Общие свойства конечных групп с условием плотности для F-субнормальных подгрупп

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования.

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины».

Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии.

ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНЕЧНЫХ ГРУПП С УСЛОВИЕМ ПЛОТНОСТИ ДЛЯ -СУБНОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП.

Курсовая работа Исполнитель:

Студентка группы М-33 ____________.

Цыганцова А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент.

____________ Скиба М.Т.

Гомель 2005.

Перечень условных обозначений.

Введение.

1 Определение и основные свойства конечных групп с условием плотности для -субнормальных подгрупп.

2 Свойства максимальных подгрупп в группах с плотной системой -субнормальных подгрупп.

3 Описание конечных не -групп с плотной системой -субнормальных подгрупп.

Заключение.

Литература.

Перечень условных обозначений.

В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами обозначаются простые числа.

Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;

и —- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

—- пустое множество;

—- множество всех, для которых выполняется условие ;

—- множество всех простых чисел;

—- некоторое множество простых чисел, т. е. ;

—- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число —- любое число вида ;

—- множество всех целых положительных чисел.

—- некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел .

Запись означает, что предшествует в упорядочении, .

Пусть —- группа. Тогда:

—- порядок группы ;

—- порядок элемента группы ;

—- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

—- множество всех простых делителей порядка группы ;

—- множество всех различных простых делителей натурального числа ;

—группа —- группа, для которой ;

—группа —- группа, для которой ;

—- подгруппа Фраттини группы, т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

—- подгруппа Фиттинга группы, т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

—- коммутант группы ;

—- —холловская подгруппа группы ;

—- силовская —подгруппа группы ;

—- дополнение к силовской —подгруппе в группе, т. е. —холловская подгруппа группы ;

—- группа всех автоморфизмов группы ;

—- является подгруппой группы ;

нетривиальная подгруппа —- неединичная собственная подгруппа;

—- является нормальной подгруппой группы ;

—- подгруппа характеристична в группе, т. е. для любого автоморфизма ;

—- индекс подгруппы в группе ;

;

—- централизатор подгруппы в группе ;

—- нормализатор подгруппы в группе ;

—- центр группы ;

—- циклическая группа порядка ;

Если и —- подгруппы группы, то:

—- прямое произведение подгрупп и ;

—- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы .

Группа называется:

примарной, если ;

бипримарной, если .

Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

—- подгруппа, порожденная всеми, для которых выполняется .

Группу называют —нильпотентной, если .

Группу порядка называют —дисперсивной, если выполняется и для любого имеет нормальную подгруппу порядка. Если при этом упорядочение таково, что всегда влечет, то —дисперсивная группа называется дисперсивной по Оре.

Цепь —- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп —- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу. Цепь называетсяцепью (с индексами); если при этом является максимальной подгруппой в для любого, то указанная цепь называется максимальнойцепью.

Ряд подгрупп называется:

субнормальным, если для любого ;

нормальным, если для любого .

Нормальный ряд называется главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .

Классы групп, т. е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Так же обозначаются формации, т. е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

—- класс всех групп;

—- класс всех абелевых групп;

—- класс всех нильпотентных групп;

—- класс всех разрешимых групп;

—- класс всех —групп;

—- класс всех сверхразрешимых групп.

Пусть —- некоторый класс групп и —- группа, тогда:

—- —корадикал группы, т. е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из, для которых. Если —- формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы, факторгруппа по которой принадлежит. Если —- формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .

Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и. Класс групп называется наследственным илизамкнутым, если из того, что, следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .

Пусть —- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называется:

— нормальной, если ;

— абнормальной, если .

Максимальнаяцепь называетсясубнормальной, если для любого подгруппанормальна в. Подгруппа группы называетсясубнормальной, если существует хотя бы однасубнормальная максимальнаяцепь.

Группа называется группой с плотной системойсубнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп и группы, из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе существует такаясубнормальная подгруппа, что. В этом случае также говорят, что множествосубнормальных в подгрупп плотно.

Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп является одним из основных направлений в теории конечных групп. Отметим, что темп и глубина таких исследований непрерывно возрастают. Это направление изучения групп берет свое начало с групп Миллера-Морено, групп Шмидта. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.

С дедекиндовых групп, то есть групп, у которых нормальны все подгруппы, началось изучение различных (как конечных, так и бесконечных) групп, у которых некоторая система подгрупп удовлетворяет условию нормальности. Описание конечных дедекиндовых групп дано в работе Р. Дедекинда, а бесконечных в работе Р. Бэра. Эти работы определили важное направление исследований в теории групп. Главной целью этого направления является описание обобщенно дедекиндовых групп. Эти обобщения дедекиндовых групп осуществляются либо путем сужения системы подгрупп, то есть подгрупп нормальных во всей группе, либо ослабления свойства нормальности для подгрупп из. Среди таких обобщений выделим следующие исследования.

Первое существенное обобщение дедекиндовых групп принадлежит О. Ю. Шмидту. Он описал конечные группы с одним и двумя классами сопряженных ненормальных подгрупп, а также установил нильпотентность конечной группы, у которой нормальны все максимальные подгруппы. Конечные группы с нормальнымитыми максимальными подгруппами изучали Б. Хупперт и З. Янко. Д. Бакли изучал конечные группы, у которых нормальны все минимальные подгруппы.

Значительные расширения класса дедекиндовых групп возникают при переходе от условия нормальности к различным ее обобщениям, как, например, к квазинормальности, субнормальности, нормализаторным условиям и др.

В начале 70-х годов по инициативе С. Н. Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Система подгрупп группы, обладающая некоторым свойством, называется плотной в, если для любых двух подгрупп из, где не максимальна в, найдетсяподгруппа такая, что. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп были изучены С. Н. Черниковым.

В 1974 году С. Н. Черников поставил следующий вопрос: каково строение группы, в которой множество всех ее субнормальных подгрупп плотно? Ответ на этот вопрос был получен А. Манном и В. В. Пылаевым.

Заметим, что в теории формаций понятие субнормальности обобщается следующим образом. Говорят, что подгруппа являетсясубнормальной в, если существует цепь подгрупп такая, что являетсянормальной максимальной подгруппой в для любого. Если совпадает с классом всех нильпотентных групп (который является, конечно, -замкнутой насыщенной формацией), тосубнормальная подгруппа оказывается субнормальной.

В связи с развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных —подгруппами, —субнормальными или —абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л. А. Шеметков, Гашюц, Картер, Шмид, Хоукс и другие.

Ясно, что вопрос С. Н. Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если —- -замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех еесубнормальных подгрупп плотно?

В таком виде вопрос С. Н. Черникова был исследован в работе для случая, когда —- класс всехнильпотентных групп. В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в случаях, когда —- произвольнаязамкнутая насыщенная формация либонильпотентных, либодисперсивных, либо сверхразрешимых групп.

1. Определение и основные свойства конечных групп с условием плотности для -субнормальных подгрупп.

Опишем вначале общие свойства конечных групп с плотной системойсубнормальных подгрупп, где —- произвольная насыщеннаязамкнутая формация.

Группа называется группой с плотной системойсубнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп и группы, из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе существует такаясубнормальная подгруппа, что. В этом случае также говорят, что множествосубнормальных в подгрупп плотно.

Пусть —- непустая -замкнутая насыщенная формация, —- подгруппа группы . Тогда справедливы следующие утверждения:.

1) ;

2) если -субнормальна в и является подформацией формации , то -субнормальна в ..

Доказательство. 1) Из того, что следует, что. Это значит, что .

2) Так как, то и. Отсюда следует, что каждаянормальная максимальная подгруппа являетсянормальной максимальной. Лемма доказана.

Пусть —- непустая -замкнутая насыщенная формация. Если множество всех -субнормальных подгрупп плотно в группе , то справедливы следующие утверждения:.

1) если , то в множество всех -субнормальных подгрупп плотно;

2) если —- подгруппа из , то множество всех -субнормальных подгрупп из является плотным в ..

Доказательство. 1) Пусть —- нормальная подгруппа группы. В фактор-группе рассмотрим две произвольные подгруппы, из которых первая не максимальна во второй. Тогда и не максимальна в. По условию, в существуетсубнормальная подгруппа такая, что. Следовательно, -субнормальна в .

2) Пусть —- подгруппа из и —- две произвольные подгруппы из такие, что не максимальна в. Тогда, по условию, в существуетсубнормальная подгруппа, для которой. Ввиду леммы, -субнормальна в. Лемма доказана.

Если —- -субнормальная подгруппа группы , то.

..

Доказательство. По определению, существует цепь.

такая, что являетсянормальной максимальной подгруппой в при любом. Таким образом, и потому для каждого. Следовательно, .

Пусть —- непустая -замкнутая насыщенная формация, —- группа, у которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно. Справедливы следующие утверждения:.

1) если —- -абнормальная максимальная подгруппа группы , то либо , либо каждая -абнормальная максимальная подгруппа из принадлежит ;

2) если и , то либо максимальна в , либо -субнормальна в .

Доказательство. Докажем сначала 1). Пусть —- -абнормальная максимальная подгруппа, не принадлежащая. Допустим, что обладаетабнормальной максимальной подгруппой, не принадлежащей. Тогда в имеетсяабнормальная максимальная подгруппа. По условию, в найдется такаясубнормальная подгруппа, что. Ясно, что. По лемме ,.

.

Так каксубнормальна, то она содержится внормальной максимальной подгруппе, и поэтому. Значит,. Последнее противоречит следующему:

Докажем 2). Пусть и. Допустим, что не максимальна в. По условию, в найдется такаясубнормальная подгруппа, что. Так какзамкнута, то. Поэтомусубнормальна в. Теперь ясно, чтосубнормальна в. Лемма доказана.

Пусть —- насыщенная -замкнутая формация, —- группа с нормальной силовской -подгруппой , удовлетворяющая следующим условиям:.

1) ;

2) холлова -подгруппа -группы является максимальной в и принадлежит ;

3) любая собственная подгруппа из -субнормальна в .

Тогда является минимальной не -группой..

Доказательство. Из условия прямо следует, что совпадает с и является минимальной нормальной подгруппой в. Понятно, что каждаяабнормальная максимальная подгруппа из сопряжена с и поэтому принадлежит. Пусть —- произвольнаянормальная максимальная подгруппа из. Тогда. Так какзамкнута, то. Подгруппа является собственной в и по условиюсубнормальна в. По теореме ,.

.

Итак, каждая максимальная подгруппа из принадлежит. Лемма доказана.

2. Свойства максимальных подгрупп в группах с плотной системой -субнормальных подгрупп.

В данном разделе изучаются свойства максимальных подгрупп конечных групп с плотной системойсубнормальных подгрупп, где —- произвольная насыщеннаязамкнутая формация.

Пусть далее —- некоторое фиксированное упорядочение множества всех простых чисел.

Пусть —- произвольная насыщенная -замкнутая формация, —- -дисперсивная группа с плотной системой -субнормальных подгрупп, не принадлежащая , у которой все -абнормальные максимальные подгруппы принадлежат . Тогда справедливо одно из следующих утверждений:.

1) —- максимальная подгруппа в ;

2) —- максимальна вабнормальной максимальной подгруппе из .

Доказательство. Пусть —- группа минимального порядка, для которой лемма не верна. По теореме —- -группа. Пусть —- -абнормальная максимальная подгруппа группы. Тогда содержит некоторуюхоллову подгруппу. По нашему предположению, не максимальна в. Тогда по леммесубнормальна в. Если —- -максимальный простой делитель, то подгруппа нормальна в. Тогда, по теореме ,.

.

Противоречие. Пусть —- множество простых делителей порядка группы, больших при упорядочении. По доказанному выше множество не пусто. Тогда. По индукции максимальна в. Противоречие. Лемма доказана.

Пусть —- произвольная насыщенная -замкнутая формация, —- -дисперсивная группа с плотной системой -субнормальных подгрупп, не принадлежащая . Тогда любая -абнормальная максимальная подгруппа из либо принадлежат , либо является минимальной не -группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой..

Доказательство. Предположим, что утверждения леммы не выполняются и в существуетабнормальная максимальная подгруппа, не удовлетворяющая утверждениям леммы. Ввиду леммы и теоремы,, где —- -абнормальная максимальная подгруппа из, —- -группа,. Очевидно, что содержит некоторуюхоллову подгруппу из .

1. Предположим, что. Если, то каждаянормальная максимальная подгруппа группы будет иметь вид, где —- некоторая максимальная подгруппа из. Так как не максимальна в, то, по лемме, -субнормальна в. Тогда по теореме и —- минимальная негруппа. Предположим теперь, что. Если предположить, что, то не максимальна в. Тогда. Если немаксимальный простой делитель порядка группы, то в существует нормальная силовскаяподгруппа,. Тогда подгруппа.

.

Еслихоллова подгруппа из не максимальна в, то применяя лемму и теорему, получаем, что. Пусть максимальна в. Тогда каждая собственная подгруппа из будет не максимальна в и, следовательно, по лемме, -субнормальна в. Если подгруппа, то, по теореме,. максимальна в, так как в противном случае не максимальна в. Применяя лемму и теорему, получаем, что —- минимальная негруппа икорадикал группы является силовскойподгруппой. Так как по нашему предположению, то порядок группы делится на и, следовательно,. Тогда, по теореме,. Противоречие. Значит, —- -максимальный простой делитель порядка группы. Тогда и каждая собственная подгруппа из не максимальна в. Еслисубнормальна в, то по теореме. Так как не максимальна в, то, по условию, найдетсясубнормальная в подгруппа такая, что.

.

Так как, то.

.

Отсюда следует, что и. Очевидно, что. Подгруппа содержится в некоторойнормальной максимальной подгруппе из .

1.1.

Тогда —- -максимальный простой делитель порядка группы и силовскаяподгруппа группы нормальна в. Отсюда следует, что. Так как —- -группа, то содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе группы. По индукции либо принадлежит формации, либо является минимальной негруппой. Если —- минимальная негруппа, то и. Противоречие. Значит,. Пусть —- -главный фактор из. Но так как, то —- -главный фактор и выполняется изоморфизм. Так как, то —- -центральныйглавный фактор. Противоречие.

1.2 ,.

Так как, то содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе группы. Тогда в существуетабнормальная максимальная подгруппа. Если не максимальна в, то, по лемме, -субнормальна в. Противоречие. Значит, максимальна в. По условию найдетсясубнормальная в подгруппа такая, что.

.

Так как, то. Если, то и, следовательно, -субнормальна в. Значит,. Но тогдасубнормальна в. Противоречие.

2. и —- минимальная нормальная подгруппа в. Если каждая максимальная подгруппа изсубнормальна в, то —- минимальная негруппа. Значит, в найдется максимальная подгруппа, несубнормальная в. Очевидно, что. Рассмотрим подгруппу. Подгруппа содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе из. Так как не максимальна в, то, по условию, в существуетсубнормальная подгруппа такая, что. Так как и, то. Рассмотрим подгруппу. Подгруппа содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе из. По индукции либо принадлежит, либо является минимальной негруппой.

2.1.

Тогда. Если предположить, что являетсямаксимальным простым делителем порядка группы, , то силовскаяподгруппа нормальна в и, по теореме,.

.

Значит, —- -максимальный простой делитель порядка группы. Это значит, что и. Пусть —- минимальная негруппа. Тогда совпадает с силовскойподгруппой группы и, следовательно,. Получили, что. С другой стороны, -субнормальна в, а значит, и в. Поэтому.

.

Противоречие. Значит,. Это значит, что. Из того, что максимальна в, а максимальна в, следует, что —- абелева дополняемая в подгруппа. Так как и, то и. По теореме Гашюца имеет дополнение в. Так как не максимальна в, то, по условию, найдетсясубнормальная в подгруппа такая, что. Из того, что следует, что. Но тогдасубнормальна в. Противоречие.

2.2.

Тогда —- силовскаяподгруппа группы. Рассмотримхоллову подгруппу группы, содержащую. Так как, то содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе группы. Если не максимальна в, то будетсубнормальна в. Потому максимальна в. Ввиду теоремы —- -группа. Если, то, согласно доказанному выше, лемма верна. Значит, —- минимальная нормальная подгруппа в. максимальна в. Подгруппа содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе группы. Так как не максимальна в, то, по условию, найдетсясубнормальная в подгруппа такая, что. Так как, то. Но подгруппа будет содержаться в подгруппе группы. Если, тосубнормальна в. Если же, то получаем противоречие с тем, что —- -абнормальная максимальная подгруппа группы. Теорема доказана.

3. Описание конечных не -групп с плотной системой -субнормальных подгрупп.

В работе Закревской Л. Н. был исследован вопрос о строении группы, в которой множество всех еесубнормальных подгрупп плотно для случая, когда —- класс всехнильпотентных групп. При рассмотрении произвольной формации возможен случай, когда. Строение таких групп исследуется в в данном разделе.

Пусть —- произвольная насыщенная -замкнутая формация, —- группа с плотной системой -субнормальных подгрупп, не принадлежащая формации , . Тогда разрешима..

Доказательство. Пусть и —- группа минимального порядка, для которой теорема не верна. Так как, то содержит все силовскиеподгруппы,. Следовательно, каждаясубнормальная подгруппа должна содержать все силовскиеподгруппы, .

Пусть —- силовскаяподгруппа группы и. Тогда если в ней существует вторая максимальная подгруппа, то, по условию, найдетсясубнормальная подгруппа такая, что. Тогда, по доказанному, содержит все силовскиеподгруппы,. Противоречие. Значит, в нет вторых максимальных подгрупп и .

Предположим, что. Тогда каждая максимальная подгруппа группы будетабнормальной в. Пусть некоторая неединичная силовская подгруппа группы. Если предположить, что в существует вторая максимальная подгруппа, то, по условию, найдетсясубнормальная в подгруппа такая, что. Отсюда следует, что. Противоречие. Следовательно, —- простое число. Получили, что каждая неединичная силовская подгруппа из имеет простой порядок и, значит, разрешима, что противоречит нашему предположению.

Пусть теперь. Так как, по доказанному,, то. Тогда по индукции —- разрешимая группа. По доказанному, каждая силовская подгруппа фактор-группы имеет простой порядок, и, значит, разрешима. Следовательно, разрешима и сама группа. Лемма доказана.

Пусть —- непустая -замкнутая насыщенная формация, —- группа, в которой множество всех -субнормальных подгрупп плотно, . Тогда —- группа одного из следующих типов:.

1) , , ;

2) , , максимальна в , , ;

3) , , ..

Доказательство. По лемме, разрешима. Так как, то ясно, что. Положим и рассмотрим холловуподгруппу группы. Если единичная подгруппа не является максимальной в, то существуетсубнормальная в подгруппа такая, что. По лемме, и, значит, —- -группа. Получили противоречие. Таким образом, равен либо 1, либо является простым числом.

Рассмотрим теперь холловуподгруппу группы. Пусть —- нормальная максимальная подгруппа из. Пусть,. Если 1 не максимальна в, то между 1 и можно вставитьсубнормальную подгруппу, индекс которой, по лемме, являетсячислом. Понятно, что этот индекс делится на. Получаем противоречие. Значит, равен либо квадрату простого числа, либо простому числу, либо произведению двух различных простых чисел.

Если, то ясно, что-либо типа 1), либо типа 3). Пусть —- простое число. Если —- простое число, то —- группа типа 1). Пусть, где —- простые числа. Предположим, что в существует подгруппа порядка. Так как 1 не максимальна в, то между 1 и существует, по условию, -субнормальная подгруппа, индекс которой, по лемме, являетсячислом. Но этот индекс делится и на. Остается принять, —- максимальная подгруппа группы. Но тогда и —- группа типа 2). Теорема доказана.

Приведем пример, показывающий, что классы групп, перечисленные в теореме, не пусты.

Пусть —- такаязамкнутая насыщенная формациянильпотентных групп, что не совпадает с множеством всех простых чисел. Пусть —- любое простое число, не входящее в. Тогда всякая группа порядка, где —- любое простое число, является группой типа 1), а всякая группа порядка или является группой типа 3) теоремы. Предположим, что и существует такое простое число, что и (в частности, можно взять и). В сплетении группы порядка с группой порядка возьмем подгруппу Шмидта. Тогда имеет порядок и является группой типа 2) теоремы.

Заключение.

В данной работе рассматривались конечные группы с плотной системойсубнормальных подгрупп, где —- произвольнаязамкнутая насыщенная формация. В первом разделе данной главы установлены общие свойства, которые могут быть использованы для изучения строения конечных групп с плотной системойсубнормальных подгрупп. Во втором разделе исследуются свойства максимальных подгрупп в конечных группах с плотной системойсубнормальных подгрупп. В частности, установленно, что вдисперсивной группе с плотной системойсубнормальных подгрупп каждаяабнормальная максимальная подгруппа либо принадлежат, либо является минимальной негруппой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. В третьем разделе данной главы описаны конечные группы с плотной системойсубнормальных подгрупп в случае, когда —- произвольнаязамкнутая насыщенная формация и .

1.Гольфанд Ю. А. О группах, все подгруппы которых специальные // Докл. АН СССР. —- 1948. —- Т. 60,№ 8. —- C. 1313—1315.

2.Закревская Л. Н. Конечные группы с плотной системойсубнормальных подгрупп // в кн: Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. —- Минск: Наука и техника, 1984. —- 71—88.

3.Закревская Л. Н. Конечные группы сплотной системой подгрупп // в кн: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. —- Мн.:Наука и техника, 1986. —- 59—69.

4.Каморников С. Ф., Селькин М. В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. —- Минск: Бел. навука, 2003. —- 254 с.

5.Кехмадзе Ш. С. Квазинильпотентные группы // Докл. АН СССР. —- 1964. —- № 155. —- С. 1003—1005.

6.Монахов В. С. О влиянии свойств максимальных подгрупп на строение конечной группы // Матем. зам. —- 1972. —- Т. 11, № 2. —- C. 183—190.

7.Пылаев В. В. Конечные группы с плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Некоторые вопросы теории групп. —- Киев: Инст. математики АН УССР, 1975. —- С. 197—217.

8.Пылаев В. В. Конечные группы с обобщенно плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Исследования по теории групп. —- Киев: Инст. математики АН УССР, 1976. —- С. 111—138.

9.Семенчук В. Н. Минимальные негруппы // Алгебра и логика. —- 1979. —- Т. 18, № 3. —- C. 348—382.

10.Черников С. Н. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп // Некоторые вопросы теории групп. —- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. —- С. 5—29.

11.Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы бесконечных подгрупп // Укр. мат. журн. —- 1967. —- № 6. —- С. 111—131.

12.Черников С. Н. О нормализаторном условии // Мат. заметки. —- 1968. —- № 1. —- С. 45—50.

13.Чунихин С. А. Освойствах конечных групп // Матем. сб. —- 1949. —- Т. 25, № 3. —- с. 321—346.