Группы и полугруппы преобразований на семействах морфизмов векторных расслоений

ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Определение 0.0.1. Пусть Е и В — некоторые непустые множества, р: Е —^ В — отображение Е на В, причем на полном прообразе р~1(Ъ) всякой точки Ь? В задана структура, вообще говоря, бесконечномерного пространства. Тройка (Е, р, В) называется абстрактным векторным расслоением, Е — пространством абстрактного векторного расслоения или тотальным пространством, р — проекцией, В — базой, р~1{Ъ) — слоем… Читать ещё >

Группы и полугруппы преобразований на семействах морфизмов векторных расслоений (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

1. Семейства морфизмов векторного расслоения
- 1. 1. Абстрактное векторное расслоение
- 1. 2. Построение векторных расслоений и семейств морфизмов
- 1. 3. Классификация семейств морфизмов
- 1. 4. Асимптотическая эквивалентность семейств морфизмов
2. Управляемость семейств морфизмов
- 2. 1. Семейства морфизмов с управлением
- 2. 2. Управляемость семейств типа Липшица
- 2. 3. Управляемость семейств типа Липшица в нуле
- 2. 4. Задача оптимального управления для семейства морфизмов
3. Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах
- 3. 1. Оценки решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах
- 3. 2. Асимптотическая эквивалентность дифференциальных уравнений в банаховых пространствах
- 3. 3. Управляемость дифференциальных уравнений в банаховых пространствах

В 1980 ~ 1986 годах в журналах «Дифференциальные уравнения» [50]-[52] и «Математические заметки» [53]—[55] профессором Московского государственного университета В.М. Миллионщико-вым была опубликована серия статей, посвященных изложению элементов теории показателей Ляпунова на таком уровне общности, что полученные результаты можно было применить к уравнениям различных типов: обыкновенным дифференциальным, дифференциальным уравнениям в частных производных, разностным уравнениям и так далее. Такая универсальность применения полученных автором результатов была обусловлена применением нового подхода к решению поставленной задачи. Суть этого подхода заключается в том, что результаты работ формулировались не для конкретных уравнений, а для некоторых абстрактных конструкций — семейств морфизмов векторных расслоений. А эти конструкции строились уже для конкретных задач. То есть схема решения задачи при применении такого подхода следующая. Для данной задачи строим семейство морфизмов векторного расслоения. Применяем к этому семейству полученные результаты (которые не зависят от того, для задачи какого типа построено это семейство морфизмов), а затем спускаемся вниз по ступеням абстракции для интерпретации полученного результата в контексте нашей конкретной задачи.

Оказалось, что подход, предложенный В. М. Миллионщиковым, можно применить для решения многих задач методом сравнения. В монографии [17] такой подход был применен для построения общих теорем об асимптотической эквивалентности.

В настоящей работе решаются следующие задачи.

Первая задача — построение классов асимптотически эквивалентных в различных смыслах семейств морфизмов векторного расслоения. Результаты, полученные при решении этой задачи, обобщают результаты монографии [17] и работы [59] и применяются для решения второй задачи.

Вторая задача — это задача об управляемости для семейства морфизмов векторного расслоения за бесконечное время.

Задача об управляемости играет важную роль в математической теории управления. Для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений эта задача решалась многими исследователями. Здесь существенные результаты принадлежат P.E. Калману, В. И. Зубову [36], H.H. Красовскому, В. М. Матросову и другим. Для дифференциальных уравнений в частных производных задача об управляемости решалась, например, Ж.-Л. Ли-онсом [43], К. А. Лурье [44], Ю. В. Егоровым [29]—[33]. В настоящей работе сделана попытка абстрагироваться от вида и природы уравнения, описывающего поведение системы в некотором фазовом пространстве (конечномерном или бесконечномерном) при помощи абстрактных векторных расслоений В. М. Миллионщикова [50]-[55].

Все результаты, полученные при решении этих двух задач, проинтерпретированы для дифференциальных уравнений в частных производных математической физики и для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Вторая задача является основной. В работах В. И. Зубова [36], Е. В. Воскресенского [17], [20], А. Ю. Павлова [59], И. П. Никитина [58], П. Г. Черникова [73]—[74] и других решается задача об управляемости за бесконечное время для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Управляемость за бесконечное время обладает специфической особенностью. В этом случае фиксированная точка переводится в сколь угодно малую окрестность другой точки, причем в дальнейшем из этой окрестности переводимая точка не выходит. Из управляемости за конечный промежуток времени такая управляемость в общем случае не вытекает. И наоборот, из управляемости за бесконечное время не вытекает управляемость за конечное время.

В настоящей работе решается задача об управляемости за бесконечное время для семейства морфизмов векторного расслоения. В основе метода ее решения находится принцип сравнения, который широко применяется, например, в теории дифференциальных уравнений. Суть этого метода в случае дифференциальных уравнений состоит в том, что решения одного уравнения = (0.0.1) исследуются в зависимости от решений другого уравнения = Л (*, У), (0−0.2) причем главную роль здесь играет малость функции.

В этом случае уравнение (0.0.2) называют уравнением сравнения. Этот принцип применялся многими авторами. Классические результаты здесь принадлежат Т. Важевскому, А. Ф. Филиппову и другим (см. также [17], [22], [75], [76]).

Основная идея решения поставленных в диссертационной работе задач методом сравнения была предложена профессором Е. В. Воскресенским в его монографии [17], где были впервые построены теоремы об асимптотической эквивалентности семейств сюръ-екций векторного расслоения, было предложено использовать семейства сюръекций для построения общих теорем о приводимости уравнений. Именно эта монография лежит в основе проведенных в диссертационной работе исследований.

Перейдем к краткому изложению содержания работы.

В главе 1. введены основные понятия и определения: абстрактного векторного расслоения, морфизма и эндоморфизма векторного расслоения, семейства морфизмов. Даны также определения семейств морфизмов, асимптотически эквивалентных по Брауэру, Левинсону, Ляпунову и Немыцкому.

Приведем несколько важных определений, содержащихся в параграфе 1.1.

Определение 0.0.1. [53, с.93] Пусть Е и В — некоторые непустые множества, р: Е —^ В — отображение Е на В, причем на полном прообразе р~1(Ъ) всякой точки Ь? В задана структура, вообще говоря, бесконечномерного пространства. Тройка (Е, р, В) называется абстрактным векторным расслоением, Е — пространством абстрактного векторного расслоения или тотальным пространством, р — проекцией, В — базой, р~1{Ъ) — слоем над точкой Ь. То пространство Н, структура которого задается на каждом слое расслоения, будем называть стандартным слоем.

Определение 0.0.2. [53, с.94] Эндоморфизмом абстрактного векторного расслоения (Е, р, В) называется пара отображений (X, X: Е —>• Е, х'¦ В —" Б, удовлетворяющих def условиям: рХ = XV! для всякого Ь? В сужение Х[Ь] = Хр-1^ отображения X на слой над точкой Ь есть линейное отображение р~1{Ъ) ~^р~1{хЬ).

Определение 0.0.3. Морфизмом абстрактного векторного расслоения (Е, р, В) называется пара отображений (Х, х)-> X: Е Е, х '• В —У Б, удовлетворяющих условиям: рХ — ХР~1 для всякого Ь? В сужение Х[Ь] = Хр-1^ отобра-эювния.

X на слой над точкой Ь есть отображение р (Ь) —>

V НхЧ.

Замечание 0.0.1. Очевидно, что эндоморфизм векторного расслоения является морфизмом этого расслоения.

Пусть М С 1, и +оо является предельной точкой множества М. Далее во всей работе под множеством М будем понимать именно такое множество, а в выражении «i —> +оо», если предполагается, что? Е М, будем всегда иметь в виду, что? стремится к +оо, оставаясь в множестве М. Обычно будем считать, что М = [?о,+оо), где ¿-о — некоторая фиксированная точка из Е.

Определение 0.0.4. [17, с.198] Семейством морфиз-мов абстрактного векторного расслоения (Е, р, В) называется отображение F множества М в множество {(X, %)} всех морфизмов этого расслоения. Значение отображения F в точке? Е М будем обозначать через (Xt, Xt)] символами и X (t: t (),?),? Е Е, будем обозначать значение отображения Xt в точке (f, i0, O еМхМхЕ, где Xto (= Х£ = X (t: ?0,0 G Е.

Будем далее, если не оговорено противное, во всей работе предполагать, что мы всегда находимся в пределах одного слоя векторного расслоения при формулировке всех наших утверждений. Будем также, если не оговорено противное, предполагать, что во всех наших утверждениях и рассуждениях для упоминаемых нами семейств морфизмов отображения Xt и множества М одни и те же. Такие допущения позволят нам в дальнейших рассуждениях задавать морфизмы и их семейства лишь отображениями X и X,.

Параграф 1.2. имеет большое значение для применения векторных расслоений и семейств морфизмов этих расслоений для решения конкретных задач. Здесь на примерах показывается как можно строить эти абстрактные конструкции в конкретных ситуациях.

В параграфе 1.3. исследуются свойства асимптотически эквивалентных семейств морфизмов.

Рассмотрим метризованное векторное расслоение (Е, р, В) и некоторое множество Е семейств морфизмов этого расслоения. Предположим, что для всех семейств морфизмов здесь отображение Хг и множество М одни и те же.

Определение 0.0.5. [17, с.199] Семейства морфизмов Л7! = (Xt, Xt) и = О'*, X*) Е будем называть асимптотически эквивалентными по Брауэру на слое относительно функции /л: [?о,+оо) П М -" ¿-о € М, при Ь —> +оо, если У^о? М существуют два отображения: р~1{Ь) —" р~1{Ъ) такие, что для любых х$, уо 6 р~1{Ъ).

Х{1: ¿-0,®-о) «У (г: ¿-о, Р^о)|| < Кщф, (0.0.3).

У (*: г0, у0)-Х$: Ъ, Р2Уо)\ < К^Ц), (0.0.4) > ¿-оЗдесь К, К2 > 0 зависят от ?/о и ¿-о.

Замечание 0.0.2. На самом деле можно предполагать в определении 0.0.5. и далее, что для наших пар семейств Т7! и ?<1 отображения Хг различны: ^ = =.

В этом случае необходимо потребовать выполнения равенства хф = х]Ь > ¿-о? Ь? В. Здесь Ь — фиксированная точка, задающая слой, на котором определяется асимптотическая эквивалентность семейств морфизмов.

Определение 0.0.6. [17, с.200] Семейства морфизмов = (XI, Хг) и Е2 = (1*, х*) (-^ъ-^2? 2) будем называть асимптотически эквивалентными по Левинсону на слое р~1(Ъ) относительно функции ?1: [¿-о,+00) П М —> to? М, при t —"¦ +00, если Vio G М существует биекция Р: p~l (b) —"¦ p~l (b) такая, что V#o? р1(^).

Х (*: ¿-о, so) —^: ¿-о, II < K3fi (t), (0.0.5) t > ¿-оЗдесь > 0 зависит от х$ и to.

В параграфе 1.4. построены теоремы об асимптотической эквивалентности семейств морфизмов на слое векторного расслоения, обобщающие результаты, изложенные в монографии [17].

Пусть заданы некоторые семейства морфизмов Fi: М {(X, х)} и F2: М -)> {(У, х1)} векторного расслоения (Е, р, В), где при некотором b? В p~l (xtfy — Р~1{х}^)-> и на этих слоях \Х£\ < K (t0,?)Q (t). Здесь X (t: ¿-О, 0 и: i0, O определяют соответственно семейства морфизмов F и F2 в точке (?, 0? м х р-^Ь), K (toj^) >0, f > i0, Q: M (0,+oo), X (to:to, 0=^ Y (t0:t0,Z) = Z Чер-^Ь). Пусть.

Ф1 — {X (.: io, OK e Ф2 = {y (-: io, 0ie e p-1®},.

Ф3 — множество всех значений всех семейств морфизмов F3 таких, что F3: М {(Z, x2)}, Р-1(х?ь) = p1(xW, и если *(• = е Ф3, то? G ГЬ), ||z (i: *0,ОИ < KzQ{t), где Кг > 0 зависит от семейства морфизмов и от точки (¿-о? О Е Мх р1(Ь). Ясно, что Фх С ФзБудем считать, что в Ф3 обычным образом введены линейные операции и ||^||ф3 = sup^^y^, 2? Ф3. Тогда t>t0 '.

Ф3 становится банаховым пространством.

Основной здесь является следующая теорема.

Теорема 0.0.1. Пусть Fx = (Xt, xt) и F2 = (Yt, xt) — семейства морфизмов, и.

Y (t:t0,Z) = XtZ + TtY (-:t0,Z) (0.0.6).

У^о? М,? > ¿-о,? р~1{Ъ). И если семейство морфизмов (гих1), г<�Эе ХгЬ = пРи том же Ь? В и У£? М, удовлетворяет уравнению (0.0.6) (то есть если подставить: вместо: ¿-о? О е (0.0.6), то это уравнение превращается в верное равенство), то: ¿-о, О = У^ '¦ ¿-о,£) пРи ^ > ¿-о и У (е Здесь = + ?(*)?, где? ? С (М, Ь (Е, Е)), Ь (Е, Е) — пространство линейных непрерывных операторов, Г? С (М, Е). Пусть также выполняются следующие условия: a) Тг: Ф3 /Г1 (6) при? > ?0- b): ¿-о,£) — +: ¿-о?0> а ^ зависит от ¿-о, О € Фз, ЩО = 0, где О — кулъ пространства Фз- 0.

Тогда семейства Е и ^ асимптотически эквивалентны по Левинсону относительно фунции на слое р~1{Ъ) прг/? —>• +оо.

Здесь же построены примеры применения этой теоремы для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве и для одномерных волновых уравнений.

Главы 2. и 3. являются основными.

Глава 2. содержит следующие результаты.

В параграфе 2.1. вводится понятие семейства морфизмов с управлением. Описана общая идея решения задачи об управляемости для семейства морфизмов методом сравнения.

Рассмотрим семейство ^ = морфизмов метризованного векторного расслоения (Е, р, В) и предположим, что это семейство зависит от функционального параметра и? Ко, где Ко — некоторый класс функций. То есть У = У (Ь: 1о, х, и). Будем называть и управлением, а класс функций Ко — классом допустимых управлений. Семейство Е будем называть семейством с управлением. Не будем сейчас делать никаких специальных предположений относительно Ко, но положим, что /и Е Ко, /х Е Е У (£: Ьо, х, и) Е Е, и пара где У зависит от и, попрежнему является семейством морфизмов.

Определение 0.0.7. Пусть Е = {Уг, Хг) — семейство морфизмов абстрактного векторного расслоения (Е, р, В), (р Е Е. Множество Г = {У{Ь: ?о,<�р)Ь Е М} будем называть траекторией семейства Е с началом в точке (р.

Определение 0.0.8. Пусть Е — — семейство морфизмов с управлением метризованного векторного расслоения (Е, р, В). У (£: ¿-О)^?£ р~1(Ь), ср Е р~1(Ъ), Ь Е В, и? Ко, 7о — класс допустимых управлений. Пусть хо, х ЕЕ1.

Будем говорить, что точка хо переводится управлением и в точку х по траектории семейства Е за время г, ¿-о < т < +оо, если У (т: Ьо, хо, и) = х. При этом будем говорить, что допустимое управление и переводит точку хо в точку х.

Если точки хо и х — произвольные, то семейство Е называется управляемым на всем пространстве Е (далее будем называть такие семейства управляемыми за конечное время т). То есть управляемость означает следующее: какими бы ни были хо их 1, существует управление и Е которое переводит точку хо в точку х по траектории семейства Е.

Определение 0.0.9. Пусть Е — — семейство морфизмов с управлением метризованного векторного расслоения (Е, р, В). Пусть и Е Ко, Ко — класс допустимых управлений. Пусть также хо, х Е Е.

Будем говорить, что точка xq переводится управлением и в точку х по траектории семейства F за бесконечное время, если lim Y (t: to, xo, u) = х. При этом будем говорить, что i—Ноо допустимое управление и переводит точку xq в точку х за бесконечное время.

Если точки xq и х — произвольные, то семейство F называется управляемым на всем пространстве Е (далее будем называть такие семейства управляемыми за бесконечное время). То есть управляемость в этом случае означает следующее: какими бы ни были xq их i, е > 0, существует управление и? Ко такое, что найдется г — т (е, и) > 0 такое, что ||Y (t: to, XQ, u) — :ri|| < е как только t > т.

Другими словами, движущаяся точка, начиная с некоторого момента времени г, попадает в? -окрестность точки х и оттуда не выходит при всех t > т.

В параграфе 2.2. исследуется управляемость семейств морфизмов типа Липшица, введенных по аналогии с системами обыкновенных дифференциальных уравнений типа Липшица [59].

Определение 0.0.10. Пусть Kq — класс допустимых управлений. Рассмотрим семейства морфизмов с управлением F = (Xt, xt) и Fi — {Yt, Xt) — Пусть для этих семейств Vw? Kq выполняется равенство (0.0.6) и условия а) и Ь) теоремы 0.0.1. По условию Ь) теоремы 0.0.1. для отображения У (-: ? Фз, где х? можно найти соответствующее, а? р~1{Ъ). Так как Fi — семейство морфизмов с управлением, то Y = Y (t: to, x, u (t, y)), где у? а и — управление из класса Kq. Поэтому, а = а{х^у).

Назовем семейство морфизмов F семейством типа Липшица с константой К, если /x, yi, y2? р 1(Ь) a (x, yi) — а{х, у2)\ < К\ух — у21|. Здесь К > 0 зависит от х, у и у2.

Теорема 0.0.2. Пусть для семейств морфизмов с управлением F = (Xt, Xt) и F2 = (Yt, xt) метризованного векторного расслоения (Е, р, В) выполняются условия теоремы 0.0.1. /и Е Ко таким образом, что семейства F и F2 асимптотически эквиалентны по Левинсону относительно функции Q (t) = const. Пусть слоем нашего векторного расслоения является банахово пространство, F2 — семейство типа Липшица с константой К. Предположим также, что семейство F является управляемым в классе Kq за бесконечное время.

Тогда, если К < 1, то любую точку xq Е p~l (b) можно перевести в точку у* Е где Ь = lim по траектории t-^+oo семейства F2 за бесконечное время при помощи управления из класса Kq.

В параграфе 2.3. исследуется управляемость семейств морфизмов типа Липшица в нуле.

Определение 0.0.11. Пусть Kq — класс допустимых управлений. Рассмотрим семейства морфизмов с управлением F = (Xt, Xt) и F2 = (Yt, Xt)¦ Пусть для этих семейств Vи Е Kq выполняется равенство (0.0.6) и условия а) и Ъ) теоремы 0.0.1. По условию Ь) теоремы 0.0.1. для отображения У (-: to, x) Е Фз, где х Е р~1(Ь), можно найти соответствующее 01 Е р~1{Ъ). Так как F2 — семейство морфизмов с управлением, то Y = Y (t: tQ, x, u (t, y)), где у Е р~1{Ь), а и — управление из класса Kq. Поэтому, а = а (х, у).

Назовем семейство морфизмов F семейством типа Липшица в нуле с константой К, если Ух, у Е p~l (b) а (х, у)\<�К\у\. Здесь К > 0 зависит от х и у.

Теорема 0.0.3. Пусть для семейств морфизмов с управлением F = (Xt, Xt) и F2 = (Yt, xt) метризованного векторного расслоения (Е, р, В) выполняются условия теоремы 0.0.1. Ум Е Ко таким образом, что семейства F и асимптотически эквиалентны по Левинсону относительно функции Q (t) = const. Пусть слоем нашего векторного расслоения является банахово пространство, — семейство типа Липшица в нуле с константой К. Предположим также, что семейство F является управляемым в классе Kq за бесконечное время.

Тогда, если, а — линейное отображение по второй переменной, а К < 1, то любую точку xq Е р1(Ь) можно перевести в точку у* Е где Ь = lim xtb, по траектории семейства i-«+oо.

F2 за бесконечное время при помощи управления из класса Kq.

Построены примеры использования теоремы 0.0.2. для исследования управляемости системы, которая может быть описана смешанной задачей для дифференциального уравнения в частных производных параболического типа.

В параграфе 2.4. решается задача оптимального управления для семейства морфизмов. Идея метода решения этой задачи взята из работы Ю. В. Егорова [30].

В главе 3. решаются задачи об асимптотической эквивалентности и управляемости для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Пусть В — банахово пространство, 2 — множество дифференциальных уравнений вида п т = /?С ([Т,+оо)хБ, Б), и для этого уравнения для любых начальных данных (?о5^о)? ¿-о > Т, существует единственное решение х (Ь: Ьо, хо),? ? [?о,+оо).

Далее везде, когда речь идет об этой главе буквой 2 будем обозначать именно это множество. Будем также считать, что все рассматриваемые нами уравнения принадлежат этому множеству.

В параграфе 3.1. строятся оценки для решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Следующая теорема содержит обобщение неравенства Важев-ского для дифференциального уравнения в банаховом пространстве.

Теорема 0.0.4. Для любого решения уравнения dx = A (t)x + f (t, x) +.

< +00 справедливо неравенство.

IM*)II< J ij (A (s) + V (*))de I dl + to l J ||z (f0)|| exp^J (A (s) + j, (0.0.8) где Л (t) = max{—A (f), A (i)}, A (t) — наименьшее, a A (t) — наибольшее собственное значение самосопряженного оператора Ан (t) = [A (t) + A*(t)], а функции f и ip удовлетворяют неравенству ||/(£, х) < ФШХ\ € C ([i0,+oo), E).

В параграфе 3.2. исследуется асимптотическая эквивалентность дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Определение 0.0.12. Будем говорить, что уравиз множества 2 асимптотически эквивалентны по Брауэру относительно функции ф? С ([Т, +ос), М+), = [0,+оо), если существуют два отображения Р: В —ь В и Р2: В —" В такие, что у (Ь: Ц, Р2хй) + о (ф ({)), у (г: ¿-о, Уо) =: ?0, Р1У0) + о (ф (г)) при t —> +оо.

Иными словами (см. [17, с.24]), системы (0.0.9) называются асимптотически эквивалентными по Брауэру, если между их решениями можно установить такое соответствие (не обязательно взаимно однозначное), что lim [x (t) —y (t)] = 0, где x (t) и y{t) — i—>¦+со соответствующие друг другу решения.

Рассмотрим дифференциальные уравнения dx = A (t)x + f{t, x) (0.0.10) и dj-t = A (t)y, (0.0.11) где x (t), y (t) е В, Т < t < +00, А (-): С ([Т, +00), Нот (В, В)), / Е С ([Т,+00) х В, В), В — банахово пространство.

Теорема 0.0.5. Пусть в системе (0.0.10) ||/(*, ж)|| < A (i, ||ж||), Л G С ([Г,+оо) х [0, +оо), [0, +00)), W G.

Г, +оо) Л не убывает по второму аргументу. Пусть также система (0.0.11) имеет асимптотическое равновесие [17, с.8],.

Н-оо +оо Л (г, а)<�т < +оо V" <Е [0, +оо), /^у = +оо, где 1(а) = to ?0 оо / Х (з, са) ёз, с > 0 — некоторая константа. В этом случае и уравнения (0.0.10) и (0.0.11) асимптотически эквивалентны по Брауэру относительно функции (¿-{р — ¿-о) = с.

Вновь рассмотрим дифференциальные уравнения (0.0.10) и (0.0.11). Положим М = [Т,+оо), где Т — некоторая константа. Пусть В = Н, Н — гильбертово пространство, сИт Н < оо, и пусть Н — подпространство в Н, сИтЯх < оо. Так как Н — гильбертово пространство, то существует такое подпространство #2 в Н, что Н = Я1+Я2. Пусть Р1 и Р2 — проекторы Н соответственно на Н и.

Положим в (г) = РА{?), д (г, х) = Р1/(?, ж), г е м, х е ни и рассмотрим дифференциальные уравнения = ?(*)?> + </(*,?>) (0.0.12) и — я (0.0.13) где (р (г), ф (г)? нг. Очевидно, В (-)? С (М, Нот (Нъ Ях)), # е С (М х ЯьЯх).

Пусть ?/(?) — оператор Коши уравнения (0.0.11), ?7(£о) — Ы — тождественный оператор, и для эволюционного оператора уравнения (0.0.11) справедливо неравенство и (г, з)\< <2(1−3), ?>*, (0.0.14) где: [0, +оо) —>• (0, +оо) — непрерывная неубывающая функция.

При каких условиях из асимптотической эквивалентности уравнений (0.0.10) и (0.0.11) следует асимптотическая эквивалентность уравнений (0.0.12) и (0.0.13) и наоборот? Ответ на этот вопрос дают две следующие теоремы.

Теорема 0.0.6. Пусть уравнения (0.0.10) и (0.0.11) асимптотически эквивалентны по Врауэру относительно функции ц, причем соответствия между решениями устанавливаются операторами Ь, Ь2: Н —"• Н. Если.

1. РгА^) = А{г)Рх V* 6 М;

2. выполняется условие (0.0.14);

3. существует непрерывная функция А (з) = вир, А (я, а-) < оо аен.

V зеМ, где ||/(М)|| < А (*, И), А е С ([Г,+оо) х [0, +оо), [0, +оо)),.

А не убывает по второй переменной;

4. /х е Н \(и (Ь)Р1 + Р2) х\ > С (*)||ж||, где С — непрерывная функция, С (Ь) > 0 Ше М;

5. начальные данные задач Коши для уравнений (0.0.10) и (0.0.11) принадлежат некоторому шару Бг радиуса г;

6. Н является инвариантным подпространством для операторов Ь и ½, то уравнения (0.0.12) и (0.0.13) асимптотически эквивалентны по Врауэру относительно функции и, причем > //(?) Ш Е М.

Теорема 0.0.7. Пусть уравнения (0.0.12) и (0.0.13) асимптотически эквивалентны по Врауэру относительно функции 7 г. Если.

1. РхА^) = А (г)Р1 Ш Е М;

2. выполняет, ся условие (0.0.14);

3. существует непрерывная функция А (з) = эирА^,") < сю аен з Е М, где ||/(¿-, л-)|| < А (*,||*||), А Е С ([Г,+оо) х [0, +оо), [0, +ос)), Л не убывает по второй переменной,.

4. Ух Е н \(и{г)Рг + Р2) х\ > С (?)||ж||, где С — непрерывная функция, С{Ь) > 0 Е М, то уравнения (0.0.10) и (0.0.11) асимптотически эквивалентны по Брауэру относительно функции 7/, причем г]{{) > 7 г (£) Е М.

В параграфе 3.3. исследуется управляемость за бесконечное время дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Пусть II, V — некоторые банаховы пространства. Рассмотрим систему.

Лх = ж,") (0.0.15) из множества Для каждого фиксированного ¿-о? [Т, +оо), хо Е и и управления и из некоторого класса Ко существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию х (Ц: ?о, яо, м) = доопределения управляемости за конечное и бесконечное время для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах полностью аналогичны соответствующим определениям для семейств морфизмов векторного расслоения.

Определение 0.0.13. [59, с.13] Пусть и Е Ко, 0 < г < +оо, Ко — класс допустимых управлений.

Будем говорить, что точка xq? U переводится в точку х? U за время г, если х (т: tQ, XQ, u) = х. При этом будем говорить, что допустимое управление и переводит точку xq в точку х.

Если точки xq и Х — произвольные, то система (0.0.15) называется управляемой на всем пространстве U (далее будем называть такие системы управляемыми за конечное время т). То есть управляемость означает следующее: какими бы ни были xq и х, существует управление и? Ко, которое переводит точку жо в точку х по решению уравнения (0.0.15).

Определение 0.0.14. [59, с.14] Пусть и? Iq, Kq — класс допустимых управлений.

Будем говорить, что точка xq Е U переводится в точку х Е U за бесконечное время, если lim x (t: tQ, XQ, u) = х. При этом.

-)•+оо будем говорить, что допустимое управление и переводит точку xq в точку х за бесконечное время.

Если точки xq и х — произвольные, то система (0.0.15) называется управляемой на всем пространстве U (далее будем называть такие системы управляемыми за бесконечное время). То есть управляемость в этом случае означает следующее: какими бы ни были xq и Х,? > 0, существует управление и? Kq, такое, что существует т = т (е, и) > 0 такое, что \x (t: to, xo, u) — <? как только t > г.

Другими словами, движущаяся точка, начиная с некоторого момента времени г, попадает в еокрестность точки х и оттуда не выходит при всех t > т.

Рассмотрим систему Ж = A (t)x + f (t, x, u), x (t0) = Xq, x (+Oc) = Xi, ' ' где A (t): и и, А? C ([t0,+oo), L (U, U)), L (U, U) — пространство линейных непрерывных операторов, x{t)? U, u{t)? V,.

T < t < +00, / G C ([T,+oo) x U xV, U), U, V — банаховы пространства.

Необходимо перевести точку хо в точку х по траектории уравнения (0.0.16) за бесконечное время.

Обозначим (p (t) = A (t)x, f (t, y, u) — f (t, y + xi, u). Предположим, что f (t, y, u) + y>(f)|| < де)|Ы| + где ф G C{[t0,+ 00), M), г] G C ([i0,+oo) хЦ).

Пусть Л (t) = max{—A (t), A (t)j, A (t) — наименьшее, a A (t) — наибольшее собственное значение самосопряженного оператора AH (t) = i[A (t) + A'(t)}.

Теорема 0.0.8. Если для системы (0.0.16) и управления u (t) выполняется одна из следующих альтернатив.

1. оо.

J (Л (s) + ip (s))ds = -00, 0.

00 / t0.

J 7](l, u (l)) exp I J (A (s) + i/j (s))ds) dl = 00;

0 i.

J (A (s) + ip (s))ds — +00, to.

00 / ?0 j rj (l, u (l)) exp.

0 V/.

A (s) -f il>(s))ds dl = 0,.

Hm = 0.

A (i) + ф (г) то точку xq G U можно перевести в точку х G U за бесконечное время по траектории системы (0.0.16).

Заключение

Представляется, что дальнейшее развитие изложенных в работе результатов может иметь несколько направлений.

Первое направление — построение общих теорем об асимптотической эквивалентности для эволюционных уравнений. Наличие таких теорем позволило бы существенно обобщить наши результаты.

Второе направление — построение теорем об управляемости за конечное и бесконечное время для более широких классов семейств морфизмов векторных расслоений.

Третье направление — постановка и решение задачи об устойчивости и стабилизации программных движений.

Показать весь текст

Список литературы

Алексеев В.М. Об одной оценке возмущений решений обыкно-венных дифференциальных уравнений. // Вестник Московского университета. Серия математика. 1961 г., N2, с. 28−36, N3, с. 3−10.
Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения:
Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., перераб. и доп., — М.: «Наука», гл.ред.физ-мат.лит., 1984. — 272 с.
Арнольд В.И. Лекции об уравнениях с частными производными. Изд. 2-е, доп. — М.: ФАЗИС, 1997. ХП+180 с.
Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — М.: «Мир», 1965. —276 с.
Березин Ф.А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. — М.:
Изд-во Моск. ун-та., 1983. — 392 с.
Борисов М.А. Векторное расслоение для линейных дифференциальных уравнений в частных производных. // Труды восьмой научной межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи»: Самара, 26 28 мая 1998 г. — Самара, 1998. — с. 12−14.
Борисов М.А. Управляемость за бесконечное время семействэндоморфизмов и сюръекций. // Труды девятой научной межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи»: Самара, 25 26 мая 1999 г. — Самара, 1999. — с. 17−21.
Борисов М.А. Асимптотическая эквивалентность семействсюръекций метризованного векторного расслоения. // Вестник Мордовского университета, 1999, N3−4, с. 121−125.
Борисов М.А. Управляемость семейства сюръекций метризованного векторного расслоения. // Математическое моделирование., 2000, Т.12, N3.
Васильев В.А. Введение в топологию. М.: ФАЗИС, 1997. —1. XII+132 с.
Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — изд.4.е. — М.: «Наука», гл.ред.физ-мат.лит., 1981. — 512 с.
Воскресенский Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе. — Саранск: Изд-во Сарат. ун-та. Саран, фил., 1990. — 224 с.
Воскресенский Е.В. О верхней границе равномерно ограниченных решений. // Материалы Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» 20−22 декабря 1994 года, Саранск. Саранск: Изд-во Мордовского университета, 1995, с. 4−11.
Воскресенский Е.В. О задаче Чезари. // Дифференциальныеуравнения. 1989 г., том 25, N9.
Воскресенский Е.В., Черников П. Г. О сравнении и управляемости нелинейных систем. // Труды Средневолжского математического общества. 1998 г., том 1, N1, с. 37−76.
Воскресенский Е.В. Асимптотическое равновесие, периодические решения и прямой метод Ляпунова. // Дифференциальные уравнения. 1999 г., том 35, N6.
Воскресенский Е.В. Асимптотическая эквивалентность дифференциальных уравнений и асимптотическая устойчивость решений. // Вестник Мордовского университета, 1999, N3−4, с. 116−119.
Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики. —1. М.: «Мир», 1981. — 504 с.
Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическаямеханика. — М.: «Мир», 1973. — 188 с.
Далецкий Ю.Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: «Наука», 1970. — 534 с.
Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: «Наука», гл.ред.физ-мат.лит., 1967. — 472 с.
Дубровин Б.А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения. Том первый. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. Изд. 4-е, испр. и доп. — М.: Эдиториал УРСС, 1998. — 336 с.
Дубровин Б.А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения. Том второй. Геометрия и топология многообразий. Изд. 4-е, испр. и доп. — М.: Эдиториал УРСС, 1998. — 280 с.
Егоров Ю.В. О некоторых задачах теории оптимального управления. // Доклады Академии наук СССР. 1962 г., том 145, N4, с. 720−723.
Егоров Ю.В. Некоторые задачи оптимального управления.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963 г., том 3, N5, с. 887−904.
Егоров Ю.В. Об оптимальном управлении в банаховом пространстве. // Успехи математических наук. 1963 г., том XVIII, выпуск 4(112), с. 211−213.
Егоров Ю.В. Оптимальное управление в банаховом пространстве. // Доклады Академии наук СССР. 1963 г., том 150, N2, с. 241−244.
Егоров Ю.В. Необходимые условия оптимальности управления в банаховых пространствах. // Математический сборник. 1964 г., том 64(106), N1, с. 79−101.
Егоров Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа. — М.: «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 360 с.
Зубов В.И. Устойчивость движения. Учебное пособие для унтов. — М.: «Высшая школа», 1973. — 271 с.
Зубов В.И. Лекции по теории управления. — М.: «Наука», гл.ред.физ-мат. лит., 1975. — 495 с.
Зубов В.И. Теория колебаний: Учеб. пособие для университетов. — М.: Высш. школа, 1979. — 400 с.
Канторович Л.В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. —
М.: «Наука», гл.ред.физ-мат. лит., 1984. — 752 с.
Кибенко A.B. Применение асимптотического равновесия к решению двухточечной задачи с параметром на полуоси. // Известия высших учебных заведений. Математика. 1991 г., N1.
Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций ифункционального анализа. — М.: «Наука», гл.ред.физ-мат. лит., 1968. — 496 с.
Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Томпервый. — М.-Л.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1933. — 532 с.
Лионе Жан-Луи. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями в частных производных. — М.: «Мир», 1972.
Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. — М.: «Наука», гл.ред.физ-мат.лит., 1975. — 480 с.
Люстерник Л.А., Соболев В. И. Элементы функциональногоанализа. — М.: «Наука», гл.ред.физ-мат. лит., 1965. — 520 с.
Мартинсон Л.К., Малов Ю. И. Диференциальные уравненияматематической физики: Учебник для студентов вузов / Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1996. — 368 с.
Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. — М.: «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 312 с.
Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов. —
М.: «Советская Энциклопедия», 1979.
Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. —1. М.: «Мир», 1977. — 504 с.
Миллионщиков В. М. Бэровские классы функций и показатели
Ляпунова. I. // Дифференциальные уравнения, т. 16, N8, 1980, с. 1408−1416.
Миллионщиков В. М. Бэровские классы функций и показатели
Ляпунова. II. // Дифференциальные уравнения, т. 16, N9, 1980, с. 1587−1598.
Миллионщиков В.М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. III. // Дифференциальные уравнения, т. 16, N10, 1980, с. 1766−1785.
Миллионщиков В.М. Показатели Ляпунова семейства эндоморфизмов метризованного векторного расслоения. // Математические заметки, т. 38, N1, 1985, с. 92−109.
Миллионщиков В.М. Нормальные базисы семейства эндоморфизмов метризованного векторного расслоения. // Математические заметки, т. 38, N5, 1985, с. 691−708.
Миллионщиков В.М. Формулы для показателей Ляпунова семейства эндоморфизмов метризованного векторного расслоения. // Математические заметки, т. 39, N1, 1986, с. 2951.
Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных.
Учебное пособие для вузов. — М.: «Высш. школа»., 1977. — 431 с.
Мищенко A.C. Векторные расслоения и их применения. — М.:
Наука". Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 208 с.
Никитин И.П. Метод сравнения и управляемость механических систем. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук. Саранск, 1996.
Павлов А.Ю. Метод сравнения и управляемость нелинейныхсистем. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук. Саранск, 1995. — 143 с.
Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений./Под ред. АД. Мышкиса, O.A. Олей-ник. — М.: Изд-во МГУ, 1984. — 296 с.
Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. — М.-Л.: Гостехиздат, 1947. — 354 с.
Симметрии и законы сохранения уравнений математическойфизики. Бочаров A.B., Вербовецкий A.M., Виноградов A.M. и др. — М.: Изд-во «Факториал»., 1997. — 464 с.
Соболев С.Jl. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — М.: «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 336 с.
Соболев С.Л. Избранные вопросы теории функциональныхпространств и обобщенных функций. — М.: «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.
Соболев С.Л. Уравнения математической физики. — М.: «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992.
Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. —
М.: «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983. — 432 с.
Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. — М.:1. Мир"., 1985. — 472 с.
Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математическойфизики. — М.: «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. — 724 с.
Толстов Г. П. Ряды Фурье. 3-е изд. — М.: «Наука». Гл. ред.физ.-мат. лит., 1980. — 384 с.
Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология: математические образы в реальном мире. — 2-е изд. — М.: Изд-во Моск. ун-та, Изд-во «ЧеРо»., 1998. — 416 с.
Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Перевод с англ. И. Х. Сабитова и Ю. В. Егорова. Под ред. В. М. Алексеева. М.: «Мир», 1970. — 720 с.
Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. — М.: «Мир», 1970. — 442 с.
Черников П.Г. О некоторых достаточных условиях асимптотической эквивалентности систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. //123 —
Материалы Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» 20 22 декабря 1994 г., Саранск. — Саранск: Изд-во Мордовского университета, 1995, с. 244−257.
Voskresensky E.V. Asymptotic equivalence and homeomorphismof the families of endomorphism of the metrizable vector fibering. // Comment. Math. Univ. Car. 1989. Vol. 30, N4, p. 737−741.
Seizi Saito. Асимптотическая эквивалентность квазилинейныхобыкновенных дифференциальных уравнений. // Math. Japonika, 37, N3 (1992), p. 503−513.

Заполнить форму текущей работой