Исследование свойств и разработка методов анализа степенных-рейтинговых распределений эмпирических данных развивающихся процессов

Актуальность темы

В настоящее время возможности компьютерного моделирования вызвали новое прочтение и повышенный интерес к научным дисциплинам, возникшим при анализе и обработке эмпирических данных развивающихся процессов [2]. Их анализ, как правило, требует рейтинговой аппроксимации на основе степенных функций. Впервые компьютерное моделирование подобных процессов, на примере прогнозирования погоды, было описано в статье: Edward N. Lorenz «Determenistic поп Periodic Flow», Journal of the Atmospheric Sciences 20, March 1963 [80], как Детерминированный Непериодический Поток. Позднее эти результаты были обобщены и сформулированы как теория хаоса. Иначе, существует класс систем, поведение которых является непериодическим, то есть с трудно прогнозируемым интервалом, качественно-аттракторной сменой режимов функционирования. Принципиальным является вывод [14,49,80], что прогнозирование подобных процессов приводит к необходимости определить допустимый интервал возможного контингентного события, при этом проявляется эффект неопределенности между достоверностью и интервалом прогнозирования. Э. Лоренц отмечал, что достоверный интервал прогнозирования погоды составляет не более 3-х дней, так как исходные параметры (данные), заложенные в компьютерную модель, за это время значительно изменяются.

Практическая значимость такого вывода в неоднозначности результатов компьютерного моделирования, хотя уравнения Лоренца и являлись лишь грубой имитацией погоды — сущность реальной атмосферы относилась к другому типу физических систем — систем развивающегося типа. Любая непериодическая физическая система непредсказуема и реальность компьютерного моделирования состоит в том, что составление прогнозов погоды из искусства превратилось в науку. По оценкам европейского центра, мировая экономика ежегодно сберегала миллиарды долларов благодаря предсказаниям, которые статистически были лучше, чем ничего.

Анализ и обработка эмпирических данных таких развивающихся процессов требуют иных нелинейных моделей исследования устойчивости и статистической обработки. Известно, что при обработке развивающихся процессов (U — образных кривых) используется распределение Вейбулла. Однако, оно требует подгонки трех параметров, используя различные методы оценки параметра положения. Оценка параметров положения для трех параметрического распределения Вейбулла связана с рядом вычислительных трудностей. Кроме того, не существует оценок максимального правдоподобия для параметра формы меньше 1, а функция правдоподобия может иметь несколько локальных максимумов. Итерационный процесс такой параметрической «подгонки» распределения Вейбулла локально неустойчив [87].

С целью преодоления ограничений, которые следуют из классических подходов статистического и в частности, корреляционного анализа, метода моментов, наименьших квадратов, оценки математического ожидания, дисперсии и других показателей [3,5,8,16,17], в настоящее время широко применяют рейтинговые распределения и аппроксимацию степенными функциями при обработке временных рядов, эмпирических данных и индексных показателей. Например, в теории финансов [60] вводится понятие «эффект памяти», позволяющее анализировать финансовые ряды с учетом времени или, точнее, «предыстории» прогнозируемого события. «Предыстория» позволяет выявлять наличие факта детерминированности исследуемого процесса. Саму процедуру выявления «предыстории» («эффекта памяти» или просто «памяти»), предлагается осуществлять на основе введенного X. Херстом [79] метода нормированного размаха (R/S-анализа). При моделировании и прогнозировании эволюционирующих процессов и систем статистические данные представляются временными рядами (BP) числовых значений основного показателя: BP курса доллара [58], BP урожайности с/х культур [56], BP объемов жилищного строительства, BP заболеваний гриппом и ОРЗ [58], СВР — социальные показатели как BP и др. В контексте моделирования этих процессов наиболее актуальной задачей является проблема прогнозирования дальнейшего поведения рассматриваемых BP. Принципиально важным является определение интервалов контингентных событий. По сути, это определяет различную типологию поведения процессов в рассматриваемых BP. Общепризнанным является тот факт, что «памятью» обладают многие природные BP (наводнения, землетрясения, цунами) [57,59,67]. На выяснение наличия или отсутствия такой интервально-иерархической циклической памяти в рассматриваемых BP и нацелено использование R/S-анализа, самоподобия и степенных законов.

Например, в 1956 году геологи Бено Гутенберг и Чарльз Рихтер обнаружили, что число сильных землетрясений N, высвобождающих определенное количество энергии Е, определяется степенным законом: где: 7приблизительно равно 1.5;

К — некая константа. Показатель у универсален в том смысле, что он не зависит от географического района. Сильное землетрясение или наводнение следует за длительным периодом их отсутствия. Поэтому подобные развивающиеся процессы, в которых характеристики динамически изменяются в процессе обработки данных, требуют иных подходов при их анализе [57].

В качестве альтернативы разрабатываются такие математические методы, как фрактальная геометрия [70,77], теория хаоса [74], степенные законы [73], нейронные сети [52].

Подобный подход к анализу и обработке развивающихся процессов восходит к теории трансформации д’Арси Томпсона [85] который выдвинул гипотезу, в которой рассматривается идея общего аналитического подхода к изучению формы у близкородственных видов. Эта гипотеза формулируется весьма просто и в основном сводится к следующему: если принять форму какого-то данного организма за эталон и отнести эту форму к некоторой декартовой прямоугольной системе координат, то форму всякого организма, достаточно близкого к начальному, можно рассматривать как результат непрерывной деформации исходной координатной системы. Здесь, автор как бы предвосхитил такие современные понятия, как самоподобие, фрактализация и итерационно-функциональные системы, как инвариант аффинных преобразований. В другом виде эта идея сформулирована как закон аллометрического роста.

В [48] подчеркивается, что существует большое число разнообразных функционалов, заданных на самых различных множествах объектов, значения которых связаны уравнением вида у = ах1. (2).

Систематическое изучение этой закономерности было впервые предпринято Гексли. Эту зависимость называют законом гетерогении или законом неравномерного (аллометрического) роста.

Подобные процессы развивающегося типа часто встречающиеся в технике [1,8], экономике [81], в биологии [50,84] и лингвистики [4,86], и являются, по сути, законами аллометрического роста для случаев, когда происходит дискретная смена параметров в уравнении (2). Общим для этих процессов оказывается то, что закон неравномерного роста является удовлетворительным описанием процесса только до определенных пределов изменения характеристик, после чего происходит практически скачком смена параметров, а и у.

Именно такие зависимости встречаются при обработке экспериментальных данных, развивающихся процессов. Они оказываются стабильными на более длительных временных интервалах, чем при использовании модели экспоненциального роста с дискретно меняющимися параметрами, хотя и представляют собой частный случай этих моделей. В самом деле, достаточно представить себе непрерывную аппроксимацию ступенчатого закона изменения темпов экспоненциального роста, чтобы получить аллометрическую модель. Очевидно, последнюю можно предпочесть, если необходимо определить тип анализируемого процесса. Однако использование модели этого типа не избавляет от необходимости определять моменты изменения параметров модели и характер таких изменений. В результате большого количества измерений, например, роста биологических объектов, установлено, что скачки в моделях аллометрического роста происходят в периоды, когда организм приобретает новые функции (они, в частности, следуют за физиологической сменой в моменты: рождения, наступления половой зрелости и старости), тогда как изменениям темпов экспоненциального роста соответствуют морфологические изменения.

В ряде случаев параметры аллометрических зависимостей можно получить, используя первичные временные соотношения, непосредственно модель аллометрического роста. При этом возникает проблема определения закона смены параметров {а и 7) в уравнении (2) или, что эквивалентно, выявлению интервала контингентности.

Большая часть важных примеров рассмотрена Гексли и другими в связи с феноменологическим изучением аллометрии, относится к развивающимся системам. Помимо того, что очень удобно иметь дело с последовательностью форм, которую можно рассматривать в лабораторных условиях, развивающиеся системы обладают еще рядом особенностей, которых мы не находим в филогенетических рядах или в последовательностях археологических артефактов. Эта особенность развивающихся систем, в связи с которой следует заметить, что уравнение (2) достаточно хорошо описывает различные развивающиеся процессы лишь на отдельных участках эмпирических данных с априорно неизвестными интервалами контингентности. Известен ряд циклических процессов с интервалами различной длительности: наводнения, цунами, экономика и др. Следовательно, в развивающихся системах сосуществуют разномасштабные проявления причинно-следственных связей, локальные и глобальные переменные, степенные законы и рейтинговые распределения, которые имеют разную физическую, биологическую, экономическую и социальную природу. Однако общим для них является то, что измеренные сигналы, показатели, параметры таких систем требуют при анализе использовать нелинейные математические модели обработки данных.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются эмпирические данные развивающихся процессов, а предметом исследования методы анализа и обработки разнотипных эмпирических данных, в основе которых лежат R/S анализ, итерационная процедура приближения последовательностью Фибоначчи и аппроксимация степенными функциями. Исследуются и предлагаются методы выявления интервалов контингентности на основе самоподобия и аппроксимирующих показателей степенных законов: временных рядов BP, спектральных и рейтинговых распределений.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является исследование свойств распределения Вейбулла и построение итерируемого приближения при аппроксимации U — образных процессов степенными функциями при анализе рейтинговых распределений разнотипных эмпирических данных, в том числе и индексных показателей, а также разработка методов оценки степенного показателя у при построении аппроксимирующих распределений эмпирических данных и определение интервалов событийной контингентности. Для достижения цели в диссертационной работе поставлены и решены задачи:

1. Показано, что для различного типа развивающихся процессов в качестве инвариантной характеристики выступает итерационное приближение последовательности Фибоначчи — аппроксимирующий показатель степенной функции.

2. Разработан метод выявления интервалов событийной контингентности, использующий аппроксимацию эмпирических данных степенными функциями.

3. Предложен «тестовый» подход анализа развивающихся процессов, в основе которого сопоставление с параметрическими характеристиками «образцовых-эталонных» процессов (обобщение волн Эллиотта).

4. В отличие от неоднозначности и вычислительных трудностей оценок параметров распределения Вейбулла предложен метод аппроксимации эмпирических данных степенной функцией с показателем 0<у<2, позволяющий непосредственно выделить интервалы (участки) контингентных событий.

5. Прикладная значимость разработанного подхода проиллюстрирована на обработке экспериментальных данных (ЭД), являющихся откликом следующих процессов: а) демографического развитияб) колебания уровня воды в р. Невав) изменения уровня зарплаты от образованияг) изменения урожайности зерновыхе) распределения капиталов по банкамж) исследования семантики текстов.

Научная новизна.

1. Исследованы свойства степенных функции и распределения Вейбулла при анализе разнородных эмпирических данных (числа, индексы, рейтинги), имеющих U-образную форму. Показано, что для различного типа развивающихся процессов в качестве инвариантной характеристики выступает итерационное приближение последовательности Фибоначчи — аппроксимирующий показатель степенной функции.

2. Предложен «тестовый» подход анализа развивающихся процессов, в основе которого сопоставление с параметрическими характеристиками «образцовых — эталонных» процессов. Это позволяет заполнять пропуски в эмпирических данных и оценивать возможные риски масштабируемых последствий.

3. Разработан метод итерационного приближения последовательности Фибоначчи к рейтинговым распределениям эмпирических данных.

4. Предложено в качестве критерия кластер-анализа исследуемого развивающегося процесса использовать интервалы контингентности.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Метод выявления интервалов событийной контингентности.

2. Масштабируемый критерий прогнозного ожидания.

3. Метод итерационного приближения последовательности Фибоначчи к рейтинговым распределениям.

4. Использование интервалов контингентности в качестве классификационного показателя (индекса), характеризующего состояние процесса (например, уровень социального и экономического развития).

5. Контингентный метод кластер-анализа эмпирических данных.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения,.

Выводы по главе 5.

1. На примере анализа онкологической ситуации показана роль аппроксимации степенной функции и связь ее показателя с косвенной оценкой экосоциальной составляющей.

2. Показано, что как правило для статистической достоверности оценки параметров функционального описания степенным законом одних экспериментальных данных не достаточно. Необходимо сформировать предположительные гипотезы на интервал: либо контингентности исследуемых событий, либо показателя у.

Заключение

.

1. Исследованы свойства степенных функции и распределения Вейбулла при анализе разнородных эмпирических данных (числа, индексы, рейтинги), имеющих U-образную форму. Показано, что для различного типа развивающихся процессов в качестве инвариантной характеристики выступает итерационное приближение последовательности Фибоначчи — аппроксимирующий показатель степенной функции.

2. Разработан метод выявления интервалов событийной контингентности, использующий аппроксимацию эмпирических данных степенными функциями.

3. В отличие от неоднозначности и вычислительных трудностей оценок параметров распределения Вейбулла предложен метод аппроксимации эмпирических данных степенной функцией с показателем 0 < у < 2, позволяющий непосредственно выделить интервалы (участки) контингентных событий.

4. Анализ демографических процессов Японии и России показал возможность использования интервалов контингентности в качестве классификационного показателя (индекса), характеризующего состояние процесса (например, уровень социального и экономического развития).

5. Предложен «тестовый» подход анализа развивающихся процессов, в основе которого сопоставление с параметрическими характеристиками «образцовых — эталонных» процессов. Это позволяет заполнять пропуски в эмпирических данных и оценивать возможные риски масштабируемых последствий.

6. Прикладная значимость разработанного подхода проиллюстрирована на обработке экспериментальных данных (ЭД), являющихся откликом следующих процессов: а) демографического развитияб) изменения уровня воды в р. Невав) связи уровня зарплаты от образованияг) урожайности зерновыхе) распределения капиталов по банкамж) параметрической оценки семантики текстов.