Краевые задачи для вырождающихся дифференциальных уравнений гиперболического типа с интегральными условиями

Теория краевых задач для вырождающихся уравнений гиперболического типа занимает важное место в системе знаний о дифференциальных уравнениях с частными производными. Первые фундаментальные результаты в этой области были получены Ф. Трикоми [77]. В последствии для гиперболических уравнений, вырождающихся на границе области, были поставлены и исследованы различные краевые задачи [70, 71, 74, 47, 18, 35 и др.]. Этот класс уравнений имеет широкое применение в газовой и гидродинамике, теории оболочек, в различных разделах механики сплошных сред, акустике и многих других областях науки и техники.

Успехи современного естествознания потребовали дальнейшего развития теории дифференциальных уравнений в частных производных. В процессе изучения различных физических проблем постоянно возникают качественно новые задачи, на важность изучения которых указывает, например, А. А. Самарский [68]. Так, последние двадцать лет интерес многих математиков вызывают задачи, названные нелокальными.

К нелокальным задачам можно отнести задачи типа Франкля [879]. Эти задачи для уравнений смешанного типа изучали Ф. И. Франкль, А. В. Бицадзе, Ю. В. Девингталь, А. П. Солдатов, К. Б. Сабитов [79, 7, 34, 73, 67]. Так, К. Б. Сабитовым [67] получено решение задачи Франкля для уравнения Чаплыгина, для которого в 1956 году и была поставлена задача Франкля, а также найдены собственные значения и соответствующие собственные функции спектральной задачи Франкля для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

Исследованию еще одного класса нелокальных задач, а именно задач со смещением, посвящены работы В. И. Жегалова [37] и А.М.Наху-шева [55]. Задачи со смещением являются важным классом нелокальных задач и впоследствии исследовались для уравнений различных типов, что нашло отражение в многочисленных, работах [1, 2, 5, 13, 51, 66 и др.].

В работе А. В. Бицадзе и А. А. Самарского [9] впервые была рассмотрена нелокальная краевая задача, являющаяся обобщением задачи Дирихле, что обусловило появление работ, в которых исследовались нелокальные задачи, представляющие собой непосредственное обобщение известных классических краевых задач [5, 6]. В частности, задача со смещением, о которой уже упомяналось выше, является существенным обобщением задачи Трикоми. В одной из последних своих работ А. М. Нахушев приводит определения локальной и нелокальной задач и классификацию известных на сегодняшний день нелокальных задач [56].

Среди нелокальных задач большой интерес представляют задачи с интегральными условиями. Возникновение интегральных условий объясняется тем, что на практике часто бывает возможным измерение лишь некоторых усредненных (интегральных) характеристик искомой величины. Так, A.A.Самарский [68] приводит постановку задачи с интегральным условием для уравнения теплопроводности как пример одной из задач, возникающей при изучении физики плазмы. Впоследствии Л. С. Пулькина [65] получила явный вид решения этой задачи.

Отметим, что в настоящее время известны примеры практического применения результатов исследования краевых задач с интегральными условиями для параболических и гиперболических уравнений (задача влагопереноса, задачи математической биологии [56]).

За последние три года появились работы, посвященные исследованию краевых задач с локальными и интегральными условиями и для пространственных задач [20].

Задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа изучались В. Ф. Волкодавовым, З. А. Нахушевой, Л.С.Пульки-ной, Н. Д. Голубевой, Л. А. Игнаткиной [14−16, 57−58, 63−65, 23, 41] и др. Так, Л. С. Пулькиной [63] была рассмотрена задача, состоящая в нахождении решения уравнения Эйлера-Дарбу.

J7 { — 0 а.

-^а.а (^) =: tLxv^х ^v == 0) х-у X-у у удовлетворяющего интегральным условиям.

J (x, y) dy = <�р (х), — ??u{x, y) dx = ф (у) и непрерывным условиям сопряжения на линии у = х как по функции, так и по нормальной производной. Н. Д. Голубева в своей кандидатской диссертации [23] для того же уравнения исследовала задачу с весовыми интегральными условиями. Л. А. Игнаткина [40] обосновала существование и единственность решения серии краевых задач для уравнения,.

Еал (и) = ?(х, у), где <*>0,/?>0,а + /3<1, в которых по крайней мере одно условие является интегральным.

Целью данной работы является постановка новых задач с интегральными условиями и доказательство теорем о существовании и единственности классического решения этих задач для уравнений гиперболического типа второго порядка с одной и двумя линиями вырождения, находящимися как внутри, так и на границе рассматри-ванмых областей.

Задачи, рассматриваемые в настоящей диссертации, составляют две категории. Одна из них рассмотрена в первой главе, являющейся основной, где дается доказательство существования и единственности решения краевых задач с интегральными условиями и с условиями сопряжения на нехарактеристической линии вырождения уравнения, находящейся внутри обрасти. Ко второй категории задач односятся задачи с интегральными условиями для уравнений, вырождающихся на границе области.

В тех случаях, когда уравнения вырождаются на границе области, решения поставленных задач получены в явном виде. Единственность этих решений следует из однозначного характера их построения.

Когда решение в явном виде получить не удается, единственность решения доказывается на основании принципа локального экстремума, доказанного в данной работе. При доказательстве существования решения исследуемые задачи сводились к интегральным уравнениям.

Итак, в первой главе данной диссертации для уравнения х2 — у2) иху — 2руих + 2рхиу = 0 (1) на множестве = и где.

0+ = {(я, 2/)|0 <�х<�у<�Н}, С = {(®-, у)|0 < у < х < к} рассмотрены краевые задачи, в которых по крайней мере одно из условий является интегральным.

Л.А.Игнаткина рассматривала уравнение с непрерывными параметрами на множестве 6?. В настоящей же работе уравнение (1) имеет параметр р кусочно-постоянный по областям, а именно 9. в. 0<(1< ½, 0 < г < ½.

I Г, В Сг.

В отличии от задач, изучавшихся Н. Д. Голубевой, задачи первой главы имеют только одно условие сопряжения. Кроме того иначе доказана единственность решений задач. Н. Д. Голубева при доказательстве единственности пользуется методом априорных оценок. В настоящей работе при доказательстве единственности используется принцип локального экстремума.

Итак, в первой главе доказаны принципы локального экстремума для уравнения (1) в областях и С?-, которые используются при доказательстве единственности решений всех поставленных в главе задач. Доказано существование решений этих задач.

В этой главе на примере одной из задач доказана непрерывная зависимость решения от граничных условий.

Во второй главе показано, что задачи с интегральными условиями для вырождающихся уравнений гиперболического типа могут быть поставлены и решены в областях, где рассматриваемые уравнения вырождаются на части границы/Таким образом, в постановках таких задач отсутствуют условия сопряжения. Для уравнения, а. ,.

Щ-, у Н—-—Щ — 0, 12) у — х где — | < а < которое изучал В. Ф. Волкодавов [12], сформулированы новые краевых задачи с локальными и интегральными условиями в области Сг+. Решения всех поставленных задач получены в явном виде. Доказана единственность этих решений. В этой же главе в области.

Р = {(х, у)-у<�х<�у, 0 <�у<�Ь}, к> О рассматривается уравнение.

2т>11, ч и*у ~ 2 2й* = 0, 0 < р < 1. (3) х у.

Это уравнение вырождается на двух нехарактеристических линиях, являющихся границей области Р. Для уравнения (3) в области Р сформулированы новые краевые задачи. Такие задачи, а именно задачи без условий сопряжения для уравнения, вырождающегося на двух линиях области, рассматриваются впервые. Решения всех задач получены в явном виде. Доказана единственность этих решений.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Уточнение класса начальных данных в задаче Коши для уравнения (1).

2. Доказательство принципа локального экстремума для уравнения (!)•.

3. Доказательство существования и единственности решений краевых задач для уравнения (1) на множестве <3.

4. Постановка новых краевых задач с интегральными условиями для уравнения (2) в области и для уравнения (3) в области Р. Доказательство существования и единственности решений этих задач. Построение решений в явном виде.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21, 81 — 85]. Работы [21], [85] выполнены в соавторстве с научным руководителем В. Ф. Волкодавовым, которому принадлежат постановки задач.

Результаты диссертации докладывались на семинарах 1997;1999г.г.:

— в Самарской государственной архитектурно-строительной академии (Самара, 1997 г., научные руководители профессор В. Ф. Волкодавов, профессор Н.Я.Николаев),.

— в Стерлитамакском государственном педагогическом институте (Стерлитамак, 1998 г., научный руководитель профессор К.Б.Сабитов),.

— в Самарском государственном педагогическом университете (Самара, 1998 г., научный руководитель профессор В.Ф.Волкодавов),.

— в Казанском государственном университете (Казань, 1998 г., научный руководитель профессор В.И.Жегалов),.

— в Самарском государственном университете (Самара, 1999 г., научный руководитель профессор О.П.Филатов), а также.

— на ежегодной научно-технической конференции сотрудников СамГАСА по итогам НИР за 1997 г.(Самара, 1998 г.), и> и 4 и Г" .

— на международной научной конференции, посвященной юбилею академика-Ильина В.А., «Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы» (Стерлитамак, 1998 г.).

1. Андреев A.A. Нелокальные краевые задачи для одной модельной вырождающейся системы гиперболического типа // Межвузовский сборник научных трудов «Краевые задачи для уравнений математической физики» .- Куйбышев, 1990. С. 3−6.

2. Базаров Д. Нелокальные краевые задачи для эллиптикопараболического уравнения // Дифференциальные уравнения.- 1990. Т. 26. N 6. С. 998−1007.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции ЛежандраМ.: Наука, 1965.

4. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

5. Бицадзе A.B. К теории нелокальных задач // Докл. АН СССР.1984. Т. 277 N 1. С. 17−19.

6. Бицадзе A.B. Об одном классе условно разрешимых нелокальных краевых задач для гармонических функций // Докл. АН СССР.1985. Т. 280 N 3. С. 521−524.

7. Бицадзе A.B. Об одной задаче Франкля// Докл. АН СССР. 1956. — Т.109, N 6. С.1091−1094.

8. Бицадзе A.B. О единственности решения задачи Франкля для уравнения Чаплыгина // Докл. АН СССР.- 1957. Т. 112 N 3. С. 375−376.

9. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР.- 1969. Т. 185 N 4. С. 739−740.

10. Владимиров B.C. Уравнения математической физики М.: Наука, 1984.

11. Верлань А. Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие Киев: Наукова Думка, 1986.

12. Волкодавов В. Ф. Принцип локального экстремума и его применения к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными // Докт. диссертация. Куйбышевский государственный педагогический институт им. В. В. Куйбышева. Куйбышев, 1968.

13. Волкодавов В. Ф., Мельникова А. И. Задача с нелокальными краевыми условиями для вырождающегося гиперболического уравнения // Межвузовский сборник научных трудов «Дифференциальные уравнения (Математическая физика)» .- Куйбышев, 1981. Т. 248 С. 24−31.

14. Волкодавов В. Ф., Бушков C.B. Задачи с интегральными и локальными условиями для уравнения гиперболического типа в треугольной области // Seventh International Scientific Kravchuch Conference. 14−16 May 1998 Kyiv. Conference Materials. Kyiv, 1998. C.93.

15. Волкодавов В. Ф., Жуков B.E. Две задачи для уравнения колебания струны с интегральными условиями и специальными условиями на характеристике // Дифференциальные уравнения. -1998. Т. 34. N 4. С. 503−507.

16. Волкодавов В. Ф., Жуков В. Е. Об одном обращении уравнения Абеля с бесконечным верхним пределом и его применение // Тезисы докладов международной конференции СГПУ. Самара.: Самарский государственный педагогический университет, 1995.

17. Волкодавов В. Ф., Николаев Н. Я. Краевые задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Куйбышев: Издательство Куйбышевского гос.пед.ин-та, 1984.

18. Волкодавов В. Ф., Николаев Н. Я. Интегральные уравнения Воль-терра первого рода с некоторыми специальными функциями вядрах и их приложения. тет", 1992. Самара: Изд-во «Самарский универси.

19. Гахов Ф. Д. Краевые задачи М.: Наука, 1963.

20. Голубева Н. Д. Нелокальные задачи с интегальными условиями для уавнений в частных поизводных // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Самара, 1995. (СГУ. Мех.-мат. факультет).

21. Голубева Н. Д. О разрешимости одной неклассической задачи для вырождающегося гиперболического уравнения // Тезисы докладов III Международной конференции женщин-математиков. 29 мая 2 июня. — Воронеж, 1995. С. 15.

22. Голубева Н. Д. Задача с нелокальными условиями для вырождающегося гиперболического уравнения // Тезисы докладов Международного семинара «Дифференциальные уравнения и их приложения». 27−30 июня. Самара, 1995. С. 43.

23. Голубева Н. Д. О разрешимости одной нелокальной задачи для вырождающегося гиперболического уравнения // Тезисы докладов IV Международной конференции имени академика Кравчука. Киев, 1995. С. 75.

24. Голубева Н. Д., Пулькина JI.C. Задача с нелокальными условиями для гиперболического уравнения // Деп. ВИНИТИ от 20.01.95. -. N 187-В95. 14с.

25. Гордеев A.M. Некоторые краевые задачи для обобщенного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Волжский математический сборник. 1968. Вып. 6.

26. Гущин А. К., Михайлов В. П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка // Математический сборник. 1994. Т. 185. N 1.С.121−160.

27. Гущин А. К., Михайлов В. П. О некоторых нелокальных задачах для эллиптического уравнения // Тезисы докладов Международного семинара «Дифференциальные уравнения и их приложения». 27−30 июня. Самара, 1995. С. 46.

28. Девингталь Ю.В.ТГ вопросу о существовании и единственности решения задачи Франкля // Успехи матем.наук. 1959. Т. 14. N 1(85). С. 177−182.

29. Ежов A.M. Об одной гиперболической задаче для вырождающегося уравнения // Тезисы докладов Международной научной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения профессора С. П. Пулькина. 27−30 мая. Самара, 1997. С.25−26.

30. Жегалов В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии // Ученые записки Казанского университета. 1962. Т. 122. N 3. С. 3−16.

31. Жегалов В. И. К задачам со смещениями для уравнения смешанного типа // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Казанский университет, 1980. Вып. 17. С. 63−73.

32. Жестков С. В. О задаче Гурса с интегральными краевыми условиями // Украинский математический журнал. 1990. Т. 42. N 1. С. 132−135.

33. Зайнулабидов М. М. О задаче с нелокальными краевыми условиями, когда линии изменения типа смешанной области перпендикулярны II Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. N 5. С. 832−837.

34. Игнаткина Л. А. Краевые задачи для некоторых дифференциальных уравнений гиперболического типа с непрерывными и сингулярными коэффициентами // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Самара, 1997. (СГПУ).

35. Игнаткина Л. А. Две задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа с непрерывными коэффициентами II Тезисы длкладов VI межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» 29−31 мая. Самара, 1996. С. 45−47.

36. Игнаткина Л. А. Задача с интегральными условиями для одного неоднородного уравнения гиперболического типа // Доклады 51-ой научной конференции СГПУ. Март 1997. Ч. I. Самара, 1997. С. 47−51.

37. Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. N 2. С. 294−304.

38. Кальметов Т. Ш., Садыбеков М. А. О задаче Дирихле и нелокальных краевых задачах для волнового уравнения // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. N 1. С. 60−65.

39. Каратопраклиева М. Г. Регулярное решение одной нелокальной краевой задачи для уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. N 5. С. 847−857.

40. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа М.: Наука, 1972.

41. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения математической физики М.: Физматгиз, 1962.

42. Краснов M.JI.Интегральные уравненияМ.: Наука, 1976.

43. Курант Р. Уравнения с частными производными.- М.: Мир, 1964.

44. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики.-М.: Наука, 1973.

45. Миляков В. П., Сабитов К. Б. Принцип локального экстремума для уравнения Эйлера-Дарбу // Краевые задачи. Оренбург, 1977. С. 46−53.

46. Михайлов В. Г. Дифференциальные уравнения в частных производных, — М.: Наука, 1983.

47. Михлин С. Т. Интегральные уравнения.- М.: ОГИЗ, 1949.

48. Нахушев А.М.0 некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. N 1. С. 44−53.

49. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии М.: Высшая школа, 1995.

50. Нахушева З. А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22. N 1. С. 171−174.

51. Нахушева З. А. Первая и вторая краевые задачи в интегральной постановке для параболического уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. N 11. С. 1982;1992.

52. Николаев Н. Я. Некоторые специальные функции, краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными и их приложения. М: Издательство АСВ, 1997.

53. Палюткин В. Г. О единственности решения граничной задачи с интегральным условием для дифференциального уравнения в полосе // Украинский математический журнал. 1984. Т. 36. N 6. С. 786−791.

54. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными М.: Физматгиз, 1961.

55. Просяной A.A. О решении смешанной задачи с интегральным условием для некоторого параболического уравнения // Тезисы докладов Гродненского госуниверситета. 6-ая конференция математиков Белоруссии. Гродно, 1992. С. 28.

56. Пулькина JI.C.Об одной неклассической задаче для вырождающегося гиперболического уравнения // Известия высших учебных заведений. Математика. 1991. N 11. С. 48−51.

57. Пулькина JI.C.06 одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения // Математические заметки. -1992. Т. 51. N 3. С. 91−96.

58. Пулькина JI.C.Об одной нелокальной задаче для параболического уравнения // Тезисы докладов Международного семинара «Дифференциальные уравнения и их приложения». 27−30 июня. Самара, 1995. С. 68.

59. Репин О. А .Нелокальная краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Докл. АН (Россия). 1994. Т. 335. N 3. С. 295−296.

60. Сабитов К. Б. О решении одной проблемы в теории задачи Франкля для уравнений смешанного типа // Докл. АН (Россия). 1991. Т. 317. N 5. С. 1048−1052.

61. Самарский A.A. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. N 11. С. 1925;1935.

62. Самко С. Г., Килбас A.A., Маричев ОМ. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.

63. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения.- М.: Наука, 1970.

64. Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения-Минск: Вышэйша школа, 1977.

65. Соболев C.JI. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1966.

66. Солдатов А. П. Об одной задаче теории функций // Дифференциальные уравнения. 1973. Т. 9. N 2. С. 325−332.

67. Терсенов С. А.

Введение

в теорию уравнений, вырождающихся на границе.- Новосибирск, 1973.

68. Тихонов А. Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики М.: Наука, 1981.

69. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных.- М.: ИЛ, 1957.

70. Трикоми Ф. О линейых уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа.- М.: 1947.

71. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.- М.: Наука, 1969.

72. Франкль Ф. И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения // Прикл.мат. и мех. 1956. — Т.20, N 2. С. 196−202.

73. Чекалин А. Н. Разрешимость задачи с интегральными граничными условиями для дифференциального уравнения параболического типа // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21. N 2. С. 348−351.

74. Юсупова О. В. Задача Уз для одного вырождающегося уравнения гиперболического типа с интегральными условиями // Доклады52. ой конференции СГПУ. Апрель 1998. Изд-во Самарского гос. пед. университета. Самара, 1998. С.100−102.

75. Волкодавов В. Ф., Юсупова О. В. Об одном решении уравнения гиперболического типа с двумя линиями вырождения // Доклады53. ей конференции СГПУ. Май 1999. Изд-во Самарского гос. пед. университета. Самара, 1999. С.100−102.