Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Исследование некоторых моделей риска на основе асимптотического анализа и численных методов

Диссертация: Исследование некоторых моделей риска на основе асимптотического анализа и численных методов
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Невозможность получения явного вида вероятности разорения во многих моделях приводит к необходимости нахождения различных аппроксимаций. К подобным аппроксимациям можно отнести асимптотические формулы, дающие выражения для вероятностей разорения при больших значениях начального капитала. Примером может служить знаменитая формула Крамера-Лундберга (см.). Другими примерами являются аппроксимации… Читать ещё >

Исследование некоторых моделей риска на основе асимптотического анализа и численных методов (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. Математические модели риска и актуальные вопросы страховой математики
    • 1. 1. Классическая модель риска
    • 1. 2. Распределения выплат с тяжелыми хвостами и известные результаты
      • 1. 2. 1. Вероятность разорения и геометрические суммы
      • 1. 2. 2. Двусторонние оценки для функции распределения геометрической суммы
      • 1. 2. 3. Построение нижних оценок методом пробных функций
      • 1. 2. 4. Численные результаты
      • 1. 2. 5. Проблема средних значений начальных капиталов в классической модели риска
    • 1. 3. Классическая модель риска с постоянным приростом начального капитала
      • 1. 3. 1. Асимптотическая формула для вероятности разорения
    • 1. 4. Модель риска с дискретным временем и случайным финансовым риском
  • 2. Асимптотические и двусторонние оценки вероятности раv зорения
    • 2. 1. Быстрый алгоритм численного интегрирования
    • 2. 2. Двусторонние оценки вероятности разорения в классической модели риска с постоянным приростом начального капитала
    • 2. 3. Оценки вероятности разорения в модели риска с дискретным временем и случайным финансовым риском
      • 2. 3. 1. Оценки вероятности разорения на одном временном отрезке
  • Ф 2.3.2 Оценки вероятности разорения на многих отрезках времени
    • 2. 3. 2. 1. Формулировка основных результатов
      • 2. 3. 2. 2. Доказательство основных результатов
  • 3. Алгоритмы вычисления вероятности разорения страховой компании
    • 3. 1. Решение задачи о средних значениях в классической модели риска
      • 3. 1. 1. Единственность решения интегрального уравнения в классической модели риска
      • 3. 1. 2. Основная идея решения задачи
      • 3. 1. 3. Алгоритм решения задачи и его свойства
      • 3. 1. 4. Численные оценки вероятности разорения
    • 3. 2. Алгоритм нахождения оценок вероятности разорения с постоянным интересом
      • 3. 2. 1. Результаты численного эксперимента по вычислению функций ф+(х), ф~(х)
      • 3. 2. 2. Асимптотические формулы для вычисления функции Dr (x)

      3.2.3 Численный анализ качества асимптотик Jp (x) и j (y (x) 71 3.3 Численные оценки вероятности разорения в модели риска с дискретным временем и случайным финансовым риском.. 72 3.3.1 Оценки вероятности разорения на одном отрезке времени

      Щ 3.3.2 Оценки вероятности разорения на многих отрезках времени

Основной целью настоящей работы являются разработка и исследование численных и аналитических методов построения оценок вероятности разорения для распределений выплат с большими хвостами, сравнение этих оценок с известными асимптотическими результатами. Толчком к проведению этой работы послужил хорошо известный страховщикам факт, который состоит в том, что некоторые из известных оценок, равно как и знаменитые асимптотические разложения, могут давать значительные ошибки. Данный факт не противоречит известным математическим результатам, но ясно показывает, что, прежде чем использовать какое-либо приближение, следует оценить его погрешность. Это естественное ограничение было принято во многих инженерных дисциплинах. Скажем, никто не станет производить механическое устройство, если допустимые ошибки размеров деталей не заданы. В теории надежности и теории массового обслуживания это требование учитывается достаточно давно. По-видимому, пришло время сделать нечто подобное и в теории страхования. Следует отметить, что создатели теории страхования ясно понимали необходимость таких оценок (достаточно вспомнить знаменитое неравенство Лундберга (см. [102]), которое дает пессимистическую границу вероятности разорения). Аналогичная картина типична для теории вероятности в целом. Например, А. Ляпунов и А. Марков уделяли большое внимание оценкам скорости сходимости в известных предельных теоремах.

В последние годы в области страховой математики получено значительное количество асимптотических результатов. Известно, что асимптотические формулы для определения вероятности разорения страховой компании хорошо работают только при достаточно больших значениях начального капитала, а для некоторых асимптотик точность вообще остается неизвестной. Однако крупных капиталов у российских страховщиков зачастую просто нет. Наиболее актуальным для российского страхового рынка является случай небольших и средних начальных капиталов. В свете этого значимость численных методов исследования вероятности разорения в данной ситуации трудно переоценить, и появляется необходимость в их развитии. В свою очередь, для правильного и ресурсоэкономного применения численных методов необходимо предварительное асимптотическое исследование вероятности разорения. Таким образом, нельзя говорить о приоритете численных или строго аналитических методов для получения наиболее объективных оценок вероятности разорения, а следует признать необходимость их симбиоза для достижения наилучших результатов. Основная идея работы состоит в том, что процесс исследования вероятности разорения разбивается на три условных этапа. На первом этапе проходит аналитическое исследование определенной математической модели риска. На втором этапе на основе предварительно проведенного аналитического исследования модели строится гипотеза о поведении решения задачи и план вычислительного эксперимента для проверки этой гипотезы. На третьем проводится вычислительный эксперимент и с его помощью делается проверка гипотезы о поведении решения задачи, а также анализ известных результатов в страховой математике. В диссертационной работе внимание сосредоточено на задаче оценки вероятности разорения в рамках трех моделей математической теории риска: классической модели риска, классической модели риска с постоянным приростом капитала и модели риска с дискретным временем.

Прежде всего раскроем понятие вероятности разорения. Вероятность разорения представляет собой удобный показатель, характеризующий процесс коллективного риска. Такой процесс (процесс риска) удобно трактовать как изменение капитала, принадлежащего страховой компании. Существуют две причины его изменения: из-за поступления взносов от клиентов (премии) и из-за страховых выплат. Как правило (хотя и не всегда), рассматриваются модели с детерминированным процессом поступления премий. Однако процесс страховых выплат всегда считается стохастическим. Следовательно, и процесс риска является случайным. Политика страховой компании состоит в назначении размеров премий и выплат. Понятно, что при этом следует принять во внимание стохастичность процесса риска. На практике такой учет часто реализуется на основе центральной предельной теоремы. Именно, считается, что наличие достаточно большого числа выплат за некоторый промежуток времени гарантирует нормальность распределения суммарных выплат и, следовательно, дает возможность рассчитать размер премии с требуемым уровнем достоверности. Привлечение теории больших уклонений позволяет уточнить подобного рода оценки. Однако при принятии различного рода решений, в том числе и при расчете премий, целесообразно иметь критерий, который оценивает качество принимаемых решений и чувствителен к изменению параметров процесса риска. Одним из широко распространенных критериев служит вероятность разорения, трактуемая как вероятность того, что процесс риска опустится ниже определенного уровня (например, нулевого) за данный промежуток времени (конечный или бесконечный). Обычно вероятность разорения рассматривается как функция начального капитала страховой компании.

Математическое исследование вероятности разорения началось с классических работ Г. Крамера [32,33], результаты которых вошли во многие учебники по теории вероятностей. В последние годы данная проблематика стала чрезвычайно популярной. Возникающие задачи интересны математически и требуют разработки новых методов исследования. Достаточно заметить, что даже при анализе классических моделей были востребованы факторизация Винера-Хопфа, тождество Спицера, теория мартингалов, теория марковских процессов и случайного блуждания. Желание рассматривать более реалистичные модели приводит как к учету новых факторов (инфляция, перестрахование и др.), так и к неизбежному расширению спектра применяемых методов, а также к новым качественным закономерностям. Например, асимптотика вероятности разорения (при бесконечном увеличении начального капитала страховой компании) совершенно различна в ситуациях, когда случайные размеры выплат имеют экспоненциальный момент и когда их распределения имеют тяжелые хвосты.

Нужно упомянуть несколько работ, посвященных оценкам вероятностей разорения. Следующий перечень содержит наиболее важные работы. Первая группа работ затрагивает модели страхования, когда распределения размеров выплат имеют экспоненциальный момент: Россберг и Сигель [108], Калашников [93], Фуррер и Шмидли [62]. Вторая группа работ рассматривает модели страхования, когда распределения размеров выплат имеют тяжелые хвосты: Калашников [92,93], Лин [100], Уиллмот [125], Уиллмот и Лин [126].

Невозможность получения явного вида вероятности разорения во многих моделях приводит к необходимости нахождения различных аппроксимаций. К подобным аппроксимациям можно отнести асимптотические формулы, дающие выражения для вероятностей разорения при больших значениях начального капитала. Примером может служить знаменитая формула Крамера-Лундберга (см. [59]). Другими примерами являются аппроксимации типа эвристической формулы де Вильдера (см. [120,121]) или получаемые как следствия предельных теорем, например диффузионная аппроксимация. Существенным недостатком упомянутых типов аппроксимаций является отсутствие оценок их точности. Более того, существуют примеры, когда их применение приводит к большим относительным ошибкам. В этом плане предпочтительнее иметь двусторонние оценки вероятностей разорения. Часть диссертационной работы посвящена разработке методов получения подобных оценок, которые по меньшей мере достоверно указывают область изменения искомой функции и в известном смысле согласуются с существующими асимптотическими формулами. При нахождении аппроксимаций вероятностей разорения в работе используются не только аналитические и численные методы, но и методы компьютерного моделирования. Эффективность и достоверность их использования часто требуют решения нетривиальных математических задач. Например, стандартные методы математической статистики не работают при попытке их использования для оценивания вероятности разорения на основе моделирования процессов риска просто потому, что разорение является редким событием. Это приводит к необходимости моделирования, например, процессов, получаемых из исходных процессов риска путем соответствующего преобразования вероятностной меры. Однако вид такого преобразования и его реализация на компьютере далеко не тривиальны.

В первой главе определяется случай тяжелых хвостов и приводятся примеры распределений с тяжелыми хвостами. Рассматривается классическая модель риска с однородным пуассоновским потоком платежей интенсивности Л > 0 и постоянной ставкой премий с. Проводится обзор и сравнение известных аналитических и численных методов оценки вероятности разорения, а также рассматривается проблема средних значений начальных капиталов для данной модели риска. Описываются классическая модель риска с постоянным приростом начального капитала и модель риска с дискретным временем при условиях, что начальный капитал стремится к бесконечности и распределения страхового и финансового рисков имеют тяжелые хвосты.

Вторая глава содержит основную аналитическую часть работы. Здесь приводятся собственные асимптотические и двусторонние оценки для вероятности разорения в рамках двух математических моделей риска: модели риска с постоянным приростом начального капитала и модели риска с дискретным временем при условиях, что начальный капитал стремится к бесконечности и распределения страхового и финансового рисков имеют тяжелые хвосты. Главным результатом второй главы явилось доказательство нескольких теорем.

В третьей главе приводятся оригинальные алгоритмы расчета вероятности разорения страховой компании, основанные на аналитическом исследовании моделей риска, расмотренных в первой и второй главах работы. Даются оценки точности всем алгоритмам и оценка скорости сходимости одного из этих алгоритмов. Результаты работы другого алгоритма подтверждают гипотезу о существовании быстрого численного метода решения задачи о средних значениях начальных капиталов в классической модели риска. Результаты работы третьего алгоритма используются для подтверждения гипотезы о существовании контрастного изменения вероятности разорения в модели риска с дискретным временем и логарифмически устойчивым распределением финансового риска. Производится численный анализ качества известных асимптотик на основе приведенных алгоритмов и показывается, что для небольших и средних начальных капиталов асимптотические результаты существенно уступают численным.

Заключение

.

В диссертационной работе приводятся оригинальные численные алгоритмы нахождения вероятности разорения в различных моделях риска в основе которых лежит глубокое аналитическое исследование. Производится сравнение численных результатов, полученных с помощью этих алгоритмов, с хорошо известными и самыми последними асимптотическими результатами в математической теории риска. Делается вывод, что для небольших и средних начальных капиталов асимптотические результаты существенно уступают численным.

Основными результатами работы являются:

1. Построение и тестирование оригинального алгоритма вычисления интегралов от регулярно меняющихся на больших отрезках функций и на его основе получение численных оценок вероятности разорения на одном шаге в дискретной модели риска со случайным приростом капитала и в классической модели риска с постоянным приростом капитала. Получение оценки скорости сходимости данного алгоритма.

2. Получение двусторонних и асимптотических оценок вероятности разорения в классической модели риска с постоянным приростом капитала и в дискретной модели риска со случайным приростом капитала.

3. Разработка и исследование численного метода решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода, представленного в классической модели риска. Проверка гипотезы о быстрой сходимости этого метода. С помощью данного численного метода получены оценки вероятности разорения на бесконечности в классической модели риска. Таким образом, можно говорить о решении проблемы средних значений в классической модели риска.

4. Обнаружение контрастного изменения вероятности разорения в модели риска с дискретным временем и логарифмически устойчивым распределением финансового риска.

5. Программная реализация параллельного алгоритма метода Монте-Карло на основе асимптотического исследования вероятности разорения и с его помощью получение оценок вероятности разорения в модели страхования с дискретным временем на многих отрезках времени.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Abate J., Choudhury G.L., Whitt W. Waiting time tail probabilities in queues with long-tail service time distributions // Queueing Systems — 1994. — V. 16. — P. 311−338.
  2. Asmussen S. Conditioned limit theorems relating a random walk to its associate, with applications to risk reserve processes and the GI/G/1 queue // Adv. Appl. Prob. 1982. — V. 14. — P. 143−170.
  3. Asmussen S. Approximations for the probability of ruin within finite time // Scand. Actuarial J. 1984. — P. 31−57.
  4. Asmussen S. Applied Probability and Queues. Chichester: J. Wiley, 1987.
  5. Asmussen S. Risk Theory in a Markovian enviroment // Scand. Actuarial J. 1989. — P. 69−100.
  6. Asmussen S. Ladder heights and the Markov-modulated M | G J 1 queue // Stoch. Processes and Their Applications 1991. — V. 37 — P. 313−326.
  7. Asmussen S. Stationary distributions via first passage times // Advances in Queueing. Theory, Methods, and Open Problems (ed. J. Dshalalow). -Boca Raton: CRC Press, 1995. P. 79−102.
  8. Asmussen S. Ruin Probabilities. Singapore: World Scientific, 1996.
  9. Asmussen S., Frey A., Rolski Т., Schmidt V. Does Markov-modulation increase the risk? // ASTIN Bull. 1995. — V. 25. — P. 49−66.
  10. Asmussen S., Henriksen L.F., Kliippelberg C. Large claims approximations for risk processes in a Markovian environment // Stoch. Proc. Appl. 1994. — V. 54, P. 29−43.
  11. Asmussen S., Kliippelberg C. Large deviations results in the presence of heavy tails, with applications to insurance risk.// Preprint of J. Gutenberg-Universitat Mainz, 95−1, April 1995.
  12. Asmussen S., Nielsen H.M. Ruin probabilities via local adjustment coefficients // J. Appl. Prob. 1995. — V. 33. — P. 736−755.
  13. Asmussen S., Petersen S.S. Ruin probabilities expressed in terms of storage processes // Adv. Appl. Prob. 1989. — V. 20. — P. 913−916.
  14. Asmussen S., Rolski T. Computational methods in risk theory: a matrix-algorithmic approach // Insurance: Math, and Econom. 1991. — V. 10. -P. 259−274.
  15. Asmussen S., Rolski T. Risk theory in a periodic environment: the Сгатёг-Lundberg approximation and Lundberg’s inequality // Mathematics of Oper. Res. 1994. — V. 19. — P. 410−433.
  16. Asmussen S. Subexponential asymptotics for stochastic processes: extremal behaviour, stationary distributions and first passage probabilities //The Annals of Applied Probability. 1998. V. 8. P. 354−374.
  17. Asmussen S., Schmidt V. Ladder height distribution with marks // Stoch. Proc. Appl. 1995. — V. 58. — P. 105−119.
  18. Asmussen S., Teugels J.L. Convergence rates for M/G/l queues and ruin problems with heavy tails // 1995.19. von Bahr B. Ruin probabilities expressed in terms of ladder height distributions // Scand. Actuarial J. 1974. — P. 190−204.
  19. Barndorff-Nielsen O., Schmidli H. Saddlepoint approximations for the probability of ruin in finite time // Res. Report, No 284. Dept. Theor. Statist., Aarhus University, 1994.
  20. Beekman J. A ruin function approximation // Trans, of the Soc. of Actuaries. 1969. — V. 21. — P. 41−48, P. 275−279.
  21. Beekman J. Two stochastic processes. Stockholm: Almqvist & Wiksel, 1974
  22. Benckert L.G., Jung J. Statistical models of claim distributions in fire insurance // ASTIN Bull. 1974. — V. 8. — P. 1−25.
  23. Bingham N.H., Goldie C.M., Teugels J.L. Regular variation. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987.
  24. Bjork Т., Grandell J. An insensitivity property of the ruin probability // Scand. Actuarial J. 1985. — P. 148−156.
  25. Bjork Т., Grandell J. Exponential inequalities for ruin probabilities in the Cox case // Scand. Actuarial J. 1988. — P. 77−111.
  26. Bohman H. The ruin probability in a special case // ASTIN Bull. 1971. — V. 1. — P. 66−68.
  27. Boogaert P., Crijns V. Upper bounds on ruin probabilities in case of negative loadings and positive interest rates // Insurance: Math, and Econ.- 1987. V. 6. — P. 221−232.
  28. Boogaert P., Delbaen F., Haezendonck J. Limit theorems for the present value of the surplus of an insurance portfolio // Insurance: Math, and Econ.- 1988. V. 7. — P. 131−138.
  29. Bowers N., Gerber H., Hickman J., Jones D., Nesbitt, C. Actuarial mathematics. Ithaca: Soc. of Actuaries, 1986.
  30. Buhlmann H. Mathematical methods in risk theory. Berlin: Springer, 1970.
  31. Cramer H. On the mathematical theory of risk // Skandia Jubilee Volume, Stockholm 1930.
  32. Cramer H. Collective risk theory // Skandia Jubilee Volume, Stockholm -1955.
  33. Christ R., Steinebach J. Estimating the adjustment coefficient in an ARMA (p, q) risk model // Insurance: Math, and Econom. 1995. — V. 14.- P. 149−161.
  34. Croux K., Veraverbeke N. Nonparametric estimators for the reliability of ruin // Insurance: Math, and Econom. 1990. — V. 9. — P. 127−130.
  35. Dassios A., Embrechts P. Martingales and insurance risk // Stoch. Models- 1989. V. 5. — P. 181−217.
  36. Deheuvels P., Steinebach J. On some alternative estimates of the adjustment coefficient in risk theory // Scand. Actuarial J. 1990. — P. 135−159.
  37. Dembo A., Zeitouni O. Large deviations. Techniques and Applications. -Boston: Jones and Bartlett, 1993.
  38. Dickson D.C.M., Waters H.R. The probability and severity of ruin in finite and infinite time // ASTIN Bull. 1992. — V. 22. — P. 177−190.
  39. Dufresne F., Gerber H.U. The probability and severity of ruin for combinations of exponential claim amount distributions and their translations // Insurance: Math, and Econom. 1988. — V. 7. — P. 75−80.
  40. Dufresne F., Gerber H.U. The surpluses immediately before and at ruin, and the amount of claim causing ruin // Insurance: Math, and Econom. -1988. V. 7. — P. 193−199.
  41. Dufresne F., Gerber H.U. Three methods to calculate the probability of ruin // ASTIN Bull. 1989. — V. 19. — P. 71−90.
  42. Dufresne F., Gerber H.U. Risk theory for the compound Poisson process that is perturbed by diffusion // Insurance: Math, and Econom. 1991. -V. 10. — P. 51−59.
  43. Dufresne F., Gerber H.U. Rational ruin problems a note for the teacher // Insurance: Math, and Econom. — 1991. — V. 10. — P. 21−29.
  44. Dufresne F., Gerber H.U. The probability of ruin for the inverse Gaussian and related processes // Insurance: Math, and Econom. 1993. — V. 12. -P. 9−22.
  45. Dufresne F., Gerber H.U., Shiu S.W. Risk theory with the gamma process 11 ASTIN Bull. 1991. — V. 21. — P. 177−192.
  46. Durrett R. Conditioned limit theorems for random walks with negative drift // Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb. 1980. — V. 52. — P. 277−287.
  47. Eade J. The ruin problem for mixed Poisson risk processes // Scand. Actuarial J. 1983. — P. 193−210.
  48. Embrechts P. Martingales in non-life insurance // Vilnius Conference Proceedings, VNU Press 1990. — V. 1. — P. 314−322.
  49. Embrechts P., Goldie C.M. On closure and factorization properties of subexponential and related distributions // J. Austral. Math. Soc. 1980. — V. A29. — 243−256.
  50. Embrechts P., Goldie C.M., Veraverbeke N. Subexponentiality and infinite divisibility // Z. Wahr. verw. Gebiete 1979. — V. 49. — P. 335−347.
  51. Embrechts P., Grandell J., Schmidli H. Finite-time Lundberg inequalities in the Cox case // Scand. Actuarial J. 1993. — P. 17−41.
  52. Embrechts P., Kliippelberg C., Mikosch T. Modelling extremal events, with special emphasis on insurance and finance. Book manuscript, 1995.
  53. Embrechts P., Schmidli H. Ruin estimation for a general insurance risk model. Adv. Appl. Prob. 1994. — V. 26. — P. 404−422.
  54. Embrechts P., Schmidli H. Modelling of extremal events in insurance and finance // Zeitschrift fur Oper. Res. 1994. — P. 1−33.
  55. Embrechts P., Veraverbeke N. Estimates of the probability of ruin with special emphasis on the possibility of large claims // Insurance: Math, and Econ. 1982. — V. 1. — P. 55−72.
  56. Embrechts P., Villasenor J.A. Ruin estimates for large claims // Insurance: Math, and Econ. 1988. — V. 7. — P. 269−274.
  57. Engelander S. Konfidenzintervalle fur empirische Ruinwahrscheinlickeiten: asymptotisches Verhalten und Monte-Carlo Simulation. Diploma thesis, University of Cologne, 1987.
  58. В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, том 2. -М.: Мир, 1984.
  59. Frees E.W. Nonparametric estimation of the probability of ruin // ASTIN Bull. 1986. — V. 16. — P. 81−90.
  60. Furrer H. Risikoprozesse destort durch Diffusion. Diplomarbeit, ETH Zurich, 1993.
  61. Furrer H., Schmidli H. Exponential inequalities for ruin probabilities of risk processes perturbed by diffusion // Insurance: Math, and Econom. -1994. V. 15. — P. 23−36.
  62. Gerber H.U. Martingales in risk theory // Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker. 1973. — 73. Band. — Heft 2. — P. 205−216.
  63. Gerber H.U. An extension of the renewal equation and its application in the collective theory of risk // Skand. Aktuar. Tidskr. 1970. — V. 53. — P. 205−210.
  64. Gerber H.U. An Introduction to mathematical risk theory. Philadelphia: University of Pennsylvania, 1979.
  65. Gerber H.U. Mathematical fun with ruin theory // Insurance: Math, and Econom. 1988. — V. 7. — P. 15−23.
  66. Gerber H.U. Mathematical fun with the compound binomial process // ASTIN Bull. 1988. — V. 18. — P. 161−168.
  67. Gerber H.U. From the convolution of uniform distributions to the probability of ruin // Mitteilungen der Schweizerischen Vereinigung fur Versicherungsmathematiker. 1989. — P. 283−292.
  68. Gerber H.U. When does the surplus reach a given target? // Insurance: Math, and Econom. 1990. — V. 9. — P. 115−119.
  69. Gerber H.U. On the probability of ruin for infinitely divisible claim amount distributions // Insurance: Math, and Econom. -1992. V. 11. — P. 163−166.
  70. Gerber H.U. Martingales and tail probabilities // ASTIN Bull. 1994. -V. 24. — P. 145−146.
  71. Gerber H.U., Goovaerts M.J., Kaas R. On the probability and severity of ruin // ASTIN Bull. 1987. — V. 17. — P. 151−163.
  72. Goldie C.M. Subexponential distributions and dominated-variation tails // J. Appl. Probab. 1978. — V. 15. — P. 440−442.
  73. Goovaerts M. J., De Vylder F. A stable algorithm for calculation of ultimate ruin probability // ASTIN Bull. 1984. — V. 14. — P. 53−59.
  74. Grandell J. A class of approximations or ruin probabilities // Scand. Actuarial J. 1977. — P. 38−52.
  75. Grandell J. A remark on 'A class of approximations of ruin probabilities' // Scand. Actuarial J. 1978. — P. 77−78.
  76. Grandell J. Empirical bounds for ruin probabilities // Stoch. Processes and Their Applications 1979. — V. 8. — P. 243−255.
  77. Grandell J. Aspects of risk theory. New York: Springer-Verlag, 1991.
  78. Grandell J. Finite time ruin probabilities and martingales // Informatica.- 1992. V. 2. — P. 3−32.
  79. Grandell J., Peiram L. A note on the ruin problem for a class of stochastic processes with interchangeable increments // ASTIN Bull. 1973. — V. 7.- P. 81−89.
  80. Grandell J., Segerdahl C.O. A comparison of some approximations of ruin probabilities // Scand. Aktuar. Tidskr. 1971. — V. 54. — P. 144−158.
  81. Henriksen L.F. Large claims in ruin probability theory simulation studies and the case of a Markovian environment. — Cand. act. thesis, Lab. of Insurance Math., University of Copenhagen, 1992.
  82. Herkenrath U. On the estimation ot the adjustment coefficient in risk theory by means of stochastic approximation procedures // Insurance: Math, and Econ. 1986. — V. 5. — P. 305−313.
  83. Hipp C. Efficient estimators for ruin probabilities Proc. 4th Prague Symp. Asympt. Statist., 1988.
  84. Hoglund T. An asymptotic expression for the probability of ruin within finite time // Ann. Prob. 1990. — V. 18. — P. 378−389.
  85. Janssen J. Some transient results on the M | SM | 1 special semi-Markov model in risk and queueing theories // ASTIN Bull. 1980. — V. 11. — P. 41−51.
  86. Janssen J., Reinhard J.M. Probabilites de ruine pour une classe de modeles de risque semi-Markoviens // ASTIN Bull. 1985. — V. 15. — P. 123−133.
  87. В.В. Качественный анализ поведения сложных систем методом пробных функций. М.: Наука, 1978.
  88. Kalashnikov V.V. Two-sided estimates of geometric convolutions // LN in Math., Springer, Berlin. 1993. — V. 1546. — P. 76−88.
  89. Kalashnikov V.V. Mathematical methods in queueing theory. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1994.
  90. Kalashnikov V.V. Topics on regenerative processes. Boca Raton: CRC Press, 1994.
  91. Kalashnikov V.V. Bounds for geometric sums in the presence of heavy-tailed summands. Pr6publications de l’Equipe d’Analyse et de Math? matiques Appliqu6es, Universite de Marne-La-Vallee, No 27, Septembre 1995.
  92. Kalashnikov V.V. Two-sided bounds of ruin probabilities // Scand. Actuarial J. 1996. — P. 1−18.
  93. Kling B.M., Goovaerts M.J. A recursive evaluation of the finite time ruin probability based on an equation of Seal // Insurance: Math, and Econom. 1991. — V. 10. — P. 93−97.
  94. Kliippelberg С. Subexponential distributions and integrated tails // J. Appl. Probab. 1988. — V. 25. — P. 132−141.
  95. Kliippelberg C. Estimation of ruin probabilities by means of hazard rates // Insurance: Math, and Econ. 1989. — V. 8. — P. 279−285.
  96. Kliippelberg C., Mikosch T. Large deviations of heavy tailed random sums with applications in insurance and finance. Preprint of J. Gutenberg-Universitat Mainz, 95−2, April 1995.
  97. Kliippelberg C., Mikosch T. Delay in claim settlement and ruin probability approximations // Scand. Actuarial J. 1996. — в печати.
  98. Kliippelberg С., Stadtmuller U. Ruin probabilities in the presence of heavy tails and interest rates. Preprint of J. Gutenberg-Universitat Mainz, 95−7, Dezember 1995.
  99. Lin X. Tail of compound distributions and excess time // J. Appl. Probab. 1996. — V. 33. — в печати.
  100. Lindley D.V. The theory of queues with a single server // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1952. — V. 48. — P. 277−289.
  101. Lundberg O. On radnom processes and their application to sickness and accident statistics. Uppsala: Almqvist and Wiksell, 1964.
  102. Meyer P. Processus a accroissements independants et positifs // Seminaire de ргоЬаЬПШёэ III, Lecture Notes in Mathematics. 1969. -V. 88.
  103. Meyers G., Beekman J.A. An improvement to the convolution method of calculating ip (u) // Insurance: Math, and Econ. 1988. — V. 7. — P. 267−274.
  104. Reinhard J.M. On a class of semi-Markov risk models obtained at classical risk models in a Markovian enviroment // ASTIN Bull. 1984. — V. 14. -P. 23−43.
  105. Pakes A.G. On the tails of waiting-time distributions // J. Appl. Prob. -1975. V. 12. — 555−564.
  106. Richter W.-D., Steinebach J., Taube S. On a class of estimators for an exponential tail coefficient with applications in risk theory // Statistics & Decisions. 1993. — V.ll. — P.145−173.
  107. Schmidli H. A general insurance risk model. Doct. thesis, Diss. ETH, Nr. 9881, ETH Zurich, 1992.
  108. Schmidli H. Diffusion approximations for a risk process with the possibility of borrowing and investment // Comm. in Statistics and Stochastic Models. 1994. — V. 10. — P. 365−388.
  109. Schmidli H. Cramer-Lundberg approximations for ruin probabilities of risk processes perturbed by diffusion // Insurance: Math, and Econ. 1995.- V. 16. P. 135−149.
  110. Schmidli H. An extension to the renewal theorem and an application to risk theory. Res. Report, Dept. of Theoretical Statistics, Univ. of Aarhus.- No 333. October 1995.
  111. Sundt В., Teugels J.L. Ruin estimates under interest force. Preprint, 1995.
  112. Taylor G.C. A heuristic review of some ruin theory results // ASTIN Bull. 1985. — V. 15. — P. 73−88.
  113. Teugels J.L., Veraverbeke N. Cramer-type estimates for the probability of ruin // C.O.R.E. Discussion paper. 1973. — V. 7316.
  114. Thorin O. Ruin probabilities when the claim amounts are gamma distributed // Fotsakringstekniska forskingsnamnden. 1986. — V. 69.
  115. Thorin O., Wikstad N. Calculation and use of ruin probabilities // Trans, of the 20th Intern. Congress of Actuaries. 1976. — V. III. — P. 773−781.
  116. Thorin O., Wikstad N. Calculation of ruin probabilities when the claim distribution is lognormal // ASTIN Bull. 1977. — V. 9. — P. 231−246.
  117. Tijms H.C., Van Hoorn M.H. Algorithms for the state probabilities and the waiting times in single server queueing systems with random and quasirandom input and phase-type service times // OR Spectrum. 1981. — V. 2. — P. 145−152.
  118. De Vylder F. Martingales and ruin in a dynamical risk process // Scand. Actuarial J. 1977. — P. 217−225.
  119. De Vylder F. A practical solution to the problem of ultimate ruin probability // Scand. Actuarial J. 1978. — P. 114−119.
  120. Waters H.R. Excess of loss reinsurance limits // Scand. Actuarial J. -1979. P. 37−43.
  121. Willekens E., Teugels J.L. Asymptotic expansions for waiting time probabilities in an M | G | 1 queue with long-tailed service time // Queueing Systems 1992. — V. 10. — P. 295−312.
  122. Willmot G. The total claims distribution under inflationary conditions // Scand. Actuarial J. 1989. — P. 1−12.
  123. Willmot G. Refinements and distributional generalizations of Lundberg’s inequality // Insurance: Math, and Econom. 1994. — V. 15. — P. 49−63.
  124. Willmot G., Lin X. Lundberg bounds on the tails of compound distributions // J. Appl. Prob. 1994. — V. 31. — P. 743−756.
  125. Kalashnikov V.V., Tsitsiashvili G.Sh. Tails of waiting times and their bounds//Queueing Systems. 1999. V. 32. P. 257−283.
  126. Konstantinides D.G., Tang Q.H., Tsitsiashvili G.Sh. Estimates for the ruin probability in the classical risk model with constant interest force in the presence of heavy tails //Insurance: Mathematics and Economics. 2002. V. 31. N. 3. P. 447−460.
  127. Ortobelli S.I., Huber I., Rachev S.T., Schwartz E. Portfolio Choice Theory with non-Gaussian Distributed Returns. Handbook of Heavy Tailed Distributions in Finance. North Holland Handbooks of Finance. Series Editor Zimba W.T.
  128. Rogozin, B.A., Sgibnev, M.S. Banach algebras of measures on the line with given asymptotics of distributions at infinity. Siberian Math. J. 40, 1999, 565−576.
  129. Tang Q., Tsitsiashvili G.Sh. Precise Estimates for the Ruin Probability in Finite Horizon in a Discrete-time Model with Heavy-Tailed Insurance and Financial Risks. Stochastic Process. Appl., 108, 2003, pp. 299−325.
  130. E.C. Численные оценки вероятности разорения в классической модели риска с постоянным интересом в случае тяжелых хвостов //Дв. мат. журнал 2004, том 5, выпуск 1, С. 72−82.
  131. Е.С. Численные оценки вероятности разорения в классической модели риска с постоянным приростом капитала//
  132. Препринт. Владивосток: ИПМ ДВО РАН. 2004.
  133. Г. Ш., Скварник Е. С., Кольев А. Н. Фазовый переход в модели страхования с логарифмически устойчивым распределением финансового риска. //Пятый Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2 мая-8 мая 2004 г.)
  134. Е.С. Численные оценки вероятности разорения в классической модели риска//Тез. докл. Дальн. школы им. Е. В. Золотова. Владивосток: Дальнаука. 2001. С. 64−65.
  135. Е.С. Оценки вероятности разорения в классической модели риска с постоянным интересом//Тез. докл. 5-ой Дальн. конф. студентови аспирантов по мат. моделированию, Владивосток: Дальнаука, 2001, С. 21
  136. Г. Ш., Скварник Е. С. Численное решение задачи о средних значениях в классической модели риска//Препринт. Владивосток: ИПМ ДВО РАН. 2001.
  137. Г. Ш., Скварник Е. С. Численное решение задачи о средних значениях в классической модели риска//
  138. Обозрение прикладной и промышленной математики. Том 1. Jf" 1. Москва: ТВП. 2001. С. 127−128
  139. Е.С. Численные оценки вероятности разорения в дискретной модели риска с конечным числом шагов на основе метода Монте-Карло //Тез. докл. 6-ой Дальн. конф. студентов и аспирантов по мат. моделированию, Владивосток: Дальнаука, 2003, С. 24
  140. Е.С. Оценки вероятности разорения в дискретной модели риска на одном шаге// Тез. докл. 6-ой Дальн. конф. студентов и аспирантов по мат. моделированию. Владивосток: Дальнаука. 2002. С. 20−21.
  141. Е.С. Быстрый алгоритм численного интегрирования медленно меняющихся функций //Тез. докл. Дальн. школы им. Е. В. Зо-лотова. Владивосток: Дальнаука. 2002. С. 64−65.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!