Индекс Банаха-Сакса

Актуальность работы. Понятие индекса Банаха-Сакса играет большую роль в исследовании геометрии банаховых пространств. Изучение свойства Банаха-Сакса восходит к работе Банаха и Сакса 1930 г. [34]. Их классическая теорема утверждает, что любая слабо сходящаяся к нулю последовательность хп е Lp (l < р < оо) содержит подпоследовательность {хПк} С {жп} такую, что т.

IIE^iu^CW^m) к=1 для любого т G N, т. е. показывает справедливость min (p, 2)-свойства Банаха-Сакса этих пространств. Соответствующий результат для случая 2 < р < оо также следует из работы М. И. Кадеца и А. Пельчинского [48]. Далее С. Какутани показал, что любое равномерно выпуклое банахово пространство обладает свойством Банаха-Сакса [49], а В. Шленк [71] доказал, что пространство l/i[0,1], не являющееся равномерно выпуклым, также обладает свойством Банаха-Сакса.

В ряде работ Е. М. Семенова, С. В. Асташкина, Ф. А. Сукочева, С.А.Ра-кова были найдены индексы Банаха-Сакса некоторых функциональных пространств Лоренца, Марцинкевича, Орлича [25, 22, 30]. Были доказаны общие теоремы, позволяющие вычислять индекс Банаха-Сакса функциональных пространств в терминах индексов Бойда [32], а также показано, что для пространств Орлича и Лоренца свойство Банаха-Сакса тесно связано с сепарабельностью пространств, однако сепарабельная часть некоторых пространств Марцинкевича не обладает этим свойством [43].

В диссертации изучается индекс Банаха-Сакса пространств последовательностей с симметричным базисом. Главное отличие индексов Банаха-Сакса функциональных пространств и пространств последовательностей заключается в том, что для пространств последовательностей отсутствует естественное для функциональных пространств ограничение на индекс сверху — индекс Банаха-Сакса не превосходит 2 [32]. Кроме того, есть ряд различий для пространств, определенных на конечном и бесконечном промежутках. В работе рассматриваются пространства с бесконечным индексом, вычисляется индекс пространств lp>q, а также представлен пример рефлексивного пространства последовательностей с симметричным базисом, не обладающего свойством Банаха-Сакса.

Впервые функции Радемахера были введены в работе Х. Радемахера [62]. Особенно большое значение уделялось изучению поведения сумм п.

Tk{x) при п —Ь оо в связи с законом больших чисел Бореля и его fc=i уточнений. Система Радемахера порождает в перестановочно-инвариантных пространствах подпространства с симметричным базисом. Исследованию свойств системы Радемахера в общих симметричных пространствах посвящены многочисленные работы, например, Родина В. А., Семенова Е. М. [64, 24], Бравермана М. Ш. [5] и Рейно И. [63]. Глава 6 диссертации изучению индекса Банаха-Сакса подпространств Радемахера симметричных пространств.

В настоящее время вариации классического свойства Банаха-Сакса активно изучаются в связи с различными вопросами теории интерполяции (см., например, [46, 51, 66]).

Целью работы является изучение р-свойства Банаха-Сакса симметричных функциональных и секвенциальных пространств.

Методика исследований. Использовались идеи и методы современной теории функций и функционального анализа. В частности метод вещественной интерполяции.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. Описаны все пространства обладающие оо-свойством Банаха-Сакса.

2. Вычислен индекс Банаха-Сакса пространства lPyQl 1 < р < оо, 1 < q < оо, и пространства Z°>00, 1 < р < оо.

3. Исследована взаимосвязь индексов Банаха-Сакса пространства с симметричным базисом и пространства, сопряженного к нему.

4. Найдены пространства, подпространствами Радемахера которых являются lp>q, 1<�р<�оо, 1<�д<�оои 1роо, 1 < р < оо.

5. Изучена связь индексов Банаха-Сакса симметричного пространства и его подпространства Радемахера.

6. Построен пример симметричного пространства, подпространство Радемахера которого не обладает свойством Банаха-Сакса.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории симметричных пространств, для изучения р-свойства Банаха-Сакса.

Аппробация работы. Результаты этой работы докладывались на Саратовской зимней школе, посвященной памяти акад. П. Л. Ульянова (Саратов, 2008) — XVI и XVII Международных конференциях «Математика. Экономика. Образование.» (Новороссийск, 2008, 2010) — XV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (Москва, 2008) — Воронежских зимних математических школах (2009, 2010) — на международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений «(Москва, 2009) — международной конференции «Всплески и их приложения» (С.Петербург, 2009) — Крымской осенней математической школе (2009), а также на семинарах в университетах Воронежа и Самары.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [12] - [20], в том числе [12, 13, 15] из списка ВАКа. Из совместной работы [15] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие диссертанту.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 7 глав и списка литературы. Объем диссертации 80 страниц. Библиографический список содержит 72 наименований.

1. Асташкин С. В. Об интерполяции подпространств симметричных пространств, порожденных системой Радемахера / С. В. Асташкин // ИЗВЕСТИЯ РАЕН, серия МММИУ. — 1997. — Т. 1, вып. 1. — С. 18−35.

2. Асташкин С. В. О пространстве мультипликаторов, порожденных системой Радемахера / С. В. Асташкин // Мат. заметки. 2004. -Т. 75, вып. 2. — С. 173−181.

3. Асташкин С. В. Функции Радемахера в симметричных пространствах / С. В. Асташкин // Современная математика. Фундаментальные направления. 2009. — Т. 32. — С. 3−161.

4. Берг Й. Интерполяционные пространства.

Введение

/ Й. Берг, Й. Лёфстрём. М.:Мир, 1980. — 264 с.

5. Браверман М. Ш. Дополняемость подпространств, порожденных независимыми функциями в симметричных пространствах / М. Ш. Браверман // Функц. анал. и его прилож. 1982. — Т.16, вып. 2. — С. 66−67.

6. Годун Б. В. Свойство Банаха-Сакса и проблема трех пространств / Б. В. Годун, С. А. Раков // Мат. заметки. 1982. — Т. 31, вып. 1. -С. 61−74.

7. Кирцев К. П. Пространства Орлича, ассоциированные с функциями Орлича, не удовлетворяющими Д2-условию / К. П. Кирцев, С. Л. Троянский // Сердица. 1975. — Т.1. — С. 88−95.

8. Красносельский М. А. Выпуклые функции и пространства Орлича / М. А. Красносельский, Я. Б. Рутицкий. М.: Физ.-мат. лит, 1958. 272 с.

9. Крейн С. Г. Интерполяция линейных операторов / С. Г. Крейн, Ю. И. Петунии, Е. М. Семенов. М.: Наука, 1978. — 400 с.

10. Никишин Е. М. Об одном свойстве сумм независимых величин / Е. М. Никишин // Мат. заметки. 1974. — Т. 16, вып. 5. — С. 703−707.

11. Новиков С. Я. Тип и котип функциональных пространств Лоренца / С. Я. Новиков // Мат. заметки. 1982. — Т. 32, вып. 4. — С. 213−221.

12. Новикова А. И. Индекс Банаха-Сакса для подпространств Радемахера / А. И. Новикова // Вестник самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2009. — Т. 4, вып. 70. -С. 44−51.

13. Новикова А. И. Индекс Банаха-Сакса некоторых секвенциальных пространств / А. И. Новикова // Сибирский математ. журнал. -2010. Т.51, № 2. — С.367−372.

14. Новикова А. И. Индекс Банаха-Сакса пространств с симметричным базисом / А. И. Новикова, Е. М. Семенов, Ф. А. Сукочев // Доклады Академии Наук. 2008. — том 420, № 3. — С. 314−315.

15. Новикова А. И. Индекс Банаха-Сакса пространств с симметричным базисом / А. И. Новикова // Современные проблемы теории функций и их приложения: тезисы докладов 14-й Сарат. зимней школы, посвящ. памяти акад. П. Л. Ульянова. Саратов, 2008. — С. 130.

16. Новикова А. И. Индекс Банаха-Сакса сопряженного пространства / А. И. Новикова // Воронежская зимняя мат. школа С. Г. Крейна: тезисы докладов. ВорГу, 2010. — С. 114−115.

17. Новикова А. И. О связи индексов Банаха-Сакса сопряженного и исходного пространств / А. И. Новикова // Математика. Экономика. Образование: тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 2010. — С. 82.

18. Новикова А. И. О р-свойстве Банаха-Сакса в пространствах последовательностей с симметричным базисом / А. И. Новикова // Математика. Экономика. Образование: тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 2008. — С. 108.

19. Островский М. И. Сравнение слабого и непрерывного свойств Банаха-Сакса / М. И. Островский // Теория функций, функционал. анализ и их приложения. 1987. — № 48. — С. 130−134.

20. Раков С. А. О показателе Банаха-Сакса некоторых банаховых пространств последовательностей / С. А. Раков // Мат. заметки. -1982. Т. 32, вып. 5. — С. 613−626.

21. Раков С. А. О свойстве Банаха-Сакса банахова пространства / С. А. Раков // Мат. заметки. 1979. — Т.26, вып. 6. — С. 823−834.

22. Родин В. А. О дополняемости подпространства, порожденного системой Радемахера, в симметричном пространстве / В. А. Родин, Е. М. Семенов // Функц. анал. и его прил. 1979. — Т.13, вып. 2. -С. 91−92.

23. Семёнов Е. М. Индекс Банаха-Сакса / Е. М. Семенов, Ф. А. Сукочев // Математический сборник. 2004. — Т. 195, вып. 2. — С. 263−285.

24. Семёнов Е. М. Теоремы вложения для банаховых пространств измеримых функций / Е. М. Семёнов // ДАН СССР. 1964. — Т. 156, вып. 6. — С. 1292−1295.

25. Токарев Е. В. О свойстве Банаха-Сакса в банаховых решетках / Е. В. Токарев // Сибирский математ. журнал. 1983. — Т.24. — С. 18−20.

26. Чилин В. И. Слабая компактность в пространствах Лоренца / В. И. Чилин, А. А. Седаев, Ф. А. Сукочев // Узбек, матем. журнал. -1993. № 1. — С. 84−93.

27. Altshuler Z. On symmetric basic sequences in Lorentz sequence spaces / Z. Altshuler, P.G. Casazza, B.L. Lin // Israel J.Math. 1973. — V. 15. — P. 144−155.

28. Astashkin S.V. Banach-Saks property in Marcinkiewicz spaces / S.V. Astashkin, F.A. Sukochev //J. Math. Anal. Appl. 2007. — V. 336. -P. 1231−1258.

29. Astashkin S.V. Cesaro mean convergence of martingale differences in rearrangement invariant spaces / S.V. Astashkin, N. Kalton, F.A. Sukochev // Positivity. 2008. — V. 12. — P. 387−406.

30. Astashkin S.V. The Banach-Saks p-property / S.V. Astashkin, E.M. Semenov, F.A. Sukochev // Mathematische Annalen. 2005. — V. 332. P. 879−900.

31. Baernstein A. On reflexivity and summability / A. Baernstein // Studia Math. 1972. — V. XLII. — P. 91−94.

32. Banach S. Sur la convergence forte dans les champs LP. / S. Banach, S. Saks // Ibid. 1930. — V. 2. — P. 51−57.

33. Beauzamy B. Banach-Saks properties and spreading models / B. Beauzamy // Math. Scand. 1979. — V.44. — P. 357−384.

34. Birnbaum Z. Uber die Verallgemeinerung des begriffes der zueinander konjugierten Potenzen / Z. Birnbaum, W. Orlicz // Studia Math. -1931. V.3. — P. 1−67.

35. Boyd D.W. Indices of function spaces and their relationship to interpolation / D.W. Boyd // Canad. J. Math. 1969. — V.21, № 5. P. 1245−1254.

36. Carothers N.L. Geometry of Lorentz spaces via interpolation / N.L. Carothers, S.J. Dilworth // Longhorn notes, the University of Texas at Austin, Functional Analysis Seminar. 1985;1986. — P. 107−133.

37. Casazza P.G. On symmetric basic sequences in Lorentz sequence spaces II / P.G. Casazza, B.L. Lin // Israel J.Math. 1974. — V.17. -P. 191−218.

38. Cembranos P. The weak Banach-Saks property on E) / P. Cembranos // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1994. — V.115. — P. 283−290.

39. Cerda J. Geometric properties of symmetric spaces with applications to Orlicz-Lorentz spaces / J. Cerda and others] // Positivity. 1999. V. 2. P. 311−337.

40. Diestel J. Geometry of Banach spaces / J. Diestel. Springer, 1975. -284 p.

41. Dodds P.G. The Banach-Saks property in rearrangement invariant spaces / P.G. Dodds, E.M. Semenov, F.A. Sukochev // Studia Math.- 2004. V. 162, № 3. — P. 263−294.

42. Dodds P.G. Weak compactness in rearrangement invariant operator spaces / P.G. Dodds, G. Schluchtermann, F.A. Sukochev // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 2001. — V.131. — P.363−384.

43. Dunford N. Linear operators: in 2 vol. / N. Dunford, J. Schwartz. -New York: interscience, 1958. V. 1.

44. Flores J. Domination by positive Banach-Saks operators / J. Flores, C. Ruiz // Studia Math. 2006. — V. 173. — P. 185−192.

45. Gonzalez M. The fine spectrum of the Cesa’ro operator in lp (1 < p < оо) / M. Gonzalez // Archiv der Mathematik. 1985. — V.44. — P. 355−358.

46. Kadec M.I. Bases, lacunary sequences and complemented subspaces in the spaces Lp / M.I. Kadec, A. Pelczynski // Studia Math. 1962. V.21. P. 161−176.

47. Kakutani S. Weak convergence in uniformly convex spaces / S. Kakutani // Tohoku Math. J. 1938. — V. 45. — P. 188−193.

48. Knaust H. Orlicz sequence spaces of Banach-Saks type / H. Knaust // Archiv der Mathematik. 1992. — V. 59. — P. 562−565.

49. Kryczka A. Seminorm Related to Banach-Saks Property and Real Interpolation of Operators / A. Kryczka // Integral Equations and Operator Theory. 2008. — V.61, № 4. — P.559−572.

50. Lindberg K.J. On subspaces of Orlicz sequence spaces / K.J. Lindberg // Studia Math. 1973. — V.45. — P. 119−146.

51. Lindennstrauss J. Classical Banach Spaces I: Sequence Spaces / J. Lindennstrauss, L. Tzafriri. Springer-Verlag, 1977. — 190 p.

52. Lindennstrauss J. Classical Banach Spaces II: Function Spaces / J. Lindennstrauss, L. Tzafriri. Springer-Verlag, 1979. 243 p.

53. Lindennstrauss J. On Orlicz sequence spaces / J. Lindennstrauss, L. Tzafriri. // Israel J. Math. 1971. — V.10. — P. 379−390.

54. Lorentz G.G. Some new functional spaces / G.G. Lorentz // Ann. of Math. 1950. — V. 51. — P. 37−55.

55. Luxemburg W.A.J. Banach function spaces / W.A.J. Luxemburg. -PhD Thesis, Delft. 1955.

56. Nielsen N.J. On the Orlicz function spaces Lm{0,oo) / N.J. Nielsen 11 Israel J. Math. 1975. — V. 20. — P.237−259.

57. Orlicz W. Uber eine gewisse Klasse von Raumen vom Typus В / W. Orlicz // Bull. Intern. Acad. Pol. 1932. — V.8. — P. 207−220.

58. Pantington J.R. On the Banach-Saks property / J.R. Pantington // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1977. — V.82. — P. 369−409.

59. Pisier G. De nouvelles caracterisations des ensembles de Sidon / G. Pisier // Mathematical analysis and applications, Part B: Adv. in Math. Suppl. Stud. 1981. — № 7B. — P. 686−725.

60. Rademacher H. Einige Satze uber Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen / H. Rademacher // Math. Ann. 1922. — V. 87. — P. 111−138.

61. Raynaud Y. Complemented hilbertian subspaces in rearragement invariant function spaces / Y. Raynaud // Illinois J. of Math. 1995. V. 39, № 2. P. 212−250.

62. Rodin V.A. Rademacher series in symmetric spaces / V.A. Rodin, E.M. Semenov // Anal. Mathematika. 1975. — V. 1. — P. 207−222.

63. Rosenthal H.P. Weakly independent sequences and the Banach-Saks property / H.P. Rosenthal // Bull. London Math. Soc. 1976. — V. 8. P. 22−24.

64. Shangua A. Two premutational versions of the Banach-Saks property / A. Shangua, V. Tarieladze // Bull. Georg. Acad. Sci. 2006. -V. 173, № 3. — P. 229−232.

65. Sparr G. Interpolation of weighted Lp—spaces / G. Sparr // Studia Math. 1987. — V. 62. — P. 229−271.

66. Stempak K. Cesaro averaging operators / K. Stempak // Proc. Royal Soc. Edinburg. Sect. A. 1994. — V. 124. — P. 121−126.

67. Stevic S. Cesaro averaging operators / S. Stevic // Math. Nachr. -2003. V. 248−249. — P. 1−5.

68. Szarek S.J. On the best constant in the Khintchine ineguality / S.J. Szarek // Studia Math. 1976. — V. 58. — P. 197−208.

69. Szlenk W. Sur les suites faiblement convergentes dans l’espace L / W. Szlenk // Studia Math. 1965. — V. 25. — P. 337−341.

70. Weis L.W. Banach space with the subsequence splitting property / L.W. Weis // Proc. Amer. Math. Soc. 1989. — V. 105. — P. 87−96.к &.