Гомологические свойства гильбертовых и близких к ним модулей над С *-алгебрами

Основная тема этой работы — изучение гомологических свойств гильбертовых модулей над С*-алгебрами. Одним из основных примеров является гильбертово пространство Н, рассмотренное как модуль над самосопряженной операторной алгеброй, А С В{Н) с естественным умножением, а ¦ h = a (h), a 6 A, h? Н. Другой важный пример — это модуль L2(Q) над алгеброй С (0) с поточечным умножением (здесь Q — метризуемый компакт с борелевской мерой). Близкими свойствами к L2(Q,) обладает (негильбертов) модуль над той же алгеброй.

Гомологические свойства (проективность, плоскость, гомологические размерности) вышеперечисленных модулей и будут рассмотрены в данной работе.

Исторический обзор литературы по этим вопросам естественно начать с упоминания доказанной в конце XIX века теоремы Гильберта о сизигиях [30, 8]. Эта теорема (сформулированная современным языком) утверждает, что для произвольного модуля над кольцом многочленов от т переменных над полем существует его свободная резольвента длины т.

В работах Г. Хохшильда [31, 32] были определены группы когомо-логий Нп (А, Х) алгебры, А с коэффициентами в бимодуле X. Хох-шильд также рассмотрел применение этих групп к исследованию радикальных расширений алгебр. Несколько ранее С. Эйленберг и С. Маклейн [19] дали основополагающий образец общегомологических конструкций в рамках теории групп. Основные идеи относительной гомологической алгебры (формального категорного подхода к введению гомологических понятий) были впервые высказаны Хох-шильдом [33] и развиты А. Хеллером [29], С. Маклейном [8, гл. IX] и С. Эйленбергом-Дж. Муром [20]. В частности, группы Ext (как группы расширений) были введены для п = 1 Эйленбергом и Маклейном [19], а для всех п — Картаном и Эйленбергом (с помощью резольвент).

ИВ 1962 г. Г. Камовиц [35] дал сходные определения когомологий в терминах банаховых алгебр и рассмотрел их приложения к сингулярным расширениям банаховых алгебр (при некоторых ограничениях, впоследствии снятых А. Гишарде [1]). Напомним о приложениях первых трех групп когомологий Хохшильда. Группа Н1(А, Х) равна нулю тогда и только тогда, когда всякое дифференцирование алгебры, А со значениями в бимодуле X (т.е. линейный непрерывный оператор D: А X такой, что D (ab) = D{a)b + aD (b)) является внутренним (т.е. имеет вид D (a) = ах — ха, х Е X). Группа Н2(А, X) связана с рас-щепимостью сингулярных расширений банаховой алгебры [35]. Также установлена связь между устойчивостью алгебры к малым возмущениям оператора умножения и группами Н2(А, А) и Н3(А, А) [34, 36].

В 1970 г. А. Я. Хелемский в работе [16] рассмотрел относительную категорию банаховых модулей. В этой категории каждый объект обладает допустимой проективной резольвентой, что позволяет определить в ней производные функторы (в том числе Ext и Тог), гомологические размерности и иные гомологические характеристики. Определение производных функторов дало возможность связать группы когомологий Хохшильда с группами Ext. Это позволяет вычислить группы когомологий с помощью любой допустимой резольвенты, что существенно расширяет возможности их изучения. Значительный объем результатов, полученных в ходе дальнейшего развития этих идей, суммирован в книге [15].

Перейдем к обсуждению круга вопросов, непосредственно касающихся данной работы. Пусть, А С В (Н) — замкнутая относительно топологии равномерной сходимости операторная алгебра, которая не обязательно предполагается самосопряженной. Тогда гильбертово пространство Н является левым модулем над ней с естественным умножением, а • h = a (h), a Е A, h Е Н. Мы будем называть алгебру, А пространственно проективной (соответственно, инъективной, плоской), если модуль Н проективен (соответственно, инъективен, плосок). Изучение гомологических свойств указанного модуля Н проводилось в двух основных направлениях. Ю. О. Головин рассмотрел случай, когда алгебра, А является рефлексивной и несамосопряженной. В работе [2] им исследованы гомологические свойства модуля Н над гнездовой алгеброй, А С В{Н) (рефлексивной алгеброй, решетка инвариантных подпространств которой полностью упорядочена). В этом случае модуль Н пространственно проективен тогда и только тогда, когда в решетке всех отличных от Н инвариантных подпространств алгебры, А существует наибольшее. Кроме того, он всегда инъективен и плосок.

Помимо гнездовых алгебр, Головин рассмотрел также более широкий класс несамосопряженных операторных алгебр — так называемые CSL-алгебры (то есть рефлексивные алгебры, для которых проекторы на любые инвариантные подпространства попарно коммутируют). Оказалось, что критерий пространственной проективности для этого класса алгебр в точности совпадает с аналогичным критерием для класса гнездовых алгебр [3]. В частном случае неразложимых CSL-алгебр (для которых никакие два собственных инвариантных подпространства в сумме не дают все Н) удалось получить также критерии пространственной инъективности и плоскости [4]. Именно, для пространственной инъективности (соответственно, плоскости) неразложимой CSL-алгебры, А необходимо и достаточно, чтобы пересечение (соответственно, сумма) любых двух инвариантных подпространств А, отличных от нуля (соответственно, от Н), было отлично от нуля (соответственно, от Н). Опираясь на этот критерий, Головин построил примеры пространственно неплоских и пространственно не-инъективных CSL-алгебр.

Однако вопрос о существовании самосопряженных операторных алгебр, не являющихся пространственно инъективными и плоскими для самосопряженного случая эти свойства являются эквивалентными [2]) до последнего времени оставался открытым. Автором построен пример такой алгебры, которая является также алгеброй фон Нойм-анна. Тем самым предъявлено решение проблемы 15 из списка задач, сформулированных в [27].

Указанным примером является алгебра фон Нойманна, порожденная свободной группой F2 с двумя образующими, а и Ь. Рассмотрим гильбертово пространство /2(F2), ортонормированным базисом которого является множество индикаторов элементов группы F2. Каждому элементу р Е F2 можно сопоставить оператор левого сдвига Тр: Z2(F2) /2(F2): 8S ь" 5ps. Ясно, что Тр Е B{l2{F2)). Рассмотрим минимальную алгебру фон Нойманна, А = W*(F2), порожденную этим семейством операторов. Тогда левый А-модуль /2(F2) не является инъективным и плоским (идея рассмотреть указанный пример подсказана автору А. Я. Хелемским). Как известно [6], свободная группа F2 с двумя образующими является простейшим неаменабель-ным объектом, т. е. на пространстве P°(F2) не существует левоин-вариантный нормализованный положительный функционал. Следовательно, банахова *-алгебра /X (F2) со сверточным умножением не является аменабельной (по Джонсону) [15], т. е. обладает «плохими» гомологическими свойствами. Потому именно эта группа была выбрана для построения примера пространственно неинъективной алгебры фон Нойманна. При этом причины неаменабельности и пространственной неплоскости оказались очень близки.

Изложим главную идею рассуждения. Предварительно напомним основной критерий инъективности унитальных банаховых модулей [15]. Рассмотрим левый унитальный банахов А-модуль X над уни-тальной банаховой алгеброй А. Введем пространство линейных непрерывных операторов В (А, X) из, А в X и зададим на нем структуру левого А-модуля формулой (а • R)(b) = R (ba), R Е В (А, Х), а, Ь Е А. Тогда каноническое вложение тт: X —В (А, Х): (ж)](а) = а ¦ х, х Е X, а Е, А является морфизмом левых А-модулей. При этом модуль X инъективен тогда и только тогда, когда каноническое вложение -?г имеет левый непрерывный обратный морфизм А-модулей.

Опираясь на этот критерий, рассмотрим каноническое вложение ж: l2(F2) B (A, l2(F2)), где, А = W*r (F2). В работе будет доказано, что всякий морфизм левых А-модулей Z: B (A, l2(F2)) —> l2{F2) переводит отображение я" [$е] в ноль (здесь 5е — индикатор единицы группы F2). Из этого утверждения сразу следует неинъективность левого А-модуля Z2(F2).

Какие же элементы пространства B (A, l2(F2)) переводятся в ноль любым морфизмом Z: В (A, l2(F2)) —> l2(F2)? Такими элементами, например, являются все отображения медленного роста. Неформально объясним, в чем состоит основное свойство подобных отображений. Предварительно рассмотрим произвольную функцию / 6 /2(F2). Тогда найдется сколь угодно близкая к / функция /', носитель которой сосредоточен на конечном множестве G'. При достаточно больших сдвигах Таки., Такп множества aklG., aknG' не пересекаются. Поэтому норма функции Т^) • f равна v^ll/'lb, а норма функции C" =1 TakJ) • / близка к y/n\f\.

Пусть для некоторого отображения S 6 B (A, l2(F2)) норма элемента Tabj) ¦ S при подходящем выборе чисел kj, j — 1 ,., п растет медленнее, чем у/п (такие отображения S мы и будем называть отображениями медленного роста). Рассмотрим произвольный морфизм Z: B (A, l2{F2)) /2(F2). Тогда ||QTJ=1 ТаЧ) ¦ Z{S)|| < ||Z||||(E-=1 T^-SWПрименяя вышеизложенные рассуждения к функции / = Z (S), получаем, что при п —>¦ оо левая часть неравенства растет как \Z (S)\y/n. Но мы предположили, что его правая часть растет медленнее, чем л/п. Поэтому Z (S) = 0.

В то же время отображение 7 г [£е] не является отображением медленного роста. Но при помощи некоторых алгебраических выкладок его можно выразить через такие отображения. Более точно, обозначим символом Aq множество слов свободной группы F2 с двумя образующими, а и Ъ, каноническая запись которых анЬг. заканчивается на b в ненулевой степени (в этот класс включим и единицу е? F2). Введем оператор Ра0: /2(F2) —)• Z2(F2), проектирующий пространство /2(F2) на подпространство 12(Aq). Далее, рассмотрим композицию Ра0 о 7г[<�У 6 B (A, l2(F2)) операторов тт [£е]: А -> /2(F2) и Ра0: ?2(F2) —>¦ ^2(F2). Оказывается, что если отображение Ра0 о тт[8е] является отображением медленного роста, то отображение тт [<5е] переводится любым морфизмом Z: В (А, l2(F2)) —> l2(F2) в ноль.

Таким образом, в силу определения отображения медленного роста нам осталось оценить сверху норму отображения Так5) • (Ра0 0 7г[<�У). Пусть Т — единичная окружность {z: z = 1} комплексной плоскости с естественной лебеговой мерой (длиной дуги, деленной на 2тт). Как хорошо известно [9], для случая свободной группы Fi с одной образующей (то есть группы Z) модуль Z2(Fi) изометрически изоморфен гильбертову пространству L2(Т), а алгебра фон Нойман-на, порожденная операторами {Ts, s Е Fi} — алгебре фон Нойманна L°°(T), действующей на?2(Т) поточечными умножениями. Аналогичный метод применим и для случая свободной группы с двумя образующими. В этом случае пространство /2(F2) отождествляется с некоторым подпространством гильбертова пространства всех интегрируемых с квадратом измеримых отображений из Т в гильбертово пространство 12(Ао). Отсюда вытекает оценка ||CC" =i ' [^е])|| <

JTEUzkj dz.

Данное неравенство позволяет легко доказать, что при п —У ос величина ||(?J=1 takj) • (ра0 о тт [£е])|| растет медленнее, чем л/п. Это рассуждение сводится к изучению некоторых асимптотических свойств интегралов по комплексной окружности Т.

Вкратце сформулируем другие результаты, полученные при изучении проблемы пространственной инъективности алгебр фон Нойманна. Наиболее сильный положительный результат содержится в статье [23], где рассмотрен класс так называемых гипер финитных алгебр фон Нойманна. Последние допускают множество эквивалентных определений. Вот одно из них: алгебра фон Нойманна, А называется гиперфинитной, если она представима в виде слабо-операторного замыкания объединения некоторой системы своих конечномерных самосопряженных подалгебр. Класс гиперфинитных алгебр фон Нойманна весьма широк и включает в себя, к примеру, все алгебры фон Нойманна типа I. В работе [23] доказано, что каждая алгебра из этого класса является пространственно инъективной и пространственно плоской. Основываясь на этой теореме, А. Я. Хелемский выдвинул гипотезу, что класс пространственно инъективных алгебр фон Нойманна совпадает с классом гиперфинитных алгебр фон Нойманна. В настоящее время это гипотеза не доказана и не опровергнута.

Теперь опишем проблему пространственной проективности самосопряженных операторных алгебр. Исследование этого вопроса было проведено А. Я. Хелемским в большом числе работ. В статье [26] Хелемский получил полный критерий пространственной проективности алгебр фон Нойманна. Оказалось, что алгебра фон Нойманна R пространственно проективна тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде прямой суммы факторов Rm>n типа J, для каждого из которых хотя бы одно из чисел m, п конечно (символами т, п обозначены, соответственно, размерность фактора Нт>п и его коммутанта).

Используя эти результаты, в работах [25, 26] Хелемский распространил указанный критерий на класс С*-алгебр. Чтобы сформулировать соответствующую теорему, нам потребуются некоторые предварительные понятия. В этой работе символами ® и ф будут обозначаться, соответственно, гильбертово тензорное произведение и ортогональная /2-сумма гильбертовых пространств. Символом ® будет обозначаться проективное тензорное произведение банаховых пространств. Напомним, что левый модуль Н над С*-алгеброй, А называется гильбертовым, если он является гильбертовым пространством, и для любых х, у? Н, а? А выполнено условие (а • ж, у) = {х, а* • у). Проекторы p, q? А называются эквивалентными по Мюррею-фон Нойманну, если существует такой элемент и Е А, что р = и*и и q = ии*. Проектор q? А называется элементарным, если подалгебра qAq одномерна. В этом случае можно рассмотреть левый А-модуль Hq := Aq, который является гильбертовым относительно скалярного произведения, корректно определенного формулой (aq, bq) q = qb*aq (ср. [37, гл. IV, 10]). Для любого гильбертова пространства Kq введем левый гильбертов модуль Hq Cg> Kq, действие на котором корректно задано формулой, а • (bq к) = abq (g) к, а Е A, bq Е Aq, к Е Таким образом, элемент, а? А действует на модуле Hq (g) Kq как оператор вида, а (8> 1, где a G B (Hq), 1 Е B (Kq).

Известно [25], что для любой С*-алгебры Л С В (Н) гильбертов модуль Н может быть представлен с точностью до изометрического изоморфизма гильбертовых модулей в виде прямой суммы (©-декНд (g> Kg) ф Но, где Л — максимальное множество попарно неэквивалентных по Мюррею-фон Нойманну элементарных проекторов из A, Hq :== Aq — определенные выше гильбертовы модули, Kq — система произвольных гильбертовых пространств, а гильбертов модуль Hq не содержит ни одного подмодуля, изометрически изоморфного левому модулю вида Hq ни для какого q Е Л.

При этом для любого проектора q Е, А и векторов /ii,/i2 Е Hq существует оператор h о h^ Е А, который по определению равен нулю на ортогональном дополнении к подмодулю Hq®Kqvi переводит произвольный элемент h ® к Е Hq® Kq в (/г, h, 2) h ® к. Множество операторов вида holi2, hi? Hq при фиксированном /г.2? Hq мы будем называть локальным столбцом одномерных операторов. Таким образом, алгебра, А содержит локальный столбец одномерных операторов для любого модуля Hq Kq, q Е Л. Происхождение этого термина нетрудно пояснить с помощью матриц. Именно, при подходящем выборе базисов произвольный оператор, а? А С В{Н) может быть записан г следующей матрицей:.

0 0. 0 0..

0 cli 0. ..

О ai О, а =.

О а2 0. о й2 о.

О о3 0.. О а3 О где ai, «2, «з • • • — это некоторые операторы в B (Hqi), B (Hq2), B (Hq3)., а начальный блок из нулей соответствует модулю Hq. При этом для всякого проектора q 6 Л и любого вектора (х, х2,^з,. .)т 6 Hq найдется оператор aq 6 B (Hq), принадлежащий такой матрице и имеющий вид.

В этих обозначениях алгебра, А пространственно проективна тогда и только тогда, когда для любого проектора q Е Л справедливо неравенство min{dim (ifg), dim (iT?)} < оо, а подмодуль Щ обладает тривиальным умножением и в случае неунитальной алгебры, А равен нулю..

Естественным образом возникает вопрос о справедливости подобного критерия для несамосопряженных операторных алгебр, А С В (Н). Мы будем использовать следующие определения. Каноническим представлением модуля Н мы будем называть его разложение хг 0 0 0 ж2 0 0 0. aq~ х2 0 0 0. • с точностью до изометрического изоморфизма А-модулей в виде прямой суммы гильбертовых пространств вида Н — (0р€фНр 0 Кр) ф Но, для которой выполнены следующие условия:.

1) для каждого индекса р? Ф элемент, а? А действует на А-модуле Нр 0 Кр как оператор вида, а 0 1, где, а? В{НР), 1? В (КР). Кроме того, Но — тривиальный модуль относительно действия алгебры А-.

2) для каждого индекса р? Ф существует вектор hi? Нр такой, что для любого вектора hi? Нр алгебра, А содержит оператор hi о h2..

Здесь, как и выше, символом hi о hi обозначен оператор из А, равный нулю на ортогональном дополнении к модулю Нр®Кр и переводящий произвольный элемент h 0 к? Нр 0 Кр в (h, h2) hi 0 к). Множество всех удовлетворяющих условию 2) векторов hi образует замкнутое линейное подпространство в Нр, которое мы обозначим через Вр..

Как показал С. Б. Табалдыев [38], для несамосопряженной операторной подалгебры в В (Н) условие проективности модуля Н уже не влечет существование канонического представления для этого модуля. Простейшим примером служит алгебра матриц вида над двумерным гильбертовым пространством Н = С2. Существуют и полупростые алгебры, обладающие этим свойством. Соответствующим примером является пространство Соболева, состоящее из абсолютно непрерывных функций на отрезке [а, Ь], производные которых принадлежат пространству La, b]. Оно является гильбертогЬ вым относительно скалярного произведения (/, д) = f{x)g (x) dx-{rb х~а.

I f'(x)g'{x) dx. Поточечное умножение функций превращает это.

J X—(1 пространство в банахову алгебру, которая является левым модулем над Собой..

Пусть теперь модуль Н обладает каноническим представлением. Для этого случая автором предъявлен критерий проективности модуля Н. Напомним, что тривиальный А-модуль Щ ^ 0 проективен тогда и только тогда, когда алгебра, А обладает правой единицей [25, стр. 13−15]. Поэтому в дальнейшем мы можем не включать Щ в каноническое представление..

Тогда для проективности модуля Н достаточными являются следующие условия, введенные А. Я. Хелемским [26]:.

1) для любогор Е Ф верно неравенство mm (dim (Hp), dim (Kp)) < оо-.

2) существует некоторое положительное число N такое, что для любого р Е Ф справедливо неравенство m. m (dim (Hp), dim (Kp)) < N ¦ dim (Вр)..

В работе [11] автор показал, что данные условия являются не только достаточными, но и необходимыми. Отметим, что второе условие для случая С*-алгебр выполняется всегда, поскольку dim (Hp) = dim (Bp)..

Указанный критерий получен автором из анализа предложенных А. Я. Хелемским примеров пространственно непроективных операторных алгебр, для которых не выполняется первое или второе условие. Соответствующий пример для первого условия был впервые рассмотрен в статье [26]. Это фактор типа I, где оба числа га, п (размерности фактора и его коммутанта) бесконечны. Пример для второго условия был рассмотрен в статье [28, стр. 22−24]. Это гильбертово пространство Н = (c)neNCn и несамосопряженная алгебра, А = ®nGN-<4n С В (Н), где Ап С В (Нп) — алгебры треугольных матриц (в этом случае размерность соответствующего пространства Вп не меньше единицы, а потому условие 2), очевидно, нарушается)..

Далее рассмотрим частный случай, когда С*-алгебра, А является алгеброй непрерывных функций С (О) на метризуемом компакте Г2. Известно [18], что каждый сепарабельный унитальный гильбертов А-модуль изометрически изоморфен гильбертову модулю следующего вида. Пусть заданы локально компактное пространство в, положительная регулярная борелевская мера р на этом пространстве (/i (O) = 1) и непрерывное отображение К: 0 —> О. Определим внешнее произведение элемента алгебры /? C (U) и элемента модуля д Е L2(G) как поточечное произведение функций д Е L2(Q) и K'(f) Е С (В), где К': С (П) С (&-): /(¦) н-> f (K (-)) — естественный оператор. Тогда L2((c)) является унитальным гильбертовым модулем над С (П)..

Условия проективности модуля L2(Q) могут быть получены из общих теорем о проективности гильбертова модуля над С*-алгеброй (приведенных в [25]). Тем не менее полезно независимо получить критерий проективности модуля £2(в), так как эти рассуждения непосредственно переносятся также на случай левого модуля LX (Q) над алгеброй С (Q,) с операцией поточечного умножения..

Критерий 1 Пусть Xk, k = 1,., р — все изолированные точки на компакте Q, прообразы которых K~1(xk) имеют положительную меру. Модуль L2((c)) проективен над алгеброй C (Q) тогда и только тогда, когда сумма мер этих прообразов равна мере 0..

Для С (П)-модуля LX (Q) это условие переформулируется следующим образом..

Критерий 2 Пусть Xk, k = 1,., р — все изолированные точки положительной меры на компакте О. Модуль Ll{0,) проективен над алгеброй С (О) тогда и только тогда, когда сумма мер точек к = 1,., р равна мере компакта Q,..

Принципиальное различие между модулями Х2(@) и L1(Q) возникает при попытке оценить проективную гомологическую размерность этих модулей сверху. Именно, модуль Z^fi) ведет себя «очень хорошо»: для него всегда существует проективная резольвента длины 1. Это связано с простотой проективного тензорного произведения на пространстве С (0) Cg) (в силу теоремы Гротендика существует изометрический изоморфизм 1^(0) (§> С (Г2) «где ц) — пространство измеримых абсолютно интегрируемых отображений из О в С (Г2)). Таким образом, гомологическая размерность С (Г2)-модуля Ll (?l) равна нулю, если сумма мер введенных выше точек Xk, k = 1,., р равна мере компакта О, и единице в противном случае..

В то же время проективное тензорное произведение на пространстве С (О) обладает значительно более сложной топологией. В связи с этим проективная гомологическая размерность С (О)-модуля L2(Q) пока не определена..

Основной метод оценки сверху гомологической размерности модуля Ll (Q,) состоит в построении проективной резольвенты.

О 1^(0) С (П) <�§> Ьг (0,) ker 7 Г 0, (0.1) где 7г: С (О) ® L1^) —> — каноническая проекция, ker7r — ядро этой проекции. Доказательство проективности модуля кег7г не является тривиальным. Благодаря изоморфизму Гротендика LХ (П) ® C (Q) «пространство C (f2) ® L^fi) можно отождествить с некоторым пространством CL (D, х Г2) функций на компакте Q х Г2, являющимся пополнением по норме [F{u}, oj')\ — J supw|F (o-, и>') duj' системы функций вида п = (0−2) i=i где А- — непересекающаяся система измеримых подмножеств компакта Q, XAi (u'} — система их индикаторов, fi (u) — система непрерывных функций на компакте Q. В этом случае кегтг соответствует подпространству функций из CL (Vt х О), равных нулю на диагонали компакта Q х Q..

В то же время все функции вида (0.2) лежат и в банаховом пространстве B (Q х О) всех ограниченных функций на Г2 х О, снабженном sup-нормой, и образуют в нем линейное подпространство. Обозначим замыкание этого подпространства через BC (Q, xQ) С B (Q, xQ,). Далее, рассмотрим замкнутое подпространство BCq (Q x Q) С В С (О, х fi), состоящее из функций, равных нулю на диагонали компакта О х П. Тогда корректно определен оператор поточечного умножения в: CL (О х Ct) (§>BCq{Q х fi) -" ker 7r, который является морфизмом левых С (0)-модулей..

Назовем ограниченной аппроксимативной единицей на пространстве ker 7 г такую ограниченную по норме последовательность элементов ип? BCq (Q х О), что для любого элемента и Е кег7г последовательность в (и, ип) сходится к и. Рассмотрим один из конкретных методов построения таких единиц. Через Ui/n обозначим 1/п-окрестность диагонали компакта Q х О относительно естественной метрики p^coi,^), (u2,u'2)) = sup ((p (c<-i, ^2), ^2)) — Пусть последовательность ип Е BCq (Q х Q) ограничена по норме единицей, причем каждый элемент ип равен единице за пределами окрестности Vjn. Тогда она является ограниченной аппроксимативной единицы..

При помощи ограниченных аппроксимативных единиц можно построить правый обратный морфизм к морфизму поточечного умножения в: CL (Q хЩ®BCq (Q х Q) ->• кег7г. А так как левый C (Q)-модуль CL (QxQ)0BCo (QxQ) «свободен, то его ретракт кег7Г является проективным в силу обычных свойств проективных банаховых модулей..

Перейдем к изложению содержания работы по главам..

Во первой главе работы даются основные определения и сведения, касающиеся гомологической теории банаховых алгебр: определения проективных, инъективных и плоских объектов в категории левых банаховых модулей, свободных и косвободных модулей, допустимых комплексов, проективных резольвент, определения гомологических размерностей. Помимо этого, будут сообщены некоторые сведения о гильбертовых модулях над произвольной С*-алгеброй и над конкретной С (П)-алгеброй..

Во второй главе работы построен пример пространственно неинъ-ективной алгебры фон Нойманна. В первом параграфе второй главы изучаются отображения медленного роста (см. введенные выше основные определения). Доказано, что если отображение РАо о 7 г [<5е] Е B (A, l2(F2)) является отображением медленного роста, то отображение ж [#е] переводится любым морфизмом А-модулей Z :.

Основным содержанием второго параграфа является оценка нормы отображения Е" =1 ТаЧ) -(РАо отг [£е]), имеющая вид ||Е?=1 ТаЧ) • (РАо о.

В{А, 12(?2)) ->/2(F2) в ноль..

Данное неравенство позволяет легко показать, что при п —" оо и подходящем выборе чисел kj, j = 1,., п величина ||(Х^=1 Та• (Рд0 о к [£е])|| растет медленнее, чем л/п. Это рассуждение сводится к изучению некоторых асимптотических свойств интегралов по комплексной окружности Т. Оно проведено в третьем, заключительном параграфе этой главы..

Третья глава работы посвящена исследованию проективности модуля Н над (не обязательно самосопряженной) операторной алгеброй, А С В (Н) при предположении, что этот модуль обладает каноническим представлением (определение которого приведено выше). Напомним, что критерий проективности такого модуля состоит из двух условий:.

1) для любого р Е Ф верно неравенство min (dim (ii/p), dim.(Kp)) < оо-.

2) существует некоторое положительное число N такое, что для любого индекса р? Ф верно неравенство min (dim (.Hp), dim (Kp)) < N • dim (Bp)..

Первый параграф третьей главы содержит вспомогательные технические построения, необходимые для доказательства необходимости первого условия проективности. Это доказательство приведено во втором параграфе главы, а доказательство необходимости второго условия проективности — в третьем (как уже говорилось выше, доказательство достаточности обоих условий читатель может найти в [26])..

Четвертая глава работы содержит критерии проективности модулей L2(Q) и 1^(0) над алгеброй С (О,). Рассуждения проводятся для более сложного случая модуля ?2(6) — для модуля они аналогичны. Первый параграф содержит доказательство достаточной части критерия. Во втором параграфе начинается изложение необходимой части критерия: доказывается, что если модуль L2(@) проективен, то на компакте О найдется хотя бы одна точка, прообраз которой при отображении К: В —> Q, имеет положительную меру. В третьем параграфе показано, что всякая такая точка изолирована. Четвертый параграф завершает доказательство необходимой части критерия. В том же параграфе показано, что для случая модуля L2(0) указанный критерий является простым следствием общей теоремы о проективности гильбертовых модулей над С*-алгебрами [25]..

Пятая глава работы посвящена вычислению гомологической размерности модуля В первом параграфе пятой главы вводится проективная резольвента вида (0.1), пространства CL (Q х? l), BC (Q х Q,), BCq (Q, х Q) (которые уже обсуждались выше) и морфизм поточечного умножения в: CL (Q х Q) (g) BCo (Jl х Q) —у ker7r..

Во втором параграфе пятой главы рассматриваются ограниченные аппроксимативные единицы на пространстве ker 7 Г и предлагается метод построения таких единиц..

В заключительном, третьем параграфе с помощью ограниченной аппроксимативной единицы вводится правый обратный морфизм к морфизму поточечного умножения в: CL (Q х Q) <&BCq (Q, х Q) —У ker 7 г, что позволяет получить верхнюю оценку проективной гомологической размерности для модуля ^(Q)..

Основные результаты работы содержатся в статьях [10], [11], [12]. Они неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах МГУ..

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А. Я. Хелемскому за постоянное внимание к работе и ряд ценных советов, стимулировавших получение новых результатов..

1. Гишарде А. Тензорные произведения С*-алгебр. Докл. АН СССР, 1965, т. 160, 986−989..

2. Головин Ю. О. Гомологические свойства гильбертовых модулей над гнездовыми операторными алгебрами.Мат. заметки 41:6 (1987), 769−775..

3. Головин Ю. О. Критерий пространственной проективности неразложимой CSL алгебры операторов. Успехи мат. наук 49:4 (1994), 161−162..

4. Головин Ю. О. Пространственная плоскость и инъективность неразложимых CSL-алгебр.Мат.заметки 63:1 (1998), 9−20..

5. Головин Ю. О. Свойство пространственной проективности в классе CSL-алгебр с атомным коммутантом. Фундаментальная и прикладная математика 1:1, 1995, 147−159..

6. Гринлиф Ф. Инвариантные средние на топологических группах. М.: Мир, 1973..

7. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М.: ИЛ, 1960..

8. Маклейн С. Гомология. М.: Мир, 1966..

9. Мерфи Дж. С*-алгебры и теория операторов. Изд-во «Факториал», Москва, 1997..

10. Поляков М. Е. Гомологические размерности модулей над алгеброй С{Х).Вестник Московского университета, сер.1, математика, механика, 2000, 4, стр. 52−55..

11. Поляков М. Е. Критерий пространственной проективности одного класса несамосопряженных операторных алгебр. Казань, Известия Вузов. Математика, № 7, 2001, стр. 32−42..

12. Поляков М. Е. Пример пространственно неплоской алгебры фон Нойманна. Труды 22 конференции молодых ученых механикоматематического факультета МГУ (17−22 апреля 2000 г.), Москва, 2001, стр. 134−137..

13. Хелемский А. Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии. Москва, Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989..

14. Хелемский А. Я. Гомологическая характеризация факторов типа I. Доклады РАН, 344, 4, 1995..

15. Хелемский А. Я. Гомология в банаховых и топологических алгебрах.М.: Изд-во МГУ, 1986..

16. Хелемский А. Я. О гомологической размерности нормированных модулей над банаховыми алгебрами.Матем. сб., 1970, т. 81 (123), 430−444..

17. Connes A., On the cohomology of operator algebras. J. Funct. Anal. v. 28 (1978), 248−253..

18. Douglas R. G., Paulsen V. I. Hilbert modules over function algebras. Harlow: Longman Sci. and Tech., 1989..

19. Eilenberg S., MacLane S. Group exstensions and homology. Ann. of Math., 1942, v. 43, 757−831..

20. Eilenberg S, Moore J. C. Foundation of relative homological algebra. Mem. Amer. Math. Soc., 55, v. 1965..

21. Grothendieck A. Produits tensorielles topologiques et espaces nucleariesMem. Amer. Math. Soc., 1955, № 166..

22. Helemskii A. Ya. A description of spatially projective von Neumann algebras.J. Operator Theory 32 (1994), 391−398..

23. Helemskii A. Ya. The spatial Flatness and Injectiveness of Connes Operator Algebras. Extracta Mathematicae, Vol. 9, № 1, 1994, 75−81..

24. Helemskii A. Ya. Approximately finite-dimensional C*-algebras with projective Hilbert modules, their Bratteli diagrams and Ko-groups. «Mat.Sbornik», 188:10, 1543−1560..

25. Helemskii A. Ya. Projective homological classification of C*-algebras. Communication in Algebra, 26(3), 977−996, 1998..

26. Helemskii A. Ya. 31 problems of the homology of the algebras of analysis, in Linear and complex analysis problem book 3, Part I (V. P. Havin, N. K. Nikolski, eds., Lecture Notes in Math. 1573, Springer-Verlag, Berlin, 1994), 54−78..

27. Helemskii. A.Ya. Wedderburn type theorems for operator algebras and modules: traditional and «quantied» homological approachesTopological Homology: Helemskii’s Moscow Seminar. Huntington, N. Y.: Nova Science Publisher Inc., 2000. — P. 57−92..

28. Heller A. Homological algebra in Abelian categories. Ann. of Math., 1958, v. 68, 484−525..

29. Hilbert D. Uber die Theory der Algebraischen Formen. Math. Ann., 1890, v. 36, 473−534..

30. Hochschild G. On the cohomology groups of an associative algebra. Ann. of Math., v. 46, 1945, 58−67..

31. Hochschild G. Cohomology and representations of associative algebras. Duke Math. J., 1947, 14, 921−948..

32. Hochschild G. Relative homological algebra. Trans. Amer. Math. Soc., 1956, v. 82, 246−249..

33. Johnson В. E. Perturbations of Banach algebras. Proc. London Math. Soc., v. 34, 1977, 439−458..

34. Kamowitz H. Cohomology groups of commutative Banach algebras. Trans. Amer. Math. Soc., 1962, v. 102, 352−372..

35. Raeburn ITaylor J. L. Hochschield cohomology and perturbation of Banach algebras.J. of Funct. Anal, v. 25, nr.3, 1977, 258−266..

36. Rickart С. E. General Theory of Banach algebras New York: Van Nostrand, 1960..

37. Tabaldyev S.B. The Sobolev algebra and indecomposable spatially projective algebrasTopological Homology. Helemskii’s Moscow Seminar. Huntington, N. Y.: Nova Science Publishers Inc., 2000. — P. 201−210..

38. Takesaki M. Theory of operator algebras. I. Berlin: Springer-Verlag, 1979..