Краевые задачи для систем уравнений с частными производными высокого порядка, порожденных интерацией матричными операторами первого порядка

Среди эллиптических систем уравнений с частными производными первого порядка на плоскости особое место занимает система Коши-Римана д и dv.

— 7 Г = °> ох о у ди dv.

Эта система в комплексной форме имеет вид: dw.

Ш = (} г, че д 1/д д Z = X + m di=2{di+%)' w = u + tv.

Любое обобщенное решение системы (0.2) является аналитической функцией комплексной переменной г. Известно, что аналитические функции имеют многочисленные применения в приложениях, а также при исследовании многочисленных математических проблем, в частности, в задачах дифференциальных уравнений с частными производными.

Одним из важных обобщений системы Коши-Римана на плоскости является система (0.2) с младшими членами: + A (z)w + B (z)w = 0, (0.3) решения которой называют обобщенными аналитическими функциями. Теория этой системы достаточно полно развита в монографии И. Н. Векуа [11], и в работах его учеников и последователей.

Естственно возникает интерес к исследованию уравнения, правая часть которого порождена итерацией оператора d/dz. А. В. Бицадзе [7] показал, что в некоторых областях, задача Дирихле для системы д2 w дг2 которая в вещественной форме имеет вид: 0, (0.4) д2и д2и d2v.

Ъх2 ду2 дхду d2v d2v 2 d2'U дхду дх2 ду2.

0,.

0, (0.5) является некорректной, т. е. однородная задача Дирихле имеет бесчисленное множество решений, в то время, как известно, для системы d2w 1.

ШГг-= 4 = <0−6) задача Дирихле однозначно разрешима. Это явление связано с тем, что системы (0.4) и (0.6) принадлежат различным гомотопическим классам. А. Джураев [17] для довольно общих, чем (0.4) и (0.6) систем, указал краевую задачу, являющуюся однозначно разрешимой в достаточно широком классе областей. Так например, для систем (0.4) и (0.6) таковой является задача, когда на гранит1 области задаются условия ди.

Rez’ts)u (z) = 0, Re~- = 0. (0.7) oz.

Естественным обобщением системы Коши-Римана в трехмерном пространстве является система Мойсила-Теодореско [23]. г) ч I r) n I ~ г) о I, 0, 0, (0.8) = 0, = 0. ди2 дщ дх дщ dt ду dv.] ~dt дщ ду дщ дх ди! ди2 ду д’щ дх ~ ~dt ди ди2 д-щ dt ду дх.

Система (0.8) относительно v = щ + hi2. и = —щ — гщ в комплексной форме имеет вид |5] ди^dv dt dz дс ди.

Ж э! ' = х + {у- '°-9″.

В [7] приведены аналог формулы Коши и получены решения задачи Римана-Гильберта и задачи сопряжения в случае, когда матрица коэффициентов краевых условий является постоянной и имеет специальный вид. Шевченко В. И. в [34] показал фредгольмовость задачи Римана-Гильберта для системы (0.8) заданной в полупространстве, в случае, когда коэффициенты задачи переменныеи удовлетворяют одному достаточному условию. В работе [331 же установил фредгольмовость задачи сопряжения, когда граница гомеоморфна сфере и матрица краевого условия удовлетворяет определенным ограничениям. Е. И. Оболошвили [27] для системы (0.5) со специальными младшими членами рассмотрела задачу по нахождению решения, когда на границе области задаются две его компоненты, а на определенной замкнутой кривой принадлежащей границе задается одно условие на две остальные компоненты решения.

Д.Муртазаев для системы (0.8) в [24| установил аналоги формул Коши и Гильберта в полупространстве, изучил задачи Римана-Гильберта и сопряжения в классе обобщенных функций.

А.Джураев в |17.18] для системы (0.8) установил формулу Гильберта в полупространстве и в шаре, а в [22] вывел формулу для индекса задачи, когда на границе задаются линейные комбинации с постоянными коэффициентами компонентов решений, а также условие типа Римана-Гильберта на определенном сечении границы плоскостью параллельной плоскости А’ОУ. А. И. Янушаускаеом [35] дано представление решения системы (0.8) через две произвольные гармонические функции. В работе А. И. Янушаускаса [36] для системы (0.8) с произвольными младшими членами ставится задача о нахождении решения в случае, когда задаются две компоненты решения на всей границе, а линейная комбинация с переменными коэффициентами двух остальных компонент решения задается на сечении границы области о предел енной и л ос костью.

А. Абдушукуровьш в (3] для системы (0.9). заданной в ограниченной области и в полупространстве, рассмотрена общая задача Римана-Гильберта, для которой нарушается условие Шапиро-Лопатинского. Нарушение состоит в обращении в нуль вектора краевого условия на произвольном множестве нулевой поверхностной меры. Найдены естественные условии, при которых эта задача является нетеровой в случае достаточно произвольной ограниченной области и является фредгольмовой в полупространстве. В случае выполнения условии Шапиро-Лопатинского для задачи Римана-Гильберта в области, являющейся полупространством, выявлены некоторые достаточные признаки безусловной разрешимости этой задачи. В |4] для системы Мойсила-Теодореско, заданной в бесконечном цилиндре, найдена зависимость числа решений одной задачи типа Римана-Гильберта с переменными коэффициентами от этих коэффициентов, а в [1] найдены условия нетеровости общей задачи сопряжения решений системы Мойсила-Теодореско на достаточно произвольной поверхности.

Другой разновидностью систем уравнений с частными производными первого порядка в трехмерном пространстве является система dv dvi Ova dt 'дх ду dv2 OVA dv^ dt дх ду dv-i dvi dv2 dt. дх ду.

Эг>4 dv2 dvi dt дх ду.

0.10).

Комплексная 'запись этой системы имеет вид.

0.11).

Характеристическая форма этой системы имеет вид х = |С|2(^-?22-Ч32).

0.12).

Следовательно, система (0.10) является системой составного типа, т. е. она обладает двумя семоПс гнамн вещественных характеристик. В работах А. Джураева |17] и Сафарова Д. Х. [29] рассмотрены система вида (0.10) и ее разновидности.

В [3| для системы (0.11) выведены формулы для решения в полупространстве t > 0, когда на плоскости t = 0 задаются значения трех компонентов.

В [29] построена система составного типа аналогичная системе (0.10), обладающая так же двумя семействами вещественных характеристик.

Естественно, представляет интерес изучение систем уравнений левая часть которых является итерациями операторов порождаемых системой Мойсила-Теодореско (0.9) и системой составного тина (0.11).

Естественным грех мерным обобщением системы А. В. Бицадзе можно считать итерацию оператора М соответствующего системе Мойсила-Теодореско. Отсюда становится очевидным актуальность и значимость исследований систем уравнений с частными производными, которые порождаются итерациями оператора Мойсила-Теодореско.

В [15| и затем в [21] рассматривается система, которая является обобщением системы, порождаемой квадратом оператора М. Находя представления решений этой системы в полупространстве и в шаре, изучаются краевые задачи.

Данная диссертационная работа посвящена исследованию систем уравнений высшего порядка, левая часть которых представляет собой произвольную итерацию оператора, порожденного системой Мойсила-Теодореско (0.9) и системой составного типа.

Рассматриваемые задачи изучаются в пространстве обобщенных функций Hs [21] по переменной 2 = х + гу. Пространство Hs состоит из совокупности всех обобщенных функций медленного роста S", преобразование Фурье которых являются обычными функциями с нормой.

11/115 = (/ in/lPa + IC!2)5^)17, (0.13) где F{(-)} - преобразование Фурье:

F[(-)] = У a F~ '[(•)] - обратное преобразование Фурье z, С) = -rs + У'!

Работа состоит из двух глав и 14 параграфов.

Первая глава посвящена системе уравнений высшего порядка с частными производными, соответствующая произвольной конечной итерации системы Мойсила-Теодореско (0.9).

Если ввести матричный дифференциальный оператор

И = dt 2д:

0.14) dt то однородную систему (0.9) можно записать в виде:

Mw = 0, и>=('"). (0.15).

Наряду с системой (0.15) также рассматривается неоднородная система: h.

Mw = f (t, z), f=[fJ- (°-16).

Первым объектом изучения является система.

Mnw = 0 (0.17).

Mnw = f{t, z), (0.18) где М" — п я интеграция оператора М :

М" = М (М (М (.))).

Решение (0.17) будем называть полиголоморфным вектором. § 1-§ 3 носит подготовительный характер. Результаты этих параграфов являются в основном известными.

В § 1 выводится общее представление решений системы (0.9), принадлежащее классу Hs в пространстве t > 0: v{t'z) = hw+WW * s'{v)' (0Л9) где.

1 л.

SM = -7ГГ~й * V е Hs>

Z7T Zr знак * - означает свертку.

В § 2 построена фундаментальная матрица решений системы (0.15):

I.

G (t.z) = 1.

4тг (t2 + zI2)3/2 t.

V ч.

0.20).

В § 3 получено решение неоднородной системы (0.9): ос w*{t, z) = j G{t-t, z)* f{t, z) dT. (0.21) 0.

Если же f{t, z) является обычной функцией, то решение (0.21) записывается в виде:

X) w{t, z) = J J J G (t-T, z — C)/(r, CK^r. (0.22) 0.

В § 4 получено общее решение u^^t.z) однородной системы (0.17) в полупространстве t > 0{t < 0):

Это решение при любом t принадлежит классу Hs. если только (рк принадлежит #5. В обычных функциях решение (0.23) можно записать так:

1 Г Г t (<рь = ^? Ь / / (f2 I? — f23/2 С (тл.

2irf^kJJ (t2 + |z-C|2)3/2 v^i (^).

В § 5 выводится аналог формулы Сохоцкого для решения (0.17), которое назовем полиголоморфным вектором. Произвольный полиголоморфный вектор в полупространстве t > 0(u:+) и t < ()(«'») можно представить в виде:, 1 у^tk 1 /WzjiS^A ш ('к!^ + i*i2)3/2*± где.

1 ^ 1 ~z.

SiM = -Т" ГТз Slip) =.

Z7T z Z7T zr.

Доказано:

Теорема. Следующие утверждения равносильны: а) (Mk{u:it, z)))i=±Q= ф — б) ^±5,(^ = 0, ^(г)Т51(у±) = 0- z), tpk{z) = фк (г), t > 0, в) w^(t, z) = 0, при ifik{z) w~(t, z) = 0, при '-Pk (z) В § 6 построена фундаментальная матрица решений системы полиголоморфного вектора,.

-+{z), фк (г) = ipt (z)> t<0' т. е. решение системы.

MnG = ES (t, z), где d (t.z) дольтя-фуикция Дирака, Еединичная матрица. Эта фундаментальная матрица имеет вид:

G{t, z).

1 tn.

4тг (п — 1)! (t2 + И2)3/2.

В§-7 построено решение неоднородной системы (0.18): оо.

1 Г (t — г)" 1.

Wn[t" ' Z) ~ J (n- 1)! [(г — t)2 + z — CI2]3/2 ft.

V fJ — fi s1(f2).

K-Si (h) h) dr.

Если же обычные функции класса Ь2{Я2) по 2, то найденное частное решение неоднородной системы (0.18) в полупространстве t > 0 будет записано в виде:

1 7 [[{t-т)'1 1 — h S^hY.

47 Г 7 .1.1 (п-1)![(т-г)* + |с о н2 г!2.

— Sdfi) h) d^drjdr. (0.25).

В § 8 рассматривается следующая краевая задача.

Задача G. Найти в полупространстве t > 0 решение класса Яд системы (0.17), у до в л ет в оря ющ е е кра евым у сл. о в иям: dJun d3vn.

1 dv J dV.

0.26) 0 где a j и bj постоя! ты е. |"у| ф |6У|. а Е Hs При вы i юл неп и и следующих условий: Hs, zj / fkdt е Hs, J = о, 1, 2,. ., n — 1, получено решение задачи G, которое в случае, когда /ь/г,^ являются обычными функциями, имеет вид: л — 1 п— 1.

ДО j=0 k=j.

Qk-j dtk~j t2 + z — C|2]3/2.

Kj 1 <�№+.

47 Г.

1 ^(^n-l^ + ^.ft.^.^^ ^.

R2 t2 + - C|2]3/2 dv d^drj > dr, 0 = / / (C «r2.

A' i? = ^ f+!LL-*i a3 J ^ 2тг |г|3 (a,-6jz/|z|3)2 /, Ы > 2тг jzj3 (aj+bjz/lz r/IHV2 * /> j I ^ I J h.

M < N.

— /Г-1.

Vi bj + ia aj.

J f (? I bjJ^l 2тт |г|3 (bJ+ajZ/[Z|)2 lJ±z f 1 + 1.

2тг |г|3 (ftj-ajl/lzl).

C-G.

2 * /,.

N < Ы.

2 nJJ 1С ft2 f2{Cut)d^dr]u a =.

Постоянные .4.^ определяются из следующих рекурентных формул:

0.27).

0.28).

0.30).

А]к = -? АакС]~ j = 0,1,2,., п — 1, s=k.

Аю — A i —. — А, п— 1, п—1 1.

0.31).

В § 9 рассматривается следующая задача сопряжения. Задача С. Найти решение системы (0.18) wn{t, z) = < w+(t, z), t> 0, w~(t, z), t< 0,.

0.32) npwшдлежтце. е классу Я. и удовлетворяющее условиям: иь > t=+o djw (t, z) dV.

0.33) t=-о г ¦ ±0, Л.

А,", Л.

0 а.

2).

Ъ,.

V и ч /.

V0 6гу.

2) являются постоянными,.

Ъ —) • HS.

0.34).

Предполагается. что.

Г -6? ф 0, j = 0, п — 1.

Пусть правая часть системы (0.18) удовлетворяет условиям: СС.

5fc.

0.35) dkF[jj dtk dr. j = 1,2, к: = 0, n — 1,.

0.36) и принадлежит классу L. Тогда поставленная задача С имеет единственное решение и принадлежит классу #s.

Это решение в случае обычных функций pj, <рпримет вид: iv: к=0.

D,.

Ск I 11 G{(t + T, z.

0 R2.

G2(t-T, z-Q^dZdr]dT.

— сс №.

R2 b[l>(z-Q.

-*?" (* - О л©.

2 + |z — С|2]3/2 d? dr]+.

G{tt, zС)/(r, С) d£dr)dr о Я2.

0.37).

С,.

С) а.

Ск ~ (^,(2)), Дс — (^(2))i Ск1 — ~ D.

1).

4″ i11.

Cfc2 — — 2.

1).

Tt 1 q t.

Дт = • Да = Cfcl, ЗДД) = ^A,^ —, s = k.

Ask определяется из следующих рекурентных формул: s-l.

Ask — — ^ Cs^[Alk, i=k причем .4()о = Ла =. .. = Ап— а Gi (t, r, z) п~ 1 п- 1)! [{t + t)2 + |z|2]3/2 t + T z — t + r) J у/1−1.

G2(t, t, z) = n- 1)! [(t~r)2 + |z|2]3/2 l-rЛ г t — т.

G (t.,) 1 1 n — 1)! [t2 + |z|2]-V2 Глава 2 посвящена системам составного типа. V.

I, ^.

V л.

Рассматривается система уравнений первого порядка dv ~di дщ dt dv-A dv-s дх dv4 дх dvi dv4 ду дщ ду dv2 dt дщ dt дх дгь ду dv, dx ^ ду 0, = 0, = 0, = о, характеристическая форма которой имеет вид:

Следовательно, это система является системой составного типа. Комплексная запись этой системы имеет вид. ди^dv dt dz — 2— = О dt dz.

Эта система в операторном виде записывается следующим образом:

0.41).

Nw = 0, w и.

0.42).

Г1 рсдмето. м исследования этой главы является система высшего порядка, состоящая из n-ой итерации оператора N:

Nnw = 0.

0.43) и соответствующая неоднородная система.

Nnw = f (t, z), / = h.

0.44).

В первом параграфе главы 2 построено общее решение системы (0.43) в полупространстве t > 0 u+(t.z) = Pl (^) +.

Lt (ip0) + i J Ь,('фо)с1т о dt.

Lr (Si (v o)) о t.

0.45) v+(t, z) = -Pt (Sl{ip0))-i dt d dt.

Lt (S⁰))+ J Lt (S⁰))dr о t.

Ь^гШ) ~i f LT (S^))dr о.

0.46).

Ltif).

27r[t2 — | «1211/2.

В § 2 дается решение неоднородной системы (0.44) u (t, z) = - Pt"T * [j + S (f) + iSi (rrnf2))dT.

P-^r)*[fi+S (fl)-iS1(Irnf2)}dr+ i r id i J 2 dt о.

LT + i J LTdf о.

1 f 1 d 2 dt.

If i 1- i.

LT ~ i / LTo! r.

— 2iS1(/?e/2)]dr +J J о.

M) = - / PtT * [^,(/0 — ^(Д) + 2/m/2 ^ / * ['ЗД) — -iSi ((/,) — 2/m/2]dr.

1 г ha.

4.У bat.

1 Hi a.

0 l2(9f.

Lr + 7 / /T.

LT — г / LTdr [iSi (/i) + iSiCA) — 2Ref2} } dr+ [iS^fi) + г^СЛ) + 2Яе/г] } dr. (0.47).

В § 3 получено общее решение однородной системы (0.43), которое в преобразованиях Фурье имеет вид: и-! л. t w (t, С) =? + + к=0 или в оригинале имеет вид: к=1).

LA.

— (дук dz.

— L, U.

0.48) tk.

Lt к=0 дгрк.

1 д.

2 at у +.

В § 4 построено общее решение неоднородной системы высшего порядка (0.44) в полупространстве t > 0, которое имеет вид:

ОС.

1 Г (tг)" u (tz.

4 J (п-1).

Л,-т|(/ + 5(/,) + 2гЛт (5г1(/т/2)) ir+ t-r) та— Л п-1)!

1 9.

Lt-T ((Ref2),) + —Lt-T (fl-S (f1)) dr, v (t.z).

1 /¦(*n — 1.

4 J (n- 1)!

P|tT|{2Re{S1(f1))) — 2PtT (/m/2)] dr.

0.49).

В § 5 в полупространстве t > 0 исследуется начально-краевая задача для системы (0.43). Задача D. Найти в полупространстве t > 0 региение w класса системы (0−43), у до в л етв оря ющ е е у сл о в иям:

0.50).

Re dtk dhv W t=о f=0 где ipf{z) G Hs, j = 1, 2: к = 0, n — 1.

Решение поставленной задачи получено в явном виде: п-1 к kj k=U j=0 tk dk~i ]ddtk-j.

Р,.

Vj i).

0).

0Ь.

I)dt 2.

S (^) +Lt dz.

0.51).

7г~1 к.

М) = £Х> tk Qk-j k]~kdtk~i.

Pt (Im (S (^)) + U (Re-+ l^f) k=0 j=0 где коэффициенты Aki определяются из следующих рекурентных формул:

Д/со = — (-400Ск + AwClk +. + Ак}0Ск к > 1,.

Л&bdquo- = ~(АиСк + А2Ск +. + Ак-\Ск к > 2,.

0.52) де Лоо — Ли —. — Л&bdquo-i.&bdquo-i — 1.

Рассматривается задача линейного сопряжения для системы (0.44).

Задача S. Найти решение w (t, z) = < w+it^z), t> 0 w~{t, z), t < 0.

0.53) класса Hs системы (0.43), стремящиеся к нулю при t ос и удовлетворяющие условиям сопря’лсения: где.

1 т, дкп.

1 т dtkdz dkv t=+о dtk t= +0 L vPiz),.

Qk+lu dtkdz dkv W t=~ o. t-~-0.

Решение находится в виде: u±(t, z) 1=0 3=1 ¦ J• v±(t.z) = -~ n — I n— 1.

1=0 j=l ljdP~l >l< 18.

0.54) i, e коэффициенты А, г определяются из следующих рекурентных формул.

1,0 = + Cfc+1¹⁰ + • ¦ ¦ + Cfc+i^fco],.

— 4/c+i.i = ~[Cl+lAu + Cl+1A21 +. + C^+1Aki],.

Ak+i.k — —Cfr+lAkk,.

4qo — -4ц —. — A"i ni — 1.

1. Абдушукуров А. О задаче линейного сопряжения для голоморфного вектора // Изв. АН.РТ. Отд.-ние физ.-мат. и хим. наук, — 1992, — No 2(2). С.3−6.

2. Абдушукуров А. Интегральное представление решений системы Мойсила-Теодореско с особенностями в младших членах //Дифференц. уравнения, — 1989. Т.25, № 8. С.1438−1439.

3. Абдушукуров А. О задаче Римана-Гильберта для системы Мойсило-Теодореско и об одном обобщении этой системы //Дифференц. уравнения, — 1992, — Т.28, № 5, — С.791−799.

4. Абдушукуров А. Об одной задаче Римана-Гильберта для голоморфного в бесконечном цилиндре вектора //Дифференц. уравнения, — 1997, — Т. ЗЗ, № 4, С.1−6.

5. Берхин П. Е. Начальная краевая задача для одной составной системы //Сиб. Мат. Журнал, — 1976. Т. 17. Ж, С. 12−20.

6. Бицадзе А. В. Об единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными j j Успехи матем. наук 1948. Т. З, № 6. С.211−212.

7. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. /М.: Наука, 1966, — 204с.

8. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука- 1981.

9. Векуа И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. M.-JI.: Гостехиздат. 1948, — 296с.

10. Векуа И. Н. Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и граничные задачи с применением к теории оболочек /'/' Мат. сб.-1952.-Т.31, № 2, — С.217−314.

11. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука 1988. 242с.

12. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука 1971. с.

13. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука 1976.

14. Джураев А. Д. Системы уравнений составного типа.- М.: Наука 1972, — 227с.

15. Джураев А. Д. Граничные задачи для системы уравнений первого порядка составного типа // Докл.АН.Тадж.ССР, — 1964.-Т.7, № 10, — С.3−7.

16. Джураев А. Д. О некоторых пространственных системах уравнений первого порядка составного типа / 'Комплекс. Анализ и его приложение М.: Наука 1977. С.217−223.

17. Джураев А. Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука 1987. 415с.

18. Джураев А. Д. О формулах Гильберта для системы МойсилеТеодореско //ДАН Тадж. ССР, — 1977, — Т.20, № 10. С.1−5.

19. Джураев А. Д. К постановке краевых задач для неклассических систем //ДАН СССР.-1981, — Т.258, .№ 6. С.1293−1298.

20. Джураев А. Д. О некоторых пространственных системах составного типа //Комплексный анализ и его приложение М.: Наука 1977. С.217−233.

21. Джураев А. Д. On the Moisil-Theodorescu system//Pitman, Resecerch, Notes in Mathematics Series.-1992.

22. Джураев А. Д. Об одной краевой задаче для системы уравнений Мойсила-Теодереско // ДАН ССР. 1991.-Т.317, е 4.-С.818−822.

23. Moisil Gr.C. Theodoresco N. Fonction holomorphes dan lt espace // Mathematica.- 1931.-Y.5. P. 142−153.

24. Мур газаев Д.М. К системе уравнений МойсилаТеодореско// ДАН Тадж. ССР.- 1983.-Т.26. С.482−485.

25. Муртазаев Д. М. Двумерные характеристические сингулярные уравнения в пространстве стве обобщенных функций//ДАН Тадж.ССР.-1980.-Т.23,№ 9.-С.504−509.

26. Муртазаев Д.М.К теории четырехмерного голоморфного вектора//ДАН Тадж.ССР.-1986.-Т. 29.№ 2.-С. 643−646.

27. Оболошвили Е. И. Пространственные обобщенные голоморфные векторы //Дифференциальные. уравнения, — 1975. Т.11ДД. С.838−858.

28. Саидов К. Ш. Корректные постановки граничных задач для многомерных эллиптических и вырожденных систем уравнений в частных производных //Душанбе: Кандидатская диссертация.- 1989.

29. Сафаров Д. Х. Об одном аналоге системы Мойсила-Теодореско // ДАН СССР.- 1984.-Т.277.ДО5. С. 1070−1073.

30. Сафаров Д. Х. Многомерные неклассические системы уравнений с частными производными. Душанбе: Дониш.- 1996. с.

31. Шевченко В. И. Об одной краевой задаче для вектора голоморфного в полупространстве //ДАН СССР, — 1964, — Т. 154, № 2, — С.276−278.

32. Шевченко В. И. О задаче Гильберта для голоморфного вектора //ДАН СССР.-1966.-Т. 169, АД, С. 1285−1288.

33. Шевченко В. И. О задаче РиманаГильберта для голоморфного вектора //ДАН СССР.-1965. Т.163. № 5. С.1085−1087.

34. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс.-М: Наука 1965.

35. Янушаускас А. И. Задача о наклонной производной теории потенциала. Н:Наука. Сиб. отд., 1985.

36. Янушаускас А. И. Метод потенциала в теории эллиптических уравнений // /Вил ьнюс.'Моксл ас, 1990.-260с.