Модельные подпространства пространств Харди (неравенства Бернштейна, системы воспроизводящих ядер, теоремы типа Берлинга-Мальявена)
В. Н. Логвиненко, Ю. Ф. Середа, Эквивалентные нормы в пространстве целых функций экспоненциального типа, Теория функций, функциональный анализ и их приложения 19, Харьков, 1973, 102−111. Ю. С. Белов, Критерии допустимости мажорант для модельных подпространств с быстро растущим аргументом порождающей внутренней функции, Зап. научн. семин. ПОМИЪАЬ (2007), 55−84. В. В. Пеллер, Операторы Ганкеля… Читать ещё >
Модельные подпространства пространств Харди (неравенства Бернштейна, системы воспроизводящих ядер, теоремы типа Берлинга-Мальявена) (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Содержание
Теория модельных пространств представляет собой обширный и активно развивающийся раздел современного анализа. В важном частном (скалярном) случае модельные пространства определяют как Ке = Н2 © &-Н2, где Н2 — пространство Харди в единичном круге В (или в верхней полуплоскости С+), а в — внутренняя функция. Согласно классической теореме А. Берлинга подпространства К&- и только они инвариантны относительно оператора обратного сдвига в Н2. Теория пространств К@ играет выдающуюся роль в современной теории операторов в гильбертовом пространстве и в комплексном анализе.
Становление теории модельных пространств относится к 1960-м годам, когда Б. Секефальви-Надь и Ч. Фойаш построили свой замечательный вариант спектральной теории — функциональную модель операторов сжатия в гильбертовом пространстве. Как оказалось, всякий оператор сжатия Т (то есть оператор, удовлетворящий условию ||Т|| <1) такой, что последовательность {Тп}п>о поточечно сходится к нулю, может быть реализован как сужение оператора «кратного сдвига» на некоторое инвариантное подпространство оператора обратного сдвига. В простейшем варианте теории, когда I — Т*Т — оператор ранга 1, соответствующее подпространство совпадает с некоторым подпространством К@ в скалярном пространстве Харди. Отсюда происходит ныне широко используемый термин модельное {под) пространство.
Одновременно, в конце 1950-х — начале 1960-х годов, Л. де Бранж создал теорию гильбертовых пространств целых функций. Эта теория позволила решить одну из важнейших задач математической физики, а именно обратную спектральную задачу для одномерных операторов Шредингера и двумерных канонических систем. Теория пространств де Бранжа тесно связана с теорией модельных пространств (а именно, имеется естественный унитарный изоморфизм между пространствами де Бранжа и модельными пространствами, порожденными мероморфными внутренними функциями).
Модельные пространства играют исключительно важную роль как в теории операторов, так и в комплексном анализе. В 1960-х годах они возникают в работах X. Шапиро, А. Шилдса, Н. К. Никольского о базисах Рисса (безусловных базисах) из ядер Коши в пространстве Н2 (соответственно в Нр). В 1970-е годы существенный вклад как в изучение аналитических свойств элементов модельных пространств, так и в теорию операторов на модельных пространствах, внесли работы П. Ахерна и Д. Кларка (существование граничных значений, меры Кларка), а позднее работы Д. Сарасона и У. Кона.
Теория модельных пространств стала одним из важнейших направлений деятельности ленинградской школы теории функций. Существенную роль в становлении теории модельных пространств сыграла монография Н. К. Никольского «Лекции об операторе сдвига», появившаяся в 1980 году. Значительные результаты в этой области были получены A.B. Александровым, В. И. Васюниным, A.JI. Вольбергом, С. Р. Треилем, K.M. Дьяконовым, А. Г. Полторацким. В работах Н. К. Никольского, C.B. Хрущева и B.C. Павлова были получены важные результаты об описании базисов Рисса из воспроизводящих ядер в модельных пространствах. Как частный случай их результаты содержат решение знаменитой задачи Пэли и Винера о базисах из экспонент.
В настоящее время теория модельных пространств представляет собой активно развивающуюся область операторно-ориентированной теории функций. Недавние продвижения в ней связаны с работами В. П. Хавина (в соавторстве с Дж. Машреги) о допустимых мажорантах для модельных пространств и с работами Н. Г. Макарова и А. Г. Полторацкого о полноте систем воспроизводящих ядер и инъективности операторов Теплица. В первом цикле работ был предложен существенно новый подход к теореме Берлинга-Мальявена о мультипликаторе и доказаны теоремы о допустимых мажорантах для модельных пространств. В работах Макарова и Полторацкого построен аналог теории Берлинга-Мальявена, получены результаты о полноте систем воспроизводящих ядер, обобщающие теорему Берлинга-Мальявена о радиусе полноты для семейств экспонент, и рассмотрены
приложения к вопросам полноты собственных функций операторов Шредингера.
Несмотря на успешное и активное развитие теории модельных пространств, в ней остается большое количество открытых вопросов и нерешенных задач. Одной из таких задач, является, например, описание мер Карлесона для модельных пространств, представляющее особый интерес в свете недавних работ Д. Сарасона об усеченных операторах Теплица.
Другие нерешенные вопросы связаны с геометрическими свойствами систем воспроизводящих ядер — нет полного описания базисов Рисса из воспроизводящих ядер в модельном пространстве (и даже неизвестно, всегда ли существует базис Рисса из ядер), представляют интерес явные и легко проверяемые критерии полноты (т.е. описание множеств единственности), вопросы полноты систем, биортогональных системам воспроизводящих ядер, и возможность спектрального синтеза. Отметим, что для широкого класса операторов Шредингера имеется канонический изоморфизм (преобразование Вейля-Титчмарша), сопоставляющее данной спектральной задаче некоторое модельное пространство К©-, причем собственным функциям отвечают воспроизводящие ядра в К©-. Таким образом, геометрические свойства систем воспроизводящих ядер представляют значительный интерес с точки зрения спектральной теории операторов Шредингера.
В диссертации получены новые результаты, относящиеся к теоретико-функциональным и геометрическим свойствам модельных пространств. Можно выделить следующие основные направления исследований: весовые неравенства Бернштейна для модельных пространств-
1. А. Б. Александров, Внутренние функции и связанные с ними пространства псевдо-продолжимых функций, Зап. научи, семин. ПОМИ170 (1989), 7−33.
2. А. Б. Александров, О существовании угловых граничных значений псевдопродол-жимых функций, Зап. научн. семин. ПОМИ 222 (1995), 5−17.
3. А. Б. Александров, Простое доказательство теоремы Вольберга-Треиля о вложении коинвариантных подпространств оператора сдвига, Зап. научн. семин. ПОМИ 217 (1994), 16−25.
4. А. Б. Александров, О теоремах вложения для коинвариантных подпространств оператора сдвига. И, Зап. научн. семин. ПОМИ 262 (1999), 5−48.
5. Н. И. Ахиезер, Об одном обобщении преобразования Фурье и теоремы Винер-Палей, Докл. АН СССР 96 (1954), 889−892.
6. Н. И. Ахиезер, Классическая проблема моментов, М., Физматлит, 1961.
7. А. Д. Баранов, Изометрические вложения пространств К@ в верхней полуплоскости, Проблемы математического анализа 21, Научная книга, Новосибирск, 2000, 27−68.
8. Ю. С. Белов, Критерии допустимости мажорант для модельных подпространств с быстро растущим аргументом порождающей внутренней функции, Зап. научн. семин. ПОМИЪАЬ (2007), 55−84.
9. Ю. С. Белов, Необходимые условия допустимости мажорант для некоторых модельных подпространств, Алгебра и анализ 20 (2008), 4, 1−26.
10. Ю. А. Брудный, Е. А. Горин, Изометрические представления и дифференциальные неравенства, Ярославль, 1981.
11. А. Л. Вольберг, С. Р. Треиль, Теоремы вложения для инвариантных подпространств оператора обратного сдвига, Зап. научн. семин. ЛОМИ 149 (1986), 38−51.
12. Дж. Гарнетт, Ограниченные аналитические функции, М., Мир, 1984.
13. А. А. Гончар, Скорость приближения рациональными дробями и свойства функций. В кн. Труды Международного конгресса математиков. 1966, М., 1968, 329−356.
14. Е. А. Горин, Неравенства Бернштейна с точки зрения теории операторов, Вестник. Харьков, унив. сер. прикл. мат. и мех., (1980), 77−105.
15. К. Гофман, Банаховы пространства аналитических функций, М., ИЛ, 1963.
16. И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов, М., Наука, 1965.
17. В. П. Гурарий, Преобразование Фурье в L2{—оо, оо) с весом, Матем. сб. 58(100) (1962), 4, 439−452.
18. В. И. Данченко, Об одной интегральной оценке производной рациональной функции, Изв. АН СССР. Сер. матем. 43 (1979), 2, 277−293.
19. JI. Н. Довбыш, Н. К. Никольский, В. Н. Судаков, Насколько хорошим может быть ненаследственно полное семейство? Зап. паучн. семин. ЛОМИ 73 (1977), 52−69.
20. Е. П. Долженко, Оценки производных рациональных функций, Изв. АН СССР. Сер. матем. 27 (1963), 1, 9−28.
21. В. Н. Дубинин, С. И. Калмыков, Принцип мажорации для мероморфных функций, Матем. сб. 198 (2007), 12, 37−46.
22. К. М. Дьяконов, Модули и аргументы аналитических функций из подпространств в Нр, инвариантных для оператора обратного сдвига, Сиб. мат. оюур. 31 (1990), 6, 64−79.
23. К. М. Дьяконов, Целые функции экспоненциального типа и модельные подпространства в Нр, Зап. паучн. семин. ЛОМИ 190 (1991), 81−100.
24. Б. Ерикке, В. П. Хавин, Следы гармонических функций и сравнение //-норм аналитических функций, Math. Nachr. 123 (1985), 225−254.
25. M. И. Кадец, Точное значение постоянной Палея-Винера, Докл. АН СССР 155 (1964), 1253−1254.
26. Б. И. Коренблюм, Квазианалитические классы функций в круге, Докл. АН СССР 164 (1965), 1, 36−39.
27. И. Ф. Красичков-Терновский, Интерпретация теоремы Берлинга-Мальявена о радиусе полноты, Матем. сб. 180 (1989), 3, 397−423.
28. П. Кусис, Введение в теорию пространств Нр, М., Мир, 1984.
29. Б. Я. Левин, Распределение корней целых функций. М., Гостехиздат, 1956.
30. М. Б. Левин, Оценка производной от мероморфной функции на границе области, Докл. АН СССР 15 (1974), 3, 831−834.
31. М. Б. Левин, Оценка производной от мероморфной функции на границе области, Теория функций, функциональный анализ и их приложения, вып. 24, Харьков, 1975, 68−85.
32. В. Н. Логвиненко, Ю. Ф. Середа, Эквивалентные нормы в пространстве целых функций экспоненциального типа, Теория функций, функциональный анализ и их приложения 19, Харьков, 1973, 102−111.
33. Дж. Машреги, Ф. Л. Назаров, В. П. Хавин, Теорема Берлинга-Мальявена: седьмое доказательство, Алгебра и Анализ 17 (2005), 5, 3−68.
34. С. Н. Мергелян, Весовые приближения многочленами, Успехи мат. наук 11 (1956), 5, 107−152.
35. А. М. Минкин, Отражение показателей и безусловные базисы из экспонент, Алгебра и анализ 3 (1991), 5, 109−134.
36. Н. К. Никольский, Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа, Труды МИАН им. Стеклова 120 (1974).
37. Н. К. Никольский, Лекции об операторе сдвига, М., Наука, 1980.
38. С. М. Никольский, Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., Наука, 1969.
39. Б. С. Павлов, Базисность систем экспонент и условие Макенхоупта, Докл. АН СССР 247 (1979), 1, 37−40.
40. Б. П. Панеях, Некоторые неравенства для функций экспоненциального типа и априорные оценки для общих дифференциальных операторов, Успехи матем. наук 21 (1966), 3, 75−114.
41. О. Г. Парфенов, О свойствах операторов вложения некоторых классов аналитических функций, Алгебра и анализ 3 (1991), 2, 199−222.
42. О. Г. Парфенов, Весовые оценки преобразования Фурье, Зап. научн. семин. ПОМИ 222 (1995), 151−162.
43. А. А. Пекарский, Неравенства тира Бернштейна для произвольных рациональных функций и обратные теоремы рациональной аппроксимации, Матем. сб. 124(166) (1984), 4(8), 571−588.
44. В. В. Пеллер, Операторы Ганкеля класса 6Р и их приложения (рациональная аппроксимация, гауссовские процессы, проблема мажорации операторов), Матем. сб. 113(155) (1980), 4(12), 538−581.
45. В. В. Пеллер, Операторы Ганкеля и их прилоэ! сения, Ижевск, РХД, 2005.
46. А. Г. Полторацкий, Граничное поведение псевдопродолжимых функций, Алгебра и анализ 5 (1993), 2, 189−210.
47. В. Н. Русак, Рациональные функции как аппарат приближения, Минск, Изд. БГУ, 1979.
48. А. М. Седлецкий, Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации, М., ФМЛ, 2005.
49. Б. Секефальви-Надь, Ч. Фойаш, Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве, М., Мир, 1971.
50. И. Стейн, Г. Вейс, Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, М., Мир, 1974.
51. Б. Н. Хабибуллин, Полнота систем экспонент и множества единственности, Уфа, РИЦ БашГУ, 2008.
52. P. R. Ahern, D. N. Clark, Radial limits and invariant subspaces, Amer. J. Math. 921 970), 332−342.
53. P. R. Ahern, D. N. Clark, Radial nth derivatives of Blaschke products, Math. Scand. 281 971), 189−201.
54. A. B. Aleksandrov, On embedding theorems for coinvariant subspaces of the shift operator. I, Operator Theory: Advances and Applications 113 (2000), 45−64.
55. J. M. Anderson, J. Rovnyak, On generalized Schwarz-Pick estimates, Mathematika 53 (2006), 1, 161−168.
56. S. A. Avdonin, S. A. Ivanov, Families of Exponentials. The Method of Moments in Controllability Problems for Distributed Parameter Systems, N.Y., Cambridge Univ. Press, 1995.
57. Yu. S. Belov, T. Y. Mengestie, K. Seip, Discrete Hilbert transforms on sparse sequences, arXiv:0912.2899vl, to appear in Proc. bond. Math. Soc.
58. A. Beurling, P. Malliavin, On Fourier transforms of measures with compact support, Acta Math. 107 (1962), 291−309.
59. A. Beurling, P. Malliavin, On the closure of characters and the zeros of entire functions, Acta Math. 118 (1967), 79−93.61. 0. Blasco, H. Jarchow, A note on Carleson measures for Hardy spaces, Acta Sci. Math (Szeged), 71 (2005), 2, 371−389.
60. A. Borichev, M. Sodin, Weighted polynomial approximation and the Hamburger moment problem, Complex analysis and differential equations, Proceedings of the Marcus Wallenberg Symposium in Honor of Matts Essen, Uppsala University, 1998.
61. A. Borichev, M. Sodin, The Hamburger moment problem and weighted polynomial approximation on discrete subsets of the real line, J. Anal. Math. 76 (1998), 219−264.
62. P. Borwein, T. Erdelyi, Polynomials and Polynomial Inequalities, Springer-Verlag, 1995.
63. P. Borwein, T. Erdelyi, Sharp extensions of Bernstein’s inequality to rational spaces, Mathematika 43 (1996), 2, 413−423.
64. L. de Branges, Some Hilbert spaces of entire functions, Proc. Amer. Math. Soc. 10 (1959), 5, 840−846.
65. L. de Branges, Some Hilbert spaces of entire functions, Trans. Amer. Math. Soc. 96 (1960), 259−295.
66. L. de Branges, J. Rovnyak, Canonical models in quantum scattering theory, 295−392. In: Perturbation theory and its application in quantum mecanics, Madison, 1965, ed. C.H.Wilcox, Wiley, N.Y., 1966.
67. L. de Branges, J. Rovnyak, Square Summable Power Series, Holt, Rinehart and Winston, N.Y., 1966.
68. L. de Branges, Hilbert Spaces of Entire Functions, Prentice Hall, Englewood Cliffs (NJ), 1968.
69. P. G. Casazza, 0. Christensen, A. Lindner, R. Vershynin, Frames and the Feichtinger conjecture, Proc. Amer. Math. Soc. 133 (2005), 1025−1033.
70. P. G. Casazza, J. C. Tremain, The Kadison-Singer problem in mathematics and engineering, Proc. Natl. Acad. Sei. USA 103 (2006), 2032;2039.
71. J. A. Cima, A. L. Matheson, On Carleson embeddings of star-invariant subspaces, Quaest. Math. 26 (2003), 3, 279−288.
72. J. A. Cima, W. T. Ross, The Backward Shift on the Hardy Space, Math. Surveys Monogr. 79, AMS, Providence, RI, 2000.
73. D. N. Clark, One-dimensional perturbations of restricted shifts, J. Anal. Math. 25 (1972), 169−191.
74. B. Cohn, Carleson measures for functions orthogonal to invariant subspaces, Pacific J. Math. 103 (1982), 2, 347−364.i.
75. W. S. Cohn, Radial limits and star invariant subspaces of bounded mean oscillation, Amer. J. Math. 108 (1986), 3, 719−749.
76. W. S. Cohn, Carleson measures and operators on star-invariant subspaces, J. Oper. Theory 15 (1986), 1, 181−202.
77. W. S. Cohn, On fractional derivatives and star invariant subspaces, Michigan Math. J. 34 (1987), 3, 391−406.
78. K. M. Dyakonov, Moment problems for bounded functions, Comm. Anal. Geom. 2 (1994), 4, 533−562.
79. K. M. Dyakonov, Smooth functions in the range of a Hankel operator, Indiana Univ. Math. J. 43 (1994), 805−838.
80. K. M. Dyakonov, Embedding theorems for star-invariant subspaces generated by smooth inner functions, J. Fund. Anal. 157 (1998), 588−598.
81. K. M. Dyakonov, Continuous and compact embeddings between star-invariant subspaces, Oper. Theory Adv. Appl. 113 (2000), 65−76.
82. K. M. Dyakonov, Differentiation in star-invariant subspaces I: Boundedness and compactness, J. Fund. Anal. 192 (2002), 364−386.
83. K. M. Dyakonov, Differentiation in star-invariant subspaces II: Schatten class criteria, J. Fund. Anal. 192 (2002), 387−409.
84. H. Dym, H. McKean, Gaussian Processes, Function Theory, and the Inverse Spectral Problem, Academic Press, New York, 1976.
85. J. P. Earl, On the interpolation of bounded sequences by bounded functions, J. Lond. Math. Soc. 2 (1970), 544−548.
86. E. Fricain, Bases of reproducing kernels in model spaces, J. Oper. Theory 46 (2001), 3 (suppl.), 517−543.
87. E. Fricain, Completude des noyaux reproduisants dans les espaces modeles, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 52 (2002), 2, 661−686.
88. E. Fricain, J. Mashreghi, Boundary behavior of functions of the de Branges spaces, Complex Anal. Oper. Theory, 2 (2008), 87−97.
89. E. Fricain, J. Mashreghi, Integral representation of the n-th derivative in de Branges-Rovnyak spaces and the norm convergence of its reproducing kernel, Annales de l’Institut Fourier, 58 (2008), 6, 2113−2135.
90. I. Gohberg, M. G. Krem, Theory and Applications of Volterra Operators in Hilbert Space, Translations of Mathematical Monographs, AMS. Providence, Rhode Island, 1970.
91. L. Golinskii, I. Mikhailova, Hilbert spaces of entire functions as a ./-theory subject, Oper. Theory Adv. Appl. 95 (1997), 205−251.
92. M. L. Gorbachuk, V. I. Gorbachuk, M.G. Krein’s lectures on entire operators, Oper. Theory Adv. Appl. 97, Birkhauser Verlag, Basel, 1997.
93. A. Hartmann, D. Sarason, K. Seip, Surjective Toeplitz operators, Acta Sei. Math. (Szeged) 70 (2004), 3−4, 609−621.
94. S. Hassi, H. S. V. de Snoo, H. Winkler, Boundary-value problems for two-dimensional canonical systems, Integr. Equ. Oper. Theory 36 (2000), 4, 445−479.
95. V. Havin, B. Joricke, The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1994.
96. V. P. Havin, J. Mashreghi, Admissible majorants for model subspaces of H2. Part I: slow winding of the generating inner function, Can. J. Math. 55 (2003), 6, 1231−1263.
97. V. P. Havin, J. Mashreghi, Admissible majorants for model subspaces of H2. Part II: fast winding of the generating inner function, Can. J. Math. 55 (2003), 6, 1264−1301.
98. H. Hedenmalm, B. Korenblum, K. Zhu, Theory of Bergman Spaces, Graduate Texts in Mathematics 199, Springer-Verlag, New York-Berlin, 2000.
99. S. V. Hruscev, N. K. Nikolskii, B. S. Pavlov, Unconditional bases of exponentials and of reproducing kernels, Lecture Notes in Math. 864 (1981), 214−335.
100. M. Kaltenback, H. Woracek, Hermite-Biehler functions with zeros close to the imaginary axis, Proc. Amer. Math. Soc. 133 (2005), 1, 245−255.
101. M. Kaltenback, H. Woracek, De Branges spaces of exponential type: general theory of growth, Acta Sei. Math. (Szeged) 71 (2005), 1−2, 231−284.
102. P. Koosis, Interior compact spaces of functions on a half-line, Comm. Pure Appl. Math. 10 (1957), 583−615.
103. P. Koosis, The Logarithmic Integral I, Cambridge Stud. Adv. Math. 12, 1988.
104. P. Koosis, The Logarithmic Integral II, Cambridge Stud. Adv. Math. 21, 1992.
105. P. Koosis, Measures orthogonales extremales pour l’approximation ponderee par des polynomes, C.R. Acad. Sci. Paris 311 (1990), 503−506.
106. P. Koosis, Lecons sur le Theoreme de Beurling et Malliavin, Les Publications CRM, Montreal, 1996.
107. P. Koosis, Estimating polynomials and entire functions by using their logarithmic sums over complex sequences, St. Petersburg Math. J. 13 (2002), 5, 757−789.
108. P. D. Lax, Remarks on the preceding paper, Comm. Pure Appl. Math. 10 (1957), 617 622.
109. B. Ya. Levin, Lectures on Entire Functions, Tiansl. Math. Monogr. Vol. 150, AMS, Providence, RI, 1996.
110. X. Li, R. N. Mohapatra, R. S. Rodriguez, Bernstein-type inequalities for rational functions with prescribed poles, J. London Math. Soc. 51 (1995), 2, 523−531.
111. D. H. Luecking, Trace ideal criteria for Toeplitz operators, J. Funct. Anal. 73 (1987), 2, 345−368.
112. Yu. I. Lyubarskii, K. Seip, Complete interpolation sequences for Paley-Wiener spaces and Muckenhoupt’s (Ap) condition, Rev. Mat. Iber. 13 (1997), 2, 361−376.
113. Yu. I. Lyubarskii, K. Seip, Weighted Paley-Wiener spaces, J. Amer. Math. Soc. 15 (2002), 4, 979−1006.
114. H. P. McKean, Some questions about Hardy functions, Linear and Complex Analysis Problem Book 3, Part I (V.P. Havin, N. K. Nikolski Eds.), Led. Notes Math. 1573 (1994), 157−158.
115. N. Makarov, A. Poltoratski, Meromorphic inner functions, Toeplitz kernels and the uncertainty principle, Perspectives in Analysis, Math. Phys. Stud. 27, Springer, Berlin, 2005, 185−252.
116. N. Makarov, A. Poltoratski, Beurling-Malliavin theory for Toeplitz kernels, Invent. Math. 180, 3 (2010), 443−480.
117. F. Nazarov, A. Volberg, The Bellman function, the two-weight Hilbert transform, and embeddings of the model spaces K&, J. Anal. Math. 87 (2002), 385−414.
118. N. K. Nikolski, Operators, Functions, and Systems: an Easy Reading. Vol. 1. Hardy, Hankel, and Toeplitz, Math. Surveys and Monographs, 92, AMS, Providence, RI, 2002.
119. N. K. Nikolski, Operators, Functions, and Systems: an Easy Reading. Vol. 2. Model Operators and Systems, Math. Surveys and Monographs, 93, AMS, Providence, RI, 2002.
120. J. Ortega-Cerda, K. Seip, Fourier frames, Ann. of Math. (2), 155 (2002), 3, 789−806.
121. S. С. Power, Vanishing Carleson measures, Bull. bond. Math. Soc. 12 (1980), 3, 207−210.
122. Q. I. Rahman, G. Schmeisser, LP inequalities for entire functions of exponential type, Trans. Amer. Math. Soc. 320 (1990), 1, 91−103.
123. Q. I. Rahman, Q. M. Tariq, On Bernstein’s inequality for entire functions of exponential type, Comput. Methods Funct. Theory 7 (2007), 1, 167−184.
124. R. M. Redheffer, Completeness of sets of complex exponentials, Adv. Math. 24 (1977), 1, 1−62.
125. C. Remling, Schrodinger operators and de Branges spaces, J. Funct. Anal. 196 (2002), 2, 323−394.
126. D. Sarason, Sub-Hardy Hilbert Spaces in the Unit Disk, University of Arkansas Lecture Notes in the Mathematical Sciences 10, John Wiley & Sons Inc., New York, 1994.
127. D. Sarason, Algebraic properties of truncated Toeplitz operators, Oper. Matrices 1 (2007), 4, 491−526.
128. K. Seip, On the connection between exponential bases and certain related sequences in L2{-7Т, 7г), J. Funct. Anal. 130 (1995), 1, 131−160.
129. K. Seip, Lnterpolation and Sampling in Spaces of Analytic Functions, Univ. Lect. Ser., Vol. 33, AMS, Providence, RI, 2004.
130. J. E. Shapiro, Relative angular derivatives, J. Operator Theory 46 (2001), 2, 265−280.
131. H. S. Shapiro, A. L. Shields, On some interpolation problems for analytic functions, Amer. J. Math. 83 (1961), 513−532.
132. C. Sundberg, Truncations of BMO functions, Lndiana Univ. Math. J. 33 (1984), 5, 749−771.
133. E. M. Stein, Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Lntegrals, Princeton Univ. Press, Princeton, 1993.
134. V. Totik, Derivatives of entire functions of higher order, J. Approx. Theory 64 (1991), 2, 209−213.
135. A. L. Volberg, Thin and thick families of rational fractions, Lect. Notes in Math., 864 (1981), 440−480.
136. H. Woracek, De Branges spaces of entire functions closed under forming difference quotients, Lntegr. Equat. Oper. Theory 37 (2000), 2, 238−249.
137. R. M. Young, An Lntroduction to Nonharmonic Fourier Series, Academic Press, New-York, 1980.
138. R. M. Young, On complete biorthogonal systems, Proc. Amer. Math. Soc. 83 (1981), 3, 537−540.Оглавление1 Введение 1.
139. Неравенства типа Бернштейна для модельных пространств.1312.1 Исторический обзор.1312.2 Основные результаты Главы 2.15.
140. Неравенства типа Бернштейна для модельных пространств в С+.19.
141. Теоремы вложения для модельных пространств.22.
142. Пространства де Бранжа-Ровняка.26.
143. Теоремы типа Берлинга-Мальявена для модельных пространств.39.
144. Мажоранты мероморфных функций с фиксированными полюсами.44.
145. Полнота систем воспроизводящих ядер.49.
146. Структура подпространств в пространствах де Бранжа.55 111 Основные обозначения .58.
147. Неравенства типа Бернштейна 6021 Основные результаты.60.
148. Интегральные операторы и меры Карлесона.63.
149. Оценки норм воспроизводящих ядер .70.
150. Доказательство основных результатов .74.
151. Неравенства Бернштейна для модельных подпространств в полуплоскости 75.
152. Неравенства Бернштейна для модельных пространств в С+ 79.
153. Внутренние функции с ограниченной производной.79.
154. Внутренние функции с нулями, отделенными от Е.83.
155. Неравенства Бернштейна и внутренне-компактные подпространства. 9734.1 Постановка задачи.9734.2 Вспомогательные утверждения .9834.3 Основные результаты.99.
156. Теоремы вложения для модельных подпространств 10 341 Основные результаты.103.
157. Доказательство теоремы вложения.10 643 Компактные вложения .111.
158. Классы Sr. Достаточные условия.113.
159. Необходимые условия включения J^ G ST .118.
160. Пространства де Бранжа—Ровняка 122.
161. Интегральные представления .122.
162. Неравенства типа Бернштейна.125.
163. Расстояния до множеств уровня.131.
164. Теоремы вложения для пространств де Бранжа-Ровняка .133.
165. Базисы из воспроизводящих ядер и их устойчивость 13 861 Основные результаты.138.
166. Предварительные сведения о базисах Рисса и фреймах .142.
167. Доказательство основной теоремы и следствий.143.
168. Возмущения базисов Кларка. Примеры неустойчивости.148.
169. Гипотеза Фейхтингера для воспроизводящих ядер .152.
170. Теоремы типа Берлинга—Мальявена 158.
171. Параметризация множества допустимых мажорант.158.
172. Почти возрастающие функции.16 172.1 Формулировка основной теоремы.16 172.2 Основная лемма.16 372.3 Доказательство теоремы 7.2.1.166.
173. Мажоранты мероморфных функций 178.
174. Существование минимальных мажорант и плотность полиномов.17 881.1 Основные результаты.17 881.2 Общие критерии полноты полиномов.18 181.3 Описание D-множеств и Ds-множеств.18 581.4 Доказательство теоремы 8.1.2. Примеры.188.
175. Мажоранты для произведения Бляшке с односторонними нулями.192.
176. Доказательство теоремы о мажорантах из класса Adm+(?i) .196.
177. Мажорирование на отрицательной полуоси .20 385 Степенной рост нулей.207и.
178. Касательное приближение нулей.215.
179. Полнота систем воспроизводящих ядер 220.
180. Критерии полноты в терминах аргумента внутренней функции.220.
181. Устойчивость полноты и критерии в терминах плотности.225.
182. Полнота биортогональной системы.234.
183. Базисы Рисса из воспроизводящих ядер.240.
184. Структура подпространств в пространствах де Бранжа 249.
185. Предварительные сведения о пространствах де Бранжа.249 101.1 Средний тип и дивизоры.249 101.2 Аксиоматическое описание пространств де Бранжа.250 101.3 Структура подпространств пространства де Бранжа.253.
186. Допустимые мажоранты в пространстве де Бранжа .257.
187. Мажорирование на вещественной прямой .260.
188. Мажорирование на множествах, близких к вещественной прямой.264.
189. Мажорирование вдоль мнимой оси.269.
190. Мажорирование на лучах, параллельных вещественной прямой.275.
191. Оценки внутренних функций на горизонтальных лучах.278.