Анализ метода знакопостоянных функций Ляпунова

• Введение
• Метод знакопостоянных функций Ляпунова в задачах о стабилизации и синтезе управления для нелинейной управляемой системы
• § 1. Постановка задачи о синтезе управления
• § 2. Задачи синтеза управления для автономной управляемой системы
• Список литературы

Середина 20-го века ознаменовалась интенсивным развитием математической теории управления. Это развитие было связано прежде всего с необходимостью решения задач управления механическими объектами, а в дальнейшем, также и с исследованием технологических и экономических процессов. Одной из центральных задач теории и практики управления остается проблема синтеза законов управления механическими системами. Основы решения этой проблемы заложены в работах Н. Н. Красовского, В. В. Румянцева, А. М. Летова, Д. Е. Охоцимского, Ф. Л. Черноусько, Е. С. Пятницкого и их научных школ.

Принцип динамического программирования представляет собой синтез вариационного исчисления и метода функций Ляпунова [14, 24, 26]. На этом базируются основные методы стабилизации движений управляемых систем, в том числе механических, на бесконечном интервале времени [2, 4, 22, 23, 25, 32, 33, 37] и синтеза управления на конечном отрезке времени [8, 9, 16−20] с применением функции Ляпунова.

В показано применение функции Ляпунова со знакоотрицательной производной в задаче синтеза управления в системе, асимптотически устойчивой на бесконечном интервале относительно множества, на котором управление вырождается. Развитие этого подхода с использованием функции Ляпунова, имеющей знакопостоянную производную, проведено в работах [10−12].

В работах В. И. Коробова и его учеников [8, 9, 16−20] представлены результаты целенаправленных исследований по синтезу управления на конечном отрезке с помощью функции управляемости, удовлетворяющей по существу условиям классической теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости [26, 35].

Применение теории моделирования [24, 27, 36, 38] позволяет проанализировать подходы и алгоритмы решения задач об управлении механическими системами с точки зрения их эффективности по затратам управления, времен переходного процесса и динамики. Подробно этим вопросам уделено внимание в работах [1, 6, 15, 21, 28, 29, 31, 39].

До настоящего времени решение задач о стабилизации и управлении движением нелинейных систем с применением функций Ляпунова основывалось на знакоопределенных функциях [7, 13, 20, 22, 25, 30, 31]. В работах [3, 4, 5, 34] показана эффективность использования в этих задачах знакопостоянных функций. Развитие данного направления рассматривается в моей курсовой работе.

Метод знакопостоянных функций Ляпунова в задачах о стабилизации и синтезе управления для нелинейной управляемой системы

§ 1. Постановка задачи о синтезе управления

Пусть движение некоторой управляемой системы описывается системой дифференциальных уравнений

= , (1.1)

где Є ⁿ есть вектор-функция переменных, являющихся некоторыми контролируемыми параметрами, связанными с движением управляемого объекта, а Є R^m есть вектор-функция управления, приложенного к объекту.

Пусть = есть некоторое частное движение системы, порождаемое управлением .

Таким образом, имеем

(1.2)

Примем за невозмущенное движение, а за возмущенное движение будем считать движение, которое также описывается уравнениями (1.1), но уже при значениях, отличных, вообще говоря, от воздействия .

Введем переменные

(1.3)

где — возмущения параметров движения, — отклонения управляющих воздействий от порождающего управления .

Из соотношений (1.1), (1.2) и определения (1.3) получаем, что возмущенное движение при отклонении, принимаемом за дополнительное управление, описывается системой уравнений

(1.4)

где

Согласно составленному переходу, имеем соотношения

(1.5)

Будем предполагать, что правая часть системы (1.4), вектор-функция определена и непрерывна для всех, за исключением, быть может, точки и некоторого заданного множества, где Г =, есть норма в n-мерном действительном пространстве Rⁿ, задаваемая в соответствии с конкретной постановкой задачи, R^m есть m-мерное действительное пространство с соответствующей нормой

Также будем полагать, что дополнительное управление u, целью которого является приведение системы в движение по закону, или по закону х (t) ? 0 системы (1.4), формируется по цепи обратной связи с измерением текущих значений параметров х, т. е. в виде зависимости В соответствии с (1.3) и (1.5) следует принять, что желательно, чтобы искомое управление удовлетворяло условиям (1.6).

знакопостоянная функция ляпунов управляемая Пусть U ‚ R^m есть класс управлений которые могут быть построены на основе обратной связи, определенных и непрерывных в области, за исключением, быть может, точки x = 0 и некоторого заданного множества.

Допустим, что для каждого соответствующие движения для каждой точки при являются единственными.

Введем следующие обозначения: — управляемое движение, удовлетворяющее начальному условию и порождаемое управлением .

В работе дана следующая постановка задачи синтеза управления для системы (1.4) на конечном отрезке времени.

Определение 1.1 Задача синтеза управления на конечном отрезке времени состоит в нахождении управления такого, чтобы движение системы (1.4), начинающееся в произвольной точке из некоторой окрестности х = 0 в любой начальный момент времени t₀, попадала в конечный момент времени, где, в заданную точку х = 0.

При этом синтез будем называть устойчивым, если при решающем поставленную задачу, для любого, и для любого _ > 0 существует д > 0, такое, что, если и .

Для решения поставленной задачи в применен метод функций Ляпунова. Доказана следующая теорема.

Теорема 1.1 Рассмотрим управляемый процесс (1.4). Будем предполагать, что вектор-функция непрерывна по совокупности переменных и в области удовлетворяет условию Липшица Пусть существует в замкнутой области функция, удовлетворяющая условиям:

1) при и для любого;

2) непрерывна всюду и непрерывно дифференцируема всюду, за исключением, быть может, точек вида (t, 0) при ;

3) существует с > 0, такое, что множество ограничено и при всех ;

4) существует функция при, такая, что справедливо неравенство при некоторых > 0 и > 0, причем в области удовлетворяет условию Липшица

5) справедливо неравенство

Тогда движение системы (1.4), начинающееся в произвольной точке в начальный момент оканчивается в точке х = 0 в некоторый момент времени, где .

Замечание 1.1 Если = +, то функция Ляпунова обеспечивает асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (1.4).

Проведем дальнейшее развитие результатов работы. Поставим задачи равномерного синтеза и синтеза управления равномерного по на конечном отрезке.

Определение 1.2 Задача равномерного синтеза состоит в нахождении управления, такого, что существуют число и число, такие, что любое движение, начинающееся в произвольной точке, в любой начальный момент времени, попадает в заданную точку при некотором

Определение 1.3.3адача синтеза управления равномерного по состоит в нахождении управления, такого, что для любого найдутся число и число, такие, что любое движение, начинающееся в точке в начальный момент времени, попадает в заданную точку х = 0 при некотором По отношению к задаче синтеза управления можно поставить задачу о выборе управляющего воздействия с точки зрения наилучшего качества переходного процесса, состоящего в достижении минимума функционала где щ — некоторая непрерывная неотрицательная скалярная функция переменных, характеризующая качество переходного процесса, число не задано.

Выбор в конкретной прикладной задаче проводится с учетом особенностей ее постановки, ограничения ресурсов управления, требования к оценке переходного процесса и возможностей формы или способа решения задачи.

Пусть есть движение, порождаемое управляющим воздей — ствием, а — движение, порождаемое управляющим воздействием .

Используя введенные выше обозначения, проведем постановку задачи оптимального синтеза.

Определение 1.4 Задача оптимального синтеза состоит в нахождении управляющего воздйствия, решающего задачу синтеза управления на конечном отрезке и такого, что по сравнению с любыми другими управляющими воздействиями, решающими эту задачу, для всех выполняется неравенство

? ,

при условиях

3амечание 1.2 Область в определении 1.4 принята независимой от. Возможны и другие варианты постановки задачи об оптимальном синтезе. Например, с зависимостью от, т. е. когда

Определение 1.5 Задача равномерного оптимального синтеза соcтоит в нахождении управляющего воздействия, решающего задачу равномерного синтеза управления на конечном отрезке, и оптимального по сравнению с любыми другими управляющими воздействиями, решающими эту задачу.

Соответственно определению 1.3 можно ввести задачу oптимального синтеза равномерного по .

Будем рассматривать также задачи о стабилизации и равномерной стабилизации в следующей классической форме из.

Определение 1.6. 3адача о стабилизации состоит в нахождении управляющего воздействия в виде вектор-функции такой, чтобы невозмущенное движение х = 0 было бы асимптотически устойчивым в силу уравнений (1.4) при .

Определение 1.7 Задача о равномерной стабилизации состоит в нахождении управляющего воздействия в виде вектор-функции такой, чтобы невозмущенное движение х = 0 было бы равномерно асимптотически устойчивым в силу уравнений (1.4) при, с некоторой областью равномерного движения .

§ 2. Задачи синтеза управления для автономной управляемой системы

Пусть возмущенное движение управляемой системы описывается уравнениями

(2.1)

где — n-мерный фазовый вектор, — m-мерный вектор управления, — вектор-функция.

Пусть есть класс управляющих воздействий, которые могут быть построены на основе обратной связи и удовлетворяют условиям Так как задача синтеза рассматривается для автономной системы, то за начальный момент времени можно принять, а ее решения определить в виде .

Допустим, что, есть некоторое выбранное управ — ление, под действием которого уравнения управляемого движения (2.1) принимают вид

(2.2)

Будем полагать, что движение определено и единственно при t 0 для каждой точки .

Пусть, есть скалярная функция, непрерывно дифференцируемая в области Г, за исключением, может быть, точки х = 0 и множества

В точках можно определить производную в силу системы (2.2)

Введем класс функций типа Хана [94],, если есть непрерывная, строго монотонно возрастающая функция со значением. Определим подкласс, такой, что если, то при > 0 выполняется неравенство

т.е. интеграл сходится.

Проиллюстрируем методику решения задачи 1.2 в следующей теореме.

Теорема 2.1 Пусть для системы (2.2) можно найти функцию Ляпунова и управляющее воздействие, такие, что:

1) для всех выполняется соотношение, при этом только при х = 0;

2) функция

Тогда решает задачу устойчивого синтеза управления на конечном отрезке времени.

Доказательство. Покажем, что синтез управления является устойчивым, т. е. покажем, что при для любого > 0 существует > 0, такое, что, если и, если, или .

Возьмем любое. Обозначим

Наименьшее значение достигается, так как функция непрерывна и положительна при согласно условию 1) теоремы.

В качестве выберем такое число, что

Из непрерывности функции и условия следует, что такое число обязательно найдется.

Введем функцию Условие 2) теоремы означает, что функция не возрастает вдоль ре — шений системы (2.2) при управляющем воздействии. Отсюда, при и или получим

следовательно, для всех .

Пусть движения (2.2) из области ограничены и — какое-либо движение.

Вычислим производную от функции по t в силу системы (2.2) на движении. Имеем по условию 2) теоремы

(2.3)

Из условия (2.3) следует, что монотонно убывает, и, будучи ограниченной снизу, при, где — конечное число, или

. Покажем, что имеет место первый случай,. Интегрируя неравенство (2.3) от 0 до t, получаем

(2.4)

Из сходимости интеграла в правой части неравенства следует, что t-ограничено,. Поэтому при. Переходя в неравенстве (2.4) к пределу при, получаем

(2.5)

Значит, для любой начальной точки существует время Т,, такое, что при t = Т для любого движения имеем. Так как только при х = 0, следовательно, за конечное время управление переводит точки некоторой области в точку х = 0.

Теорема доказана.

Замечание 2.1 Для автономной системы (2.2) управляющее воздействие решает задачу равномерного синтеза на конечном отрезке. Действительно, для ограниченной области функция JIяпунова имеет оценку. Поэтому в неравенстве (2.5) имеем

Проведем решение задачи синтеза управляющего воздействия на конечном интервале времени на основе применения знакопостоянных функций Ляпунова.

Теорема 2.2 Предположим, что можно найти функцию Jlяпунова и управление, такие, что выполнены условия:

1) производная функции при в силу системы (2.2)

2) точка х = 0 системы (2.2) асимптотически устойчива относительно множества

Тогда х = 0 системы (2.2) асимптотически устойчиво, а возмущенное движение попадает на множество за конечный промежуток времени.

Если же вместо условия 2) выполнено условие

2') движение, начинающееся на множестве, попадает в точку х = 0 за конечный отрезок времени.

Тогда решает задачу устойчивого синтеза управления на конечном отрезке времени.

Доказательство. Из условий 1) и 2) теоремы следует, что решение х = 0 системы (2.2) асимптотически устойчиво.

Пусть — область притяжения, — движение. По условию 2) на этом движении для функции имеем

(2.6)

Отсюда, аналогично доказательству теоремы 2.1, получаем, что при и имеет место оценка

3начит, существует время, такое, что при любое выбранное движение попадает на множество

Допустим, что вместо условия 2) выполняется условие 2') теоремы.

Пусть есть точка, в которую попадает движение в момент Соответствующее движение попадает в точку х = 0 при некотором согласно условию 2') теоремы. Так как

за время движение из точки попадает в точку х = 0.

Теорема доказана.

Рассмотрим задачу об оптимальном синтезе управления системы (2.1) с минимизируемым функционалом

(2.7)

где — непрерывная неотрицательная функция.

Введем выражение

Имеет место следующая теорема об оптимальном синтезе.

Теорема 2.3 Предположим, что существуют функция и управляющее воздействие, , такие, что выполнено условие 1) теоремы 2.1, а также:

2) выполнено неравенство

3) для всех выполняется соотношение

4) для любого, в области Г справедливо неравенство

Тогда решает задачу оптимального синтеза.

Доказательство. Для производной функции в силу системы (2.2) из условий 2) и 3) теоремы находим

(2.8)

Значит, по теореме 2.1, управляющее воздействие решает задачу устойчивого синтеза управления на конечном отрезке времени.

Покажем, что управляющее воздействие доставляет минимум функционалу (2.7) по сравнению с другими воздействиями, решающими эту задачу.

Итак, управление решает задачу устойчивого синтеза управления на конечном отрезке. Значит, в конечный момент времени движение системы (2.2) для любых попадает в точку х = 0. Следовательно,

Для каждого движения при управляющем воздействии с начальной точкой из условия 3) теоремы следует, что имеет место соотношение

Пусть есть любое другое управляющее воздействие, такое, что, порождаемое им управляемое движение с начальной точкой попадает в точку х = 0 при. Значит,. Так как, то. Из условия 4) теоремы будем иметь

(2.9)

Тем самым теорема доказана.

Теорема 2.4 Результат теоремы 2.3 сохраняется, если можно найти функцию JIяпунова и управляющее воздействие, такие, что в области выполнены условия 2),

3) и 4) теоремы 2.3, а также:

1) движения системы (2.2) из некоторой области ограничены областью

5) движения, начинающиеся на множестве попадают в точку х = 0 за конечный отрезок времени.

Доказательство. Пусть — какое-либо движение системы (2.2) при управляющем воздействии .

Если, тогда соответствующее движение попадает в точку х = 0 при некотором согласно условию 5) теоремы. При этом из определения функции теоремы следует, что на этом движении, т. е. движение при .3начение функционала на этом движении, так как в силу .

Если, тогда по условию 1) теоремы соответствующее движение ограничено при всех, и на этом решении для функции согласно условию 2) теоремы имеем

Отсюда, аналогично доказательству теоремы 2.1, получаем, что при и имеет место оценка

Для любого другого, решающего задачу синтеза, как и в теореме 2.3, найдем, что (см. неравенство (2.9)).

Тем самым теорема доказана.

1. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления // Под. ред.А. А. Воронова и И. А. Орурка. М.: Наука. 1984.412с.

2. Андреев А. С., Безгласный С. П. О стабилизации управляемых систем с гарантированной оценкой качества управления // ПММ. 1997. Т.61. Вып.1. С.44−51.

3. Андреев А. С., Бойкова Т. А. Знакопостоянные фукции Ляпунова в задачах об устойчивости // Механика твердого тела. 2002. Вып.32 С.109−116.

4. Андреев А. С., Ким Е. Б. Об оптимальной стабилизации установившегося движения управляемой системы // Механика твердого тела. ИПМН НАН Украины (Донецк). 2004. Т.34. С.119−126.

5. Андреев А. С., Румянцев В. В. О стабилизации движения нестационарной управляемой системы // Автоматика и телемеханика. 2007. № 8. С.18−31.

6. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Устойчивость решений интегродифференциального уравнения в частных производных // Журнал «Труды Средневолжского математического общества». Т.7. № 1. Саранск. 2005. С.138−145.

7. Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа. 2003.615с.

8. Бессонов Г. А., Коробов В. И., Скляр Г. М. Задача устойчивого синтеза ограниченных управлений для некоторого класса нестационарных систем. // ПММ. Т.52. Вып.1.1988.

9. Бессонов Г. А., Коробова Е. В. Решение задачи позиционного управления для некоторых классов нелинейных систем // Вестник Харьковского университета. 1991. № 361: Прикладная математика и механика. С.27−33.

10. Богданов А. Ю. Синтез асимптотически устойчивых непрерывных нестационарных систем управления // Ученые записки УлГУ. Сер. «Фундаментальные проблемы математики и механики». Ульяновск: УлГУ. 2000. Т.8. Вып.1. С.31−38.