Исследование напряженно-деформированного состояния геометрически нелинейных тел методом фотоупругости

Возрастаощие требования к прочности и надежности машин и механизмов, снижению их веса и экономии металла привели к значительному развитию методов определения напряженного состояния тел сложной формы, находящихсяв экстремальных условиях (высокие температуры, большие скорости нагружения, агрессивные среды и т. д.). Несмотря на успехи теории пластичности, ползучести, вяз-коупругости, механики разрушения — в основе большинства расчетов на прочность лежит определение напряженно-деформированного состояния элементов конструкции, полученное методами теории упругости, которая в настоящее время наиболее полно разработана.

Естественным обобщением классической теории упругости является нелинейная теория, появление которой определилось как требованиями промышленности, так и внутренней логикой самой науки. Прежде всего было обращено внимание на задачи в геометрически нелинейной постановке, так как во многих областях современной, техники, iв том числе авиастроении, судостроении, машиностроении, промышленном и гражданском строительстве широко используются тонкостенные гибкие конструктивные элементы.

Подобные задачи возникают также и при применении новых материалов: резиновых деталей, резино-металлических конструкций и использовании в конструктивных элементах современной техники материалов на основе полимеров, в которых деформации достигают десятков процентов.

Вопрос о больших деформациях представляет значительный интерес и с точки зрения теории упругости,' так как позволяет исследовать задачи, не решаемые в рамках линейной теории, и где учет геометрической нелинейности является обязательным.

Экспериментальное изучение задач больших деформаций, решение которых методами теории упругости в настоящее время весьма сложно, а в некоторых случаях и невозможно, должно сыграть свою роль и при дальнейшем развитии полной и стройной теории конечных деформаций .

Необходимость применения и развития экспериментальных, методов вызвана:

— во-первых, математическими трудностями,! возникающими при расчете деталей сложной формы, и зачастую на сегодняшний день практически непреодолимыми;

— во-вторых,^ сами приближенные методы требуют проверки их достоверности и точности и экспериментального обоснования гипотез, 1 лежащих в их основе.

Нередко экспериментально полученные данные не только позволяют правильно выбрать расчетные схемы, но и служат основой для создания новых способов расчета.

Исследователи имеют достаточно много различных экспериментальных методов,' но поляризационно-оптический достойно занимаат ведущее положение.

Благодаря работам ряда исследователей, и в первую очередь советских (Х.К.Абена, А. Я. Александрова, М. Х. Ахматзянова, И.И.Бу-гакова, Г. В. Варданяна, В. К. Воронцова, Л. МЛобанова, А. Б. Кудрина, Н. И. Полухина, В. М. Краснова, В. Н. Нетребко, Н. И. Пригоровского, В. И. Савченко, В. И. Тараторина, В. Х. Трумбачева, ГЛ. Хесина, Н.А.Чи-ченева и др.), в настоящее время поляризационно-оптический. метод успешно применяется для решения не только классических задач теории упругости, но и таких задач механики деформируемого тела, как задачи пластичности, ползучести, термоупругости, вязкоупругости, динамические задачи, задачи, связанные с анизотропией и др. Работы [2−5]j содержат описание теории и техники эксперимента, а так же огромную библиографию по применению метода.

Настоящая работа посвящена разработке новой методики исследования напряженно-деформированного состояния поляризационно-оптическим методом пространственных элементов конструкций с учетом геометрической нелинейности, 7 которая возникает под действием внешних нагрузок.

До настоящего времени исследования больших деформаций проводились, в основном, на плоских моделях (моделировались как плосконапряженное состояние, так и плоскодеформированное), однако решенных конкретных задач не так уж и много. Исследования: проводились на моделирующем материале СК7−6 или его аналогах 6−15^]. Краткий обзор этих работ приведен в главе Ш.

Отметим, что в настоящей работе изучаются лишь упругие деформации, и применение поляризационно-оптического метода к вязко-упругим и пластическим деформациям не рассматривается•Поэтому анализ применения метода к решению инженерных задач обработки металлов давлением [хб^, где также возникают большие деформации, гнами сознательно упущен.

Суть использования поляризационно-оптического метода для изучения больших деформаций на плоских моделях из упругих изотропных материалов типа прозрачных резин доогаточно проста .

Основной особенностью при изучении плоских моделей является-то, что замеряемая оптическая разность хода §" выражается через две неизвестные величины: разность главных напряжений и изменение толщины модели А3 • Это приводит к значительным и техническим и принципиальным трудностям.

Этого можно легко избежать, используя метод «замораживания» деформаций, хорошо разработанный в методе пространственной «фотоупругости». (Нагрезв модели до температуры высокоэластического состояния, нагружение при этой температуре, медленное охлаждение до комнатной температуры, разрезка модели на тонкие среды, измерение оптической анизотропии в срезах).

Так как из «замороженной» модели вырезаются срезы постоянной толщины, то замеренная разность хода связана только с одной неизвестной величиной — разностью псевдоглавных напряжений.

В случае больших деформаций для характеристики напряженно-деформированного состояния тела вводятся несколько тензорных величин — тензора деформаций, Грина, Альманси, тензора напряженийКоши, Кирхгофа, обобщенных напряжений, истинных напряжений (ом., например, ^ I, 17, 18 3)• В высоко эластическом состоянии оптически чувствительные материалы, как правило, ведут себя как идеально упругие, поатому оптическую анизотропию можно связать либо с напряжениями (согласно теории Максвелла) или с деформациями (теория Неймана). Физически более естественно (с точки зрения физики твердого тела, а не с позиций феноменологических подходов механики сплошной среды) связать оптическую анизотропию в окрестности точки не с напряжениями в этой точке, а с удлинениями: что можно рассматривать как развитие идей Неймана на случайконечных деформаций.

В пространственной фотоупругости не полностью используются все возможности которые дает «замораживание» деформаций. Так как в классической теории упругости рассматривается равновесие недеформируемого тела, то перемещениями и поворотами «замороженной» модели как деформациями тела в целом обычно не интересуются. И таким образом, 1 упускают. очень важную информацию, которую можно получить, обмеряя «замороженную» модель, а также обмеряя отдельные срезы как в «замороженном», так и в «размороженном» состояниях. Даже небольшие упругие относительные удлинения и сдвиги, достигающие всего нескольких процентов,' могут вызвать значительные деформации в целом (перемещения и углы поворота) и тогда следует рассматривать равновесие деформированной конструкции. В этом случае обмеры «замороженной» модели и отдельных срезов.

С" замороженных", а затем «размороженных») позволяют определить деформацию в целом.

Тогда на основании оптических измерений в срезах можно определить удлинения Еi (i-1,2,5) в окресности точки, т. е. изменения размеров и формы элемента объема. Например, определить ориентацию и величину полуосей (l + E^dfc, (l + Ez) clt, (l элементарного эллипсоида, в который переходит в результате деформации сфера радиуса d^z. .

Если известны величины El, то компоненты тензора деформаций (Грина или Альманся) легко определяются по известным формулам. Затем выбирая соответствующие формы упругого потенциала переходим к вычислению напряжений.

В настоящей работе мы ограничимся рассмотрением линейно упругих тел, так как оптически чувствительные материалы на основе эпоксидных смол в высокоэластическом состоянии ведут себя как идеально уцругие линейные материалы. Для линейно упругого тела тензоры напряжений и деформаций соосны, т. е. направление главных напряжений (ои удлинений Е-. совпадают. Если известны направления главных напряжений и их величины, то можно оцределить компоненты различных тензоров напряжений в других координатных системах.

При относительных удлинениях порядка нескольких процентов можно с точностью на порядок превышающую точность эксперимента лоло-житьЕ-:?" и напряжения связать с удлинениями законом Гука. В этом случае на основании оптических измерений можно определить тензор деформации? ij и действительное напряжение, используя закон Вертгейма и закон Гука, т. е. в задачах, где в с 10°/о используем метод расшифровки, обычно применяемый в пространственной фотоупругости при исследовании классических задач.

Однако деформации до 10% даже в сравнительно толстостенных элементах конструкций могут вызывать большие перемещения и углы поворота и приводить к существенному перерасцределению напряжений .

Таковы основные идеи работы, оцределившие ее структуру.

Работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка цитируемой литературы и приложения.

Первая глава содержит весьма краткое изложение теории конечных деформаций. Здесь основное внимание уделено возможности характеризовать деформацию «в малом» относительными удлинениями в окрестности точки. Приводится краткий анализ теории нацряжений.

Вторая глава посвящена теории пьезооптического эффекта. В ней исследуется связь оптической анизотропии, возникающей в моделирующем материале, с механическими величинами и разделение деформаций с использованием несжимаемости материала в высокоэластическом состоянии.

Третья глава посвящена созданию и исследованию новых оптически чувствительных материалов для моделирования конечных деформаций. Приводятся составы рекомендуемых материалов для исследования напряженно-деформированного состояния тел, подверженных в цроцессе нагружения конечным деформациям. и U.

В четвертой главе описано применение цредлагаемои методики к решению конкретных задач.

Проблемы изгиба пластин и оболочек при прогибах сравнимых с их толщинами, а так же некоторые проблемы кручения и изгиба, которые выпадают из классической теории упругости в случае ее некоторой ограниченности и которые могут быть решены с позиций нелинейной теории.

Значительный теоретический и практический интерес представлают так же вопросы, связанные с выяснением влияния конечных деформаций на концентрацию напряжений возле отверстии, особенно заполненных.

Поэтому в качестве примеров применения предлагаемой методики выбраны задачи исследования напряжено-деформированного состояния тонкой и толстой пластинки переменной толщины в радиальном направлении, концентрации напряжений в круглых валах с отверстием, а так же плоская задача исследования концентрации напряжений возле заполненного отверстия.

Полученные наш результаты, 1фоме иллюстрации возможности метода, представляют и значительный самостоятельный интерес.

выводы.

Основше результаты, полученные в работе, состоят в следующем*.

1. Разработана методика исследования геометрически нелинейные пространственных: и плоских задач теории уцругости поляриза;

. ционно-оптическим методом.

1.1, Создан оптически чувствительный материал, позволяющий при температуре «замораживания» получить в моделях: относительные удлинения до.

1.2, При исследовании моделей, в которых возникают значи;

тельные конечные до деформации, оптическую анизотропию в срезах предложено связать с квазиглавными удлинениями" В случае деформаций до ВД можно использовать закон Вертгеима.

1.3, Предложена методика разделений главных: удлинений, использующая несжимаемость материала в высокоеластическом состоянии при температуре «замораживания» .

2. Решен ряд новьк задач в геометрически нелинейной постановке •.

2Д. При исследовании тонких круглые пластин подверженных: конечным деформациям замечены существенные отклонения распределения напр же шй по отношению к распределению аналогичных: напряжений в пластине с малыми деформациями.

2.I.I. Распределение окружных напряжений 6ГВ по толщине пластины вдоль линий перпендикулярных деформированной срединной поверхности отличается от линейной зависимости распределения напряжений в пластине с малыми деформациями.

2.1.2. В распределении напряжений по толщине вдоль линий параллельных оси 02 наблюдается отклонение от симметрии абсолютных величин напряжений граничных точек относительно срединной поверхности, хотя распределение напряжений практически линейно.

2.1.3. Поверхностные напряжения во второй пластине, возникающие по нижнему контуру, до абсолютному значению больше напряжений, возникающих по верхнему контуру,.

2.1.4. Распределение напряжений Щ по толщине второй пластины как вдоль линий перпендикулярных деформированной срединной поверхности, так и вдоль линий параллельных оси 02 практически линейно (как и в первой пластине) но не симметричны относительно срединной поверхности.

2.2. Для сравнения результатов оптического метода с результатами машинного счета был поставлен численный эксперимент.

2.2.1. Экспериментальные и расчетные данные показам, что.

результаты эксперимента, выполненные по разработанной методике хорошо согласуются с данными полученными на основе численного.

решения задачи с учетом геометрической нелинейности.

2.2.2. Уже цри деформациях, близких к максимальные напряжения, полученные по линейной теории, отличаются от напряжений, полученных с учетом геометрической нелинейности, приблизительно на 40% в сторону увеличения.

2.3. Исследование напряженно-деформированного состояния пластин средней толщины показали, что распределение нацряжений в них отличается от распределения аналогичных нацряжений в тонких пластинах.

2.3.1. Поверхностные напряжения б^ не изменяют своего.

знака вдоль всей поверхности.

2.3.2. В пластине с малыш деформациями поверхностные напряжения 6*g до нижнему контуру превышают поверхностные напряжения возникающие на верхней поверхности приблизительно в 1,5 раза.

2.3.3. При достижении прогибов пластины до 30% большей толщины, поверхностные напряжения сравнивают свои значения (по абсолютной величине).

2.3.4. Распределение напряжений — вдоль линий перпендикулярных деформированной срединной поверхности и параллельных оси 02 близки к линейному.

2.3"5. Напряжения 6″ е- (Th в пластине с малыми деформациями распределяются по^ко выраженному нелинейному закону с ассимет-рией значений напряжений поверхностных точек.

2.3.6. Во второй пластине распределение напряжений — Си в тангенциальных срезах перпендикулярных деформированной срединной поверхности и параллельных оси 02 мало отличались друг от друга. Однако по сравнению с первой пластиной уменьшилась нелинейность их распределения и выравнялись их граничные. значения.

2.4. Исследовано распределение концентрации напряжений на поверхности крутлых валов при кручении возле поперечных отверстий.

2.4.1. Коэффициент концентрации напряжений в зоне сжатия и растяжения отличается друг от друга.

2.4.2. Коэффициент концентрации напряжений в зоне. сжатия больше 4, а в зоне растяжения меньше 4.

2.4.3. С увеличением отношения диаметра отверстия к даамет-ру вала концентрация напряжений в зоне сжатия растет, а в зоне растяжения падает.

2.5. Исследовано плоское напряженное состояние растянутой пластины с отверстием, в которое плотно, но без натяга вставлен диск из того же материала.

2.5.1. Угол контакта в результате деформации уменьшился с 18″ до 15е.

2.5.2. Напряжения по контуру отверстия возросло повсюду. Максимум 6″ 0 — сместился с точки на горизонтальном диаметре в точку начала контакта, т. е. на контуре отверстия наблюдается четыре точки максимальньк напряжений, по сравнению с двумя в случае с малыш деформациями.