Оценки погрешности наилучших квадратурных формул на некоторых классах функций

В пятидесятых годах прошлого столетия С. М. Никольский [33] впервые поставил и решил экстремальные задачи построения наилучших квадратурных формул — задачи выбора узлов и коэффициентов квадратурной формулы из условия минимальности точной оценки ошибки формулы на заданном классе функций. Аналогичную задачу в случае фиксированных узлов впервые рассмотрел А. Сард [38]. В дальнейшем теория построения наилучших квадратурных формул стала важным разделом вычислительной математики. Существенные результаты в этом направлении были получены Н. П. Корнейчуком, Н. Е. Лушпаем, В. П. Моторным, А.А.Женсык-баевым, Б. Д. Бояновым, А. А. Лигуном, К. И. Осколковым, М. И. Левиным, Ю. Г. Гиршовичем и многими другими. Основные результаты этой теории приведены Н. П. Корнейчуком в добавлении к книге С. М. Никольского [33]. Из этого добавления видно, что данная теория получила значительное развитие, хотя в ней остался ряд нерешенных вопросов. Значительно менее развита теория построения весовых наилучших квадратурных и кубатурных формул, а также построения наилучших квадратурных формул для сингулярных интегралов.

При оптимизации приближенного интегрирования сингулярных интегральных уравнений возникает необходимость в нахождении наилучших квадратурных и кубатурных формул с положительным весом, причем допускается, что интегрируемая весовая функция в области интегрирования может иметь фиксированные слабые особенности. Для таких квадратур сформулируем следующую общую экстремальную задачу.

Рассматривается квадратурная формула п х) Цх)йх =? Рк/(Хк) + Дп (/), п.

0.0.1) в которой весовая функция д (х) > 0 на отрезке [а, 6] интегрируема (может быть в несобственном смысле) по Риману, Р = 1 — вектор коэффициентов, X = {хь: а < XI < Х2 <. < хп-1 < хп < 6} - вектор узлов, а Яп{1) := ] д Р, X) — погрешность квадратурной формулы (0.0.1) на функции.

Если ОТ некоторый класс функций {/(ж)}, заданных и определенных на конечном или бесконечном отрезке [а, Ь], то через обозначим допустимую погрешность квадратурной формулы на классе ЭТ. Требуется найти величину где Л — множество векторов узлов и коэффициентов, для которых квадратурная формула имеет смысл. Если существует вектор (Р°, Х°) узлов и коэффициентов, для которого достигается нижняя грань в (0.0.3), то есть то квадратурная формула (0.0.1) называется наилучшей или оптимальной на классе ОТ, а вектор (Р°, Х°) называется наилучшим вектором коэффициентов и узлов квадратурной формулы (0.0.1). Аналогичным образом, если существует вектор коэффициентов Р* = который реализует нижнюю грань М.

Дп (ОТ-д, Р, Х)=зпр{|Дп (/-д-Р, Х)|: /? ОТ} (0.0.2).

П (0Тд) = ^{^(ОТ- .

0.0.3).

П (0Тд, X) = Ы{Яп (Ъ1] дР, Х): Р С Л}.

0.0.4) то квадратурная формула (0.0.1) называется наилучшей по коэффициентам квадратурной формулой при фиксированном векторе узлов X =.

В литературе задача (0.0.3) называется задачей Колмогорова-Никольского, а задача (0.0.4) — задачей Сарда.

Задача (0.0.3) для соболевских классов функций и регулярных интегралов решена многими авторами. Что же касается нахождения наилучших квадратурных формул для сингулярных интегралов или весовых квадратурных формул, когда д (х) на отрезке [а, Ь] имеет особенности, то здесь можно указать лишь на работы Л. А. Онегова, В. А. Войкова, М. Ш. Шабозова и Р. С. Сабоиева.

Диссертационная работа посвящена дальнейшему развитию указанной тематики, целью которой является:

1. Найти наилучшие квадратурные формулы с весом для классов а, 6] на конечном и бесконечном отрезке интегрирования.

2. Найти наилучшие по коэффициентам квадратурные формулы с весом для классов функций, задаваемых модулями непрерывности.

3. Найти наилучшие квадратурные формулы для двумерных сингулярных интегралов с фиксированной особенностью в круге.

4. Найти наилучшие кубатурные формулы для классов функций И¹'1^^), когда область (2 как ограничена, так и не ограничена.

5. Вычислить точные оценки погрешности кубатурных формул на классах функций, определяемых модулями непрерывности.

В работе используются современные методы исследования экстремальных задач нахождения квадратурных и кубатурных формул, метод Корнейчука оценки снизу погрешности квадратур на классах функций, обращающих в нуль квадратурную сумму.

Научная новизна исследований диссертационной работы:

1. Найдены наилучшие квадратурные формулы с весом для классов функций малой гладкости как на конечном, так и на бесконечном интервале.

2. Найдены наилучшие по коэффициентам весовые квадратурные формулы для классов функций, задаваемых модулями непрерывности.

3. Найдены наилучшие квадратурные формулы для двумерных сингулярных интегралов с фиксированной особенностью в круге.

4. Найдены наилучшие кубатурные формулы для классов функций, определенных в первом квадранте декартовом системы координат.

5. Вычислены точные оценки кубатурных формул, точных на билинейных сплайнах для классов функций, определяемых модулями непрерывности.

Полученные результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть использованы при численном решении сингулярных интегральных уравнений и оптимизации погрешности их решений на классах функций малой гладкости.

Основные результаты диссертации обсуждались на ежегодных конференциях математических кафедр вузов Согдийской области (г.Ходжент, 2007 — 2010 гг.), на семинарах по вопросам теории приближения функций в ИМ АН Республики Таджикистан, на международных научных конференциях &bdquo-Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики" (г.Душанбе, 2007 г.), &bdquo-Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений" (г.Душанбе, 2007 г.), &bdquo-Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ" в ИМ АН Республики Таджикистан (г.Душанбе, 2008 г.), на международной научной конференции, посвященной 60-летию академика АН РТ К. Х. Бойматова (г.Душанбе, 23−24 июня 2010 г.), в ИМ АН Республики Таджикистан.

Основные результаты диссертации опубликованы в пяти статьях [40 — 43,50], из которых одна статья выполнена в соавторстве с научным руководителем М. Ш. Шабозовым и Р. С. Сабоиевым. Из этой статьи в диссертации приведена теорема 2, доказательство которой принадлежит автору диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 53 наименований и занимает 82 страницу машинописного текста. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

1. Алхимова В. М. Наилучшие квадратурные формулы с равноотстоящими узлами // ДАН СССР, 1972, 202, № 2, с.263−266.

2. Бабенко В. Ф. Асимптотически точная оценка остатка наилучших для некоторых классов функций кубатурных формул //Матем.заметки, 1976, т. 19, № 3, с.313−332.

3. Бабенко В. Ф. Точная асимптотика остатков оптимальных для некоторых классов функций весовых кубатурных формул // Матем. заметки, 1976, т. 20, № 4, с.589−595.

4. Бабенко В. Ф. Об оптимальной оценке погрешности кубатурных формул на некоторых классах непрерывных функций //Analysis Mathematica, 1977, 3, № 1, с.3−9.

5. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.:Наука, 1975. — 631 с.

6. Бойков И. В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Саратов: Из-во Саратовского университета, 1983. — 210 с.

7. Боянов Б. Д. Характеристика и существование оптимальных квадратурных формул для одного класса дифференцируемых функций // ДАН СССР, 1977, 232, № 6, с.1233−1236.

8. Бусарова Т. Н. В сб.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. -Днепропетровск, ДГУ, 1980, с.17−21.

9. Бусарова Т. Н. Об оптимизации приближенного интегрирования быстроосциллирующих функций // Укр.матем.журнал, 1986, т.38, № 1, с.89−93.

10. Вакарчук К. Б. К интерполяции билинейными сплайнами // Мат. заметки, 1990, № 47, вып. 5 с.26−29.

11. Васильев Н. И., Клоков Ю. А., Шкерстена А. Я. Применение полиномов Чебишева в численном анализе.-Рига: Знатне, 1984.-240 с.

12. Великин В. Л. Эрмитовы сплайны и связанные с ними квадратурные формулы для некоторых классов дифференцируемых функции // Изв. вузов, Математика., 1976, № 5, с.15−28.

13. Габдулхаев Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Из-во Каз. ун-та, 1980. — 232 с.

14. Гиршович Ю. И. О некоторых наилучших квадратурных формулах на бесконечном интервале // Изв. АН Эст. ССР, сер.физ.-мат.наук, 1975, т.24, т, с.121−123.

15. Ермолаева Л. Б. Об одной квадратурной формуле //Изв.вузов. Математика, 2000, № 3, с 25−28.

16. Женсыкбаев А. А. Моносплайны минимальной нормы и наилучшие квадратурные формулы // Успехи матем. наук, 1981, т.36, № 4, с.107−159.

17. Жилейкин Я. М., Кукаркин А. Б. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосциллирующих функций. // ЖВМ и МФ, 1978, 18, № 2, с.294−301.

18. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. -М.:Наука, 1985 -396с.

19. Задирак В. К., Василенко С. С. Оптимальные квадратурные формулы вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций из некоторых классов и их реализация на ЭВМ. Киев, 1974. — 37 с.-(Препринт АН УССР, Ин-т кибернетики- 74−17).

20. Ибрагимов И. И., Алиев P.M. О некоторых наилучших кубатурных формулах // Изв. АН Азерб.ССР, 1967, № 3−4, с.154−161.

21. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967.

22. Крылов В. И. Шульгина JI.T. Справочная книга по численному интегрированию.-М.: Наука, 1966.-371 с.

23. Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближения.-М.: Наука 1983, 324 с.

24. Корнейчук Н. П. Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций многих переменных. //Матем.заметки, 1968, т. З, № 5, с.565−576.

25. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун A.A. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов //Киев: Наукова думка, 1992, 304 с.

26. Лебедь Г. К. О квадратурных формулах с наименьшей оценкой остатка на некоторых классах функций // Мат. заметки, 1968, т. З, № 5, стр. 577 586.

27. Левин М. И., Гиршович Ю. Г. Экстремальные задачи для кубатурных формул // ДАН ССР, 1977, т. 236, № 6, с.1303−1306.

28. Левин М. И., Гиршович Ю. Г. Наилучшие кубатурные формулы на множествах периодических функций // Изв. АН Эст.ССР, сер.физ.-матем., 1977, 26, № 2, с.114−122.

29. Лушпай Н. Е. О наилучших кубатурных формулах для одного класса дифференцируемых функций двух переменных // Сб. работ асп. ДГУ (матем. и механика).- Днепропетровск, 1972, с.35−39.

30. Лушпай Н. Е., Переверзев C.B. О наилучших кубатурных формулах для классов дифференцируемых функций двух переменных // В сб. Исслед. по совр. проблемам суммирования и приближения функций и их приложениями. Днепропетровск, 1976, с.38−45.79.

31. Лигун A.A. Точные неравенства для сплайн-функций и наилучшие квадратурные формулы для некоторых классов функций // Матем. заметки, 1976, т. 19, № 6, с.913−926.

32. Моторный В. П. О квадратурных формулах с равными коэффициентами. // У кр. матем. журнал, 1995, т. 47, N9, с. 1205−1208.

33. Никольский С. М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1986. — 256 с.

34. Онегов JI.A. Об одной наилучшей квадратурной формуле для сингулярных интегралов с неподвижной особенностью // Изв. вузов, Математика, 1981, N9, с.76−79.

35. Сабоиев P.C. Об оптимальных по коэффициентам квадратурных формулах с весовыми функциями, имеющих фиксированные особенности // Доклады АН РТ, 2005, т.48, № 3−4.

36. Сабоиев P.C. О наилучших по коэффициентам весовых кубатурных формулах для классов функций малой гладкости // Доклады АН РТ, 2006, т.49, № 5, с.412−416.

37. Сабоиев P.C. О наилучших по коэффициентам весовых кубатурных формулах для классов функций, задаваемых модулями непрерывности // Доклады АН РТ, 2006, т.49, № 7, с.597−603.

38. Sard A. Best approximation integration formulas, best approximate formulas. American J. of Math., 1949, LXXI, p.80−91.

39. Сухарев А. Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа. -М.:Наука, 1989. 304 с.

40. Хамдамов Ш. Дж. О погрешности квадратурных формул, точных на сплайнах первой степени // Доклады АН РТ, 2007, т.50, № 3, с. 213 -217.

41. Хамдамов Ш. Дж. О погрешности кубатурных формул точных на билинейных сплайнах // Доклады АН РТ, 2009, т.52, № 2, с. 93 100.

42. Хамдамов Ш. Дж. Об оценке погрешности наилучших квадратурных формул на некоторых классах функций. // Доклады АН РТ, 2010, т. 53, № 5, с.333−337.

43. Шабозов М. Ш. О погрешности интерполяции билинейными сплайнами //Укр. мат. журнал, 1994, т.46, № 11, с. 1554−1560.

44. Шабозов М. Ш. Точные оценки одновременного приближения функций двух переменных и их производных билинейными сплайнами.//Мат. заметки, 1996, т.59, № 1, с.142−152.

45. Шабозов М. Ш. Об оценках погрешности квадратурных формул для некоторых классов функций //Укр.мат.журнал, 1991, т.43, № 12.

46. Шабозов М. Ш. Об одном подходе к исследованию оптимальных квадратурных формул для сингулярных интегралов с фиксированной особенностью // Укр.матем.журнал, 1995, т.47, N9, с.1300−1305.

47. Шабозов М. Ш., Каландаршоев С. С. Точные оценки погрешности квадратурных формул на классах функций малой гладкости // Доклады АН РТ, 1998, т.41, N10, с.69−75.

48. Шабозов М. Ш. О наилучших кубатурных формулах с весом // Изв. АН Тадж.ССР, отд.физ.-мат. и геолого-хим.наук, 1980, № 4, с.86−90.

49. Шабозов М. Ш., Сабоиев P.C., Хамдамов Ш. Дж. Оптимизация некоторых весовых квадратурных формул в пространстве Li а, Ь. // Доклады АН РТ, 2009, т.52, № 1, с. 5 9.

50. Шабозов М. Ш., Сабоиев P.C. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосцилирующих функций. Вестник ХоГУ, серия 1, 2004, № 6,.

51. Шабозов М. Ш., Сабоиев P.C. О наилучших по коэффициентам весовых квадратурных формулах, имеющих фиксированные особенности // Вестник ХоГУ, серия 1, 2006, № 7, с.42−54.

52. Шабозов М. Ш., Сабоиев P.C. Об оптимизации приближенного интегрирования быстро осциллирующих функций // Доклады АН РТ, т.47, 2004, № 3, с. 14−19.с.17−22.