В последние годы в области функциональных предельных теорем в пространстве С[0,1] — непрерывных действительных функций, определённых на отрезке [0,1] с равномерной метрикой, значительный интерес вызывают так называемые условные предельные теоремы для случайных блужданий [8], [17], [18], [19], [24], [26], марковских цепей [20], ветвящихся процессов [9], [10], [14], [15] и броуновского движения [21], [22]. Пусть X: О —>• (7[0,1] — некоторое отображение измеримого пространства (О,.?-") с вероятностной мерой Р на нём в пространство (<7[0,1], С), где С — сг-алгебра, порожденная открытыми множествами в С[0,1] относительно равномерной метрики, Рх — вероятностная мера на (С[0,1], С), индуцированная отображением X :
РХ (А) = Р («: Х (и) <=А), Ае С.
Отображение X называют случайным элементом в (<7[0,1], С), Рх — его распределением вероятностей. Случайный элемент X называют также случайным процессом, имея в виду, что X = Х<(о>), 0 ^ t ^ 1, является функцией переменного t. Для краткости мы будем опускать зависимость Xt (uj) от ш и употреблять запись (X (i): 0 ^ t ^ 1).
Пусть, А € С некоторое событие положительной меры Рх• Положим Х-1 (А) = {ш: Х (а?) € Л} и введем отображение (X | Л) измеримого пространства (Х-1 (Л), Х-1 (Л) nf) c вероятностной мерой.
Р (А | Х-1 (Л)) = p{P*lA)y, А € ТПХ^(А), в пространство (А, А П С). Случайный элемент (X | А) имеет распределение вероятностей.
Далее для отображения (X | А) будем также употреблять обозначение (Х (£): 0 ^ t ^ 1 | А) и называть условным процессом. Мы будем рассматривать последовательность случайных элементов Хп из (С[0,1 ], С) и, соответственно, последовательность Рхп их распределения вероятностей. Если имеет место слабая сходимость вероятностных мер [1].
Рхп => Рх, «оо, и X случайный элемент с распределением вероятностей Рх, то мы будем говорить, что последовательность Хп сходится по распределению к X и записывать это в виде.
Хп X, п —у оо.
Функциональной условной предельной теоремой мы будем называть утверждения вида.
Хп | А&bdquo-) -" У, п —> оо, где Лп — некоторая последовательность множеств положительной меры.
После классических условных предельных теорем для ветвящихся процессов и некоторых их обобщений возрождение интереса к подобной проблематике связано с работами Белкина [17], [18]. Приведем один из результатов работы [18].
Обозначим В = (B (t): t > 0) — процесс броуновского движения, заданный на вероятностном пространстве (Q, F, P). Определим случайные величины т и т2 ti = sup{i 5С 1: B{t) = 0}, т2 = inf {t > 1: B (t) = 0}, и положим B (n + (l-n)t) W- (l-Tl)l/2 ' W В (тг + (r2 — Tl) t) при 0 ^ t ^ 1.
Пусть Sn =? i +?2 4——-f~ So — 0, n = 1,2,. — случайное блуждание, построенное по последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин ••>&"" Щг = 0, Щг = 0″ 2, О < о3 < оо. При любом re ^ 1 введем кусочно-линейный процесс Хп = (Xn (t): 0 < t < 1), положив для точек вида t = k/n, Q < к < п, и определяя процесс с помощью линейной интерполяции при остальных значениях t.
Предположим, что введенные выше случайные величины ?1,^2, •• • • • ¦ являются целочисленными. Пусть Л € С — множество всех непрерывных функций на отрезке [0,1], не принимающих значение ноль на (0,1]. Тогда [18].
Xn (t):0^t <1 п —У оо. (3).
Случайный элемент В+ = (B+(t): 0 ^ t ^ 1) называют броуновской извилиной или броуновским меандром (Brownian meander) со знаком, =: 0 ^ t ^1) называют броуновской экскурсией (Brownian excursion) со знаком.
Броуновская экскурсия (без знака) Wq = (W^~(i): 0 ^ t ^ 1), броуновская извилина (без знака) = (W+(?): 0 < t ^ 1) определяются соотношениями.
W+ = |В+|, (4).
Wo+ = ВП (5).
Следующий результат в этом направлении принадлежит Иглхарту [24], который установил, что.
Х&bdquo-(«): 0 < t < 1 | Т+ > п) 4 W+, п —У оо, (6) где Т+ — inf {n > 0: Sn ^ 0}, при условии Е) (3< оо. Усиление этого результата с использованием другого подхода принадлежит Болтхаузену [19]. При этом условие Е | ?1 |3< оо оказалось излишним.
В статье Кэя [26] для целочисленного случайного блуждания с шагом 1 доказана сходимость.
05 $г1|Т = га) Д В+, п -)¦ оо, (Т) где Т = inf {п. > 0: Sn = 0}.
Отметим другой тип условных предельных теорем, в которых рассматривается случайный процесс (X (t): 0 ^? ^ 1) — случайный элемент пространства (С[0,1 ], С) при условии семейства событий Ае, зависящего от непрерывного параметра е > 0, при е —у 0. И речь идет о слабой сходимости условного процесса 0 < г ^ 1 I Ае) Д Y,? —0, полагая, что слабая сходимость имеет место для любой последовательности е&bdquo- 0 при 71 —у оо. При этом, естественно, более интересен случай когда PpT-^Ae)) 0 при е 0.
Приведем, для примера, следующие условные предельные теоремы для условного броуновского движения (W (t): 0 ^ t ^ 1) [21], [22]:
W (t): 0 < t < 1 | m > -е) Д W+,? —у 0, (8) где m — inf {W (i): 0 ^ t ^ 1}- для броуновской извилины.
W+(t): 0 ^ t < 1 | W+(1) < е) Д W+, е —>¦ 0, (9) и для броуновского моста = W{t) — tW (l) :
W°(t): 0 < t < 1 | mo > -e) Д W+, e -«¦ 0, (10) где mo = inf {W°(f): 0 t < 1}.
Целью диссертации является получение условных функциональных предельных теорем двух указанных выше типов. Делается шаг в построении общей теории на основе использования так называемых расщепляющих моментов. Перейдем к изложению содержания диссертации.
Представим (3), (6) в несколько иной форме. Для этого введем функционал г0: С[0,1] —У [0,1].
To (/)=sup{te[0,l]: /(?) = 0}, € С[0,1].
Тогда результат (3) работы [18] записывается в виде то (Хте) = 0) Д. В+, пУ оо. (11).
Предельную теорему (6) можно представить в виде.
Xu (t): 0 ^ t ^ 1 | тт (Хп) = 0) Д W+, п^ оо, (12) где функционал тт: С[0,1] —" [0,1] определяется формулой тто (Я = sup {t е [0,1]: /(?) = т}, где / € СО, l], m = inf {f (s): 0 < s > 1}.
Далее, определим семейства отображений Н~, Н? из С[0,1] в С[0,1] для фиксированного, а € (0,1) формулами.
Н~т = /И)/"½, /(a + (l-a)t)-/(g) (ia)i/2 о < 1.
Обратим внимание на то, что по определению.
В+ = Е+В, а равенство по распределению.
W+ = H+JB, следует из результатов диссертации. Тем самым, предельные условные теоремы (11), (12) формулируются в виде.
Xn (t): 0 < t < 1 | т0(Хп) = 0) 4 Н+В, п —> оо. (13).
Xn (t): 0 < t < 1 | rm (Хп) = 0) 4 Я+ |В|, n ^ оо, (14).
Ряд теорем, полученных в диссертации, имеют вид, аналогичный соотношениям (13), (14):
Хп (*): 0 ^ t < 1 | т (Х") = 0) 4 H?(W (t): 0 < t ^ 1), п оо. (15) (X"(i): 0 < t < 1 | = 1) 4 #~(IF (*): 0 ^ t < 1), n ^ оо, (16) где, однако, в качестве т (/) берется измеримый функционал некоторого общего вида.
В главе 1 даются определения и излагаются свойства расщепляющих моментов, которые позднее используются при доказательстве условных функциональных предельных теорем.
Обозначим (С*, С*) измеримое пространство действительных непрерывных функций, определенных на отрезке [0, s] для s <Е (0, оо) и на полупрямой [0, оо) при $ — оо, с <7-алгеброй С порожденной открытыми множествами, положим.
С00 = с, с°° = с.
Функции f, g G Cs назовем (t-*r) — эквивалентными, 0 < t < s, и введем для этого обозначение / ~ д, если f (u) = д (и) при и € [t, «]. Назовем / и д (t—) -эквивалентными: / ~ д, если /(«) = д (и) при и € [0,t], t < s.
Введем операции At и над подмножествами из С*, полагая [A]f = {/ € С*: 3<7 € А такая, что д ~ /}, {f (? С": 1д е, А такая, что д ~ /}.
Таким образом, [At ([A]t+) состоит из функций пространства Ся, совпадающих с какой-нибудь функцией / € А на отрезке [0,?] Применяя веденные операции к функциям пространства С8, можно записать до*. = U Wt-, f€A U i/W • а.
Пусть ([0, — отрезок [0, s] с <�т-алгеброй его борелевских множеств. Ввведем понятие расщепляющего момента.
CS, B3) — измеримый функционал т: CS —[0, «] U {с"} называется расщепляющим моментом, если при любом t € [0, s] выполняется € (7s: т/ = t} = [{/ е Са: г/ = t}]t П [{/ € (7s: т/ = t}]t+ .
Расщепляющий момент был введен в работе Якобсена [25] в следующей форме. Измеримый функционал т: С* —> [0,"] U {сю} называется расщепляющим моментом, если для любых функций /i, /2? Cs таких, что гД = т/г = ?, /i (?) = /г (£) следует, что т/ = ?, где.
В § 1.1 устанавливается эквивалентность данных определений. Легко видеть, что функционалы то, тт являются расщепляющими моментами.
В главе 2 при доказательстве условных функциональных предельных теорем рассматриваются измеримые функционалы г: С* —> [0, з] U {оо}, удовлетворяющие дополнительным условиям. В качестве расщепляющих моментов рассматриваются функционалы т: С1 —У [0,1], у которых множество точек разрыва DT имеет винеровскую меру нуль: Pw{Dt) = 0.
Остальные условия формулируются в § 1.2 и далее считаются выполненными. Первое требование на измеримый функционал т: С8 —Y [0, s] U {оо} состоит в том, что.
A) г = т (/) — расщепляющий момент.
B) Расщепляющий момент тХте (-, а?) принимает значения вида к/щ к — = 0,1,., та.
Условие (В) обеспечивает дискретность случайной величины T-Xjj, что естественно, поскольку, например, в случае простого случайного блуждания Хп (-, ш), ш? О как функция от и> принимает конечное число значений в пространстве С[0,1].
Ключевым является следующее требование ©, которое формулируется в виде определения и называется условием согласованности.
С)ОпРЕДЕЛЕНИЕ. Расщепляющий момент т: С[0,1] —У [0, l]U{oo} назовем согласованным с броуновским движением, если Эля любого t? (0,1) € CfO, 1]: т (/) = t}]t ={fe С[0,1]: r (Ht~f) = 1}, € С[0,1]: т (/) = t}]t+ = {f е С[ОД]: т (Я+/) = 0}.
Преобразования Щ: С[0,1] С[0,1], Я+: С[0,1] С[0,1], как известно, «сохраняют» броуновское движение, то есть процессы H^W и H^W совпадают по распределению с броуновским движением W. А условие © обеспечивает преобразование события {/ &euro-Е С[0,1]: т (/) = t} в события {/ € С[0,1]: т (/) = 1} и {/ € С[0,1]: т (/) = 0} при отображениях Н^ и Н^, соответственно.
По последовательности процессов Хп, п = 1,2,. определим последовательность случайных величин То, Т%,., Тп,. :
ГоН=0,.
Тг (ш) = inf {к > 0: тХ*(-,") = 1},.
Т2(ш) = inf {& > Тг: rXfe (-,") = 1}, (1?).
Тп (ш) = inf {к > Гп!: тХк (-, ш) = 1},.
Поясним смысл так определенной последовательности случайных величин. В качестве расщепляющего момента возьмём функционал.
Г (/) = то (/) = sup {t е 10,1]: fit) =0}, / € С1, то есть непрерывной функции, определённой на отрезке [0,1], ставим в соответствие последний момент её достижения нуля. И рассмотрим случай простого случайного блуждания Sn, So = 0, выходящего из нуля. Учитывая, что тXk = 1} = {Sk = 0}, получаем.
То = 0,.
T1=m?{k>0:Sk = 0}, Т2 = inf {к > Ti: Sk = 0},.
Тп=Ы{к >Тп^ :Sk=0},.
То есть случайные величины Tj, Г2,., ,. — последовательные достижения нуля простым случайным блужданием.
Рассмотрим первый момент достижения максимума функцией пространства С1.
TM{f) = m?{t е [0,1]: № =М}, feC где.
М = M (f) = sup {/(*): 0 ^ s < 1}, и случайное блуждание с произвольным шагом, получаем, что случайные величины.
Т0 = О,.
Тг = inf {к > 0: Sk > 0}, Т2 = inf > Ti: Sk > Sti},.
Tn =mf{k>: Sk > STnJ, являются лестничными моментами [6].
ТЕОРЕМА 1. Пусть расщепляющий момент т: С1 —У [0,1] U {оо} удовлетворяет условиям (А), (В), © и тХг = 0} 3 {тХ2 = 0} 3 ••• 3 {тХп = 0} 3 .
Тогда последовательность случайных величин То, Т,., Тп,. образует процесс восстановления. Заметим, что условие тХг = 0} 3 {тХ2 = 0} 3 ••• 3 {тХп = 0} 3 ••• выполняется, если предположить, что расщепляющий момент г удовлетворяет условию.
D) {f е С[0,1]: т/ = 0} 3 {/ € С1: г (ffff) = 0}, для любого t € [0,1].
Заметим, что условия (А), (В), ©, (D) выполняются для приведенных выше примеров.
В главе 2 доказываются условные функциональные предельные теоремы, устанавливается, что предельное поведение, в смысле слабой сходимости, нормированных траекторий Хп на случайных отрезках [0, т] и [т, 1] совпадает с предельным поведением условных броуновских движений на отрезке [0,1], если в качестве условий выбираются события {г Е (1 — е, 1]} и {т <Е [0,е)}, соответственно.
Основными результатами параграфа § 2.1 являются предельные теоремы для нормированного условного случайного блуждания и условного броуновского движения на отрезке [0,1].
W (t) rWe [0,е)).
ТЕОРЕМА 2. Пусть измеримый функционал т: С1 [0,1] U {оо} удовлетворяет условиям (А), (В), ©, (В). Тогда.
Xn (t): 0 < t < 1 | тХп = 0) 4 H+(W (t): 0 < t ^ 1), п ^ ос.
ТЕОРЕМА 3. Пусть измеримый функционал т: С1 —У [0,1] U {оо} удовлетворяет условиям (А), (В), ©, (D). Тогда.
W (t): 0 < t < 1 I tW € [0,е)) Д: 0 < t < 1),? 0.
В частности, если в качестве расщепляющего момента выбрать момент г (Л = то (/) = sup {? € [0,1]: f (t) =0}, / е С из теорем 3, 2 получаем следущие Теорема З.А.
W (t): 0 < t < 1 | rQ{W) е [0, е)) Д H+(W (t): 0 < t < 1), еV 0,.
Процесс В+ — броуновская извилина со знаком (см. формула (1)). Теорема 2.А.
Xn (t): 0 ^ t < 1 I г0(Хп) = 0) 4 #+(W (f): 0 ^ t ^ 1), п 0.
Предельный процесс IIW = В+, тем самым Теорема 2. А является результатом, доказаным в работах [18], [24]. Приведем другой частный случай для тто (/) — sup {t € [0,1]: /(?) = то}, / € С1,.
Теорема З.Б. 0 < t ^ 1 t Tm{W) e [0,e)) Д H+m (W (t): 0 < t < 1), e 0, H+W = W+. m.
Параграф § 2.2 посвящен изучению предельного поведения условного случайного блуждания.
Х&bdquo-(*): 0 < t < 1 | тХп = 1) и условного броуновского движения на отрезке [0,1].
W (t): 0 < t < 1 | rW G (1 — е, 1]) ю.
ТЕОРЕМА 2. Пусть измеримый функционал т: С1 —У [0,1] U {оо} удовлетворяет условиям (А), (В), ©, (D). Тогда.
Xn (t): 0 < t < 1 | тХп = 1) 4 H~(W (t): 0 ^ t < 1), n ^ оо.
ТЕОРЕМА 1. Пусть измеримый функционал т: С1 —У [0,1] U {оо} удовлетворяет условиям (А), (В), ©, (D). Тогда.
W (t): 0 < t < 1 | tW € (1 — е, 1]) 4 H~{W{t): 0 < i < 1), е 0.
В § 2.3. изучается случайное блуждание и броуновское движение, рассматриваемые из точки максимума.
С помощью двух независимых броуновских извилин W+ = (W+(t): 0 ^ t ^ 1), W* = (W^i): 0 < t < 1) определим процесс W++ = {W++{t): -1 < t < 1) w++ =.
ГтГ+Н),-1<*< о, и назовём двусторонней броуновской извилиной.
Определим отображение / —у Gf из пространства С1 в пространство С—1,1] по формуле uv^-ZWl+tWr^-Kt^O,.
Lrf)t) f (f (r 1 (/(t — f (r + (1 — r) t))i (1 — < i < 1, где r = гм = inf {? € [0,1]: f (s) ^ f (t), 0 ^ s ^ 1}, полагая Gf (t) = 0, если т = 0 или r = 1.
ТЕОРЕМА 1. Справедливо равенство no распределению.
GW = W++ и при этом GW не зависит от тщг-Следствие.
JT"(i): 0 < t ^ 1) Д W++, и, —у оо.
Таким образом, куски траекторий процесса броуновского движения слева и справа от точки максимума (г, W (t)), надлежащим образом нормированные, суть независимые траектории процесса W++.
ТЕОРЕМА 2. Пусть последовательность случайных процессов Zn = (Zn (t): 0 ^ i ^ 1), п — 1,2,. слабо сходится в пространстве С1 к процессу броуновского движения W — {W (t): 0 ^ t ^ 1). Тогда в пространстве С[— 1,1].
GZn 4 W++, п —у оо.
Определим случайные величины т~, т+, характеризующие время выхода траектории процесса броуновского движения из е-окрестности точки максимума (е, W (e)) т~ = sup {5: W (s) = W® — е}, т+ = inf {*: W (s) = W (t) — eh.
ДЛЯ любого? > 0.
Теорема 3. Справедливо соотношение.
2А.
Текст делится на две главы, главы — на параграфы, при ссылках в пределах одной главы мы указываем только номер параграфапри ссылке на параграф другой главы — номер главы и параграфа, например: § 2.1. Нумерация теорем, формул, примеров — в пределах каждого параграфа, при ссылках в пределах одного параграфа указывается номер формулы, теоремы и т. п.- за пределами параграфа указывается также номер параграфа.
выводим? С1: т/ < П [И/ 6 С1: т/ < г}] Д П.
П[{/еС':т/.
Следовательно, feC1: rf< *}] П [[{/ € С1: rf < ?}] Д f|.
Л [{/ € С1: rf <
Поэтому двумерное распределение процесса 1T+W, аналогично (4), равно Р (HtW (s) < х, H+W (t) <у) = KmP (W{s) < х, W{t) l{rW € [0,e)}],) Jo Jo P (rW€tO, c)).
• P* (w (ts)e dv, [{tW e [o, ?)}]e+]t) • P" ([{rW € [o,?)}]f+).
Переходя к пределу при е 0, учитывая (5), получаем.
Р < ж, Я+ W (t) < у) =? [ ^ ¦ Р (Я?&euroЖ/*,) • Ptt ([{TW = 0}]в+) •.
Р" (w (t — s) € U]t) — Р" {{{rW = 0}]f+) p" ([{rPF = 0}]e+).
Следовательно, переходная плотность процесса H^W равна.
P (H+W (t) <Е dx | H+W (s) = y) =.
Vх (w (t-s)e dy, [[{rtr = Q}]s+}t) • Py ([{тТУ = 0}]t+).
P" ([{rW = 0}]8+).
Теорема доказана.
