Использование дифференциальных инвариантов в классификационных задачах алгебры

0.1. Общая характеристика работы.

0.1.1.

Актуальность темы

исследования.

Бинарной формой степени п называется однородный многочлен от двух переменных х, у степени п п х, у) =^{агХ1упкоэффициенты} которого можно считать либо комплексными, либо вещественными.

Бинарные формы степени п образуют векторное пространство размерности 72+1. На этом пространстве линейными преобразованиями действует группа ЭЬг.

Проблема описания ЭГ^-орбит бинарных форм данной степени п была поставлена Булем и Кэли в 1841 г. Дальнейшие исследования показали, что эта проблема в том или ином виде возникает в самых разных областях математики (см., например. [16, 30]).

В связи с этим крупттейптие математики Х1Х-ХХ веков пытались решить проблему классификации орбит бинарных форм (см. обзор [33]). Эти попытки привели к созданию целых теорий, среди которых можно отметить классическую теорию инвариантов (см. [16]), алгебраическую геометрию (см. [25, 24]) и теорию (гипер)эллиптических кривых (см. [16, 26]).

Тем не менее, несмотря на значительные усилия замечательных математиков (Буля, Кэли, Эйзеттттттейтта, Вейерттттрасса, Гордаиа, Гильберта.), проблема классификации SL2-op6nT бинарных форм степени п в общем случае осталась нерешенной.

А именно, к настоящему времени получена классификация бинарных форм лишь степени п ^ 10.

Случай п = 3 был ретттетт Булем в 1841 г.

Первый нетривиальный случай п = 4 был ретттетт Булем, Кэли и Эйзенштейном в 1841—1850 гг. и положил начало классической теории иттвариатттов (см. [16, 30]). Отметим, что классификация бинарных форм степени 4 тестто связала с двойным отношением четырех точек па проективной прямой, а также с j-итшариаптом эллиптической кривой.

Случаи п = 5, 6, 7, 8 были решены Кэли, Гордаттом, Шиодой, Дикми-ером и Лазардом (см. [37, 36, 48]). Заметим, что самый сложный случай л — 7 был окончательно ретттетт Бедратюком лишь в 2007 г. с помощью компьютерной системы Maple.

Случаи п = 9 и 10 были решены Брауэром и Поповичев в [32, 34] в 2010 г. также с помощью компьютера.

Отметим, что существующие тта сегодняшний деттт" методы в принципе не позволяют получить единой классификации биттарпых форм произвольной степени п. Все указанные выше классификации были проведены для конкретного (и весьма небольшого) п, в то время как результаты и методт. т, используемые для разных п, принципиально отличаются друг от друга.

Еще один существенный недостаток этих классификаций заключается в ттевозможттости их применения к алгебраически незамкнутому полто R.

Наряду с проблемой классификации бипарттьтх форм естественно сформулировать и проблему классификации тернарных форм.

Напомним, что тернарной формой степени п называется однородный многочлен от трех переменных х, у, г степени п.

О, у, г)= ^ афх1у>хк. г+2+к=п.

На пространстве тернарных форм степени п линейными заменами координат действует группа ЭЬз.

Проблема классификации тернарных форм также была поставлена в середине XIX пека. Эта проблема, возможно, даже более интересна, нежели проблема классификации бинарных форм, из-за следующей геометрической интерпретации.

Каждой неприводимой тернарной форме / поставим в соответствие неприводимую алгебраическую проективную кривую {/ = 0} на проективной плоскости. Тогда проблему классификации (правда, с точностью до множителя) неприводимых тернарных форм можно сформулировать в геометрических терминах: классифицировать неприводимые алгебраические проективные кривые с точностью до проективных преобразований.

Ситуация с классификацией тернарных форм еще более плачевна, нежели в случае форм бинарных.

Случай п = 2 является классическим результатом из курса линейной алгебры и был известен (в том или ином виде) етце древним грекам.

Случай п — 3 был исследован Вейерпттрассом. Им было доказано, что каждая ттеособая тернарная форма приводится к так называемой нормальной форме Вейерпттрасса у1 г + х3 4- рхг2 + д³.

Из коэффициентов р и д нормальной формы Вейерпттрасса можно составить ^'-инвариант тернарной формы ^ — р3/д2. Оказывается, что две кривые {/ = 0} и {/ = 0} проективтто эквивалентны если и только если у иттвариаттты форм / и / совпадают (подробнее см. в [16]).

Случай п = 4 был решен совсем недавно усилиями многих математиков (см. [35, 31]). Окончательный ответ был получетт усилиями Диксмиера,.

Шиоды и Брауэра и представлен в [31].

Таким образом, к сегодняшнему дню неизвестна даже классификация кваптик (то есть тернарных форм пятой степени), не говоря уже об общем случае п.

В 2006 году Лычагии и Кругликов предложили новый подход к исследованию проблем описания орбит (см. [42]). Суть этого метода заключается в использовании дифференциальных уравнений и дифференциальных инвариантов, что дает возможность соединить алгебраические и дифференциально-геометрические подходы.

Преимущество такого подхода заключается в существовании мощных классификационных теорем, полученных Ли, Трессе и Картавом (см., например, [43, 44]).

В 2010 году автор данной диссертационной работы, используя эти идеи Лычагитта, реитил проблему классификации орбит бинарных форм для любого п. В том же году им была решена проблема классификации орбит тернарных форм.

0.1.2. Цель работы.

В настоящей диссертационной работе рассматриваются классические задачи ОЬи БЬ— классификации бинарных и тернарных форм над полями С и М. Также рассматриваются различные вопросы, связанные с этими проблемами. Среди этих вопросов отметим классификацию рациональных форм, ЭОз-классификацито тернарных форм и проективную классификацию неприводимых алгебраических кривых.

0.1.3. Основные задачи исследования.

1) Найти алгебры дифференциальных инвариантов действия групп ОЬг и Э!^ на пространстве бесконечных джетов 7°°(2).

2) В терминах построенных алгебр найти необходимое и достаточное условие локальной СЬ2- и ЭГ^-эквивалентпости гладких функций па плоскости.

3) Явно найти алгебры дифференциальных инвариантов действия групп СЬ и ЭЬ па пространствах бинарных и тернарных форм.

4) В терминах найденных алгебр инвариантов найти критерий глобальной СЬи ЭЬ-эквивалентпости бинарных и тернарных форм.

5) Явно найти алгебру дифференциальных инвариантов действия группы 80з па пространстве тернарных форм и в терминах этой алгебры ттайти критерий глобальной ЗОз-эквивалептттости тернарных форм.

0.1.4. Научная новизна.

Все результаты работы, выносимые па защиту, являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты.

1) Для действия групп ОЬ2 и ЭЬ2 па пространстве бесконечных джетов /°°(2) найдены алгебры дифференциальных инвариантов. А именно, указаны базисные дифференциальные инварианты, инвариантные дифференцирования и сизигии.

2) В терминах найденных алгебр дифференциальных инвариантов найдены условия локальной ОЬ2 и ЗЬ2-эквивалептттости регулярных гладких функций от двух переменных.

3) Для действия групп ОЬ2 и ЗЬ2 па двумерном дифференциальном уравнении Эйлера х/х + у/у — п/ найдены алгебры дифференциальных инвариантов.

4) В терминах найденных алгебр дифференциальных инвариантов найдены условия глобальной ОЬ2 и 8Ь2-эквивалептпости бинарных форм над полями С и М.

5) Для действия групп вЬз, БЬз и ЭОз па трехмерном дифференциальном уравнении Эйлера х/х+у1у+%1г — п/ пайдент. т поля дифференциальных инвариантов.

6) В терминах пайденнт>тх полей дифференциальных инвариантов найдены условия глобальной СЬ3-, ЭЬзи ЭОз-эквивалептиости тернарных форм ттад полями С и К.

0.1.5. Методы исследования.

Для решения поставленных задач мы применяем методы современной дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений, алгебраической геометрии и классической теории инвариантов.

0.1.6. Теоретическое и прикладное значение.

Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут быть использованы для изучения других действий алгебраических групп па аффинных многообразиях, а также для изучения различит, тх проблем, связаттттт. тх с классификацией орбит бинарных и тернарных форм. В диссертационной работе приведены примеры применения полученных результатов к классификации алгебраических проективных кривых, однородных функций, а также к нахождению полиномиальных инвариантов бинарных и тернарных форм. На основе этих результатов составлены спецкурсы /утя студентов и аспирантов, которые читаются в Институте проблем управления РАН.

0.1.7. Апробация работы.

Основные результаты диссертации были представлены тта следующих семинарах и конференциях: тта семинаре «Группы Ли и теория инвариантов» под руководством профессора Э. Б. Виттберга и профессора А. Л. Опитцика (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, апрелт, 2010 г.) тта семинаре по геометрии дифференциальных уравнений под руководством профессора И. С. Красильщика (Москва, Независимый московский университет, май, декабрь 2010 г. и октябрь 2011 г.) — тта Международной конференции «Геометрия в Одессе» (Одесса, Украина, 25−28 мая 2010 г.) — па Международной конференции «Метрическая геометрия поверхностей и многогранников», посвященной 100-летию со дня рождения Н. В. Ефимова (Москва, Россия, 18−21 августа 2010 г.) — тта Международной конференции «Геометрия в Кисловодске» (Кисловодск, Россия, 13−20 сентября 2010 г.) — тта IX Всероссийской молодежттой птколе-коттфереттции «Лобачевские чтения» (Казань, Россия, 1−6 октября 2010 г.) — тта Второй Российской тпколе-коифереттции для молодых ученых с международным участием «Математика, иттформатика, их приложения и роль в образовании» (Тверь, Россия, 8−12 декабря 2010 г.) — тта семинаре отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, топология и математическая физика» под руководством академика РАН С. П. Новикова и член-корреспондента РАН В. М. Бухпттабера (Москва, МГУ им. М. В. Ломоттосова, апрель 2011 г.) — тта XVIII Междуттародттой конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, Россия, 11−15 апреля 2011 г.) — работа отмечена грамотой за лучтттий доклад на секции «Математика и механика»: тта семинаре кафедры дифференциальных уравнений под руководством д.ф.-м.п. профессора Ю. В. Обтюсова (Казань, Казанский государственный университет, май 2011 г.) — тта Международной конференции «Геометрия. Управление. Экономика» (Астрахань, Россия, 18−23 августа 2011 г.) — тта семинаре отдела кафедры дифференциальной геометрии и приложений «Дифференциальная геометрия и приложения» под руководством академика РАН А. Т. Фометтко (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, октябрь 2011 г.).

0.1.8. Публикации автора по теме диссертации.

По теме диссертации автором опубликовано 11 работ:

1. Бибиков, П.В., Лычагип, В.В.: SI^-орбиты бинарных форм // Сборник тезисов Международной конференции «Метрическая геометрия поверхностей и многогранников». — С. 11−12 (2010).

2. Бибиков, П.В., Лычагип, В.В.: Классификация ЗЪо (С)-орбит бинарных рациональных форм // Тезисы докладов Междуттародттой конференции «Геометрия в Кисловодске — 2010». — С. 20 (2010).

3. Бибиков, П.В., Лычагип, В.В.: Классификация SL2(С)-орбит бинарных форм // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. — 40. -С. 72−75 (2010).

4. Бибиков, П.В., Лычагип, В.В.: GL2(С)-орбиты бинарных форм, // ДАН. — 435(4). — С. 439−440 (2010).

5. Bibikov, P.V., Lychagin, V.V.: GL2(С)-orbits of binary rational forms // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 32(1). — P. 94−101 (2011).

6. Бибиков, П.В.: Классификация GL^(C)-орбит тернарных фор. м / / Материалы Междуттародттого молодежттого ттаучттого форума.

ЛОМОНОСОВ-2011″. — М.: МАКС Пресс. — ISBN 978−5-317−3 634−8 (2011).

7. Бибиков, П.В., Лычагип, В.В.: СЬз (С)-орбиты рациональных тернарных форм // ДАН. — 438(4). — С. 295−297 (2011).

8. Bibikov, P.V., Lychagin, V.V.: Projective classification of binary and ternary forms / / Journal of Geometry and Physics. doi:10.1016/j.geomphys.2011.05.001 — 61(10). — P. 1914;1927 (2011).

9. Бибиков, П.В.: Классификация тернарных форм с нулевым гессианом j/ Известия ВУЗов. Математика. — № 9. — С. 99−101 (2011).

10. Бибиков, П.В.: SO3(С)-орбиты, тернарных форм // Тезисы докладов Международной конференции «Геометрия. Управление. Экономика». -С. 7 (2011).

11. Бибиков, П.В.: Лотом, орфные дифференциальные уравнения и GL-2(C)-орбиты бинарных форм // Тезисы докладов VI Уфимской Международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения». — С. 32−33 (2011).

Кроме того, в печати находятся следующие работы.

12. Бибиков, П.В.: Проективная классификация алгебраических проект, иены х кривых j j Труды Математического центра, им. Н. И. Лобачевского. -41. (2011).

13. Бибиков, П.В.: Метрическая классификация алгебраических проективных кривых j j Известия ПГПУ. (2011).

В работах, выполненных в соавторстве, вклад автора составляет от 40% до 75%.

0.1.9. Структура диссертации.

Диссертация изложена па 130 страницах, состоит из введения, трех глав, двух приложений и списка литературы, содержащего 50 наименований. Диссертация содержит 1 таблицу, и 5 рисунков.

1. Алексеевекий, Д.В., Виноградов, A.M., Льтчагитт, В.В.: Основные идеи н понятия дифференциальной геометрии. — М.: «ВИНИТИ». — 28. — 1988. 289 С.

2. Арполт. д, В.И.: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: ''Наука". — 1975. 240 С.

3. Бибиков, П.В.: Автоморфные дифференциальные уравнения и GL<2(C)-орбиты бинарных форм // Тезисы докладов VI Уфимской Международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения». С. 32−33 (2011).

4. Бибиков, П.В.: Классификация, тернарных форм с нулевым, гессианом // Известия ВУЗов. Математика. № 9. — С. 99−101 (2011).

5. Бибиков, П.В.: Классификация GL ?(С)-орбит тернарных фюрм // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2011». М.: МАКС Пресс. — ISBN 978−5-317−36 348 (2011).

6. Бибиков, П.В.: Метрическая классификация алгебраических проективных кривых II Известия ПГПУ. (2011), в печати.

7. Бибиков, П.В.: Проективная классификация алгебраических проект, и в-ных кривых II Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского.- 41. (2011), в печати.

8. Бибиков, П.В.: SO3(С)-орбиты тернарных форм // Тезисы докладов, Международной конференции «Геометрия. Управление. Экономика,». -С. 7 (2011).

9. Бибиков, П.В., Лычагип, В.В.: Классификация SLo (С)-орбит бинарных рациональных форм // Тезисы докладов Международной конференции «Геометрия в Кисловодске 2010». — С. 20 (2010).

10. Бибиков, П.В., Лычагип, В.В.: Классификация SL->(С)-орбит бинарных форм // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. 40. С. 72−75 (2010).

11. Бибиков, П.В., Лычагип, В.В.: Gj2(C)-орбиты бинарных форм // ДАН.- 435(4). С. 439−440 (2010).

12. Бибиков, П.В., Лычагип, В.В.: GL3С)-орбиты рациональных т, ерна, рны, х форм // ДАН. 438(4). — С. 295−297 (2011).

13. Бибиков, П.В., Лычагип, В.В.: ОЪч-орбиты бинарных форм //' Сборник тезисов Международной конференции «Метрическая геометрия поверхностей и многогранников». С. 11−12 (2010).

14. Вииберг, Э.В.: Курс алгебры,. М.: «Факториал». 2002 — 544 С.

15. Вииберг, Э.Б., Оттитцик, А.Л.: Семинар по группам Ли и алгебраическим группам,. М.: «УРССГ. 1995 — 344 С.

16. Вииберг, Э.Б., Попов, В.Л.: Теория, инвариантов. «ВИНИТИ». 55. -1989 — 314 С.

17. Годбийоп, К.: Дифференциальная геометрия, и аналитическая, механика. М.: Мир. — 1973. ~ 188 С.

18. Гудков, Д.А.: Топология вещественныепроективных алгебраических многообразий /'/ Успехи мат. паук. 178(4). — С. 3−79 (1974).

19. Митцеттко, А.С., Фоменко. А.Т.: Курс дифференциальной геометрии и топологии,. М.: Факториал Пресс. — 2000. — 450 С.

20. Попов, В.Л.: Конструктивная теория инвариантов // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 45(5). — С. 1100−1120 (1981).

21. Попов, B. JL: Критерий стабильности действия полупростой группы на факториальном многообразии // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 34(3). -С. 523−531 (1970).

22. Попов, B.JI.: Сизигии в теории инвариантов /'/ Изв. АН СССР. Сер. мат. — 47(3). — С. 310−334 (1983).

23. Спрингер, Т.: Теория инвариантов. М.: «Мир». 1981. — 191 С.

24. Хартсхортт, Р.: Алгебраическая геом. ет/рия. М.: «Мир». 1981. — 599 С.

25. ПГафаревич, И.Р.: Основы алгебраической геометрии. М.: «МЦНМО». -2007 588 С.

26. Bedratyuk L. A note about invariants of algebraic curves j j arXiv:1105.0810vl .

27. Bedratyuk, L. On complete system of invariants for the binary form of degree 7 // Journal of Symbolic Computation. 42. — P. 935−947 (2007).

28. Bibikov, P.V., Lychagin, V.V.: Projective classification of binary and ternary forms // Journal of Geometry and Physics. doi:10.1016/j.geomphys.2011.05.001 61(10). — P. 1914;1927 (2011).

29. Bibikov, P.V., Lychagin, V.V.: GL2(C)-orbits of binary rational forms // Lobachevskii Journal of Mathematics. 32(1). — P. 94−101 (2011).

30. Boole, G.: Exposition of a general theory of linear transformations // Camb. Math. J. 3. — P. 1−20, 106−119 (1841−1842).

31. Brouwer, A.E.: Invariants of the ternary quartic j jhttp: / / www. win. tue. nl/~aeb/math/ternaryquart ic. html.

32. Brouwer, A.E., Popovich, M.: The invariants of the binary nonie //' Journal of Symbolic Computation. 45. — P. 709−720 (2010).

33. Brouwer, A.E., Popovich, M.: SL^-modules of small homologieal dimension // doi: 10.1007/s00031−011−9138−5.

34. Brouwer, A.E., Popovich, M.: The invariants of the binary decimdc // Journal of Symbolic Computation. 45. — P. 837−843 (2010).

35. Hermit, e, Ch.: Sur la theorie des fonctions homogenes a deux indeterminees. Cambridge and Dublin Math. J. (1854).

36. Hilbert, D.: Uber dei Theorie des algebraische Formen j j Math. Ann. 36. P. 473−534 (1890).

37. Igusa, J.-i: Geometry of absolutely admissible representations j j Number Theory, Algebraic Geometry and Commutative Algebra. In honour of Y. Akizuki. Tokio: Kinokuniya. — 1973. — P. 373−552.

38. Kushner, A.G., Lychagin, V.V., Rubtsov, V.N.: Contact geometry and nonlinear differential equations. N. York: Cambridge University Press. — 2007. xxi+497 P.

39. Krasil’shchik, I.S., Lychagin, V.V. Vinogradov, A.M.: Geometry of jet spaces and nonlinear partial differential equations. Advanced Studies in Contemporary Mathematics. 1. — New York: Gordon and Breach Science Publishers. — 1986. — xx+441 P.

40. Kruglikov, B., Lychagin, V.: Invariants of pseudogroup actions: homological methods and finiteness theorem // Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 3(5 6). — P. 1131−1165 (2006).

41. Lie, S.: Begrundung einer Invarianten-Theorie der Beruhrungs-Trunsformationen // Math. Ann. 8. — P. 215−303 (1874).

42. Lie, S.: Classification und integration von gewohnlichen Differentialgleichungen zwischen x, y, die eine Gruppe von Transformationen gestatten /7 Ann. Math. 32. — P. 213−281 (1888).

43. Lychagin, V.V.: Feedback differential invariants // Acta Applicandao Mathematical 109(1). — P. 211−222 (2010).

44. Rosenlicht, M.: Some basic theorems on algebraic groups // Amer. J. Math. 78. — P. 401−443 (1956).

45. Seshadri, C.S.: Some results on the quotient space by an algebraic group of automorphism, s // Math. Ann. 149. — P. 286−301 (1963).

46. Shioda, T.: On the graded ring of invariants of binary octavics j/ Amer. J. Math. 89. — P. 1022−1046 (1967).

47. Sylvester, J.J.: Tables of the generating functions and groundforms for the binary quantics of the first ten orders // Amer. J. Math. 2. — P. 223−251.

48. Sylvester, J.J.: Tables of the generating functions and groundforms for the. binary duadecimics, with some general remarks and tables of the irreducible syzygies of certain quantics // Amer. J. Math. 4. — P. 41−61 (1881).1879).