1.1 Общая характеристика работы.
Актуальность проблемы. Понятие индекса Конли (обобщенного индекса Морса) возникло в 70-х годах прошлого века и стало основой бурно развивающейся области прикладной математики. Исторически отправной точкой послужила теорема Важевско-го, позволяющая локализовать ограниченные траектории динамической системы. Эту теорему можно рассматривать как первый принципиально новый метод качественного исследования динамических систем. В дальнейшем возникли различные направления таких исследований. Вот лишь некоторые из них:
1. Новые методы доказательства существования решений нелинейных операторных уравнений.
2. Исследование бифуркаций.
3. Качественные характеристики инвариантных множеств динамических систем.
4. Исследования нелинейной динамики: доказательство хаотических свойств, например, наличия марковских кодирований.
5. «Строгие вычисления» (rigorous computations): строгое математическое исследование конечномерной динамики на основе приближенных численных результатов.
Не вдаваясь в детали, можно отметить актуальность качественных методов исследования нелинейных динамических систем (в данной работе под таковыми понимаются непрерывные потоки). С развитием вычислительной техники и численных методов все более востребовано аналитическое описание и доказательство общих свойств нелинейных объектов, в то время как те или иные количественные характеристики (траектории и орбиты) могут быть вычислены с высокой степенью точности.
На сегодняшний день теория динамических систем на локально компактных, в том числе конечномерных, пространствах развита достаточно полновсе более актуальными становятся бесконечномерные задачи. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, классические понятия динамики здесь приобретают ясные прикладные толкования: неподвижная точка соответствует решению стационарного операторного (например, дифференциального) уравнения, сепаратриса —решению эволюционного уравнения с фиксированным исходным и конечным состоянием, бифуркация — потере устойчивости системы, а, следовательно, любое утверждение о качественном поведении бесконечномерного потока позволяет сделать вывод об объекте, для которого записано уравнение и соответствующий поток. Во-вторых, бесконечномерная динамика представляет самостоятельный интерес и естественно присутствует, например, в гидродинамике и волновой физике. Настоящая диссертация посвящена, в основном, приложениям бесконечномерного индекса Конли.
Первая фундаментальная монография, посвященная индексу Конли инвариантного множества в банаховом пространстве — работа Кжиштофа Рыбаковского «Гомотопический индекс л дифференциальные уравнения в частных производных» [20]. Автор определяет бесконечномерный индекс Конли, доказывает корректность такого определения и, в качестве приложений, устанавливает существование положительных решений параболических уравнений и периодических решений нестационарных градиентных систем. В дальнейшем появились альтернативные определения бесконечномерного индекса Конли, основанные в основном на теореме о неявной функции, или конечномерных аппроксимациях задач. Однако такие определения не позволяют исследовать явление множественности решений, характерное, например, для дифференциальных уравнений с сильными нелинейностями.
Объект, исследований. Градиентоподобные динамические системы в гильбертовом пространствеиндекс Конли совокупности инвариантных множествквазилинейные уравнения с сильной нелинейностью.
Цель работы. Основная цель работы — топологическое исследование явления множественности решений операторных уравнений с сильной нелинейностью, в том числе:
1. Определение класса задач, для которых возможно применение методов индекса Конли. Аксиоматическое определение и теорема о представлении соответствующих операторов.
2. Определение и доказательство корректности индекса Конли совокупности инвариантных множеств.
3. Приложение полученных результатов к теории операторных уравнений: доказательство принципа множественности решений операторных уравнений с сильной нелинейностью.
4. Сравнительный анализ аналогичных классов задач в различных литературных источниках.
5. Формализация доказательства теоремы о седловой точке с помощью базовых методов алгебраической топологии.
Используемые методы. В работе использованы методы нелинейного функционального анализа, общей и алгебраической топологии и теории дифференциальных уравнений.
Научная новизна. Научной новизной в предлагаемой работе обладают следующие пункты:
1. Аппроксимационное определение бесконечномерного индекса Конли совокупности критических точек функционала и связывающих сепаратрис.
2. Принцип доказательства существования бесконечного множества решений дифференциальных уравнений с сильной нелинейностью, основанный на свойствах такого индекса.
3. Аксиоматическое и аналитическое описание класса задач, для которых справедлива построенная теория.
Научные положения, защищаемые авторолг. Это понятие и методы исследования индекса Конли нетривиальных инвариантных множеств в гильбертовом пространствеметодика исследования структуры решений операторных уравнений с сильной нелинейностьюаксиоматическое определение и теоремы о представлении класса допустимых уравненийформализация доказательства теоремы о седловой точке в условиях пониженной гладкости.
Практическая значимость. Результаты настоящей работы могут быть использования для эффективного исследования динамических систем и операторных уравнений, возникающих во многих областях прикладной математики, в том числе: теории управления, оптимизации, теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах Московского государственного университета и Института проблем управления РАН.
Личный вклад соискателя. Все результаты, вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно. В тексте диссертации присутствует глава 3, содержание которой составляет статья [2], выполненная в соавторстве: в этом случае автору принадлежит формализация утверждений.
8 Заключение.
Результаты настоящей работы можно подытожить следующим образом.
1. Определен класс задач, для которых возможно корректное определение индекса Конли совокупности инвариантных множеств. Дано аксиоматическое определение соответствующих операторов и доказана теорема об их представлении.
2. Определен индекс Конли совокупности инвариантных множеств (решений) — доказана его корректность и описаны основные свойства.
3. С помощью введенного индекса установлено существование бесконечного множества решений операторного уравнения с сильной нелинейностью.
4. Проведен сравнительный анализ различных классов допустимых задач.
5. Описана общая схема доказательства теорем о седловых точках в условиях пониженной гладкости.
Наряду с индексом Конли специального вида функционалов, в работе показана эффективность методов деформаций и общей топологии в анализе нелинейных задач. С помощью таких методов получены не только робастные (грубые) результаты — например, существование решений, — но и качественные характеристики нелинейных объектов.
