Краевые задачи для уравнений с сильным вырождением в классах функций, неограниченных на характеристиках

Теория краевых задач для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными. Начало этому направлению было положено в 20-х годах прошлого столетия в работах Ф. Трикоми [48] и С. Геллерстедта [67], в которых они рассмотрели соответственно для уравнений краевые задачи, впоследствии получившие их имена.

К постановкам этих первых задач их авторы пришли из чисто теоретических соображений: они хотели заполнить пробел в данной области. Позднее Ф. И. Франклем [52] были обнаружены важные приложения задач Трикоми и родственных ей к газовой динамике. Вскоре были найдены и другие применения (см., напр., [10, 11, 38, 53, 54]): теория бесконечно малых изгибаний поверхностей, безмоментная теория оболочек с кривизной переменного знака, магнитная гидродинамика. Все это явилось причиной для возникновения широкого фронта исследований подобных задач. В нашей стране возник целый ряд научных групп, которые успешно вели работу в этом направлении. Наиболее существенное влияние на эту работу оказали результаты А. М. Лаврентьева, А. В. Бицадзе, К. И. Бабенко, Л. В. Овсянникова. В дальнейшем эти задачи изучались многими авторами, как в нашей стране, так и за рубежом. Достаточно полный обзор проводившихся исследований и библиография содержатся в монографиях А. В. Бицадзе [7, 9], Т. Д. Джураева [17], Ю. М. Крикунова [34], М. М. Смирнова [45], а также в статье А. В. Бицадзе.

В зависимости от того, является ли линия изменения типа огибающей характеристик, или нет, уравнения смешанного типа подразделяются на уравнения второго и первого родов соответственно. Мы, по аналогии с у и +и = 0,.

J хх уу ' ут ии + и = 0, т = 2п +1, п е N,.

0.1) (0.2).

8]. работой С. М. Никольского и П. И. Лизоркина [39], будем также различать уравнения со слабым и с сильным вырождением. К первой группе отнесем те уравнения, для которых оказывается корректно поставленной классическая или весовая задача Коши с данными на особой линии. В противном случае уравнение отнесем ко второй группе.

В указанных выше монографиях, а также в книгах Е. И. Моисеева [37], М. М. Смирнова [46] и Ф. Трикоми [48, 49] подробно изложены методы исследования основных краевых задач, главным образом для уравнений со слабым вырождением. Из всех названных книг уравнениям с сильным вырождением посвящена только одна глава [34].

Такое положение, по-видимому, явилось следствием недостаточной изученности уравнений эллиптического и гиперболического типов особенно при их сильном вырождении. В частности, при постановке и исследовании задачи Трикоми для уравнений со слабым вырождением существенно используется решение задачи Коши, в то время как для уравнений с сильным вырождением она некорректна. А других задач, заменяющих ее, не было. Таким образом, возникли трудности даже с постановкой задачи Трикоми. Поэтому для уравнений с сильным вырождением в первую очередь начали рассматривать задачи, в которых на особой линии задается только условие непрерывности искомой функции, и это, как правило, позволяло в отличие от задачи Трикоми последовательно строить искомую функцию сначала в одной из подобластей, а затем в другой.

К этой серии можно отнести работу И. Л. Кароля [28], который, исследуя краевые задачи для уравнения второго рода ихх+уиуу+аиу=0, (0.3) предложил в случае сильного вырождения для уравнения (0.3), то есть при, а < 0, рассмотреть задачу М с данными на всей границе (на эллиптической дуге и на обеих характеристиках).

Впервые задачу Трикоми для уравнения (0.3) при, а = -п + а0, а0 рассмотрел С. С. Исамухамедов [23, 24, 25, 26]. Контур предполагался нормальным. На линии вырождения, кроме условия непрерывности решения, задавалось также условие склеивания v+(x) = (-l)V (х), (0.4) где v+(x)=limy" [uy+B+a (u)], v (x) = Пт (-у)а[и-В~а (х, у, т)]у, (0.5) у-*О- 7 т (х) = и (х, 0). (0.6).

Здесь В+а (и) — дифференциальный оператор, В~(х, у, т) — решение уравнения (0.3), удовлетворяющее условиям В~(х, 0, т) = т (х),.

1Ы-уГ~В-а (х, у, т) = 0. ду.

Решение задачи, как и в работе [27], искалось в некотором обобщенном классе, в котором для т (х) из равенства (0.6) имеет место представление г т (х)= T{a){x-a)x-2ttda, (0.7) о a v+ (х), v (х) и Т (х) — непрерывны и интегрируемы в (ОД).

В совместных работах М. С. Салахитдинова и С. С. Исамухамедова [42, 43] эта задача обобщена на случай разрывных условий склеивания г^(х) = а (х)т (х) + г (х), v+(x) = /1(x)v (x) + S (x).

Отметим, что во всех этих работах задачи исследовались методом интегральных уравнений и при выводе соотношений и интегрального уравнения существенно использовались представление (0.7) и свойства функций v (х), у (х) и Т (х).

Уравнению (0.3) при, а = -п+~ посвящен цикл работ Ю. М. Крикунова.

В статье [31] рассмотрена задача Трикоми в случае, когда эллиптическая подобласть совпадает со всей верхней полуплоскостью. Условия склеивания определялись аналогично предыдущим авторам. Предполагалось, что функции v+(x), v (x) и г<2″ +1,(х) — непрерывны и интегрируемы в (ОД). Было обнаружено, что задача Трикоми с заданием на эллиптической дуге Г значений самого решения для уравнения (0.3), вообще говоря, некорректна, так как для существования ее решения приходится накладывать 2п условий интегрального характера на заданные функции.

В последующих работах предложено для получения корректных задач на Г задавать значения не самого решения, а его некоторой производной, а дпи именно в [32] и в [33]. В последней работе на контур накладывались ограничения, аналогичные [65], и задача решалась с использованием комформного отображения.

Следующим этапом в изучении задачи Трикоми стал цикл работ Р. С. Хайруллина [57−64], в которых дается решение задачи Трикоми для уравнения (0.3) при, а < для ряда областей. Отличительной особенностью от предыдущих работ является расширение класса искомых функций, что достигается за счет ослабления условий на вспомогательные функции v (x), v (x) и т (х), причем у функций v (x), v (x) допускаются неинтегрируемые особенности. Качественно новым является и метод решения задачи. Для вывода основного соотношения из эллиптической подобласти используется решение задачи Дирихле. В результате получается интегро-дифференциальная зависимость v (х) от т (х). В гиперболической подобласти используется решение задачи типа Коши. И второе основное соотношение принимает вид интегро-дифференциальной зависимости v{x) от т (х). На основе полученных соотношений с учетом условия склеивания.

0.4) задача Трикоми редуцируется к эквивалентной двуточечной задаче для интегро-дифференциального уравнения относительно т (х) и доказывается однозначная разрешимость последней задачи.

В работе Р. С. Хайруллина [55] исследована задача Трикоми для уравнения sgnyun+u + =0, (0.8).

У У при нецелых 2р<. Уравнение (0.8) в каждой из подобластей совпадает с уравнением Эйлера-Пуассона-Дарбу. При v < 0 оно в характеристических координатах принимает вид.

Автором доказана единственная разрешимость задачи Трикоми, причем, в случае а> 0, /3<0 возникли п +1 или п+2 условия разрешимости в зависимости от значения некоторого параметра с.

Отметим, что уравнение (0.8) при q = 0 приводится к уравнению (0.3).

Наряду с уравнениями смешанного типа рассматривались краевые задачи для уравнений, тип которых не меняется при переходе через особую линию. Для уравнений гиперболического типа одной из основных задач является задача Л2 (по терминологии В. Ф. Волкодавова [14]), в которой уравнение исследуется в характеристическом четырехугольнике, а линия вырождения совпадает с одной из диагоналей. Значения искомого решения задаются на одном из непересекающихся катетов каждого треугольника. На линии вырождения, как и в задаче Трикоми, определяются некоторые условия склеивания. Основные методы исследования подобных задач изложены в книге В. Ф. Волкодавова и Н. Я. Николаева [14], в которой также имеется развернутая библиография по этому вопросу.

Впервые задача Л2 была рассмотрена для уравнения ua-uv-%Luy=0, 0.

У 2 q — кусочно-постоянный параметр, в работе А. А. Андреева и В. Ф. Волкодавова [5]..

Позднее задача Д2 была рассмотрена и для других уравнений. Например, в [36] для.

-«» =0, т> 0, (0.11) в [35] для.

-" «,+^=0» Н-1' (°-12) в [12,29] для.

2−2 q 2q.. 1 и"-иуу±и*—и,=°> °0, в [51] для уравнения uxx-ymuyy+aux+buy+cu = 0, 0<т<. (0−13).

Большое число работ посвящено исследованию задачи Д2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (0.9), к которому заменой переменных сводятся многие вырождающиеся модельные уравнения гиперболического типа, в частности, уравнения (0.10) — (0.12), (0.13) при a = b = c = 0. В [13, 38, 39,40] рассмотрена задача А, для (0.9)..

Во всех работах на параметры, а и /5 накладываются условия, которые можно объединить так: |а|+|/?|<1. Только в работе [6] исследуется случай -2</?<-1. Таким образом, не было исследований задачи Д2 для гиперболических уравнений с сильным вырождением. Этот недостаток был частично восполнен в работе Р. С. Хайруллина [56], в которой построено единственное решение задачи Д2 для уравнения (0.9) при, а =/3 (-<а + п<0, а + пФ—^) и -<а + и<0, /3 = -к, где п, к — целые неотрицательные числа. Здесь при осф р возникли к — п условий разрешимости..

Из приведенного обзора видно, что в рассмотренных задачах Трикоми, А 2 для Эйлера-Пуассона-Дарбу с неравными параметрами в ряде случаев не удается получить безусловную разрешимость. Естественной является цопытка снять эти условия разрешимости по аналогии с работами Р. С. Хайруллина [57−64], то есть за счет дальнейшего ослабления на функции т (х), v (х), у+(х). Однако это приводит к появлению особенностей у решения..

Особенностью данной работы является исследование задач Трикоми, Д2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в классах неограниченных функций. Это с одной стороны позволяет снять условия разрешимости, а с другой стороны, делает невозможным непосредственное использование результатов предыдущих авторов. Возникает необходимость пересмотра всех выкладок с учетом классов рассматриваемых функций..

Целью диссертационной работы является исследование краевых задач для уравнений с сильным выражением в классе функций, неограниченных на характеристике. Дается безусловное решение задач Трикоми для уравнения (0.8) и А2 для уравнения (0.9)..

Диссертация состоит из введения и двух глав, включает 88 страниц текста и список использованной литературы..

1. Аглямзянова Г. Н. Задача Трикоми в классе функций неограниченных на характеристике: материалы 54-й респуб. науч. конф. Сб. науч. тр. аспирантов / Г. Н. Аглямзянова. — Казань: Каз. гос. архитектурно-строительная академия, 2002. — 192 с..

2. Аглямзянова Г. Н. Задача Трикоми в классе функций неограниченных на характеристике / Г. Н. Аглямзянова, Р. С. Хайруллин // Изв. вузов. Математика. 2004. — № 4. — С. 3 — 7..

3. Андреев А. А. О двух краевых задачах для одного гиперболического уравнения / А. А. Андреев, В. Ф. Волкодавов // Волжский математический сборник. Куйбышев, 1973. — Вып. 23. — С. 102 — 112..

4. Андриянова Н. А. Задача Гурса со специальными условиями сопряжения для уравнения Эйлера-Дарбу / Н. А. Андриянова // Дифференциальные уравнения с частными производными. Куйбышев, 1983.-С. 131−139..

5. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа / А. В. Бицадзе. М.: Изд-во АН СССР, 1959. — 165 с..

6. Бицадзе А. В. О современном состоянии теории уравнений смешанного типа / А. В. Бицадзе // Beitr. Anal. 1976. — № 8. — С. 59 — 65..

7. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А. В. Бицадзе. М.: Наука, 1981. — 450 с..

8. Бицадзе А. В. Уравнения в частных производных / А. В. Бицадзе, В. С. Виноградов, А. А. Дезин, В. А. Ильин. Труды / Математический ин-т АН СССР. — М, 1987. — Т. 176. — 506 с..

9. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции / И. Н. Векуа. 2-е. изд. — М.: Наука, 1988. — 512 с..

10. Волкодавов В. Ф. Задача для одного гиперболического уравнения с сингулярными коэффициентами / В. Ф. Волкодавов, Н. О. Кокина // Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький, 1983. — С. 76 — 82..

11. Волкодавов В. Ф. О существовании и единственности решения задачи Л2 (aJJ) / В. Ф. Волкодавов, И. В. Мещерин — Куйбышев, гос. пед. инт. Куйбышев, 1983. — 7 с. — Деп. в ВИНИТИ 03.12.83, № 6651..

12. Волкодавов В. Ф. Краевые задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу: учеб. пособие / В. Ф. Волкодавов, Н. Я. Николаев. Куйбышев: Куйбышев, гос. пед. ин-т., 1984. — 80 с..

13. Гахов Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. 3-е изд. — М.: Наука, 1977.-640 с..

14. Джаиани Г. В. Уравнение ЭйлераПуассонаДарбу: учеб пособие для вузов / Г. В. Джаиани. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1984. — 80 с..

15. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типа / Т. Д. Джураев. Ташкент: Фан, 1979. — 237 с..

16. Зайнуллина Г. Н. Задача Д2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в классе функций, неограниченных на характеристике / Г. Н. Зайнуллина // Изв. вузов. Математика. 2003. — № 3. — С. 15 — 19..

17. Зайнуллина Г. Н. Задача Д2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с сильным вырождением: материалы 53-й респуб. науч. конф. Сб. науч. тр. аспирантов / Г. Н. Зайнуллина. Казань: Каз. гос. архитектурно-строительная академия, 2001. — 192 с..

18. Зайнуллина Г. Н. К задаче Л2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу: труды двенадцатой межвузовской конф. «Математическое моделирование и краевые задачи» / Г. Н. Зайнуллина. Самара: Самарский гос. техн. ун-т., 2002. — 141 с..

19. Зайнуллина Г. Н. К задаче Д2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу: труды одиннадцатой межвузовской конф. «Математическое моделирование и краевые задачи» / Г. Н. Зайнуллина. Самара: Самарский гос. техн. ун-т., 2001. — 142 с..

20. Исамухамедов С. С. Краевая задача Трикоми для уравнения LT смешанного типа второго рода / С. С. Исамухамедов // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук. 1970. — № 4. — С. 9 — 12..

21. Исамухамедов С. С. О свойствах функции Грина задачи Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода / С. С. Исамухамедов // Краевые задачи для дифференциальных уравнений. Ташкент, 1971. — № 6. -С. 68−73..

22. Исамухамедов С. С. Видоизмененная задача Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода / С. С. Исамухамедов // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук. 1974. — № 4. — С. 13 — 17..

23. Исамухамедов С. С. О краевой задаче типа Трикоми для одного уравнения смешанного типа второго рода / С. С. Исамухамедов // Краевые задачи для дифференциальных уравнений. Ташкент, 1975. — № 5. — С. 28 -37..

24. Кароль И. Л. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа / И. Л. Кароль // ДАН СССР. 1953. — Т. 88.-№ 2.-С. 197−200..

25. Кароль И. JI. К теории уравнений смешанного типа / И. JI. Кароль // ДАН СССР.- 1953.-Т. 88. -№ 3.~ С. 397 -400..

26. Кириленко С. В. О единственности решения двух задач с нелокальными краевыми условиями для уравнения Эйлера-Дарбу с параметрами разных знаков / С. В. Кириленко // Дифференциальные уравнения (математическая физика). Куйбышев, 1980. — С. 54 — 63..

27. Коган М. Н. О магнитогидродинамических течениях смешанного типа / М. Н. Коган // Прикладная математика и механика. М., 1961. — Т. 21. -№ 1. — С. 132−137..

28. Крикунов Ю. М. Видоизмененная задача Трикоми для уравненияихх +уиуу+(-п+~)иу =0 / Ю. М. Крикунов // Изв. вузов. Математика. 1979. -№ 9.-С. 21 -28..

29. Крикунов Ю. М. Одна краевая задача для уравнения ихх + уиуу + (-и + ^)иу =0 / Ю. М. Крикунов // Изв. вузов. Математика. 1979.10.-С. 57−63..

30. Крикунов Ю. М. Аналог задачи Трикоми для уравненияихх+уиуу+(-п+~)иу =0 / Ю. М. Крикунов // Изв. вузов. Математика. 1982. -№ 1.-С. 26−32..

31. Крикунов Ю. М. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа: учеб. пособие для вузов / Ю. М. Крикунов. Казань: Изд-во Казан, гос. ун-та, 1986. — 150 с..

32. Кумыкова С. К. Краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения в характеристическом двуугольнике / С. К. Кумыкова // Дифференциальные уравнения. 1979. — Т. 15. — № 1. — С. 79 -91..

33. Кумыкова С. К. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области / С. К. Кумыкова, Ф. Б. Нахушев // Дифференциальные уравнения. 1978. — Т. 14. — № 1. — С. 50 — 65..

34. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е. И. Моисеев. М.: Изд-во МГУ, 1988. — 150 с..

35. Наместникова И. А. Задача Д2 для уравнения Эйлера-Дарбу с разрывным условием сопряжения производной по нормали к линии вырождения уравнения / И. А. Наместникова // Дифференциальные уравнения и математическая физика. Куйбышев, 1985. — С. 94 — 98..

36. Никольский С. М. О некоторых неравенствах для функций из весовых классов и краевых задачах с сильным вырождением на границе / С. М. Никольский, П. И. Лизоркин // ДАН СССР. 1964. — Т. 159. — № 3. — С. 512−515..

37. Никольская JI. Н. Задача Гурса (А,) для уравнения Эйлера-Дарбу с кусочно-постоянными параметрами в рассматриваемых областях / Л. Н. Никольская — Куйбышев, политехи, ин-т. Куйбышев, 1982. — 72 с. — Деп. в ВИНИТИ 05.04.82, № 1556..

38. Прудников А. П. Интегралы и ряды / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. М.: Наука, 1981. — 800 с..

39. Салахитдинов М. С. Краевые задачи для уравнения смешанного типа второго рода / М. С. Салахитдинов, С. С. Исамухамедов // Сердика Бълг. мат. списание. 1977 (1978). — Т. 3. — № 3. — С. 181 — 188..

40. Самко С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. -Минск: Наука и техника, 1987. 690 с..

41. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа / М. М. Смирнов. М.: Наука, 1970.-296 с..

42. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа: учеб. пособие для вузов / М. М. Смирнов. М.: Высшая школа, 1985. — 305 с..

43. Справочник по специальным функциям / пер. с англ. под ред. М. Абрамовича, И. Стиган. -М.: Наука, 1979. 830 с..

44. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа / Ф. Трикоми — пер. с итал. М. — JI.: Гостехиздат, 1947. — 192 с..

45. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных / Ф. Трикоми — пер. с итал. М.: Изд-во иностран. литер., 1957. — 445 с..

46. Федоров Ю. И. Решение задачи Л2 для одного уравнения гиперболического типа / Ю. И. Федоров // Дифференциальные уравнения. -Рязань, 1978. Вып. 12. — С. 127 — 135..

47. Финаенов А. П. Доказательство существования и единственности решения Л2 для общего уравнения гиперболического типа с оператором Кароля / А. П. Финаенов // Дифференциальные уравнения и математическая физика. Куйбышев, 1985. — С. 110 — 114..

48. Франкль Ф. И. О задачах С. А. Чаплыгина для смешанных дои сверхзвуковых течений / Ф. И. Франкль // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1945. -№ 9.-С. 213−231..

49. Франкль Ф. И. О боковом водозаборе из быстрых мелких рек / Ф. И. Франкль // Труды Кирг. гос. ун-та. 1953. — Вып. 2. — С. 33 — 45..

50. Франкль Ф. И. Обобщение задачи Трикоми и его применение к решению прямой задачи теории сопла Лаваля / Ф. И. Франкль // Математический сборник. 1961. — Т. 54. — № 2. — С. 225 — 236..

51. Хайруллин Р. С. Задача Трикоми для дифференциальных уравнений с сильным вырождением на линии изменения типа: дис.. д-ра физ.-мат. наук / Р. С. Хайруллин — Казан, гос. ун-т. Казань, 1994. — 289 л..

52. Хайруллин Р. С. Краевые задачи для модельных дифференциальных уравнений с сильным вырождением внутри области: дис.. канд. физ.-мат. наук / Р. С. Хайруллин — Казан, гос. ун-т. Казань, 1986. — 144 л..

53. Хайруллин Р. С. О задаче Трикоми для уравнения второго рода / Р. С. Хайруллин — Казан, гос. ун-т. Казань, 1986. — 15 с. — Деп. в ВИНИТИ 8.04.86, № 2481..

54. Хайруллин Р. С. К теории уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу / Р. С. Хайруллин // Изв. вузов. Математика. 1993. — № 11. — С. 69 — 76..

55. Хайруллин Р. С. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода в случае неограниченной области / Р. С. Хайруллин // Дифференциальные уравнения. 1994. — Т. 30. — № 11. — С. 654 — 661..

56. Хайруллин Р. С. К задаче Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода / Р. С. Хайруллин // Сибирский математический журнал. 1994. -Т. 35.-№ 4.-С. 927−936..

57. Хайруллин Р. С. Задача типа Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу / Р. С. Хайруллин // Изв. вузов. Математика. 1996. — № 1. -С. 81−84..

58. Хайруллин Р. С. Задача Трикоми для одного уравнения с сингулярными коэффициентами / Р. С. Хайруллин // Изв. вузов. Математика. 1996. -№ 3. С. 75 -84..

59. Хайруллин Р. С. О задаче Трикоми для уравнения второго рода в случае произвольной области / Р. С. Хайруллин // Дифференциальные уравнения. 1995. — Т. 31. — № 5. — С. 894 — 895..

60. Хе Кан Чер. О задаче Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа / Кан Чер Хе // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1976.-Вып. 26.-С. 134−141..

61. Чибрикова JL И. Об интегральных уравнениях с обобщенными логарифмическими и степенными ядрами. ||| / JI И. Чибрикова, Н. Б. Плещинский // Изв. вузов. Математика. 1978. — № 6. — С. 127 — 146..

62. Gellerstedt S. Qualques problemes mixtes pour 1'equation y" 'zxx + zyy = 0S. Gellerstedt I I Arkiv for Mathematik, Astronomi och Fysik. 1937/ 38. — Bd 26 A.-No 3.-P. 1−32..