Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях

• Часть 1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях
• 1.1 Нахождение уравнений состояния цепи для t0
• 1.2 Точное решение уравнений состояния
• 1.3 Решение уравнений состояния численным методом
• 1.4 Точные и численные решения уравнений состояния
• Часть 2. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии
• 2.1. Определение функции передачи
• 2.2. Нули и полюсы функции передачи
• 2.3. Переходная и импульсная характеристики
• 2.4. Определение изображения по Лапласу входного импульса
• 2.5. Определение тока на выходе цепи
• 2.6. График переходной и импульсной характеристик, входного и выходного сигналов
• Часть 3. Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии
• 3.1 Определение амплитудно-фазовой (АФХ), амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристик функции передачи
• 3.2 Определение полосы пропускания цепи по уровню
• 3.3 Определение амплитудного и фазового спектров входного сигнала. Определение ширины спектра входного сигнала по уровню
• 3.4 Предварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи
• 3.5 Амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала
• 3.6 Определение выходного сигнала по вещественной частотной характеристике, используя приближенный метод Гиллемина
• Часть 4. Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии
• 4.1 Разложение в ряд Фурье заданной периодической последовательности импульсов
• 4.2 Получение тока на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье
• 4.3 Ток на входе и выходе цепи, полученные частотным методом
• Заключение
• Литература

Часть 1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях

Задание

Анализу подлежит цепь, схема которой приведена на рис. 1. Содержание ветвей дано в таблице 1. Параметры ветвей даны в омах, генри, фарадах, всюду R_н= 1 кОм. В анализируемой цепи на рис. 1, j (t)=J=const, e (t)=E₁(t). Здесь ₁(t) — единичная ступенчатая функция (функция включения). Значения E и J даны в таблице 2.

Рис. 1. Принципиальная схема электрической цепи для анализа

Таблица 1

Содержание ветвей схемы

Таблица 2.

Значения параметров источников тока и напряжения

Требуется:

1.1 Составить уравнения состояния цепи для t0.

1.2 Найти точные решения уравнений состояния.

1.3 Найти решения уравнений состояния, используя один из численных методов.

1.4 Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменных состояния.

Решение

1.1 Нахождение уравнений состояния цепи для t0.

В момент t=0 напряжение начинает оказывать воздействие на цепь. Схема электрической цепи для времени t0 с указанными направлениями токов и напряжений изображена на рис. 2.

Рис. 2. Схема электрической цепи для времени t0.

Запишем ЗТК и ЗНК для данной электрической цепи. Для C-элемента пишем ЗТК, так как. Для L-элемента пишем ЗНК, так как .

При этом все остальные переменные необходимо выразить через i_C и u_L. Система ЗТК и ЗНК для данной электрической цепи имеет вид.

(1)

Из уравнения (а) выражаем ток в 4-й ветви и подставляем это выражение в уравнения системы (б)-(ж).

Из уравнений (б) и (в) выражаем токи 5-й и 6-й ветвей соответственно:

и подставляем их в уравнения (г)-(ж). В результате система примет вид:

Из уравнения (г) выражаем ток в 1-й ветви. Подставив их в уравнения (д)-(ж), выразим из уравнения (д) ток нагрузки:

.

После подстановки полученного выражения в уравнения (е)-(ж), получим систему:

После упрощения полученной системы с учетом того, что и и подстановки исходных значений получаем систему дифференциальных уравнений следующего вида:

1.2 Точное решение уравнений состояния

В матричном виде полученная система дифференциальных уравнений имеет вид:

Решение для переменных состояния через матричную экспоненциальную функцию имеет вид.

В нашем случае значения параметров матрицы V не зависят от времени, поэтому решение можно переписать следующим образом.

Используя метод Жордана-Гаусса, находим обратную матрицу A^-1.

Рис. 3. Схема для определения независимых начальных условий Матрицу начальных условий найдем из системы (1) при i_C=0 и u_L=0.

Найдем экспоненциальную матричную функцию e^A(t). Для этого сначала найдем собственные значения матрицы A, т. е. решим уравнение В результате решения имеем:

Разложим экспоненциальную матричную функцию в ряд Тэйлора.

Для того, чтобы найти ₀(t) и ₁(t), решим систему линейных уравнений.

Полученные формулы для ₀(t) и ₁(t) преобразуем, воспользовавшись формулой Эйлера :

В записанных выражениях _Д=Re (₂), _М=Im (₂)

Подставив полученные формулы в (3), получим:

Теперь подставим все значения в формулу (2) и получим X (t).

1.3 Решение уравнений состояния численным методом

Численное решение системы дифференциальных уравнений найдем методом Эйлера. Данный метод итерационный. Каждое следующее значение функции вычисляется как первое приближение по производной, то есть:

Размер интервала X выбираем не меньше отношения числа реактивных элементов в цепи к действительному значению минимального корня характеристического уравнения (собственного числа матрицы A). В нашем случае выбран интервал в 2 раза меньший, чем необходимо.

.

В таблице 3 приведены расчеты значений функций и их производных. На рис. 4,5 представлены графики зависимости напряжения на С-элементе и тока на L-элементе от времени.

Таблица 3

Расчеты для численного решения

1.4 Точные и численные решения уравнений состояния

Рис. 4. График зависимости напряжения на С-элементе от времени

Рис. 5. График зависимости тока на L-элементе от времени

Часть 2. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии

Задание

Анализу подлежит цепь, схема которой приведена на рис. 1. Содержание ветвей дано в таблице 1. Параметры ветвей даны в омах, генри, фарадах, всюду R_н= 1 кОм. В анализируемой цепи на рис. 1, e (t)=0. Предначальные условия в цепи нулевые. В момент времени t=0 на вход цепи подан сигнал в виде одиночного импульса тока, форма которого представлена на рис. 6, численные значения характеризующих его величин даны в таблице 4.

Рис. 6. Форма одиночного импульса тока

Таблица 4

Значения параметров одиночного импульса тока

Требуется:

2.1 Определить функцию передачи.

2.2 Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты.

2.3 Найти переходную и импульсную характеристики для выходного напряжения или тока.

2.4 Определить изображение по Лапласу входного импульса.

2.5 Найти напряжение или ток на выходе цепи.

2.6 Построить на одном графике переходную и импульсную характеристики цепи, на другом — входной и выходной сигналы.

Решение

2.1 Определение функции передачи

Схема электрической цепи, с учетом таблицы 1, представлена на рис. 7

Рис. 7. Принципиальная схема электрической цепи для анализа

В основе операторного метода расчета электрических цепей положено преобразование Лапласа, которое позволяет осуществить переход из области временных зависимостей в область операторных изображений. Электрические параметры в электротехнике удовлетворяют требованиям применимости такого подхода, так как:

Функции напряжения и тока u (t) и i (t), являются, как правило, непрерывными и равны нулю при t<0.

Эти параметры ограничены, в силу того, что не существует источников безграничной мощности.

Эти условия позволяют применять преобразование Лапласа:

При переходе в область операторных изображений удается исключить операции дифференцирования и интегрирования, что, естественно, упрощает расчеты электрических цепей. Расчеты электрических цепей проводят в операторной форме, представляющей алгебраические уравнения. Находят U (p) или I (p). Затем осуществляют обратный переход в область временных зависимостей, получая u (t) и i (t) с помощью обратного преобразования Лапласа.

Существует несколько используемых в расчетах электрических цепей теорем и свойств операционного исчисления. В соответствии с теоремой о дифференцировании операции дифференцирования можно заменить на операции умножения на p, применительно к L-элементу:

В соответствии с теоремой об интегрировании, операции интегрирования можно заменить на операции умножения на p^-1, применительно к C-элементу:

Основные свойства операционного исчисления:

Свойство линейности.

Свойство масштабирования.

Свойство переноса вдоль действительной оси.

Свойство смещения вдоль мнимой оси.

Теорема о свертке.

Теорема об умножении оригиналов.

Передаточной характеристикой электрической цепи называется функция, определяемая отношением реакции электрической цепи на входное воздействие к собственно входному воздействию. Очевидно, что, зная передаточную функцию, можно определить реакцию электрической цепи на любое входное воздействие. Поэтому для расчета реакции цепи на одиночный импульс тока, изображенный на рис. 6, используется этот метод. Для того, чтобы найти функцию передачи по току необходимо записать ЗТК и ЗНК в операторном виде. Для этого произведем замену исходной схемы на её операторное изображение (с учетом теорем о дифференцировании и об интегрировании). Поскольку предначальные условия в цепи нулевые, введения дополнительного источника тока для индуктивности и источника напряжения для емкости не требуется. Полученная операторная схема замещения показана на рис. 8.

Рис. 8. Операторная схема замещения исследуемой цепи Руководствуясь схемой на рис. 8, составим ЗТК и ЗНК.

Выражая из системы (5) ток на нагрузке, получим:

(5)

In (p) =

По определению, функция передачи равна В данной задаче

а

Отсюда функция передачи по току:

=

2.2 Нули и полюсы функции передачи

Найдем нули и полюсы функции передачи по току из уравнения:

Решение этого уравнения

(ноль функции) Полюсы функции передачи (значения, при которых она стремится к бесконечности) есть результат решения уравнения Решение этого уравнения

(полюсы функции) Рис. 9. Нули и полюсы функции передачи Нетрудно заметить, что полюсы передаточной функции p_1,2 совпадают с собственными значениями ?_{?, 2}??матрицы A. Это может быть дополнительным способом проверки правильности нахождения передаточной функции цепи. Наиболее наглядным способом охарактеризовать передаточную функцию является графическое расположение ее полюсов и нулей на комплексной плоскости, называемое диаграммой полюсов-нулей. Тип используемых элементов, а также структура цепи ограничивают области комплексной плоскости, в которых могут располагаться нули и полюсы. В линейной пассивной цепи с потерями (с резистивными элементами) полюсы передаточной функции лежат в левой полуплоскости. Только при этом условии свободные составляющие токов и напряжений затухают. При отсутствии потерь (резистивных элементов) все корни знаменателя будут чисто мнимыми. Нули передаточной функции, корни числителя, при учете потерь могут располагаться в любой части комплексной плоскости. Их положение не связано с характером изменения во времени свободных составляющих токов и напряжений. Отсутствие нулей передаточной функции на мнимой оси физически означает, что при любой частоте гармонического напряжения на входе цепи на выходе будет какое-то напряжение. При отсутствии резистивных элементов все корни числителя передаточной функции (так же как и знаменателя) находятся на мнимой оси. Передаточные функции, полюса которых не лежат в правой полуплоскости комплексной плоскости, называются устойчивыми.

Знание передаточной функции цепи H_U (p) позволяет определить переходную h₁(t) и импульсную h_?(t)?характеристики цепи.

2.3 Переходная и импульсная характеристики

Переходная характеристика цепи представляет собой реакцию цепи на воздействие единичной ступенчатой функции (функции Хэвисайда 1(t), функции включения) и может быть найдена как обратное преобразование Лапласа от H_U (p)/p:

Переходная характеристика введена в основном по двум причинам:

1. Если определена данная характеристика, то возможно определить реакцию системы при любой форме внешнего воздействия (посредством интеграла Дюамеля).

2. Единичное ступенчатое воздействие скачкообразное, и поэтому является «тяжелым» для любой системы. Следовательно знать реакцию системы именно при таком воздействии. Иные, более плавные, воздействия будут для системы «легче».

В операторной форме эта функция имеет вид

Проводя обратное преобразование Лапласа получим вид функции во временной области. Обратное преобразование проводим по теореме разложения.

По теореме разложения

где G (p) и H (p) числитель и знаменатель изображения соответственно, а — корни знаменателя

Корни знаменателя:

В экспоненциальной форме:

Подставляя все в формулу разложения и упрощая, получим

Импульсная характеристика цепи h_?(t)?представляет собой реакцию цепи на воздействие единичной импульсной функции?? t) и может быть найдена как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:

Дельта функция (или функция Дирака) определяется как и представляет собой предельный случай импульса очень большого значения и очень малой продолжительности, когда его длительность стремится к нулю, но площадь остается равной единице:

.

В операторной форме эта функция имеет вид

=

Проводя обратное преобразование Лапласа получим вид функции во временной области. Обратное преобразование проводим по теореме разложения. По теореме разложения

где G (p) и H (p) числитель и знаменатель изображения соответственно, а — корни знаменателя.

=

=

=

Корни знаменателя:

В экспоненциальной форме:

Подставляя все в формулу разложения и упрощая, получим

цепь сигнал ток фурье

2.4 Определение изображения по Лапласу входного импульса

Входной импульс длительностью и частотой

Для аналитической записи воспользуемся единичной функцией. Тогда

Найдем изображение этой функции воспользовавшись прямым преобразованием Лапласа.

Разобьем этот интеграл на два

Первый интеграл является табличным (в силу того, что 1-я функция при t>0 равна 1)

Второй интеграл вычисляем, разбив его на два и заменяя переменную интегрирования

Учтем, что, , а, преобразуем этот интеграл к виду

Таким образом, получаем что изображение входного сигнала равно

2.5 Определение тока на выходе цепи

Для нахождения выходного импульса воспользуемся определением функции передачи.

По определению

Следовательно

Таким образом, изображение выходного сигнала равно

*

Для нахождения оригинала воспользуемся следующим приемом. Разобьем изображение на две части (одна без экспоненты другая с ней):

По свойству линейности

То есть, для нахождения оригинала нам необходимо вычислить два изображения и

По теореме разложения найдем

где — полюсы изображения

Тогда для нашего случая поучаем:

Найдем корни знаменателя решив уравнение:

Корни:

Тогда

=

Рассмотрим второй оригинал

Тогда, по теореме запаздывания, и учитывая, что оригинал в отрицательный момент времени равен нулю, получим

Делая подстановки, получаем:

2.6 График переходной и импульсной характеристик, входного и выходного сигналов

Рис. 9 Переходная характеристика цепи

Рис. 10 Импульсная характеристика цепи

Рис. 11. Входной и выходной сигналы

Часть 3. Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии

Задание

Анализу подлежит цепь, схема которой приведена на рис. 1. Содержание ветвей дано в таблице 1. Параметры ветвей даны в омах, генри, фарадах, всюду R_н= 1 кОм. В анализируемой цепи на рис. 1, e (t)=0. Предначальные условия в цепи нулевые. В момент времени t=0 на вход цепи подан сигнал в виде одиночного импульса тока, форма которого представлена на рис. 6, численные значения характеризующих его величин даны в таблице 4.

Требуется:

3.1 Найти и построить амплитудно-фазовую (АФХ), амплитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную характеристики функции передачи H_I(j).

3.2 Определить полосу пропускания цепи по уровню 0,707H (j)_макс.

3.3 Найти и построить амплитудный и фазовый спектры входного сигнала. Определить ширину спектра входного сигнала по уровню 0,1H (j)_макс.

3.4 Сопоставляя спектры входного сигнала с частотными характеристиками цепи, дать предварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи. Сверить эти качественные оценки с сигналом на выходе, полученным во второй части.

3.5 Найти и построить амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала.

3.6 Определить выходной сигнал по вещественной или мнимой частотной характеристике, используя приближенный метод Гиллемина.

Решение

3.1 Определение амплитудно-фазовой (АФХ), амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристик функции передачи

Схема электрической цепи, с учетом таблицы 1, представлена на рис. 7.

Прямым преобразованием Фурье функции f (t) называется следующее преобразование:

В формуле (12) S (j) называется спектром функции f (t). Сопоставим формулу (12) с формулой преобразования по Лапласу.

Если учесть, что f (t)=0 при t<0, и заменить p на j, то (13) переходит в (12). Следовательно, формулы для спектра функции S (j) могут быть получены из соответствующих выражений для изображения по Лапласу, если в последних p заменить на j. Воспользуемся этим свойством для нахождения передаточной спектральной характеристики электрической цепи и спектральной характеристики входного сигнала.

Найдем передаточную спектральную характеристику (амплитудно-фазовую характеристику) электрической цепи, используя полученное во второй части выражение H_I(p).

Полученная амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) представлена на рис. 13. Годограф позволяет увидеть зависимость между амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристиками. Длина радиус-вектора проведенного из начала координат под углом, равным ФЧХ в точку годографа будет равен соответствующему значению АЧХ. Из графика 13 можно увидеть, что АЧХ схемы носит затухающий, непериодический характер. Полоса пропускания схемы находится в области низких частот.

При низких частотах ФЧХ данной схемы отрицательная, что свидетельствует о преимущественно емкостном характере схемы.

Рис. 13. Амплитудно-фазовая характеристика (годограф) Спектральная характеристика может быть записана в общей форме:

В формуле (15) _ амплитудно-частотная характеристика, а _ оператор вращения, который позволяет определить фазо-частотную характеристику .

На рисунках 13, 14 изображены амплитудно-частотная и фазо-частотные характеристики.

Рис. 14. Амплитудно-частотная характеристика Рис. 15. Фазо-частотная характеристика

3.2 Определение полосы пропускания цепи по уровню

Максимальное значение АЧХ . Уровень изображен на рис. 7. Для того, чтобы найти полосу пропускания, найдем верхнюю граничную частоту, поскольку нижняя _ нулевая. Найдем эту частоту, решив уравнение относительно частоты:. Решая это уравнение, получим единственное решение рад/с. Таким образом, полоса пропускания исследуемой цепи равна рад/с.

Понятие полосы пропускания схемы связанно с искажением формы входного импульса при прохождении его через данную схему. Как правило, допускается, что модулированное колебание или соответственно импульс, пройдя через четырехполюсник, изменился по амплитуде, на некоторое время запоздал во времени, но недопустимо, чтобы существенно изменилась форма импульса на выходе по сравнению с формой импульса на входе. Недопустимость изменения формы импульса следует из того, что именно в форме импульса заключена информация, которую этот импульс несет.

Для определения полосы пропускания схемы предположим, что на вход схемы с функцией передачи подают сигнал, имеющий спектр. Сигнал на выходе имеет спектр .

Так как сигнал может отличаться от сигнала по амплитуде, положим в раз, и запаздывать на некоторое время, но по форме должен быть таким же, как и, то можно записать, что .

Проводя преобразование Фурье над функцией, получаем, что. Сравнивая полученное значение спектральной плотности выходного сигнала с полученным ранее, получаем, что .

Из всего этого следует, что для сохранения формы сигнала необходимо, чтобы модуль функции передачи был константой, а аргумент линейно изменялся от частоты.

В реальных схемах эти условия могут быть выполнены лишь приближенно в некоторой полосе частот, которая называется полосой пропускания. Полоса пропускания ограниченна частотами, в которых отношение максимального значения к минимальному равно. Для этой частоты приближенно полагают, .

Таким образом, для того, чтобы сигнал при прохождении через четырехполюсник не изменил своей формы, необходимо, чтобы важнейшие гармонические составляющие частотного спектра сигнала находились внутри полосы пропускания четырехполюсника.

3.3 Определение амплитудного и фазового спектров входного сигнала. Определение ширины спектра входного сигнала по уровню

Для нахождения амплитудного и фазового спектров воспользуемся тем же способом, что и для нахождения АЧХ и ФЧХ. Заменим в полученном ранее выражении p на j.

Графики амплитудного и фазового спектров представлены на рис. 16, 17.

Анализируя графики и полученные ранее зависимости, находим полосу пропускания по уровню

А рад/с.

Рис. 16. Амплитудный спектр входного сигнала

Рис. 17. Фазовый спектр входного сигнала

Уровень 0.1 выбирается из следующих соображений.

Из теоремы Рейли следует:

Таким образом, площадь квадрата модуля спектра напряжения деленная на, является энергией, рассеиваемой в активном сопротивлении 1 Ом данным напряжением.

Рассмотрим данные интегралы.

Ограничим ширину спектра по уровню

Таким образом, в спектре содержится 96,2% энергии сигнала.

3.4 Предварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи

Учитывая, что полоса пропускания схемы, а ширина спектра входного сигнала, можно сделать вывод, что сигнал при прохождении через схему исказится по форме, но незначительно и потеряет часть энергии. Незначительность искажения форму объясняется тем, что большая часть сигнала пройдет. В силу того что ФЧХ схемы добавляет небольшое смешение, форма сигнала практически не изменится.

Для разрешения проблем, связанных с потерей информации в импульсе, можно учесть, что при увеличении длительности импульса в n раз ширина его спектра уменьшается в n раз. То есть для того, чтобы ширина спектра сигнала уменьшилась до необходимо увеличить длительность импульса в 2,1 раз, то есть сделать время импульса равным .

3.5 Амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала

Исходя из формулы (15), можно записать выражения для нахождения амплитудного и фазового спектров выходного сигнала.

Воспользовавшись этими формулами, получим необходимые характеристики. Поскольку упрощение полученных выражений трудоемкая (а вообще говоря окончательно не имеющая решение) задача, то изобразим характеристики на графиках посредством сложения графиков для фазовых составляющих и перемножения характеристик для амплитудных составляющих.

Рис. 18. Амплитудный спектр выходного сигнала

3.6 Определение выходного сигнала по вещественной частотной характеристике, используя приближенный метод Гиллемина.

Для приближения используем действительную частотную характеристику.

Рис. 19. Фазовый спектр выходного сигнала

Ширина спектра выходного сигнала

Рис. 20. Действительная частотная характеристика выходного сигнала

Аппроксимируем данную функцию кусочно-линейными функциями. Количество интервалов аппроксимации выбираем так, чтобы сохранить все особенности функции G (w). Для нашего случая подходит 20 интервалов.

Рис. 21. Аппроксимация действительной характеристики выходного сигнала

По рисунку 21 можно определить первую производную действительной характеристики, используя формулу

После этого, используя полученный результат, найдем вторую производную

Рис. 22. Первая производная аппроксимированной функции

Рис. 23. Вторая производная аппроксимированной функции

После нахождения второй производной можно найти выходной импульс с помощью формулы

Полученный результат изображен на рисунке 24 вместе с теоретическим сигналом, полученным во второй части.

Рис. 24. Выходной сигнал, полученный теоретически и по действительной частотной характеристике с помощью метода Гиллемина

Часть 4. Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии

Задание

Анализу подлежит цепь, схема которой приведена на рис. 1. Содержание ветвей дано в таблице 1. Параметры ветвей даны в омах, генри, фарадах, всюду R_н= 1 кОм. В анализируемой цепи на рис. 1, e (t)=0. На вход цепи подан сигнал в виде одиночного импульса тока, форма которого представлена на рис. 6, численные значения характеризующих его величин даны в таблице 4. Период повторения импульсов с.

Требуется:

4.1 Разложить в ряд Фурье заданную периодическую последовательность импульсов и построить её амплитудный и фазовый спектры.

4.2 Построить на одном графике периодическую последовательность импульсов и её аппроксимацию отрезком ряда Фурье, число гармоник которого определяется шириной амплитудного спектра сигнала, найденной в п. 3.3.

4.3 Используя рассчитанные в п. 3.1 АЧХ и ФЧХ функции передачи цепи, определить ток на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье.

4.4 Построить ток на выходе цепи в виде суммы гармоник найденного отрезка ряда Фурье. Графики по пп. 4.2 и 4.4 построить на одном масштабе времени и разместить их на одном листе один под другим.

Решение

4.1 Разложение в ряд Фурье заданной периодической последовательности импульсов

Схема электрической цепи, с учетом таблицы 1, представлена на рис. 7.

Любую периодическую функцию f (t), удовлетворяющую условиям Дирихле можно разложить в ряд Фурье. Обозначим период функции T, а основную частоту _. Ряд Фурье можно записать двояко.

Первая форма записи:

.

Вторая форма записи:

.

В обоих формах А₀ — постоянная составляющая ряда; А_к — амплитуда k-й гармоники ряда; _k — начальная фаза k-й гармоники;

Из формулы Эйлера следует, что. Следовательно,

Учитывая это, можно записать ряд Фурье в комплексной форме.

Составим выражение для комплексной амплитуды.

Учитывая это, получим выражение для периодической функции времени:

.

Сравнивая полученное выражение с формулой (12), получим:

В связи с этим в нашем случае можно получить коэффициенты для электротехнической формы записи ряда Фурье из полученных в предыдущей части значений амплитудного и фазового спектров. Число членов аппроксимации выберем с учетом ширины спектра входного сигнала.

.

Дискретные амплитудный и фазовый спектры изображены на рисунках 25, 26. Их расчеты сведены в таблицу 5.

Таблица 5.

Амплитуды и фазы при соответствующих гармониках

Рис. 25. Дискретный амплитудный спектр входного сигнала

4.2 Получение тока на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье

Для получения амплитудных коэффициентов для тока на выходе цепи перемножим составляющие АЧХ цепи и амплитудного спектра входного сигнала Рис. 26. Дискретный фазовый спектр входного сигнала Для получения коэффициентов фазы сложим соответствующие составляющие ФЧХ и фазового спектра входного сигнала.

=

Результаты расчетов сведены в таблицу 6. Полученные дискретные амплитудный и фазовый спектры тока на выходе изображены на рисунках 27 и 28.

Таблица 6

Амплитуды и фазы при соответствующих гармониках

Рис. 27. Амплитудный спектр выходного сигнала Рис. 28. Фазовый спектр выходного сигнала

4.3 Ток на входе и выходе цепи, полученные частотным методом

Графики тока на входе и выходе цепи изображены на рисунках 29, 30.

Рис. 29. Ток на входе цепи реальный (сплошная линия) и аппроксимированный (пунктирная линия)

Рис. 30. Аппроксимация тока на выходе цепи

Заключение

В данной работе производился анализ линейной электрической цепи при различных воздействиях в переходном и установившемся режимах. В первой части работы использовался метод переменных состояния. Данный метод позволяет анализировать электрические цепи с использованием средств вычислительной техники, что, естественно, упрощает и ускоряет анализ цепей. Очевидным недостатком метода является его практическая неприменимость для расчета цепей, в которых воздействие носит не постоянный, а переменный апериодический или периодический характер. Единственным исключением является режим, при котором входной сигнал является периодическим и изменяется по закону синуса или косинуса.

Для анализа более сложных цепей удобно использовать операторный метод анализа. Данный метод позволяет рассчитывать реакцию электрической цепи на входное воздействие любой формы. Удобство достигается благодаря переходу из временной области в область операторных изображений. Такой переход позволяет избавиться от операций дифференцирования и интегрирования, и заменить систему дифференциальных уравнений системой алгебраических уравнений, решение которых находится стандартными средствами. Использование функции передачи, характеризующей электрическую цепь, позволяет не решать систему уравнений, которая может быть очень большой и, соответственно, требовать много времени для своего решения, всякий раз, когда необходимо определить реакцию цепи на некоторое входное воздействие, а лишь выполнить операцию перемножения изображения входного сигнала и функцию передачи. Однако, даже эта операция бывает достаточно трудоемкой. В таких случаях часто используют частотный метод анализа электрических цепей.

Частотный метод позволяет по виду АЧХ и ФЧХ цепи и входных амплитудного и фазового спектров определить, как исказится сигнал на выходе цепи по сравнению со входом. Отрицательным качеством данного метода является, то, что он не является точным, то есть результаты получаются близкими к точным, но не являются точными.

Каждый из используемых в работе методов имеет свои преимущества и недостатки. В зависимости от поставленной задачи должен применяться тот метод, который даст необходимую точность решения и скорость его нахождения

1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: Учеб. Для электротехн., энерг., приборостроит. Спец. вузов — 9-е изд._ М.:Высш.шк., 1996._638 с.

2. Бронштейн И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов._ М.:Наука, 1980._976 с.

3. Кучумов А. И. Электроника и схемотехника: Учебное пособие. 2-е изд._ М.:Гелиос АРВ, 2004. — 336 с.

4. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Часть 2. 4-е изд._ СПб.: Издательство «Лань», 2002. 464 с.

5. Методические указания к выполнению курсовой работы по курсу «Теоретическая электротехника».