Геометрия вещественных подмногообразий и действий вещественных групп на комплексных областях

Построение комплексных дисков и семейств комплексных дисков с предписанным граничным поведением 5шляется одним из мощных и широко используемых инструментов многомерного комплексного анализа. Его популярность можно объяснить тем, что таким образом многие многомерные задачи удается свести к задачам, на построенных дисках, то есть одномерным. Классическим примером использования комплексных дисков в многомерных задачах является «Kontinшtatssatz» Ф. Хартогса, которое описывает в терминах комплексных дисков оболочки голоморфности областей комплексного пространства, так что феномен принудительного аналитического продолжения во всей полноте может быть изложен на языке семейств голоморфных дисков. Комплексные диски используются при решении граничных задач, изучении СП-многообразий, исследовании инвариантных метрик, анализе граничных свойств голоморфных отображений, в симплектической геометрии и в других областях анализа и геометрии.

В диссертации семейства комплексных дисков возникают в двух контекстах.

Один из них — это аналитические диски с краем на предписанной (чаще всего, двумерной) поверхности. Нередко семейство таких дисков образует Леви-плоскую поверхность. Эта задача в различных постановках рассматривалась Э. Бедфордом, Б. Гаво, В. Клингенбергом, Л. Лемпертом, Н. В. Щербиной, Дж. Томассини, Б. Стенсонес, 3. Слодковским и другими авторами. Широко известен результат М. Громова о существовании комплексного диска с границей на лагранжевом торе, ставший одним из первых указаний на глубокие связи многомерного комплексного анализа и симплектической геометрии. Результатыполученные в этом направлении важны для описания полиномиальных оболочек и оболочек голоморфности, для понимания топологии псевдовыпуклых областей и многообразий Штейна, в симплектической и контактной геометрии.

Наиболее хорошо изучен на данный момент случай вещественной сферы, вложенной в границу, первые результаты для которого были получены Э. Бедфордом и Б. Гаво .

Вторая ситуация — это диски, подклеиваемые к СЯ-подмногообразию комплексного пространства. Систематическое изложение этой конструкции было проведено в классической работе Э. Бишопа и с тех пор такие диски стали одним из основных технических средств при работе с СП-подмногообразиями, анализе их геометрии и изучении свойств СЯ-отображений таких многообразий, возникавшими в работах М. Бауэнди и Л. Ротшильд,.

А.Туманова, Ж.-М.Трепро, А. Боггеса, Б. Йорике и других авторов. Исследование свойств таких дисков остается актуальным для С11-геометрии.

С11-отображения и С11-многообразия возникают как инструмент в частях диссертации, посвященных исследованию голоморфных отображений и классификации комплексных областей и многообразий, наделенных действием больших групп Ли. Примерами таких областей являются области Рейнхарта и трубчатые области, относящиеся к фундаментальным областям комплексного анализа. Области Рейнхарта были введены К. Рейнхартом (1921) как естественные области сходимости многомерных рядов Лорана, — а интерес к трубчатым областям, по-видимому, берет начало с работ С. Бохнера конца 1930х гг., связанных с его исследованиями по гармоническому анализу. С тех пор эти классы областей рассматривались огромным числом авторов либо как естественные объекты в тех или иных задачах, либо как широкие, но в тоже время относительно просто геометрически устроенные модельные многомерные области.

Первыми работами по отображениям и, в частности, автоморфизмам, этих областей можно считать с классические работы К. Рейнхарта по определению групп биголоморфных автоморфизмов (двумерных) шара и полидиска. Важные результаты в двумерном случае были получены П. Тулленом в 1930е годы. Начиная с 1900х гг. этими вопросами занимались И. Наруки, Т. Суиада, Д. Барретт, Э. Бедфорд, Дж. Дэдок, П. Янг, С. Шимизу и другие авторы.

Как хорошо известно, в отличие от одномерного случая, задача о биголо-морфной классификации многомерных областей комплексного пространства является трансцендентно сложной. В этой связи представляют несомненный интерес результаты о классификации для достаточно обширных специальных классов областей. Такого рода результаты для полных ограниченных областей Рейнхарта были получены П. Тулленом (в размерности 2- 1931) и Т. Сунадой (1978). Для трубчатых областей первые результаты этого рода были доказаны только в 1980х гг. А. Кодамой, П. Янгом и С. Шимизу.

Собственные отображения или конечные разветвленные накрытия являются классом отображений, вызывающих пристальный интерес специалистов по комплексному анализу. Основная часть результатов по собственным отображениям областей комплексных пространств относится к гладким областям. Области Рейнхарта здесь интересны именно тем, что в этом классе можно получать содержательные результаты, не накладывая арниорного условия гладкости границы. Такого рода результаты, начиная с 1980х гг., обсуждали Д. Барретт, С. И. Пинчук, Ф. Вертело, М. Лапдуччи, А. Спиро и другие авторы.

Основным примером комплексного многообразия с очень большой (бесконечномерной) группой голоморфных автоморфизмов является комплексное пространство Сп, п 2. Вопрос о возможности характеризации С" его группой автоморфизмов ставился рядом авторов и. в частности, С. Крант-цем. Ответ на этот вопрос, как показано в диссертации, дается с помощью классификации комплексных многообразий с действием групп 1/п и Бип. Заметим, что действия этих групп на вещественных многообразиях давно уже несколько десятков лет вызывают интерес у специалистов по математической физике и геометрии.

Целью диссертационной работы является разработка техники подклейки комплексных дисков к С11-подмногообразиям комплексных и почти комплексных пространств и применение этой техники к исследованию аналитических свойств СП-многообразий, а также изучение действия вещественных групп Ли голоморфных автоморфизмов областей комплексного пространства и СИ-орбит этих действий, использование полученных результатов для анализа биголоморфных и собственных отображений областей.

Диссертация состоит из настоящего введения и четырех глав, разбитых на параграфы.

1. Bishop Е., «Differentiable manifolds in complex Euclidean space», Duke Math. J., 32, № 1, 1965, 1−22.

2. Webster S., «The Euler and Pontrjagin numbers of an rc-manifold in C2», Comm. Mat. H civ., 60, № 2, 1985, 193−216.

3. Bedford E., Gaveau В., «Levi flat hypersurfaces in C2 with prescribed boundary: stability», Ann. Sc. Super. Mat. Pisa, 9, № 4, 1982, 529−570.

4. Bedford E., «Envelopes of holomorphy of certain 2-spheres in C», Amer. J. of Math., 105, № 4, 1983, 975−1009.

5. Gromov M., «Pseudo holomorphic curves in symplcctic manifolds», Invent Math., № 2, 1985, 307 347.

6. Bedford E., Klingenberg W., «On the envelope of golomorphy of a 2-sphere in C2», J. Amer. Math. Soc., 4 (1991), 623−646.

7. Kenig C., Webster S., «The local hull of golomorphy of a surface in the space of two complex variables», Invent Math., 67, № 1, 1982, 1−21.

8. Eliashberg Ya, «Filling with holomorphic discs and its applications», Geometry of low-dimensional manifolds, 2 (Durham, 1989), London Math. Soc. Lecture Note Ser., 151, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990, 45−67.

9. Forstneric F., Stout E. L., «A new class of polynomially convex sets», Ark. Mat., 29 (1991), 51−62.

10. Щербина H. В., «О полиномиальной оболочке вложенной в С2 сферы», Матем. залгетки, 49, № 1, 1991, 127−134.

11. Ерошкин О. Г., «Об одном топологическом свойстве края аналитического подмножества строго псевдовыиуклой области в С2», Матем. заметки, 49, № 5, 1991.

12. Forstneric F., «Stability of analytic discs with boundaries in totally real submanifold of C2», Ann. Inst. Fourier., 37, № 1, 1987, 1−44.

13. Чирка E. M., «Регулярность границ аналитических множеств», Матем. сб., 117, № 3, 1982, 291−336.

14. Nienhuis A., Wolf W. В., «Some integration problems in almost complex and comple manifolds», Ann. Math., 77, № 3, 1963, 424−489.

15. Burde G., Zieshang H., «Knots», 1985.

16. McDufF D., «The local behavior of holomorphic curves in almost complex 4-manifolds», J. Differential Geom., 34 (1991), 143−164.

17. Alinhac S., Baouendi M. S., Rothshild L. P., «Unique continuation and regularity at the boundary for holomorphic functions», Duke Math. J., 61, № 2, 1990, 635−677.

18. Boggess A., «The extension of CR functions to one side of a submanifold of Cn», Michigan Math. J., 30 (1983), 183−189.

19. Boggess A., Pitts J., «СД-extension near a point of higher type», Duke Math. J., 52 (1985), 67−102.

20. Gaussier H., Sukhov A., «Estimates of the Kobayashi-Royden metric in almost complex manifolds», Bull. Soc. Math. France, 133 (2005), 259−273.

21. Gromov M., «Pseudo-holoinorphic curves in symplectic manifolds», Invent. Math., 82 (1985), 307 347.

22. Hill D., Taiani G., «Families of analytic discs in C» with boundaries on a prescribed CR submanifold", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci., 5 (1978), 327−380.

23. Ivashkovich S., Rosay J.-P., «Schwarz-type lemmas for solutions of 9-inequalities and complete hyperbolicity of almost complex manifold», Ann. Inst. Fourier., 54 (2004), 2387−2435.

24. Sikorav J.-C., «Some properties of holomorphic curves in almost complex manifolds», Holomorphic Curves in Symplectic Geometry, eds. M. Audin, J. Lafontaine, Birkhauser, 1994, 165 189.

25. Trepreau J.-M., «Sur le prolongement holomorphe des fonctions CR definies sur une hypersurface reelle dans C» «, Invent. Math., 83 (1986), 583−592.

26. Dadok J., Yang, P., «Automorphisms of tube domains and spherical tube hypersurfaces», Arner. J. Math., 107 (1985), 999−1013.

27. Dini G., Selvaggi Primicerio A., «Proper holomorphic mappings between generalized pseudoellip-soids», Ann. Mat. Pura ed Appl. (IV), 158 (1991), 219−229.

28. Kerner H., «Uber die Forsetzung holomorpher Abbildungen», Arch. Math., 11 (1960), 44−49.

29. Kim K.-T., Landucci M., Spiro, A., «Factorization of proper holomorphic mappings through Thullen domains», Pac. J. Math., 189 (1999), 293−310.

30. Landucci M., «Proper holomorphic mappings between some nonsmooth domains», Ann. Mat. Pura ed Appl. (IV), 155 (1989), 193−203.

31. Landucci M., Spiro A., «Proper holomorphic maps between complete Reinhardt domains in C2», Complex Variables: Theory and Appl., 29 (19.96), 9−25.

32. Лобода A.B., «Всякая голоморфно-однородная трубка в С2 имеет аффинно-однородное основание», Сибирск. мат. журн., 42 уг 2001, 1335−1339.

33. Nomizu К., Sasaki Т., Affine Differential Geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

34. Shimizu S., «Automorphisms of bounded Reinhardt domains», Japan. J. Math., 15 (1989), 385 414.

35. Соддаткин П. А., «Голоморфная эквивалентность областей Рейнхарта в С2:, Изв. РАН Сер. Мат., 66:6 (2002), 187−222.

36. Spiro A., «Classification of proper holomorphic maps between Reinhardt domains in C2', Math. Z., 227 (1998), 27−44.

37. Ахиезер Д. II., «О гомотопической классификации комплексных однородных пространств», Труды Моск. мат. общ., 35 (1979 1−19.).

38. Akhiezer D. N., «Homogeneous complex manifolds», Several Complex Variables IV, Encycl. Math. Sei., 10, Springer-Verlag., 195−244.

39. Andersen E., Lempert L., «On the group of holomorphic automorphisms of C™», Invent. Math., 110 (1992), 371−388.

40. Goto M., Grosshans F., Semisimple Lie algebras, Marcel Dekker, 1978.

41. Hochschild G., The structure of Lie groups, Holden-Day, 1965.

42. Isaev A.V., Krantz S.G., «On the automorphism groups of hyperbolic manifolds», J. Reine Angew. Math., 534 (2001), 187−194.

43. Каир W., «Reelle Transformationsgruppen und invariante Metriken auf komplexen Raumen», Invent. Math., 3 (1967), 43−70.

44. Винберг Э. Б., Онищик A.Jl., Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, Наука, М., 1988.

45. Greene R.E., Krantz S.G., «Characterization of complex manifolds by the isotropy subgroups of their automorphism groups», Indiana Univ. Math. J., 34 (1985), 865−879.

46. Ганнинг P., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, Мир, М., 1969.

47. Hsiang W.C., Hsiang W.Y., «Some results on differentiable actions jour Bull. Amer. Math. Soc.», 72 (1966), 134−138.

48. Hsiang W.Y., «On the principal orbit type and P. A. Smith theory of SU (p) actions», Topology, 6 (1967), 125−135.

49. Klimyk A., Schmudgen K." Quantum groups and their representations, Texts and Monographs in Physics, Springer-Verlag, Berlin, 1997.

50. Kruger A., «Homogeneous Cauchy-Riemann structures», Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sei. (4), 18 (1991), 193−212.

51. Кружилин Н. Г., Лобода A.B., «280−282.», Докл. АН СССР, 271 (1983).

52. Mukoyama К., «Smooth SU (p, q)-actions on (2p + 2q — l)-sphere and on the complex projective (p + q- 1)-space», Kyushu J. Math., 55 (2001), 213−236.

53. Nagano Т., «Transformation groups with (n — l)-dimensional orbits on non-compact manifolds», Nagoya Math. J., 4 (1959), 25−38.

54. Rossi H., «Attaching analytic spaces to an analytic space along a pseudoconcave boundary», Proc. Conf. Complex Analysis (Minneapolis, 1964), Springer-Verlag, 1965, 242−256.

55. Rossi H., «Homogeneous strongly pseudoconvex hypersurfaces», Proc. Conf. Complex Analysis Rice Univ. (Houston, 1972), Rice Univ. Studies, 59:1, 1973, 131−145.

56. Uchida F., «Smooth actions of special unitary groups on cohomology complex projective spaces», Osaka J. Math., 12 (1975), 375−400.

57. Bochner S., Ann. of Math., 39 (1938), 14−19.

58. Kodama A, Sei. Rep. Kanazawa Univ., 29 (1984), 91−95.

59. Чирка E.M., Комплексные аналитические множества, Наука, M., 1985.

60. Nemirovski S., Turkish J. Math., 27 (2003), 161−172.