьной программе. Для этого был проделан анализ методической литературы, анализ научной литературы, посвященной этим вопросам, анализ школьных учебников.

— Подбор материал к факультативному курсу.

— Выделение исследовательских задач, выводящих учеников на понятия, связанные с приближенными вычислениями.

— Изучение возможности введения материала в форме учебно-исследовательской задачи.

Дипломная работа состоит из трех глав, введения, заключения, списка литературы из 29 наименований и пяти приложений.

В первой главе мы определяем, какое место приближенные вычисления занимают в школьной программе и в математике как науке. В результате проделанного анализа научной и методической литературы, были найдены направления, в которых без приближенных вычислений обойтись практически невозможно:

1) нахождение численного решения прикладных задач (например, изучение явлений природы);

2) приближенное нахождение иррациональных чисел; нахождение решений алгебраических и трансцендентных уравнений;

3) приближенные формулы;

4) приближение функции.

В результате анализа учебной литературы было выяснено, что эти направления в школьной программе не представлены. Существует несоответствие представления приближенных вычислений в школьной программе с той ролью, которую они играют как в теоретической, так и в прикладной математике. В школе дети учат два алгоритма (округление и нахождение погрешности), основное содержание приближенных вычислений не рассматривается. Мы обнаружили связь теоретической математики со школьной программой. Приближенное решение уравнений, в частности, квадратных, может вывести учеников на понятия приближенных вычислений, открыть для них новую область знаний.

Вторая глава посвящена разработке факультативного курса. К задачам факультативного курса относятся:

1. Расширение представлений учащихся о математике.

2. Создание условий школьникам для проведения самостоятельного учебного исследования.

Чтобы разработать факультативный курс был проанализирован материал, из научных задач отобраны подходящие для школьников, выбран адекватный возраст. Факультативный курс ориентирован на школьников 7 — 8 классов. Выбор возраста объясняется особенностью школьной программы.

Разработанный факультативный курс состоит из двух блоков.

В первом блоке изучаются базовые понятия, выделенные в результате анализа учебной литературы. Базовые понятия вводятся на основе логики введения понятий приближенных вычислений, разработанной Ковалевой С. А. Во втором блоке предлагаются учебно-исследовательские задачи:

— «Погрешность суммы и разности. Накопление погрешности при предварительном округлении». Ученикам предлагается несколько примеров с несколькими знаками после запятой. В задании нужно найти сумму и разность с точностью до десятых двумя способами, а после сравнить полученные результаты. Учащимся предлагается обсудить свои способы решения (возможны два способа). При нахождении значения первым способом нужно сначала округлить слагаемые до десятых, а потом сложить или отнять. При нахождении значения вторым способом сначала складывают или отнимают, а потом округляют до десятых. В результате получаются разные ответы. Возникает вопрос, почему так произошло. Проанализировав каждое округление, ученики должны прийти к выводу, что произошло накопление погрешности.

— «Погрешность произведения». В задаче нужно произвести измерения, найти погрешность каждого измерения, а затем погрешность произведения. Далее нужно найти погрешность произведения не находя погрешности каждого измерения. В результате нужно прийти к формуле для нахождения погрешности произведения.

— «Приближенное решение уравнений». Предлагается решить квадратное уравнение разными методами: подбора, последовательных приближений, половинного деления отрезка. В задаче формулируются проблемы. Какой из методов: подбора или последовательных приближений, наиболее эффективен? Какой из методов: подбора, последовательных приближений, половинного деления, наиболее эффективен? Любое ли уравнение можно решить методом последовательных приближений? Для каких уравнений метод работает?

Факультативный курс был опробован в лицее № 3 г. Красноярска, в 7 классе, в течение трех месяцев.

У разработчиков курса возникла гипотеза, что темами творческих работ могут быть исследовательские задачи из приближенных вычислений. Третья глава посвящена творческой задаче. Здесь приведен опыт написания творческой работы по теме: «Изучение скорости сходимости разных методов при решении квадратных уравнений». В работе из нескольких способов для приближенного нахождения корней квадратного уравнения был выделен наиболее эффективный. Затем было обнаружено, что способ работает не для всех уравнений, после было найдено условие, при соблюдении которого способ работает. Работа была выполнена в рамках «Школы молодого ученого» при Гимназии № 1 «Универс», защищена на школьной конференции. В работе была отмечена грамотность проделанного исследования.

Таким образом, ряд задач связанных с приближенными вычислениями, можно вводить в рамках факультативных курсов и предлагать в качестве тем творческих работ, что позволит расширить представление учащихся и откроет новую область для исследования.

Глава 1. Приближенные вычисления в математике и школьной программе

1. Математические задачи, приводящие к необходимости развития аппарата приближенных вычислений

Чтобы понять роль приближенных вычислений в школьной математике познакомимся с их ролью в науке. Подчеркнем важность и широкое применение приближенных вычислений.

В ходе анализа следующей [6, 13, 16, 17, 19, 29] литературы нами были выделены ряд направлений, с которыми связана необходимость приближенных вычислений.

1) нахождение численного решения прикладных задач (например, изучение явлений природы), [6];

2) приближенное нахождение иррациональных чисел; нахождение решений алгебраических и трансцендентных уравнений, [13, 16, 19, 29];

3) приближенные формулы, [17];

4) приближение функции, [13, 17].

Остановимся на каждом направлении подробнее.

1. Нахождение численного решения прикладных задач

При нахождении численного решения прикладных задач (напр., изучение явлений природы, получение их математического описания, т. е. математической модели явления и его исследования) нельзя обойтись без приближенных вычислений. Анализ усложненных моделей требует создания специальных, численных методов решения задач. Необходимо знание, насколько тот или иной метод точен, а для этого нужно обратиться к приближенным вычислениям.

2. Нахождение решений алгебраических и трансцендентных уравнений

Приближенное нахождение значений иррациональных чисел, нахождение решения алгебраических и трансцендентных уравнений — это задача теории чисел. При решении этой задачи необходимо оценивать точность приближения, в результате развивается аппарат, связанный с погрешностью.

Умение оперировать с приближенными числами дает возможность для приближенного решения уравнений (алгебраических и трансцендентных). В пособии [27, с. 78] алгебраическим называют комплексное или действительное число x0, удовлетворяющее уравнению вида

где числа a0, a1, …, an целые, и не все равны нулю, а n — натуральное. Всякое действительное или комплексное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.

При нахождении решений алгебраических и трансцендентных уравнений решается две общих задачи:

1) получить метод, дающий возможность улучшить приближения;

2) получить приближенное решение с заранее заданной степенью точности.

В различают методы для нахождения приближенных корней алгебраических и трансцендентных уравнений.

Нахождение корней алгебраического уравнения

Для приближенного нахождения корней алгебраического уравнения нужно по правилу Декарта определить число положительных и отрицательных корней, после отделить их. Отделив корень, мы получаем возможность, в качестве его приближенного значения взять любое число из выделенного отрезка.

Отделение действительных корней уравнения F (x) = 0 очень удобно производить графически. Значения действительных корней уравнения F (x) = 0 являются абсциссами точек пересечения графика функции y = f (x) с осью Ox. Чтобы указать отрезки, заключающие только по одному корню уравнения, не требуется особой точности.

Для улучшения приближения корней алгебраического уравнения используют четыре способа:

Способ 1. Способ Ньютона (способ касательных).

В этом способе приближенное значение действительного корня улучшается по формуле

= - .

Корень необходимо отделить, т. е. определить отрезок [a, b], в котором находится единственный действительный корень. За первое приближение корня следует взять значение того конца этого отрезка, на котором знак функции совпадает со знаком ее второй производной.

Например, найдем корень уравнения х2 — х — 1 = 0. Действительный корень находится на отрезке [2, 3].

= 3 — ;

= 2; - ;

= 5/3.

Способ 2. Способ линейной интерполяции (способ хорд).

Для вычисления (n + 1) — го приближения корня пользуются формулой

=

Заметим, что хn и хi — значения, между которыми находится искомый корень. За первое приближение корня можно принять значение любого из концов отрезка, на котором находится отделенный корень.

Способ 3. Служит для определения приближенного значения наибольшего и наименьшего по абсолютной величине корня алгебраического уравнения.

Если дано уравнение, то простой, наибольший по абсолютной величине корень можно приближенно найти из уравнения. Приближенное значение меньшего по абсолютной величине корня можно найти из уравнения .

Например,.

1) — 1 = 0, = 1 приближенный больший по абсолютной величине корень.

2) — 1 = 0, = - 1 приближенный меньший по абсолютной величине корень.

Способ 4. В уравнении отбираем три последних члена и решаем квадратное уравнение .

Корни уравнения действительны, тогда решаем уравнение и за первое приближение корня берем = .

Левую часть уравнения делим на. Деление проводим по схеме Горнера. Деление проводим до тех пор, пока не останется двучлен вида, который не делится без остатка на.. Из уравнения находим второе приближение корня = - .Левую часть уравнения делим на по схеме Горнера и получаем остаток в виде и т. д.

Обычно этот процесс приводит к ряду значений,…, приближающихся к искомому корню. После того, как мы остановились на некотором приближении корня и приняли его за искомое значение корня, разделим левую часть уравнения на. Получится многочлен степени на единицу меньшей, чем левая часть данного уравнения. Приравниваем этот многочлен нулю и с полученным новым уравнением поступаем, как было описано выше.

При решении алгебраических уравнений используют также методы последовательных приближений (итерационный метод) и половинного деления отрезка [16, 29].

Метод последовательных приближений Для того чтобы использовать метод последовательных приближений, уравнение нужно преобразовать к виду, где (х)=х, (х)=f (x). Подставляя последовательно в значения, находим — -е приближение к корню уравнения.

Заметим, что если последовательность х0, х1, х2, …, хn, … сходится, т. е. иметь предел, то этот предел будет корнем уравнения.

Например, решим уравнение х2 — х — 1 = 0

х = 1 + 1/х (х) = 1 + 1/х.

х0 = 2 первое приближение корня;

х1 = 1,5 второе приближение корня;

х2 = 1третье приближение корня; и т. д.

Половинного деления отрезка Представим уравнение F (x) = 0 в виде (х) = (х);

1. Построим графики у = (х) и у = (х);

2. Значение х точки пересечения графиков будет являться корнем уравнения.

3. Выберем отрезок [а, b], содержащий точку пересечения.

4. Отрезок [a, b] делим на две части точкой z1 = (a+b)/2;

5. Если F (z1) = 0 то z1 — искомый корень. Если F (z1) 0, то из двух отрезков [a, z1] и [z1,b] выберем тот, для которого значение функции f (x) на его концах имеет разные знаки, и обозначим его через [a1,b1]. Если теперь взять точку z2=(a1+b1)/2 то снова или F (z2) = 0 или F (z2) 0 и т. д.

Например, х2 — х — 1 = 0.

x = 1 + 1/х.

Точка пересечения графиков расположена на отрезке [2, 3].

Отрезок [1; 2] содержит точку пересечения графиков.

1) z1 = (1 +2)/2 = 1.5;

Получили два отрезка: [1; 1.5] и [1.5; 2].

Для отрезка [1.5; 2] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

12 — 1 — 1 = -1;

1.52 — 1.5 — 1 = -0.25;

22 — 2 — 1 = 1;

2) z2 = (1.5 + 2)/2 = 1.75;

Получили два отрезка: [1.5; 1.75] и [1.75; 2].

Для отрезка [1.5; 1.75] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

1.52 — 1.5 — 1 = -0.25;

1.752 — 1.75 — 1 = 0.3125;

22 — 2 — 1 = 1.

Таким образом, корень расположен на промежутке [1.5; 1.75]. Продолжая процесс можно найти корень с некоторой заданной степенью точности.

Нахождение корней трансцендентных уравнений

При решении трансцендентных уравнений необходимо уравнение F (х) = 0 представить в виде (х) = (х). После используют два способа приближенного решения уравнений:

1) Графическое решение.

Строят графики кривых у = (х) и у = (х); абсциссы точек пересечения кривых будут искомыми корнями данного уравнения. Далее пользуются методами для нахождения корней алгебраических уравнений.

2) Итерационный метод.

Пусть х = (х) и (х) = (х).

а) графически или методом проб находят первое приближение корня х = х0, х0 = первое приближение корня.

б) в правую часть уравнения х = (х) подставим х0 и тогда х1 = (х).

х1 — второе приближение корня.

в) подставляем в правую часть уравнения х = (х) значение х1 вместо х, х2 = (х1), х2 — третье приближение корня.

г) таким образом, приближения получаются по следующей схеме:

х1 = (х0);

х2 = (х1);

х3 = (х2);

х4 = (х3) и т. д.

Важно отметить, что трансцендентное число можно представить при помощи числового ряда. Так, например в энциклопедии [29], сумма ряда 1 — 1/3 + 1/5 — 1/7 + 1/9 — … равна /4; сумма ряда 1/12 +1/22 + 1/32 + ј2 + … равна 2/6. Эти суммы дают возможность приближенно вычислить число с любой, наперед заданной, степенью точности (если взять достаточно много членов ряда). Точность будем определять, пользуясь понятиями верных и значащих цифр.

3. Приближенные формулы

Существует еще один раздел, тесно связанный с приближенными вычислениями — приближенные формулы. В энциклопедии приближенная формула определяется как «формула f (х)f*(х), получаемая из формулы вида f (х) = f*(х) + (х), где (х) рассматривается как погрешность и после оценки отбрасывается». Приближенные формулы позволяют при вычислении с приближенными числами быстро найти приближенный ответ. Приведем несколько наиболее употребительных приближенных формул, причем отметим, при каких ограничениях на |х| формула будет давать k точных десятичных знаков.

В приложении 1 к данной дипломной работе представлены графики функций, позволяющие увидеть, насколько близки друг к другу точные и приближенные корни уравнений.

В учебнике Башмакова М. И. представлены формулы для приближенных вычислений значений функции

f (x) — y0 f/(x0)x; y y0 + dy; у у0 + f/(x0)(x — x0).

Применяя вышеперечисленные формулы можно построить несколько приближенных формул.

— Дана степенная функция у = хn. Зафиксируем точку х0 и применим формулу: (х0 + х) n х0n + nx0n-1х.

— Дана функция у = .

Получаем приближенную формулу: — .

4. Приближение функции

В БЭС [17, с. 487] приближение функций определяется как «нахождение для данной функции f функции g из некоторого определенного класса, в том или ином смысле близкой к f, дающей ее приближенное представление». Задача о приближении функции — это задача о замене одних функций другими функциями. Эта задача постоянно возникает как в математике, так и в ее приложениях, т. к. существуют теоретические и прикладные потребности в ее решении.

Теоретические:

приближение функций является одним из мощных средств исследования свойств самих функций. Существует раздел комплексного анализа — приближение функций комплексного переменного — изучающий вопросы приближенного представления функций комплексного переменного посредством аналитических функций специальных классов. В БЭС [17, с. 489] отмечено, что теория приближений тесно связана с другими разделами комплексного анализа (теорией конформных отображений, интегральными представлениями). Многие теоремы, формулируемые в терминах теории приближений, являются, по существу, глубокими результатами о свойствах аналитических функций и природе аналитичности.

Прикладные:

появляется потребность заменять сложные функции более простыми; такая задача возникает, например, когда необходимо вычислять значения функции.

— требуется заменить данную функцию приближающей функцией, принадлежащей заданному семейству функций, определяемому физическими условиями задачи.

— закон изменения исследуемой функции известен лишь с некоторой погрешностью, то на основании этих сведений можно определить функцию только приближенно; таково происхождение так называемых эмпирических формул непосредственно связанных с обработкой результатов наблюдений.

В энциклопедии [19, с. 415] описаны шаги, на которые распадается фактическое решение каждой задачи о приближении функций.

1) Выбор средства приближения, т. е. выбор того семейства функций, с помощью которого будет осуществляться приближение заданной функции. Заметим, что классическим средством приближения функций являются алгебраические многочлены фиксированной степени n, рациональные дроби, где многочлены соответственно степеней n и m, тригонометрические полиномы заданного порядка n. Вообще в качестве средств приближения обычно выбирают полиномы вида, гдезаданные функции.

2) Выбор способа измерения уклонения от заданной функции до приближающей функции, т. е. выбор способа судить о том, когда приближающая функция близка к заданной. Способ измерения уклонения определяется заданием меры уклонения приближающей функции от данной, то есть числом, которое характеризует это уклонение. Выделяют следующие меры уклонения:

— Если важно, чтобы приближающая функция на целом отрезке [a, b] равномерно мало отличалась от заданной функции:

— Если важно, чтобы приближающая функция лишь в среднем мало отличалась от заданной, и допустимо, чтобы существовали весьма короткие отрезки, на которых отклонение достигает значительной величины:

— Если важны не сами значения функции, а требуется узнать приближенную величину интеграла от этой функции:

3) Выбор метода приближения, т. е. выбор такого правила, согласно которому из семейства приближающих функций выделяется одна приближающая функция. Заметим, что выделяют следующие методы:

— Интерполирование;

— Наилучшие методы приближения;

— Суммы Фурье;

— Частичные суммы рядов.

4) Фактическое построение этой приближающей функции. (Трудность построения приближающей функции зависит от выбранного метода приближения).

5) Оценка погрешности, возникающей от замены заданной функции приближающей ее функцией. (Алгебраические многочлены на любом конечном отрезке [a, b] и система тригонометрических функций относительно всех непрерывных периодических функций обладают свойством: погрешность приближения можно сделать сколь угодно малой, выбрав число параметров, от которых зависит семейство приближающих функций, достаточно большим).

Таким образом, важно развитие аппарата приближенных вычислений для прикладных и теоретических задач математики. В работе было выделено четыре направления, в которых не обойтись без приближенных вычислений. Из этих направлений для школьников недоступно приближение функции, так как здесь используется много новых понятий. Однако, приближенное решение уравнений для школьников вполне доступно, этот теоретический материал связан со школьной программой.

2. Тема «Приближенные вычисления» в школьной математике

1. Понятия, связанные с приближенными вычислениями

В настоящем пункте перечислим понятия теории приближенных вычислений, с которыми знакомятся школьники с 1 по 11 класс.

Приближение. В справочной литературе можно встретить несколько формулировок.

1) Так, в энциклопедиях и рассматривается более широкое понятие — апроксимация — замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Апроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны).

2) В энциклопедии также рассматривается приближение с недостатком и с избытком.

3) В энциклопедии приближение рассматривается как замена числа, а мало отличающимся от него числом а* - его приближением.

Обобщив имеющиеся формулировки, будем понимать приближение как замену одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным.

Если приближенное значение меньше точного, то это приближенное значение по недостатку, если больше — то по избытку. Термин «приближение» будем использовать в смысле приближенного значения величины.

Округление. Округление числа будем понимать как приближенное представление числа в десятичной (или иной, например двоичной) системе счисления с помощью конечного числа разрядов. Такое определение представлено в энциклопедии. Здесь же сказано о приближении с округлением, но четкой формулировки нет. В методической литературе определение термина «округления» не предлагается, этот термин объясняется через правила округления. В литературе встречаются три вида правил:

1) формальный алгоритм округления, [8, 11, 12];

2) правила округления целых чисел и десятичных дробей, [22];

3) правило четной цифры, [19, 8, 11, 12].

В приложении 2 к данной работе приведены формулировки правил.

Разные формулировки правил означают одно и то же. В учебниках используется, главным образом, формальный алгоритм округления.

Погрешность. В справочной литературе рассматриваются разные погрешности. Для определения погрешности важно знать об источниках ее возникновения. В источнике выделены следующие причины возникновения погрешностей при решении задач:

1) математическое описание задачи является неточным, в частности неточно заданы исходные данные описания;

2) применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения возникающей математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций; поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к приближенному;

3) при выполнении арифметических операций производятся округления.

4) Разработана типология погрешностей в соответствии с причинами, т. е. выделяют три типа погрешности.

Типы погрешности, соответствующие этим причинам:

1) неустранимая погрешность — это погрешность, являющаяся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи;

2) погрешность математической модели — это погрешность, являющаяся следствием несоответствия математического описания задачи реальности;

3) погрешность метода;

4) вычислительная погрешность.

Введем формальные определения.

Пусть

I — точное значение отыскиваемого параметра,

I* - значение этого параметра, соответствующее принятому математическому описанию,

I*h — решение задачи, получаемое при реализации численного метода в предположении отсутствия округлений,

I*h* - приближение к решению задачи, получаемое при реальных вычислениях.

Тогда

1=I* - I неустранимая погрешность,

2=I*h — I* погрешность метода,

3=I*h* - I*h вычислительная погрешность,

0=I*h* - I полная погрешность.

Полная погрешность удовлетворяет равенству 0 = 1 + 2 + 3.

Во многих случаях под термином погрешность того или иного вида понимают не рассмотренные выше разности между приближениями, а некоторые меры близости между ними. Например:

0=|I*h* - I|

1=|I* - I|

2=|I*h — I*|

3=|I*h* - I*h|

При таких обозначениях получаем 0 1 + 2 + 3.

Выделим следующие группы погрешностей:

1) Погрешность измерения и погрешность приближения.

В некоторых источниках под погрешностью измерения понимают разность х — а, где х — истинное значение измеряемой величины, а — результат измерения. Под погрешностью приближения понимают разность между числом х и его приближенными значениями. Например, приближенные значения числа .

2) Погрешности абсолютная, относительная и предельная.

Итак, в сказано, что абсолютная погрешность — модуль разности |х — а|, где, а — данное число, которое рассматривается как приближенное значение некоторой величины, точное значение которой равно х.

Под относительной погрешностью будем понимать отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу.

В справочнике [11, с. 95] дается понятие предельной погрешности.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью. Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью.

3) Погрешности, возникающие в результате арифметических операций над числами.

Отметим погрешности произведения, суммы и разности, частного.

В справочнике [11, с. 98 — 100] сказано, что предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых. При значительном числе слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей; поэтому истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной погрешностью или близка к ней.

Предельная абсолютная погрешность разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Предельная относительная погрешность суммы лежит между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых. Если все слагаемые имеют одну и ту же (или примерно одну и ту же) предельную относительную погрешность, то и сумма имеет ту же (или примерно ту же) предельную относительную погрешность. Т. е. точность суммы не уступает точности слагаемых. При значительном же числе слагаемых сумма, как правило, гораздо точнее слагаемых.

Разность приближенных чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и вычитаемое. «Потеря точности» особенно велика в том случае, когда уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.

Здесь же в о погрешности произведения сказано: предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей. Правило для двух сомножителей запишется так: 1 + 2. Точное же выражение будет: = 1 + 2 + 12, т. е. предельная относительная погрешность произведения всегда больше, чем сумма предельных относительных погрешностей сомножителей; она превышает эту сумму на произведение относительных погрешностей сомножителей. Это превышение обычно так невелико, что его не приходится учитывать.

Погрешность частного в [11, с. 106 — 107] находится двумя способами:

1) Предельная относительная погрешность частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.

2) Пусть делимое и делитель имеют каждое по k значащих цифр. Тогда абсолютная погрешность частного в худшем случае близка к 1,05 единицы (k — 1) — го знака (этого значения она никогда не достигает).

Границы абсолютной и относительной погрешностей. В работе [15, с.13−14] даны следующие определения:

Граница абсолютной погрешности — это число (а) такое, что |х — а|(а).

Граница относительной погрешности — это число (а) такое, что |(х — а)/а|(а).

Высшая и низшая границы точного значения.

Высшая граница х: (ВГ х): g = а + а.

Низшая граница х: (НГ х): p = а — а.

При нахождении значения с заданной точностью, при нахождении погрешности, связанной с арифметическими операциями над числами важны понятия верных и значащих цифр. В представлено следующее определение верных цифр: верными называют цифры, если представленный ими результат имеет погрешность не более Ѕ младшего разряда. В справочнике значащими называют все верные цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа. Верные и значащие цифры обозначают разное. Приведем пример. Так, если х = 20,024 и это значение имеет три верных цифры, то можно считать, что 19,95 < х < 20,05.

Большинство этих понятий встречается и в школьной программе.

2. Анализ содержания школьных учебников

Чтобы определить роль темы «Приближенные вычисления» в школьной программе было проанализировано по три учебника для 5 и 8 классов, а также просмотрены учебники для других классов, чтобы найти применение приближенных вычислений. Применение было обнаружено в учебнике для 11 класса.

Учебник для пятого класса [18]

Тема «Округление чисел».

Используются понятия округления числа до единиц и приближенное значение с избытком.

Новый материал вводится на примере задачи: Сколько банок краски надо купить для того, чтобы покрасить пол в квартире площадью 148 м², если известно, что на 10 м² пола нужна 1 банка краски? При помощи задачи автор хотел подчеркнуть необходимость округления. Но задача подобрана неудачно, так как с практической точки зрения в ней возможно округление лишь к большему числу, независимо от правил округления.

Представлено два способа округления и вводится понятие округления числа до единиц.

Способы вводятся на частном примере, понятия округления тоже. «Замену числа 14,8 приближенным значением 15 называют округлением этого числа до единиц» (про округление других чисел вообще ничего не сказано). Приведено два примера округления и выделен особый случай.

Особый случай — это 14,5 одинаково удаленное от 14 и от 15. Принято приближенное значение с избытком, равное 15. Ранее про приближенные значения с избытком ничего не сказано. Используется понятие, которое не было введено. Кроме того, при объяснении оперировали числами 14 и 15; нет ссылки, что можно округлять и до другого числа. В заключении приводится правило округления и примеры на его применение. В примерах же вводится знак «приближенно равно».

В результате анализа было выявлено, что:

— про приближение с недостатком вообще ничего не сказано;

— про приближение с избытком говорится вскользь;

— округляются только десятичные дроби, про округление целых чисел ничего не сказано;

— используется слово «ближе», но не сказано, что при округлении число должно быть как можно ближе к первоначальному числу;

— не различается округление и округление только в большую сторону.

Учебник для 5 класса [9]

Тема: «Приближенные значения чисел. Округление чисел»

Используются понятия приближенного значения с недостатком, приближенного значения с избытком и округления числа до целых.

Автор предлагает два иллюстрированных примера. В первом примере предлагаются два решения, из их сравнения видна необходимость округления. Пример подобран удачно, соответствует представлению детей. Пример 1: Масса тыквы больше чем 3 кг, но меньше чем 4 кг. Если обозначить массу тыквы (в килограммах) буквой х, то 3<�х<4. Второй пример подтверждает первый. Пример 2: Длина отрезка АВ заключена между 6 см и 7 см. Если длина отрезка х, то 6<�х<7. При помощи примеров Виленкин Н. вводит понятие приближенного значения с избытком и приближенного значения с недостатком.

Далее дано общее определение. Используется слово «ближе»: «Если длина отрезка ближе к 6 см, чем к 7, то она приближенно равна 6». Рассматривается несколько возможных случаев из первого примера. Показывается возможность округления разных чисел к одному и тому же числу. Формулируется правило округления с использованием слова «ближе».

Отмечено, что числа можно округлять не только до целых, но и до других разрядов. Сформулировано правило, которое необходимо применять при округлении до некоторого разряда.

В заключении автор приводит два примера:

— на округление до десятых;

— на округление целого числа.

В результате анализа было выявлено, что:

— показано округление целых и десятичных чисел;

— задача дает представление об округлении и о возможности округления, как с недостатком, так и с избытком.

— предлагается два правила: для округления до целого числа и для округления до дробной части.

Учебник для 5 класса [22]

Предлагается две темы: «Округление натуральных чисел» и «Округление десятичных дробей».

«Округление натуральных чисел»

Вводятся понятия округления, приближенно равны и прикидка.

Вначале автор предлагает решенную задачу. Она отражает необходимость округления, но для учеников пятого класса сложновата. (Не многие дети сталкивались с переписью населения). Задача: В день переписи населения число жителей города равнялось 57 328 человек. Но число людей в городе постоянно изменяется (приезд, отъезд, рождение, смерть). Значит, полученное число уже вскоре станет неверным. Поэтому можно сказать, что в городе живет приблизительно 57 000 человек.

На примере задачи вводятся понятия округления числа до тысяч. Подчеркивается возможность округления до десятков, сотен и т. д.

Отмечается, что округленное число должно быть как можно ближе к первоначальному. Из этого вытекает правило округления.

Далее приводится два примера. Знак «приближенно равно» вводится после. Хорошо то, что автор объясняет, как этот знак произносится.

После применения округления целых чисел показано, где и как школьник может реально применить умение округлять.

«Округление десятичных дробей»

Никаких новых понятий не используется. Изложение материала опирается на округление целых чисел.

Приведен пример округления:

1) определяется, между какими числами заключено округляемое число;

2) определяется, к какому из них округляемое число ближе, следовательно, то и есть результат округления.

Подчеркивается возможность округления до любого разряда. И формулируется правило округления. Обращается внимание учеников на запись 32,0. Описано, что 0 отбрасывать нельзя, так как число округляли до десятых, а не до единиц (отмечено, что в этом есть различие).

Общий анализ учебников для 5 класса

В пятом классе тема «Приближенные вычисления» вводится двумя способами: один параграф, включающий в себя округление всех чисел и отдельно округление целых чисел и десятичных дробей.

При этом в учебниках тема называется по-разному: «Округление чисел»; «Приближенные значения чисел. Округление чисел»; «Округление натуральных чисел. Округление десятичных дробей».

В разных учебниках содержится разная информация об округлении, но из всех можно выделить общее:

— округление числа до единиц;

— приближенное значение с избытком;

— приближенное значение с недостатком;

— приближенно равные числа;

— прикидка.

Учебник для 8 класса.

Тема: «Приближенные вычисления»

Тема представлена в четырех параграфах: «Приближенные значения величин. Погрешность приближения», «Оценка погрешности», «Округление чисел», «Относительная погрешность».

Все четыре параграфа имеют примерно одинаковую структуру. Так, сначала обосновывается необходимость введения понятия, затем, приводится задача с использованием этого понятия (к ней прилагается подробно описанное решение), далее результат обобщается в формулу (строится форма, которую можно использовать при решении других задач), приводится задача, показывающая как применять формулу, и приводятся упражнения на отработку.

В данном учебнике можно выделить следующие понятия:

— приближенное значение различных величин;

— абсолютная погрешность;

— оценка абсолютной погрешности;

— приближенное значение с недостатком;

— приближенное значение с избытком;

— точность измерения;

— округление чисел;

— относительная погрешность;

Остановимся на каждом параграфе подробнее:

§ 1. «Приближенные значения величин. Погрешность приближенности»

Вводится понятие — приближенное значение различных величин. Далее предлагаются примеры (в них включены точные и приближенные значения величин).

Но школьнику не сказано, что за примеры. В учебнике написано: «Рассмотрим несколько примеров» и далее перечисляются. Такая запись может запутать школьника, так как многие думают, что это примеры с приближенными значениями величин.

После примеров ответы, где значения вычислены точно, а где приближенно.

Далее идет задача и ее решение. На ее примере вводится понятие абсолютной погрешности приближения. После формула для вычисления абсолютной погрешности (обобщение задачи, замена цифр буквами).

Далее приводится задача и ее решение, требующее нахождения абсолютной погрешности с использованием формулы.

Упражнения на отработку включают следующие задания: в примерах указать, какие числа являются точными значениями величин, а какие приближенными; нахождение абсолютной погрешности приближения.

Но есть упражнения, не соответствующие теоретической части: нужно указать несколько приближенных значений. Но ведь не упоминалось, что приближенных значений может быть несколько — несоответствие.

§ 2. «Оценка погрешностей»

Учащихся знакомят, когда можно дать оценку абсолютной погрешности и что для этого нужно. Возникает 3 новых понятия:

— оценка абсолютной погрешности;

— приближения с избытком;

— приближения с недостатком;

Предлагается задача и ее решение (из решения видно, каким образом оценивать абсолютную погрешность). Предлагается способ записи равенства числа x числу a с точностью до h (но сначала эта запись вводится на частном примере). Про приближенные значения с недостатком и избытком сказано очень мало. В тексте эти термины не выделены, не представлены в виде определения, только на одном примере.

Большая часть параграфа посвящена обсуждению вопроса точности измерительных приборов. После сказано об использовании приближенных значений при замене обыкновенных дробей десятичными и приведен пример. Упражнения повторяют примеры из теоретической части (главным образом изменены только цифры).

§ 3. «Округление чисел»

Сказано, где округление используется и приведен пример. Обращено внимание на запись (xa). После предлагается задача с решением. В ответе получилось 3.125 (говорят, что на практике такой результат округляют до десятых. — утверждение не совсем верное, ведь можно округлить и до целых, но об этом не упоминается).

На примере рассматривается правило округления. В результате предполагают 2 случая: округление с избытком и округление с недостатком. Далее правило округления в общем виде и несколько примеров.

§ 4. «Относительная погрешность»

Необходимость относительной погрешности иллюстрируется при помощи двух примеров. Понятие относительной погрешности вводится в виде определения, далее записано в виде формулы. Также приведена задача на использование формулы.

Учебник для восьмого класса.

Тема: «Приближенные значения действительных чисел».

Тема включает в себя следующие понятия:

— приближенное решение уравнения;

— приближенное значение числа по недостатку;

— приближенное значение числа по избытку;

— приближенное значение числа с точностью до …;

— округление;

— абсолютная погрешность;

— погрешность приближения.

Автор на примере нахождения точек пересечения графиков говорит о приближенном решении уравнения. Здесь же показывают запись (xa). Приводятся обоснования необходимости введения понятия приближенного значения действительного числа:

— для нахождения решения уравнения графически;

— действительное число — это бесконечная десятичная дробь, но использовать такую запись на практике неудобно.

На примере вводят понятия по недостатку и по избытку с заданной точностью. Описывается возможность приближения с разной точностью (с точностью до 0,0001; 0,01 и т. д.). Разбираются примеры нахождения приближенных значений по недостатку и по избытку с заданной точностью. Вводится понятие округления числа как обобщающее приближение по недостатку и по избытку. Понятия погрешности приближения (абсолютной погрешности) вводится в виде определения.

Важно, что автор ставит вопрос: какое приближение лучше? По недостатку или по избытку (заостряет внимание, чтобы избежать дальнейшей путаницы).

Далее правило округления, и примеры на применение правила.

Автор отмечает важную деталь: существуют понятие приближения с точностью до h (подчеркивает, что точность может быть любой).

Упражнения на отработку отражают теоретический материал:

— найти приближенные значения по недостатку и по избытку с заданной точностью;

— вычислить с заданной точностью;

— оценить погрешность приближенного равенства.

Учебник для восьмого класса.

Тема: «Приближенные вычисления».

Тема представлена в двух параграфах: «Запись приближенных значений» и «Действия над приближенными числами».

Можно выделить только одно понятие: верные цифры. В данном учебнике понятия абсолютной и относительной погрешности не вводятся, предполагается, что они известны, автор оперирует ими при объяснении записи приближенных значений.

§ 1. «Запись приближенных значений»

Главным образом показана запись с заданной точностью. Далее вводится определение верной цифры и примеры с ними. Далее идут примеры на нахождение и оценку абсолютной и относительной погрешности.

§ 2. «Действия над приближенными числами»

Приведены примеры на округление при сложении, вычитании, умножении и делении.

Таким образом, материал этого учебника совершенно не соответствует материалу, предложенному другими авторами. Предполагается изучение абсолютной и относительной погрешности в седьмом классе. Содержание усложнено.

Общий анализ учебников для 8 класса

В каждом учебники название темы включает в себя фразу «Приближенные вычисления».

Но содержание тем в трех учебниках разное:

Учебник полностью не соответствует другим учебникам. В учебнике изучается погрешность приближения: абсолютная и относительная, оценка абсолютной погрешности и округление чисел. В учебнике для изучения предложены приближенные значения по недостатку и по избытку, округление и абсолютная погрешность.

Из этих учебников можно выделить основное содержание:

— приближенное значение по недостатку и по избытку;

— округление;

— абсолютная погрешность;

— относительная погрешность.

Общая характеристика учебников для 5, 8 классов

Вообще в 5 и 8 классах тема «Приближенные вычисления» включает в себя понятия:

— Округление;

— приближенное значение по недостатку;

— приближенное значение по избытку;

— абсолютная погрешность;

— оценка абсолютной погрешности;

— относительная погрешность.

Но есть существенный недостаток. Автор каждого учебника включает те понятия, которые считает нужными. В итоге и в пятом и в 8 классах вводятся приближения по недостатку и по избытку. Нет разграничения на классы.

Анализируя содержание школьных учебников в учебнике для 11 класса были найдены задания, при выполнении которых используются знания по приближенным вычислениям.

— найти приближенное значение, используя графики функций;

— на МК найти значения lg, log, тригонометрических функций и записать с точностью до h;

— вычислить приближенное значение формул;

— приближенные формулы;

3. Приближенные вычисления в школьной математике и их возможное место

Тема «Приближенные вычисления» в школьной программе вводится в V и VIII классах, причем материал никак не связан между собой. То, что вводилось в V классе, заново вводится в VIII, но уже на других основаниях. Рассматриваются лишь некоторые задачи, приводящие к приближенным вычислениям, причем не всеми авторами. «Приближенные вычисления» сводятся к округлению и нахождению абсолютной и относительной погрешностей. Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что понятие точности приближения целостно не представлено в школьной математике, а значит определенного места (за исключением некоторых элементов), приближенные вычисления не имеют.

Таким образом, можно выделить двойное содержание темы:

— Общее, обязательное, предложенное всели авторами школьных учебников;

— Дополнительное, которое не вводится специальным образом, но может быть полезным при изучении других тем и помогает при решении обязательных задач.

Как отмечалось выше, в школьной программе тема вводится в пятом и в восьмом классах. И на нее отводится в среднем всего по два часа. Проанализировав учебники, было выявлено, что для обязательного изучения предлагается два алгоритма: округление и нахождение погрешности.

Таким образом, в пятом и восьмом классах изучаются одни и те же понятия, и учащимся остается неизвестным, какую роль тема играет в математике.

В то же время, в школьной математике приближенные вычисления присутствуют. Существуют темы, которые не могут обойтись без понятия точности приближения. Перечислим эти темы:

— Иррациональные числа;

— Бесконечные десятичные дроби;

— Вычисление корня n — й степени;

— Логарифмы;

— Квадратные уравнения;

— Приближенные формулы;

— Построение графиков функций;

— Предел.

Практически во всех перечисленных темах требуются знания о диапазоне разброса. Часто, без помощи МК ученик не может найти значение корня n — й степени, но ведь это можно сделать, применив знания из темы «Приближенные вычисления».

С приближенными формулами учащиеся сталкиваются в восьмом и одиннадцатом классах. В восьмом классе, в пособии [25, с. 151 — 153] приведены следующие приближенные формулы:

1) При малых значениях и верна приближенная формула

(1 +)(1 +) 1 + +, если =, получим (1 +)21 + 2.

Отсюда следует, что если |b| мал по сравнению с |a|, то (a + b)2a2 + 2ab.

2) Если 1, 2, …, n малы по сравнению с 1, то (1 + 1)(1 + 2) … (1 + n) 1 + 1 + 2 + … + n, и потому (1 +)n 1 + n.

3) Если || мало по сравнению с единицей, то 1 -.

В учебнике для 11 класса содержится ряд лабораторных работ, при выполнении которых учащиеся сталкиваются с приближенными вычислениями. В лабораторных работах встречаются следующие задания:

— Начертите примерный график скорости, изменения углового коэффициента касательной;

— Вычислите приближенно угловые коэффициенты касательных;

— Вычислите с заданной точностью;

— Найдите приближенное значение корня по приближенной формуле;

— Найдите приближенное значение корня методом последовательных приближений;

— Изучите влияние погрешности вычисления t на погрешность вычисления at

— Вычислите приближенное значение натурального логарифма числа a с помощью формулы (ax) = (ln a) ax;

— Вычислите приближенное значение интеграла с помощью интегральных сумм;

— Решите приближенно дифференциальное уравнение методом Эйлера. (Начиная с некоторой точки строится ломаная с заданным шагом. Значение функции вычисляется по формуле уравнения прямой, угловой коэффициент находится из дифференциального уравнения).

— Вычислите приближенно корни уравнения:

А) методом половинного деления;

В) методом касательных;

С) методом хорд.

Сопоставляя материал школьной программы по теме «Приближенные вычисления» с задачами, приводящими к понятиям приближенных вычислений, становится ясным, что предложенные алгоритмы (округление, накопление погрешности) не отражают направления. От учеников скрыты возможные исследовательские задачи. На самом деле, задача о приближении функций требует большого объема дополнительных знаний и недоступна для школьников. Однако, нами был обнаружен материал, связывающий школьную программу с теорией. Приближенное решение уравнений, в частности, квадратных уравнений, может вывести учеников на понятия приближенных вычислений, открыть для них новую область знаний. Возникла гипотеза, что задача о приближенном решении квадратных уравнений может быть исследовательской.

Глава 2. Факультативный курс «Приближенные вычисления» для 7-8 классов

1. Факультативные курсы как формы дополнительного образования школьников

Факультативные занятия по математике в средней школе, являющиеся одной из форм внеклассной работы, позволяют углубить и расширить знания учащихся по математике, развить интерес к предмету, привить вкус к самостоятельному приобретению знаний, приобщить к исследовательской работе.

В монографии приводится следующие характеристики факультативного курса: «Материал факультатива тематически жестко связан с материалом урока. Материалу урока задается прикладной контекст. Содержание факультатива проще содержания урока, не требует удержания сложно структурированных математических объектов. Отрабатывается искусство применения способов, приемов и знаний, полученных на уроке, решаются нетривиальные и занимательные задачи, некоторые олимпиадные задачи».