Исследование возникновения конвекции многокомпонентной жидкости в электрическом поле

Содержание

НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ КУЭТТА В задаче о свободной конвекции жидкости до сих пор преобладали исследования чистой жидкости в приближении Обербека-Буссинеска. Вместе с тем представляет интерес задача о свободной конвекции жидкости с примесями. Такая задача возникает, например, при моделировании процесса электрофореза, используемого для изучения и разделения биополимеров.

Задачи термоконцентрационной конвекции рассматривал Дж. Тернер [37]. Явления, наблюдаемые при наличии градиента концентрации и температуры, получили название «двойной диффузии». Наблюдение таких явлений в лабораторных и природных условиях позволило открыть эффекты «солевых пальцев», «солевой фонтан» и колебательную диффузию. Параллельно этими задачам занимались также Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М. [11, 12]. Однако, в этих работах [37], [11, 12] рассматривались задачи, в которых на примесь никаких полей, кроме поля тяжести, не действует.

Применительно к задачам тепломассопереноса исследованию конвекции, в том числе и в условиях невесомости посвящены работы [6], [31], [32], [33].

В диссертации рассматриваются задачи концентрационной конвекции с вынужденным переносом примеси электрическим полем.

Хотя основное внимание уделялось математическим моделям свободной конвекции при электрофорезе, одна из глав диссертации посвящена вынужденной конвекции, возникающей при исследовании устойчивости между вращающимися цилиндрами. Дело в том, что в последнее время появились установки для проведения электрофореза, в которых электрофоретические камеры представляют собой зазор между двумя цилиндрами (например, хорошо известная установка ВЮ8ТКЕАМ). Для такой модели строится модель Обербека-Буссинеска, удается найти основное стационарное решение и исследуется его устойчивость в физически нелинейных средах, когда вязкость зависит от температуры. Выяснилось, что в этом случае традиционная модель Обербека-Буссинеска для неизотермического течения Куэтта плохо применима.

Основные уравнения. Электрофорез занимает одно из ведущих мест среди точных физико-химических методов современной молекулярной биоло-гии.Теория электрофореза основывается на уравнениях гидроэлектротермо-динамики многокомпонентных химически активных смесей [2].

Одна из наиболее общих математических моделей, описывающих поведение многокомпонентной химически активной жидкости в электрическом поле, в приближении Обербека-Буссинеска имеет вид: сИУ у с1у -Ур + рМ + к (ав сПУ ък = ак сИУ д = ?Еи]-Ё-двя, -5У6 = -еДьУС* + кеи? кЁ — еВкер (Зк?кк

Ну з = О,

Е = -Уср

0.1) (0.2)

0.4) (0.5)

0.7) (0.8)

2 ?к?, к = о к=

Здесь V — скорость смеси в целом, р — давление, 9 — температура, — концентрация к-ой компоненты смеси, гк — плотность потока концентрации к-ой компоненты, д — плотность потока тепла, у — плотность электрического тока, Е — напряженность электрического поля, <р — потенциал электрического поля, д — кинематическая вязкость, а — коэффициент теплопроводности, гБк — коэффициент диффузии, (5к — коэффициент концентрационного сжатия, ак — плотность источников химических реакций, 5 — коэффициент температуропроводности, *ук — электроподвижность к-ой компоненты смеси, гк — заряд в единицах электрона, II — параметр, характеризующий интенсивность электрического поля, ее^ — параметр, характеризующий джоулево тепловыделение, ?Бк?р (Зк — коэффициент бародиффузии, (¡-)вн — внешние источники тепла.

Уравнение (0.1) представляет собой уравнение неразрывности несжимаемой жидкости, имеется в виду изотермически и изохорически несжимаемая жидкость, т. е. удельный объем жидкости (или ее плотность) зависит лишь от температуры и концентрации и не зависит от давления. Уравнение (0.2) является уравнением баланса импульса (уравнение Навье-Стокса), последний член которого представляет собой архимедову силу. Положительным значениям коэффициентов, а и (Зь отвечает сила всплывания легкой частицы в гравитационном поле. Уравнение (0.3) — уравнение баланса массы А--ой компоненты, называемое иногда уравнением диффузии с переносом.

Уравнение (0.4) — закон сохранения энергии. Формальное сходство уравнений (0.3) и (0.4) позволяет считать температуру одной из концентраций примеси. Это сходство можно было бы использовать лишь в случае, когда потоки массы и тепла совпадают между собой. Однако температура существенно отличается от концентрации тем, что поток массы при наличии электрического поля содержит дополнительные члены, отвечающие за перенос массы в электрическом поле. Казалось бы, можно считать температуру одной из концентраций нейтральных компонент примеси. Такая аналогия тоже не очень хороша, т.к. источники сг&- и джоулево тепловыделение имеют разную природу. Далее будет существенно использовано условие локального химического равновесия, при котором источники массы обращаются в ноль в результате мгновенных химических реакций. Джоулево тепловыделение при этом не исчезает и может быть скомпенсировано лишь при помощи специальных внешних устройств.

Соотношение (0.5) — определяющее соотношение для плотности потока массы к-ой компоненты, в котором слагаемое гГ^У^ соответствует вкладу диффузионных эффектов, второе слагаемое г^еХ]^Е отвечает за перенос заряженных компонент под действием электрического поля, последнее слагаемое? Вк?рРк^, кк учитывает эффекты бародиффузии. Здесь следует отметить связь эффекта бародиффузии с коэффициентами концентрационного сжатия.

Соотношение (0.6) — определяющее соотношение для плотности электрического тока. Отметим, что записывая выражение для плотности потоков мае—* сы ik и плотности потока тепла q, мы пренебрегаем эффектами термодиффузии (членами, пропорциональными V6> в потоках массы) и эффектами возникновения потока тепла за счет переноса массы (членами, пропорциональными градиентам концентрации, в потоке тепла q).

Уравнения (0.7), (0.8), по существу, являются уравнениями Максвелла, записанными в предположении малости диэлектрической проницаемости и при отсутствии магнитного поля. В частности, это дает возможность считать электрическое поле потенциальным (rot Е — 0) и смесь электронейтральной. По этой же причине в уравнении div j = 0 отсутствует производная от свободного зарядам по времени.

В дальнейшем не предполагается рассматривать эффекты, связанные с наличием свободного заряда в жидкости. Это позволяет пренебрегать в уравнении движения (0.2) пондеромоторными силами типа ёёоЕ VE. Заметим, что детально проблема включения пондеромоторных сил в уравнение движения рассмотрена в [8, 30]. Для используемых в данной работе параметров (диэлектрическая проницаемость воды ё «80, вакуума ёо «6 10~12) и рассматриваемых градиентов электрического поля (VE «106) пондеромоторные силы действительно малы, например, по сравнению с архимедовой силой. По этой же причине, т. е. в связи с малостью ёё0, уравнение Максвелла ёёоЁ<�Иу Ё = Q переходит в уравнение электронейтральности Q — 0 (0.8), ёёоЩ — rot Ё -превращается в условие потенциальности rot Е — 0, а уравнение неразрывности электрического тока ^ + div j = 0 переходит в div j = 0 (см. (0.7)).

Заметим, что при таких предположениях нет возможности исследовать краевые эффекты типа поляризационных слоев и двойных слоев вблизи границы. В частности это означает, что данная модель не описывает эффекты электроосмоса — движения электронейтральной жидкости как целого под действием электрического поля. Такие эффекты играют существенную роль, например, в капиллярах.

Получаемая система уравнений все еще достаточно сложна для исследования. Наиболее фундаментальный подход к ее упрощению связан с разделением описываемых ею процессов по характерным скоростям их протекания. В самом деле, характерное время диффузии значительно превышает характерное время, связанное с процессами переноса под действием электрического поля, которое, в свою очередь, намного больше характерного времени протекания химических реакций в растворах. Характерное время протекания химических реакций для водных растворов неорганических веществ и белков имеет порядок ~ 1СГ12 сек. Это позволяет принять гипотезу локального химического равновесия, т. е. считать химические реакции мгновенными и положить в уравнении переноса вещества (0.3) = 0. Фактически это приведет к уменьшению количества рассматриваемых компонент смеси, так как в результате завершения химических реакций образуются квазикомпоненты смеси (например, нейтральная молекула + ее ион). Для нахождения концентраций таких квазикомпонент следует определить интегралы уравнений химической кинетики и воспользоваться условиями равновесия химических реакций. Подробно такой процесс разбиения смеси на квазикомпоненты описан в [2]. Далее в исходных уравнениях следует заменить на концентрации квазикомпонент с/с и учесть, что кинетические коэффициенты, такие как зарядность г-к и подвижность 7/г зависят от концентраций с*, так что = с2,., сг), 1к = 7к{с, с2, ¦ ¦ ¦, Сг), к = 1,., г, где г — количество квазикомпонент, г < п.

В дальнейшем будут рассмотрены такие смеси, для которых электрические подвижности компонент в зависимости от свойств среды обращаются в ноль при некоторых значениях концентрации. Именно это не позволяет пренебречь эффектами диффузионных процессов. Вкладом бародиффузии, т. е. членами еИкбр/Зк^кк в диффузионные процессы будем однако пренебрегать (см.(0.5)), хотя в некоторых методах, например, при центрифугировании, процессы бародиффузии играют существенную роль.

Джоулево тепловыделение считается также пренебрежимо малым (более точно ее^З Е — (Звн ~ 0), а температура смеси постоянной, т.к. объектом исследования являются процессы, связанные с концентрационной конвекцией.

На практике джоулево тепловыделение может быть скомпенсировано внешними охлаждающими устройствами С^вн, по крайней мере, в тех случаях, когда распределение джоулева тепла по объему достаточно однородно.

Следующее упрощение модели связано с тем, что в смеси квазикомпонент различаются компоненты по скорости их переноса в электрическом поле. Совокупность компонент, которые достаточно быстро переносятся электрическим полем и имеют достаточно большие подвижности, называются буферным раствором. Оставшиеся компоненты, переносимые электрическим полем медленно и имеющие нулевые подвижности при некоторых значениях концентраций компонент, называются примесями. Иными словами, рассматриваемая многокомпонентная смесь сочетает в себе некую фоновую (буферную) среду, создающую электрические свойства раствора (проводимость смеси), и примеси, движущиеся в этой среде. Рассматриваются такие модели, в которых фоновая среда не создает условий, приводящих к возникновению конвективного перемешивания. Фоновая среда не стратифицирована по плотности и концентрация примеси столь мала, что ее движение не меняет свойств фоновой среды.

Наиболее удобно свойства фоновой среды характеризовать значением рН раствора — концентрацией ионов водорода в среде (рН — —1д[Н+], [Н+] — концентрация ионов водорода в моль/литр). Электрические свойства примесных компонент зависят от рН. Такое значение рН, в котором подвижность обращается в ноль, называется изоэлектрической точкой р1: 7 = 7(рН),

Приведем получающуюся систему уравнений с учетом сделанных предпо ложений:

7(р1) = 0. сНУ V =

0.10) с = (сьс2,., СГ) — + С11У Ък =

0.11) гк = -гОк{с, рН)^ск + %(с, рН) еискЁ (0.12)

3 = ^ак{рН, х) скЁ (0.13)

61у]=0, Ё = -Ч (р (0.14)

2ек (с, рН) ск = 0 (0.15)

Здесь V — скорость смеси в целом, р — давление, ск — концентрация к-ой компоненты смеси, %к — плотность потока концентрации к-ой компоненты, —" —" — плотность электрического тока, Е — напряженность электрического поля, (р — потенциал электрического поля, ?1 — кинематическая вязкость, £Ик — коэффициент диффузии, (Зк — коэффициент концентрационного сжатия, ак — молярная проводимость, % — электрофоретическая подвижность к-ой компоненты смеси, ек — молярный заряд, и — параметр, характеризующий интенсивность электрического поля.

В этих уравнениях считается, что в плотности электрического тока отсутствуют члены, связанные с градиентами концентраций, иными словами, рассмотрен недиффузионный закон Ома. Сама величина рН определяется из уравнения электронейтральности вида ^ %к (!-к)!-к = 0, где одна из концентраций (к и есть концентрация ионов водорода в растворе.

Предполагается, что уравнение электронейтральности уже решено и распределение рН по раствору уже известно: рН = рН (х, 1). Тем самым известны свойства фоновой среды.

Наиболее простая модель получается, когда кинетические коэффициенты зависят лишь от рН среды и не зависят от концентраций примесей: ек — ек (рН), % = 7к (рН), сгк = ак (рН). Это так называемая модель без обратных связей — свойства фоновой среды влияют на поведение примеси, а примесь не искажает фоновую среду. Смеси такого сорта называются смесями с сильными буферами и сравнительно легко реализуются на практике. Конечно, такая модель применима не ко всем видам электрофореза. В первую очередь она неприменима для изотахофореза, в котором концентрации компонент буферной смеси сравнимы с концентрациями примеси и фоновая среда меняет свои свойства в процессе перемещения примеси по раствору.

Полученная система уравнений должна быть дополнена краевыми условиями, которые заслуживают пояснений. Краевые условия для скорости смеси V задаются так же, как и в обычных задачах конвекции, т.к. не рассматриваются эффекты электроосмоса. На твердых границах ставится условие прилипания, на свободных недеформируемых границах — условие непротекания и отсутствия касательных напряжений.

Наиболее естественно краевые условия для концентраций задавать как условия непроницаемости границ области для компонент примеси, т. е. как условие отсутствия нормальной компоненты потока ¿массы примеси на границе. Однако, для буферной смеси такое условие означало бы отсутствие электрического тока через жидкость. В рассматриваемых моделях необходимость в краевых условиях для буферной смеси нет, т. к. считается, что задача для буферного раствора уже решена с соответствующими краевыми условиями (например, с заданием концентрации на границе пли ее потока) и решение этой задачи определило зависимость кинетических коэффициентов е, сг, 7 от рН. Для примесей также можно задавать концентрации на границе. Однако для рассматриваемой задачи это неестественно, т.к. реально моделируется процесс сосредоточения примеси, помещенной в область, в окрестности какой-либо внутренней точки области. Краевые условия третьего рода (поток примеси пропорционален ее концентрации на границе) имеют место для пористой среды и в этом случае изменяются и условия для нормальной компоненты скорости всей смеси. Таким образом, идее разделения смеси на отдельные компоненты наиболее соответствуют краевые условия отсутствия потока примеси через границу — разделяемый набор примесей помещается в область и не может ее покинуть.

Что касается напряженности электрического поля, то она определяется из алгебраического соотношения — бездиффузионного закона Ома (0.13). При этом предполагается, что плотность электрического тока 3 = 3 (?) задана.

Цель диссертационной работы состоит в анализе различных математических моделей концентрационной конвекции для процессов тепломассопе-реноса в химически активных средах при наличии электрического поля и определении критических параметров возникновения конвекции, вторичных режимов, а также в рассмотрении тепловой конвекции между двумя вращающимися цилиндрами в физически нелинейных средах.

Диссертационная работа состоит из четырех глав. В первой главе рассмотрена задача о влиянии зоны вещества на концентрационную конвекцию при изоэлектрофокусировании. Математически задача сводится к исследованию уравнений концентрационной конвекции при наличии электрического поля методами линейной гидродинамической теории устойчивости. Определены критические числа Рэлея, характеризующие максимальное количество вещества, при котором возможно возникновение конвективной неустойчивости.

Вторая

глава IIосвящена продолжению исследования задачи первой главы в более общей постановке. Определяются критические числа возникновения конвекции, методом Ляпунова-Шмидта строятся решения, ответвляющиеся от механического равновесия, которые соответствуют вторичным стационарным режимам конвекции. Показано, что коэффициенты уравнения разветвления полиномиальным образом зависят от числа Прандтля и при некоторых значениях числа Прандтля может ответвляться не только два, но и четыре вторичных стационарных режима. Разработан численны! алгоритм, позволяющий эффективно исследовать вторичные режимы. Построены нестационарные амплитудные уравнения и приведено их детальное исследование. Для больших значений параметра, соответс твующего разности потенциалов, построены асимптотики нейтральных кривых монотонной потерн устойчивости.

В третьей главе исследована задача концентрационной конвекции в случае бесконечнокомпонентной смеси, т. е. когда кинетические параметры смеси описываются некоторыми функциями распределения. Рассматривается модельная задача для больших значений параметра, соответствующего разности потенциалов, построены асимптотические модельные уравнения. Для их исследования использованы методы линейной гидродинамической теории устойчивости, получены критические значения параметров, характеризующих конвекцию.

В четвертой главе исследована устойчивость конвективного движения жидкости между двумя вращающимися нагретыми цилиндрами в случае отсутствия внешних сил. Строится математическая модель для описания конвекции в предположении, что плотность жидкости и кинетические коэффициенты зависят от температуры, работа сил давления и вязкая диссипация пренебрежимо малы. При этом не предполагается малость коэффициента температурного расширения жидкости, что отличает рассматриваемые модели от модели Обербека-Буссинеска. Для различных моделей жидкостей построены нейтральные кривые монотонной и колебательной потери устойчивости и дан их сравнительный анализ.

Основные научные результаты, полученные в диссертации, можно сформулировать следующим образом:

1. Для задачи концентрационной конвекции в случае жидкости с одной примесью получены критические значения монотонной потери устойчивости.

2. Для задачи концентрационной конвекции в жидкости с одной примесью исследованы вторичные режимы стационарной потери устойчивости механического равновесия, получены нестационарные амплитудные уравнения, подробно исследована зависимость коэффициентов уравнения разветвления от числа Прандтля. Показано, что при некоторых критических значениях числа Прандтля может возникать как два, так и четыре вторичных стационарных режима.

3. Для больших значений параметра, характеризующего интенсивность электрического поля получена и исследована асимптотическая модель конвекции бесконечнокомпонентной смеси. Исследованы численными методами критические числа монотонной потери устойчивости механического равнове

4. Для неизотермического течения Куэтта между двумя вращающимися нагретыми цилиндрами детально исследована задача в случае различных уравнений состояния и различных зависимостей кинетических коэффициентов от параметров задачи. Дан сравнительный численный анализ нейтральных кривых монотонной и колебательной потери устойчивости для различных моделей жидкостей.

Основные результаты первой главы опубликованы в работе [14], вторая глава написана по материалам работ [17, 18], результаты третьей главы опубликованы в [4, 19]. четвертая

глава IIосвящена задаче, численный анализ которой был опубликован в [13].

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики РГУ и на следующих конференциях: «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости», Москва 1989, 1992 [21], [22], [23].

ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ЗОН ВЕЩЕСТВА НА КОНЦЕНТРАЦИОННУЮ КОНВЕКЦИЮ ПРИ ИЗОЭЛЕКТРОФОКУСИРОВАНИИ Рассматривается задача о влиянии зон вещества на концентрационную конвекцию при изоэлектрофокусировании (ИЭФ). Как уже указывалось во введении, фоновая среда, в которой происходит разделение или выделение примеси, формируется в результате быстрых переносов электрическим полем компонент буферного раствора. Основное назначение буферного раствора — поддержание электрического тока в смеси. Естественно, буферный раствор в электрическом поле создает некий неравномерный профиль плотности, который может быть как устойчив, так и неустойчив по отношению к возникновению конвективной неустойчивости. Примесь, разделяемая электрическим полем, в процессе эволюции разбивается на отдельные зоны, которые сосредотачиваются в различных местах электрофоретической камеры. При этом в местах сосредоточения примеси меняются как электрические свойства смеси, так и ее плотность. То, что примесь сосредотачивается на отдельных участках камеры, означает, что градиент плотности в окрестности этих участков может быть как положительным, так и отрицательным. Иными словами, часть концентрационного профиля примеси может быть или устойчивым, или неустойчивым по отношению к возникновению конвекции.

Для того, чтобы выделить эффекты влияния выделения примеси на возникновение конвекции, будем рассматривать модельную ситуацию, когда плотность буферного раствора однородна. Более того, чтобы отделить влияние тепловых эффектов на возникновение конвекции, будем рассматривать ситуацию, когда электрофоретическая камера охлаждается и джоулевым тепловыделением можно пренебречь. Заметим, что при этом предполагаем, что примесь достаточно электропроводна и в местах ее сосредоточения не создаются области высокого электрического сопротивления, т. е. джоулево тепловыделение однородно распределено по всей камере. Также будем пренебрегать влиянием компонент примеси на электрические свойства раствора, даже когда концентрация примеси велика.

Представляется естественным, рассматривая раствор с несколькими примесями, в тех случаях, когда зоны отдельных примесей достаточно изолированы друг от друга, ограничиться рассмотрением эффектов в растворе, содержащем лишь одну примесь. Такая ситуация довольно типична для эксперимента. Обычно размеры электрофоретической камеры имеют порядок 10 см, ширина зоны отделяемой примеси -— доли миллиметра и расстояние между отдельными зонами порядка сантиметров. Это случай так называемого аналитического электрофореза, когда метод ИЭФ используется для идентификации не более десяти примесей.

Электрофоретическую камеру, в которой происходит процесс разделения, будем моделировать плоским горизонтальным слоем, предполагая, что к плоским стенкам приложена разность потенциалов и разделение примесей происходит поперек слоя. Это направление параллельно действию силы тяжести. Конечно, это очень грубое моделирования электрофоретической камеры. Однако, для оценки порога возникновения конвекции во многих случаях оказывается, что такое моделирование достаточно эффективно.

Далее рассматривается модельная задача о возникновении концентрационной гравитационной конвекции, вызванной перераспределениями плотности жидкости в окрестности фокусируемых зон в процесс ИЭФ. Джоулево тепловыделение предполагается пренебрежимо малым, а температура жидкости и плотность буферного раствора, создающего рН среды, считаются постоянными. Такой выбор модели обусловлен прежде всего тем, что позволяет исследовать влияние на конвекцию наиболее характерных для изоэлектрофокусиро-вания процессов, а также тем, что для борьбы с тепловой конвекцией за счет неоднородностей буферного раствора существуют достаточно эффективные способы — охлаждение смеси, создание поддерживающих сред, специальная ориентация в поле тяжести.

В качестве электрофоретической камеры выбирается плоский бесконечный горизонтальный слой с твердыми непроницаемыми для разделяемого вещества стенками, на которых задана разность потенциалов (режим с постоянным напряжением).

В линейном приближении изучается влияние на устойчивость механического равновесия, соответствующего финальной стадии процесса ИЭФ, положения зоны в электрофоретической камере и разности потенциалов на стенках камеры. Рассчитаны аналоги критического числа Рэлея, пропорционального количеству вещества в зоне, и тем самым получен ответ на вопрос о максимальной загрузке камеры, при которой в процессе ИЭФ не возникает конвективного перемешивания зон.

1 Математическая постановка задачи

Плоский горизонтальный слой с твердыми стенками заполнен буферным раствором с проводимостью, зависящей лишь от вертикальной координаты г с постоянной плотностью и вязкостью. В буферном растворе содержится примесь, электрофоретическая подвижность которой является известной функцией координаты Система уравнений в приближении Обербека-Буссинеска, описывающая поведение рассматриваемой смеси, в безразмерных переменных имеет вид (см. (0.9)—(0.15)) с1и -" = -УП + ДгГ- Сак, V = р~ + ауг = о (1.1) сиу 2 = 0, .7 = — а (г)у/(р г = — 7а — и-у (г)а7(р

Здесь V — скорость, П — конвективное давление, а — молярная концентрация примеси, г — молярная плотность потока примеси, ] — плотность электрического тока, — электрический потенциал, 7(2) — электрофоретическая подвижность примеси, а (г) — проводимость буферного раствора, к — орт вертикальной оси направленной против действия силы тяжести, Р диффузионное число Прандтля, С — аналог числа Грасгофа, характеризующего количество вещества в зоне, II > 0 — параметр, пропорциональный разности электрического потенциала на стенках, характеризующий отношение электрических сил, стремящихся сфокусировать зону, к диффузионным силам, приводящим к ее размытию.

Краевые условия, отвечающие твердым стенкам, непроницаемым для разделяемого вещества, с заданными на них постоянной разностью потенциалов имеют вид (предполагается также, что вдоль слоя отсутствуют расход жидкости, поток разделяемого вещества и электрический ток) г-к) = {г ¦ к) г=0 = 0.

0, Ц>

Полное количество примеси в зоне задается условием ас1г = 1.

Кроме того, предполагаются функции 7(2) и а (г) такими, что выполнено условие фокусирования примеси в некоторой фиксированной плоскости 2- = ¿о [2].

Связь безразмерных переменных с размерными, отмеченными штрихом, имеет вид

СС — их,

П = —п, V = — V м* -Ь* т'(-) = 7*7 (-г) 5 а> = г' = где Ь* — расстояние между плоскостями, р* — плотность буферного раствора, ?1* — коэффициент кинематической вязкости буферного раствора, О* — коэффициент диффузии разделяемого вещества, а* — полная концентрация разделяемого вещества, II* — разность потенциалов на стенках, 7* — характерная электрофоретическая подвижность примеси.

Параметры Р, О, II, Яа (аналог числа Рэлея) имеют вид

7 *и*

Яа = С Р,

В этом случае равновесная концентрация разделяемого вещества в зоне имеет максимум в точке z = го, и при больших значениях параметра II быстро убывает вне окрестности этой точки.

Понятно, что условие Р'(г) < 0 является индивидуальной характеристикой разделяемого вещества. Напротив, знак параметра II может быть изменен — поле направлено в противоположную сторону, что приведет к эффекту дефоку-сирования. В случае больших значений параметра и хорошим приближением для функции Р (г) будет разложение в ряд функции Р (г) в окрестности точки г = 20. сг (я) 0 / г — 20) + 0{х — г0у

Параметр может быть включен в параметр и. Например, в а (з)

В дальнейшем индекс «О» у параметра и опущен.

Действительно, из вида выражения (2.1) для следует, что при больших и можно использовать асимптотическое разложение 0,0(2) при II —)¦ оо. Применяя формулу Лапласа, получим а0(г) = ехр ¡-и IГ (в) ¿/Л.

Главный член асимптотики очевидно определяется лишь главным членом разложения Р (х) в ряд (см. (2.4)). В частности, это означает, что члены 0(г — 20)2 при и —> оо несущественны в случаях, когда можно использовать асимптотику функции а0(г).

3 Линеаризованная задача

Для исследования устойчивости механического равновесия относительно бесконечно малых возмущений задача (1.1)—(1.3) линеаризуется в окрестности решения (2.1).

Покажем, что при этом для возмущений имеем УФ = 0. Задача для определения возмущения Ф имеет вид

ШУ (<ТУФ) =0, Ф

Умножая уравнение (3.1) на Ф и интегрируя по области Г2, занимаемой жидкостью, получаем

J ФШУ (о-УФ)сЬ = J ФсгУФп (1з- ! сг (Х7Ф)2(1Х.

П дП О,

Учитывая требование отсутствия электрического тока вдоль слоя, которое эквивалентно требованию исчезновения продольных компонент электрического поля УФп (п нормаль вдоль слоя), и воспользовавшись положительностью а, выводим

J сг (УФ)2 ¿х = 0, УФ^О.

Таким образом, при линеаризации задачи (1.1)-(1.3) следует считать V (р =

Окончательно линеаризованная задача для определения бесконечно малых возмущений скорости и, концентрации с и давления р имеет вид и = -ур + Аи- век, СИу и =

Р{ж + ао (г)й*} + ^ {Ус + иР (г)ск} = и = 0, {—Ус + и Р{г)ск]к = 0, г = 0-

1ехр{и1Г (у)с1у}с1з

Отметим, что данная задача во многом аналогична задаче о внутреннем подогреве слоя жидкости (см., например, [11]).

4 Спектральная задача

Решение линеаризованной задачи (3.2) разыскиваем в виде нормальных возмущений, периодических вдоль слоя с периодами к/2ж, к2/2тт (см., например

Применяя к первому уравнению (3.2) операцию rot rot и проектируя его на ось z, получаем следующую спектральную задачу

X (D2 — k2) w = (D2 — k2)2w + к2веин

UH'(z)Rw + XP9 = (D2 — к2) в + UH'(z)D9 (4.3) w (0) = w (l) = Dw (0) = Dw (1) = D9(0) = D9(1) = 0,

D — ~-, к — к^ «Ь — R f eUH (s"> ds

Отметим, что замена с = 9С~1еин потребовалась для получения точечно разделенных краевых условий 09(0) = В9(1) = 0, которые наиболее просто реализуются при численном решении задачи (4.3) и в общем случае не является необходимой.

5 Численное исследование монотонной потери устойчивости

Решение спектральной задачи (4.3) будем разыскивать в случае Л = 0 для конкретного вида функции Р (х) (или Н (г))

F (z) = -(z-zo), H (z) = -^(z-z0)2.

Такая функция соответствует электрофоретической подвижности, линейно изменяющейся вдоль электрофоретической камеры, заполненной буферным раствором с постоянной проводимостью.

Задача (4.3) решалась численно при помощи пакета прикладных программ численного решения краевых задач, созданного на кафедре вычислительной математики РГУ. Определялись критические значения минимизированные по параметру к2 при фиксированных значениях С/, г{). Кроме того, для построения нейтральных кривых Я* = ЯДС/, = ттй ([/, 2о, Р) использовался метод возмущений с продолжением по параметру. Для этого спектральная задача (4.3) представлялась в виде операторного уравнения с оператором А, действующим в гильбертовом пространстве

А (а, Я, и) Ф (а, Л, II) = О,

Формально дифференцируя данное операторное уравнение по С/ и а, получаем дА г) АдЯ ЯФ дАж дАдЯ^ лдФ

ФЧ---Ф + А— = О да дЯ да да дАж дАдЯ^. дФ: Ф + ——Ф + А— = 0.

Умножая скалярно уравнения (5.3), (5.4) на Ф*, где Ф* решение задачи, сопряженной к (5.2), с учетом условия —- = 0, получаем

Ф, Ф* +

Ф, Ф* дА да

Ф, Ф* = 0.

Уравнение (5.5) служит для определения, а уравнение (5.6), решаемое совместно с (5.2), позволяет определить значения а*, при которых

Имея решение задачи (5.2) при фиксированных значениях С/о, Д*(С/0), а*(С/о), задавая шаг АС/: С/о + АС/, из (5.5) определяем величину

Я (и0) = ЯМ и затем

АII. Далее, численно решая задачу (4.3) методом пристрелки совместно с методом Ньютона, определяем Я*(и) и а*(С/).

Ra,-102 200

0 40 100 U

Рис. 2 Зависимость минимизированных критических чисел Рэлея от параметра U для z0 — 0.47 и z0 = 0.

40 120 U

Рис. 3 Зависимость минимизированных значений к2 от U для Zo =0.

Таким образом, с ростом разности потенциалов, т. е. при уменьшении ширины зоны и улучшении качества разделения (см. [2]) порог возникновения конвекции для 1.0 ^ U ^ 110.0 уменьшается до Да* = 5.507 102, а начиная с U = 110.0 растет. Иными словами, максимальное количество вещества в зоне, при котором процесс конвективно устойчив относительно монотонных возмущений, снижается для 1.0 ^ U ^ 110.0 и повышается для U > 110.0. Величине Ra* ~ 500.0 соответствует a*Ll «10~8 моль (/i* = 10~6м2/с, D* = 10~8м2/с, д* = 10 м/с2, р, = 5 10"5 м3/моль).

20 = 0.

20 = 0.

Рис. 4 Зависимость минимизированных значений от V для 20 = 0.47 и

Следует отметить, что критические значения Да* достаточно чувствительны к изменениям параметра Результате расчетов, приведенные на Рис. 2 показывают, что предпочтительнее фокусировать зону в нижней части элек-трофоретической камеры.

Расчеты Да* = Да*(С/, ¿о) ПРИ и, больших 1000.0 крайне затруднены в связи с тем, что величина ао (г) пропорциональна е—°-5)25 х. е< концентрации вещества в зоне практически сосредоточена в точке 2о. Достаточно очевидно, что при больших значениях параметра [7 спектральная задача должна исследоваться асимптотическими методами.