Комбинаторные валюации в интегральной и стохастической геометрии

Диссертация посвящена решению некоторых задач стохастической и интегральной геометрии в 2-х и 3-х мерном Евклидовом пространствах. Систематическое применение методов теории вероятностей в таких геометрических дисциплинах как теория выпуклых тел и геометрические неравенства было начато в тридцатые годы В. Бляшке и его школой. Соответствующее направление исследования В. Бляшке назвал Интегральной Геометрией [25]. В работах JL Сантало [47] возглавившего эту школу после войны, первостепенной была задача отыскания мер в пространствах интегральной геометрии инвариантных относительно группы. В общей постановке для т.н. однородных пространств эта задача была решена С. Чженем [26]. Однако, в этих исследованиях совершенно не использовалась современная теория продолжения мер, в которой инвариантность меры относительно группы несущественна. Работа по построению мер в классических пространствах интегральной геометрии методом продолжения комбинаторных конечно-аддитивных функционалов (Валюаций) определенных на т.н. кольцах Сильвестра была начата Р. В. Амбарцумяном [10]. Соответствующие комбинаторным валюациям разложения мер в пространстве прямых на плоскости, а затем и в пространствах геодезических линий на двумерных многообразиях, были впервые построены Р. В. Амбарцумяном при решении задачи «Бюффона-Сильвестра» [2]. Изучению валюаций в геометрии и в теории геометрических вероятностей в настоящее время уделяется значительное внимание (например, [30] и [31]). В институте Математики HAH Армении на семинаре Р. В. Амбарцумяна ведутся исследования по комбинаторным валюациям. В последние годы проделана значительная работа по нахождению условий продолжимости комбинаторных валюаций до мер на кольцах в других пространствах интегральной геометрии (плоскости в Ж3, прегеодезические на двухи трехмерных многообразиях). Выявились глубокие связи этой задачи с четвертой проблемой Гильберта. Опубликовано 2 специальных сборника под общим названием «Аналитические результаты комбинаторной интегральной геометрии» [19], [22], в основном посвященных вопросу нахождения условий продолжения комбинаторных валюаций до мер в соответствующих пространствах и приложение полученных результатов в задачах типа 4-ой проблемы Гильберта по описанию метрик.

Разложения мер соответствующие комбинаторным валюациям и их многомерные аналоги имеют многочисленные глубокие следствия в стохастической геометрии. Предметом Стохастической Геометрии согласно Д. Кендаллу и К. Крикебергу [27] являются общие случайные процессы фигур, определяемые как точечные процессы в соответствующих пространствах. С обширной литературой в этом направлении можно ознакомится в книге Д. Штояна, В. Кендалла и Й. Мекке [49]. В стохастической геометрии обычно накладывается требование инвариантности вероятностных распределений процессов фигур относительно группы преобразований основного пространства. Ереванской школе принадлежат постановка задачи применения метода комбинаторных разложений мер для исследования случайных процессов фигур. Этим методом в книгах Р. В. Амбарцумяна [10], [14], [15], был получен ряд стереологических результатов для случайных мозаик и случайных раскрасок плоскости. Настоящая диссертация содержит результаты автора по применению комбинаторных валюаций в двух очерченых направлениях исследований. В частности, она содержит результаты по случайным точечным процессам пересечений, маркированных углами под которыми происходят пересечения.

Четвертой проблемой Гильберта занимались Г. Гамель, П. Функ, Г. Буземан, А. Погорелов, Р. Александер, Р. В. Амбарцумян. Отметим теорему Погорелова-Александера-Амбарцумяна о соответствии между псевдометриками на плоскости, для которых геодезическими являются обычные евклидовы прямые, и беспучковыми мерами в пространстве прямых С на плоскости [14]. Пусть И — класс достаточно гладких псевдометрик определенных на евклидовой плоскости для которых геодезические суть обычные евклидовы прямые. Параметрическая 4-ая проблема Гильберта состоит в следующем: описать все псевдометрики из Л которые в каждой точке имеют индикатрису из некоторого параметрического класса выпуклых фигур. Отметим, что для римано-вых метрик соответствующий параметрический класс есть пространство эллипсов. Первые результаты по параметрической 4-ой проблеме Гильберта [24] вошли в данную диссертацию.

В работе используются аналитические и комбинаторные методы интегральной и стохастической геометрии. В частности, комбинаторные валюации задаются с помощью т.н. флаговых плотностей принадлежащих различным классам гладкости. Условия продолжимости валюаций до знакопеременных мер записываются в виде дифференциальных уравнений. Исследование последних в Главе 2 сводится к исследованию бесконечных алгебраических линейных систем уравнений и к анализу соответствующих бесконечных матриц. В Главе 4 метод усреднения комбинаторных валюаций используется в сочетании с методом малого параметра (запись комбинаторных разложений внутри «узких «прямоугольников).

В Главах 1, 3 требуемые условия на флаговую плотность получены путем вычисления или асимптотического анализа т.н. предела Крофтона.

В Главе 1 рассматриваются комбинаторные валюации на кольце Сильвестра в пространстве С порождаемые флаговыми плотностями. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых комбинаторная валюация на кольце Сильвестра в пространстве прямых С продолжается до знакопеременной меры. Эти условия имеют вид дифференциального тождества для соответствующей флаговой плотности. Выведен критерий неотрицательности меры, который совпадает с известным условием выпуклости флаговой плотности в каждой точке плоскости.

Глава 2 посвящена параметрической 4-ой проблеме Гильберта. Полученное в Главе 1 дифференциальное тождество исследовано для т.н. параметрических семейств флаговых плотностей р. Получено необходимое и достаточное условие, при котором р определяет псевдометрику класса Л. Доказано, что в случае зависимости от одного одномерного непрерывного параметра решения всегда определяют метрику Мин-ковского. Исследованы дифференциальные уравнения для параметров псевдометрик класса 7Н. в случае сегментных и эллиптических (рима-новых) индикатрис. Получено полное решение в случае сегментных индикатрис. Показано, что функция задающая ориентацию эллипсов необходимо гармоническая. Построен пример метрики Римана в ГО-2 из класса Л и показано, что она единственна в классе метрик Римана с изотропной функцией ориентации.

В Главе 3 рассматриваются комбинаторные валюации на кольце Сильвестра в пространстве плоскостей 1Е в ГО, 3. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых комбинаторная валюация на кольце Сильвестра в пространстве плоскостей Ж продолжается до знакопеременной меры. Эти условия имеют вид системы из двух дифференциальных уравнений для соответствующей флаговой плотности. Последняя необходимо имеет определенный тригонометрический вид.

В Главе 4 исследуются конечномерные распределения точечных процессов пересечений случайных процессов прямых на плоскости с «тестовыми» прямыми. Та же задача ставится для случайных плоских мозаик.

Для случайного процесса прямых инвариантного относительно группы 1 М² евклидовых движений плоскости вычислены конечномерные рас.

-" и ^ 55 «пределения точечного процесса пересечении на тестовой прямой в терминах двух распределений типа Пальма. Этот результат дает основание выделить класс случайных процессов прямых определяемый наличием некоторого «свойства перемешивания». В этом классе получено необходимое и достаточное условие того, что процесс пересечений на тестовой прямой оказывается пуассоновским. Аналогичная классификация оказывается эффективной и в двух других задачах стохастической геометрии рассматриваемых в диссертации.

Для процессов прямых инвариантных относительно группы Т2 параллельных переносов плоскости вычислены одномерные распределения точечного процесса пересечений на «типичной прямой направления а». Получено распределение длины «типичного ребра направления о?» в терминах процесса {xi, Фг}, где {.тг} — точечный процесс пересечений ребер мозаики с фиксированной прямой направления а, марка Фг- — угол под которым ребро мозаики пересекает фиксированную прямую в точке Х{. Здесь также предполагается инвариантность только относительно группы Т2. Получен ряд следствий стереологического характера.

Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях по интегральной и стохастической геометрии, а также в теории выпуклых тел. Методы решения задач могут быть использованы при решении аналогичных задач в неевклидовых пространствах. Результаты Главы 4 представляют значительный интерес для ряда прикладных дисциплин, в которых применяются процедуры стереологического характера [50]. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [20], [24] [32] — [43].

Более подробное представление о содержании глав можно составить из введений, которыми открывается каждая из четырех глав.

1. R. Alexander, «Planes for which the lines are the shortest paths between points,» 1. linois J. Math., vol. 22, pp. 177 — 190, 1978.

2. R. V. Ambartzumian, «The solution to the Buffon-Sylvester problem in IR3,» Z. Wahrsch. theory, verw. Geb., vol. 27, pp. 53 — 74, 1973.

3. R. V. Ambartzumian «Combinatorial solution of the Buffon-Sylvester problem», Z. Wahrsch. theory, verw. Geb., vol. 29, pp. 25 — 31, 1974.

4. R. V. Ambartzumian, «A note on pseudo-metrics on the plane,» Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete, vol. 37, pp. 145 155, 1976.

5. R. V. Ambartzumian, «Stochastic geometry from the standpoint of integral geometry,» Adv. Appl. Prob., vol. 9, pp. 792 823, 1977.

6. R. V. Ambartzumian, «On some topological invariants in integral geometry», Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete, vol. 44, 1978.

7. R. V. Ambartzumian, «A synopsis of Combinatorial integral Geometry», Advances in Math., vol. 37, no. 1, 1980.

8. P. В. Амбарцумян (Редактор), «Комбинаторные принципы в стохастической геометрии», Изд. АН Арм. ССР, Ереван, 1980.

9. Р. В. Амбарцумян, «О комбинаторных основаниях интегральной геометрии», Известия АН Арм. ССР, серия Математика, том 16, № 4, стр. 285 292, 1981.

10. R. V. Ambartzumian, Combinatorial Integral Geometry with Applications to Mathematical Stereology, John Wiley and Sons, Chichester, 1982.

11. R. V. Ambartzumian, «Probability distribution in Stereology of random geometrical processes,» in Recent Trends in Math., Reinhardbrunn (collection of papers), BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, vol. 50, pp. 5 12, 1982.

12. R. V. Ambartzumian, «Factorization in integral and stochastic geometry,» Teubner Texte zur Mathematik, vol. 65, pp. 14 33, 1984.

13. R. V. Ambartzumian, «Combinatorial integral geometry, metric and zonoids», Acta Appl. Math., vol.9, pp. 3 27, 1987.

14. P. В. Амбарцумян, Й. Мекке, Д. Штойян, Введение в Стохастическую Геометрию, Москва, Наука, 1989.

15. R. V. Ambartzumian, Factorization Calculus and Geometric Probability, Cambridge University Press, 1990.

16. R. V. Ambartzumian and H. S. Sukiassian, «Inclusion-Exclusion and Point Processes», Acta Appl. Math., vol. 22, pp. 15 31, 1991.

17. P. В. Амбарцумян, «Замечания о порождении мер в пространстве прямых в IR3», Известия НАН Армении, серия Математика, том 27, № 5, стр. 1 21, 1992.

18. Р. В. Амбарцумян, «Об одном конечно-аддитивном функционале в IR3», Известия НАН Армении, серия Математика, том 28, № 2, стр. 51 60, 1993.

19. Р. В. Амбарцумян (Редактор), «Аналитические результаты комбинаторной интегральной геометрии», Известия НАН Армении, серия Математика English translation: Journal of Contemporary Math. Anal. (Armenian Academy of Sciences)., том 29, № 4, 1994.

20. P. В. Амбарцумян, В. К. Оганян, «Конечно-аддитивные функционалы в пространстве плоскостей, I», Известия НАН Армении, серия Математика, том 29, № 4, стр. 7- 63, 1994.

21. R. V. Ambartzumian with the Appendix by V. К. Oganian, «Measure generation by Euler functionals», Adv. Appl. Prob. (SGSA), vol. 27, pp. 606 — 626, 1995.

22. P. В. Амбарцумян (Редактор), «Аналитические результаты комбинаторной интегральной геометрии», Известия НАН Армении, серия Математика English translation: Journal of Contemporary Math. Anal. (Armenian Academy of Sciences)., том 31, JV" 4, 1996.

23. R. V. Ambartzumian, «Integral geometry of pregeodesics on 2-ma-nifolds» in Russian., Izv. Akad. Nauk Armenii, Matematika, [English translation: Journal of Contemporary Math. Anal. (Armenian Academy of Sciences)], vol. 31, no. 4, pp. 2 41, 1996.

24. R. V. Ambartzumian, V. K. Oganian «Parametric versions of Hilbert’s fourth problem,» Israel Journal of Mathematics, vol. 103, no. 1, pp. 41 — 65, 1998.

25. W. Blaschke, «Vorlesungen iiber Integral Geometry», Teubner, Leipzig, 1936/37.

26. S. S. Chern, «On integral geometry in Klein spaces», Ann. of Math., vol. (2) 43, pp. 178 — 189, 1942.

27. E. Harding and D. Kendall (Editors), «Stochastic Geometry» (collection of papers), John Wiley & Sons, 1974.

28. O. Kallenberg, Random Measures, Akademie Verlag, Berlin, 1983. U VI.

29. И. Керстан, К. Маттес, И. Мекке, «Безгранично делимые точечные процессы», Наука, 1982.

30. Daniel A. Klain, Gian-Carlo Rota, Introduction to Geometric Probability, Cambridge University Press, USA, 1997.

31. P. McMullen and Rolf Schneider, «Valuations on convex bodies», In: Convexity and its Applications, eds. P. Gruber and M. Wills, Basel, 1983.

32. В. К. Оганян, «Комбинаторные принципы в стохастической геометрии случайных полей отрезков», ДАН Арм. ССР, том 68, стр. 150 -154, 1979.

33. В. К. Оганян, «Комбинаторные принципы в стохастической геометрии случайных полей отрезков», В сборнике 7., стр. 81 — 106, 1980.

34. V. К. Oganian, «On Palm distributions of processes of lines in the plane,» Stochastic Geometry, Geometric Statistics, Stereology, eds. by R. V. Ambartzumian and W. Weil, Teubner Texte zur Mathematik, vol. 65, pp. 124 132, 1984.

35. В. К. Оганян, «О распределении длины „типичного“ ребра случайной мозаики», Изв. АН Арм. ССР, серия Математика, том 19, № 3, стр. 248 — 256, 1984.

36. В. К. Оганян, «О формах треугольников образованных точками пуассоновского процесса на плоскости», ДАН Арм. ССР, том 81, № 2, стр. 59 — 63, 1985.

37. V. К. Oganian, «Combinatorial decompositions and homogeneous geometrical processes», Acta Appl. Math., Holland, vol. 9, № № 1 — 2, pp. 71 — 81, 1987.

38. V. K. Oganian, «On homogeneous processes of lines in the plane», Proceedings of the 1st world congress of the Bernoulli Society, VNU, Science-Press, BV, Holland, vol. 1, pp. 256 — 260, 1987.

39. В. К. Оганян, А. Абдалла, «О порождении мер в пространстве прямых финслеровыми метриками», Известия НАН Армении, серия Математика, том 27, № 5, стр. 69 80, 1992.

40. В. К. Оганян, А. Абдалла, «Маркированные точечные процессы пересечений порожденные случайными процессами прямых на плоскости», Известия АН Армении, серия Математика, том 28, JV" 5, стр. 78 — 90, 1993.

41. V. К. Oganian, «Measure generation by Euler Functionals, Appendix», Приложение к статье P. В. Амбарцумяна, Adv. Appl. Prob. (SGSA), vol. 27, pp. 623 — 626, 1995.

42. В. К. Оганян, А. Давтян, «Конечно-аддитивные функционалы в пространстве плоскостей, И», Известия НАН Армении, серия Математика, том 31, № 4, стр. 44 — 73, 1996.

43. В. К. Оганян, «More on Riemann Metrics in IR2 for which the lines are the shortest paths», Известия HAH Армении, серия Математика English translation: Journal of Contemporary Math. Anal. (Armenian Academy of Sciences)., том 32, № 2, стр. 77 — 85, 1997.

44. Г. Ю. Панина, «Выпуклые тела и меры, инвариантные относительно сдвигов», Записки научн. сем. ЛОМИ, том 157, 1986.

45. А. В. Погорелов, Четвертая Проблема Гильберта, Москва, Наука, 1974.

46. X. Рунд, Дифференциальная Геометрия Финслеровых Пространств, Москва, Наука, 1981.

47. Л. А. Сантало, Интегральная Геометрия и Геометрические Вероятности, Москва, Наука, 1983.

48. В. В. Степанов, Курс Дифференциальных Уравнений, Москва, Физматгиз, 1950.

49. D. Stoyan, W. S. Kendall and J. Mecke, Stochastic Geometry and Its Applications, John Wiley, Chichester, 1987.

50. D. Stoyan and H. Stoyan, Fractals, Random Shapes and Point Fields, John Wiley к Sons, Chichester, 1994.

51. Г. С. Сукиасян, «О порождении мер пространственными флаговыми функциями», Известия НАН Армении, серия Математика, том 28, № 2, стр. 61 70, 1993.

52. Г. С. Сукиасян, «Конечно-аддитивные функционалы на плоскости», Известия НАН Армении, серия Математика, том 29, № 4, стр. 91 106, 1994.