Математические модели многих явлений реального мира формулируются в виде дифференциальных уравнений. Одним из эффективных инструментов исследования дифференциальных уравнений является групповой анализ — математическое направление, предметом которого является совместное рассмотрение непрерывных групп преобразований и допускающих эти группы дифференциальных уравнений.
В современной теоретической физике при исследовании строения материи (микромир) или Вселенной (макрокосмос) теоретико-групповые методы играют основополагающую роль. В механике сплошных сред в этом вопросе наблюдался пробел. Систематические исследования по применению методов группового анализа к моделям механики сплошной среды были начаты JI.B. Овсянниковым и его школой в конце 50-х годов прошлого столетия [21, 22]. В работах JI.B. Овсянникова, Н. Х. Ибрагимова, В. В. Пухначева, А. А. Никольского, J1.B. Капитанского, Ю. Н. Павловского, А. А. Бучнева, В. О. Бытева и других авторов впервые были изучены групповые свойства дифференциальных уравнений механики жидкости и газа и показано как эти свойства можно использовать для решения физически важных задач [2, 3, 7, 8, 9, 18, 19, 39, 40, 41]. В работе [23] JI.B. Овсянниковым была выдвинута программа ПОДМОДЕЛИ. Более детальное описание можно найти в [26]. Здесь же приведены базовые сведения, необходимые для выполнения программы ПОДМОДЕЛИ применительно к уравнениям газовой динамики (УГД) pDu + Vp — 0, Dp + pdivu = 0, DS = 0, (0.1) где D — dt + й • V, V = (<9Ж, ду, dz), и — (и: v, w) — вектор скорости, р — плотность, р — давление, S — энтропия, р = f (p, 3) — уравнение состояния, да = д/да. Последнее уравнение для энтропии можно заменить уравнением для давления Dp + pa2divu = 0, где а2 — fp — квадрат скорости звука. Энтропия S определена с точностью до замены S —> g (S) с произвольной непостоянной функцией д. Это преобразование энтропии является преобразованием эквивалентности для уравнения состояния и всегда допускается УГД. Уравнения (0.1) представляют собой модель невязкого нетеплопроводного газа, который движется в отстутствии внешних источников энергии и силовых полей.
Целью этой программы является исчерпывающее использование симметрии модели для построения классов точных решений (подмоделей) этих уравнений. Промежуточные итоги по выполнению программы для уравнений газовой динамики были опубликованы в работе [34].
Кратко остановимся на основных понятиях группового анализа [22]. Говорят, что система дифференциальных уравнений Е допускает группу G непрерывных преобразований, если Е остается неизменной под действием любого преобразования из G. Фундаментальное свойство допускаемой группы состоит в том, что группа G действует на множестве решений системы Е, переводя любое решение системы снова в решение. Это справедливо и для любой подгруппы Н группы G.
В рамках программы ПОДМОДЕЛИ точные решения УГД строятся с помощью подгрупп Н допускаемых уравнениями группы Галилея, расширенной растяжением. Каждая подгруппа Н допускаемой группы G также допускается исходной моделью Е. Подгруппа Н имеет инварианты, конечные и (или) дифференциальные. Установление дополнительных соотношений между инвариантами подгруппы Н выделяет из множества решений модели Е определенный класс точных решений. Такие решения выражаются через новые искомые функции (инварианты), удовлетворяющие выводимой из Е системе дифференциальных уравнений, которая называется факторсистемой Е/Н. Поэтому фактор система Е/Н называется подмоделью исходной модели Е. Число сг независимых переменных в факторси-стеме называется рангом подмодели. В стандартном случае четырехмерного пространства событий (время и три координаты), на котором определена система Е, ранг подмодели может принимать значения 3, 2, 1, 0.
Существенно различаются два типа подмоделей: инвариантные (ИП) и частично инвариантные (ЧИП). Для ИП все искомые функции выражаются через инварианты, поэтому система уравнений называется определенной. В ЧИП только часть искомых функций имеет инвариантное представление. На оставшиеся «лишние» функции при построении подмодели не накладывается никаких дополнительных ограничений, они считаются зависящими от всех независимых переменных исходной модели. Число S таких функций определяет дефект ЧИП. Уравнения ЧИП содержат инвариантную подсистему для функций, имеющих инвариантное представление, и переопределенную подсистему для «лишних» функций. Исследование переопределенной подсистемы для «лишних» функций на совместность (приведение в инволюцию) часто является не простой задачей, что определяет сложность исследования ЧИП. Таким образом, ЧИП характеризуется парой чисел: сг и 5, задающих соответственно число независимых переменных в подмодели и число искомых функций, не имеющих инвариантное представление. Иногда в процессе приведения переопределенной системы в инволюцию лишние функции уточняются, и получается ЧИП с тем же рангом а, но меньшим дефектом 6' < 5 на подгруппе Н' С Н меньшей размерности. Говорят, что ЧИП (сг, на подгруппе Н редуцировалась к ЧИП (<т, 5') на подгруппе II' [22]. Если при приведении в инволюцию системы все лишние функции принимают инвариантное представление, то есть $ = 0, то данная подмодель совпадает с ИП ранга сг, построенной на подгруппе меньшей размерности Н' С Н. Тогда говорят, что ЧИП (сг, 5) на подгруппе Н редуцировалась к ИП (сг, 0) на подгруппе Н'. Установление редукции позволяет избежать большого количества фактически ненужной работы.
Два решения системы Е называются несущественно различными относительно группы G, если одно из них можно перевести в другое некоторым преобразованием этой группы. Если такого преобразования нет, то два решения называются существенно различными относительно группы G. Рассмотрим множество Н — решений, получаемых относительно всевозможных подгрупп Н С G. Любые два решения из этого множества несущественно различны, если соответствующие им подгруппы сопряжены (подобны) отностельно внутренних автоморфизмов допускаемой группы G. Действие внутренних автоморфизмов разбивает множество подгрупп группы G на классы подобных. Существенно различные решения получаются относительно различных классов подобных подгрупп. Таким образом, задача перечисления всех существенно различных решений сводится к разбиению подгрупп группы G на классы подобных и определению представителей этих классов. Совокупность таких представителей называется оптимальной системой подгрупп и обозначается символом QG. Решения, соответствующие подгруппам из QG, образуют оптимальную систему решений. Все остальные решения можно получить из этой системы с помощью действия группы G.
В теории Ли каждой группе преобразований G ставится в соответствие некоторая алгебра дифференциальных операторов L. Это соответствие является взаимооднозначным и справедливо для подгруппы и подалгебры. Внутренним автоморфизмам группы G соответствуют внутренние автоморфизмы алгебры L, действие которых разбивает множество подалгебр алгебры L на классы подобных. Совокупность представителей этих классов называется оптимальной системой подалгебр и обозначается символом (c)L. Оказывается, что задачу о нахождении оптимальной системы подгрупп QG удобнее решать как задачу построения оптимальной системы подалгебр (c)L. По этой системе однозначно восстанавливается оптимальная система решений, которая дает совокупность подмоделей исходной модели.
УГД (0.1) в случае общего уравнения состояния допускают 11-мерную алгебру Ли Ьц, операторы базиса которой в декартовой системе координат имеют вид:
Хх = дх, Х2 = ду, Хг = dz, Х4 = tdx + ди, Х5 = tdy + dv,.
Х6 = tdz + dW: Х7 = ydz — zdy + vdw — wdv,.
X8 = zdx — xdz + wdu — udw, X9 = хду — ydx + udv — vdu,.
Хю = dt, Хц = tdt + xdx + уду + zdz. В цилиндрических координатах x — (x, r,9), u — (U, V, W), y = rcos9, z = r sin 9, и = U, v = V cos6 — W sin9, w — Vsm9 + Wcos9 эти операторы примут следующий вид [55]:
Е.
0.2).
Xi=dx, Х2 = cos 9дг — — (дв + Wdv ~ Vdw), г cos 9.
Х3 = sin 9дг ±(дв + Wdv ~ Vdw), Х4 = tdx + ди, г.
Хъ = cos 9{tdrdv) —t {дв + Wdv — (v — jj dw^j, sin9{tdr + dv) +-t (de + Wdv — (V — Q dw), Х7 = дв, X8 = sin в (гдх — xdr + Vdu ~ Udv)+ cos 9.
Хд — — cos в (гдх — хдгfVdu ~ Udv) + + sin в (wdu — Udw + Wdv — Vdw)) ,.
Xiq = dt, Хц = tdt + xdx + rdr.
Дифференциальные уравнения, описывающие физические процессы, часто содержат параметры или функции, которые находятся экспериментально и поэтому пе строго фиксированы. В этом случае говорят, что система содержит произвольный элемент, А в виде указанных параметров и функций. Группа преобразований, допускаемая системой независимо от имеющегося произвольного элемента, называется основной группой. При конкретизации элемента, А допускаемая системой группа может только расширяться. При этом уравнение состояние так же конкретизируется (элемент, А связан с уравнением состояния). Возникает задача групповой классификации: для данной системы дифференциальных уравнений Е найти основную группу и все ее спецификации элемента, А (спецификации уравнения состояния), дающие расширение основной группы.
Преобразованием эквивалентности системы Е называется преобразование зависимых и независимых переменных, а так же произвольного элемента А, которое изменяет только элемент А, сохраняя структуру системы Е. Такие преобразования образуют группу, которая называется группой преобразований эквивалентности. Групповая классификация проводится с точностью до преобразований эквивалентности.
Как говорилось выше, массив решений при реализации программы ПОДМОДЕЛИ определяется оптимальной системой подалгебр. О его широте в случае УГД можно судить по следующим цифрам: для общего уравнений состояния газа оптимальная система подалгебр содержит 221 представитель [26], для УГД с уравнением состояния p = Bp< + g{S), (0.3) где В ф 0,770, 1 — постоянные, Bj > 0, g (S) — произвольная функция энтропии, 606 представителей [50], для политропного газа 1342 представителей [4], для одноатомного газа 1817 представителей [61].
На основе программы ПОДМОДЕЛИ к настоящему времени получено большое количество конкретных примеров точных решений УГД. Качественное исследование подмоделей двумерных, винтовых, вращательных и других движений газа приведено в работах [15, 16, 17, 27, 47, 48, 51].
Примеры нетривиальных частично инвариантных решений можно найти в [13, 14, 29, 30, 38, 66]. Класс движений газа, в которых давление зависит только от времени (барохронные движения) изучен в работах [64, 65, 67]. Введено понятие «простого» (с групповой точки зрения, аналога постоянного) решения [35]. В этой же работе описаны все простые решения, не относящиеся к специальным типам движения газа. Построено решение, описывающее двумерное стационарное течение газа с замкнутыми линиями тока [36]. Это решение является аналогом двумерного течения идеальной жидкости из [63]. В работе [11] приведены все инвариантные подмодели с двумя независимыми переменными для УГД с общим уравнением состояния.
В процессе реализации программы ПОДМОДЕЛИ были получены ответы на вопросы, имеющие общетеоретическое значение. Создан эффективный алгоритм построения оптимальных систем подалгебр конечномерных групп Ли [25], дан критерий .х-автономии группы, допускаемой некоторой системой дифференциальных уравнений [24]. В работе [28] введен новый классификационный признак для частично инвариантных подмоделей. Замечено, что все инвариантные подмодели газовой динамики могут быть записаны в некоторой канонической форме [46], а в [32] доказано это. Дан алгоритм получения подмоделей в канонической и дивергентной формах, пригодный для реализации на компьюторе. Реализации этого алгоритма в виде действующей программы посвящена работа [62]. Установлено, что все инвариантные подмодели имеют эквивалентное представление в виде интегральных законов сохранения [31]. Получена теорема, задающая иерархию инвариантных подмоделей [33], которая нужна для упорядочивания и структуирования множества подмоделей, которое может быть достаточно большим и трудно обозримым.
Настоящая диссертация основана на материале, полученным автором при исследовании в рамках программы ПОДМОДЕЛИ для уравнений сжимаемой жидкости (0.1), (0.3). Этим объясняется тематическая направленность изложенного ниже материала.
Актуальность работы. Отыскание и классификация точных решений уравнений газовой динамики, которые описывают широкий круг явлений в механике сплошной среды, являются актуальными проблемами. Используя подгруппы преобразований, допускаемые УГД, можно находить подмодели (системы уравнений с меньшим количеством независимых переменных) движений газа и параметрические семейства точных решений. Полный список подмоделей ещё не завершен. Важной задачей является построение и исследование новых подмоделей с целью получения точных решений и их интерпретации с точки зрения физики.
В работе рассмотрен класс ранее неизвестных подмоделей уравнений газовой динамики, описывающих движение сжимаемой жидкости, когда давление и температура могут достигать больших значений. Подмодели строятся на 12 двумерных подалгебрах и одной четырехмерной подалгебре. Четырехмерная подалгебра порождает 5 подмоделей, для одной из которых найдены все решения и дана их физическая интерпретация. При исследовании подмоделей важно вычислить допускаемую алгебру. Задача групповой классификации инвариантных подмоделей ранга 2 стационарного типа уравнений газовой динамики решена ранее. В диссертации ставится и частично решена задача групповой классификации гидродинамической системы ранга 2 стационарного типа. Такие системы более общие, чем инвариантные подмодели ранга 2 уравнений газовой динамики и появляются при рассмотрении регулярных частично инвариантных подмоделей.
Цель диссертационной работы заключается в развитии методов группового анализа для построения и исследования новых подмоделей, описывающих движение сжимаемой жидкости. Поставленная цель достигается в результате решения следующих задач:
• построение и исследование новых подмоделей сжимаемой жидкости на подалгебрах, взятых из оптимальной системы подалгебр 13-мерной алгебры Ли, которая допускается моделью сжимаемой жидкости;
• нахождение всех точных решений одной переопределенной подмодели, описание движений сжимаемой жидкости, соответствующих этим решениям;
• групповая классификация гидродинамической системы ранга 2 стационарного типа.
Перейдем к описанию содержания диссертации.
В первой главе рассматривается модель движения сжимаемой жидкости (0.1), (0.3). Показано, что уравнение состояния (0.3) для специальных функций g (S) согласуется с уравнением состояния, описывающим поведение реальных плотных сред (жидкостей и твердых тел), когда давление и температура могут достигать больших значений. Выписывается базис операторов 13-мерной алгебры Ли L13, допускаемой моделью движения ежимаемой жидкости. Он вычислен в [26] и состоит из базиса операторов (0.2) алгебры Ли Ьц, допускаемой УГД в случае общего уравнения состояния, дополненного операторами растяжения и переноса.
Х12 = tdt — иди — vdv — wdw — (7 — 2) рдр — 7рдр, Хгз = др: (0.4) которые в цилиндрических координатах принимают вид.
Х12 = tdt — иди — Уду — Wdw — (7 — 2) рдр — 7рдр, Х13 = др, где 7 = 27/(7 — 1): 7 2. Рассмотрены 12 двумерных подалгебр из оптимальной системы алгебры Ли L13, возникающих когда параметр 70, 1 произвольный. Кратко приведена известная теория построения инвариантных и частично инвариантных подмоделей через инварианты подалгебр. Вычислены инварианты рассматриваемых двумерных подалгебр и сведены в таблицы. На трех подалгебрах получены инвариантные подмодели ранга 2, которые приведены к стационарному каноническому типу (время не есть инвариант подалгебры) по правилу, приведенному в работе [53]. Для оставшихся девяти подалгебр получаются регулярные частично инвариантные подмодели ранга 3 дефекта 1. Регулярные означает, что в независимых инвариантах нет искомых газодинамических функций. Показано, что частично инвариантные подмодели редуцируются к инвариантным подмоделям на одномерных подалгебрах. Из полученных девяти инвариантных подмоделей ранга 3 две подмодели приведены к эволюционному (время есть инвариант подалгебры) каноническому типу, семь подмоделей приведены к стационарному каноническому типу по правилу, описанному в работе [53].
Во второй главе рассмотрена 4-мерная подалгебра из оптимальной системы подалгебр алгебры Ли L13, допускаемой уравнениями движения сжимаемой жидкости. Операторы базиса подалгебры следующие: дх, Х4 = tdx + ди, Ххз = др,.
0.5).
2 27.
Х12 = tdt — иди — vdv — wdw—-рдр—-рдр.
7—1 7 — 1.
Разыскиваются регулярные частично инвариантные решения ранга 2 дефекта 2. Представление регулярного частично инвариантного решения ранга 2 дефекта 2 таково u = u (t, x), V = t~lvi (y, z), w = t~lwi (y, z), p = f^FTp! (0, г), p = pit, ж).
Доказана.
Теорема 0.1. Регулярные частично инвариантные решения ранга 2 дефекта 2 уравнений движения сжимаемой жидкости (0.1), (0.3) построенные на подалгебре с базисом (0.5) определяются только пятью подмоделями. Для представления решения (0.6) с уточнением.
1 -27 u = t~ хщ (у, z) +u0(t, y, z), p = t-r~1pi (y, z) (0.7) получается редуцируемая подмодель с представлением решения ранга 2 дефекта 1 на подалгебре {Xi, Х4, Х12}, состоящая из инвариантной подсистемы.
A"i = mi-«i, Dxvi + pi’lpiy = vi, Diwi + p^pu = wi,.
Dm + Pi (viy + wu) = pi ~ '.
Dipi + 7BpJ (vly + wiz) =—pi — jBplui,.
7−1 и уравнения для функции щ: tuot + D1U0 = —itiuo, где D = г>1<�Эу + wdz.
Для представления решения (0.6) с уточнением.
0.8) и = Гг (х + К'1 (щ (у, z) — elnt)).
0.9).
V = «^(Pifo, + ДГж — e (lnt + 1)), 7 = -1, получается редуцируемая подмодель с представлением инвариантного ре.
13 шения ранга 2 на подалгебре {eXi 4- КХ12, Х4 + КХ3}:
Dim = е — К2р11, D1V1 + p^piy = vi,.
DW + рг Vz = wi, Dipi + P (viy + wu) = -2/01, (0.10).
Dipi — - В Pi l (viy + wlz) = pi + Bpi1 — ub где e, К ф 0 — постоянные, D — vdy + Wdz.
Для представления решения (0.6) с уточнениями и = хГ1 + К 2) po — r1 (A (t)epo + B{t)K2pu l)], р = гФт, p = (pife, *)A> + S/oJ) +.
7−1, 27 7 (B (t) + l) K2Pq1 ~ + l) epo], (0.11) и = if" 1 (^г/1(з/, z) po — A (t)epo — B (t)K2pq, p = t" ^,.
P = Kx + Г^т (pi (3/, 2)/90 4- Bpl) +.
0.12) p = t 7, 2 U = —ret, p = tУ-1, 7−1 (0.13) где e, К ф 0, /?о ф 0 — постоянные, получаются соответственно переопределенные подмодели: 7+1.
DUi =—щ + е, Div I + Ply = Vi, DiWi + pu = wh.
7−1.
3−7 27 viy + wz =—, Dipi =—pi — ui].
7 — 1 7 — 1.
З7 — 1.
D1U1 =-+ +piv = vi, Diwi+piz = wi,.
7−1.
0.15).
2 27 =-D1P1 =-~P-Ui.
7 — 1 7 — 1.
D1V1 + piy = vi, D1W1 + pu = wi,.
0.16).
2−7 27.
Viy + W lz =-D1P1 =—pi,.
7 — 1 7 — 1 где D = vdy + wdz.
Замечание 0.1. В Теореме 0.1 при t < 0 в формулах для представлений р, р переменную t нужно брать по модулю.
Для подмодели (0.16) найдены решения в случае линейного поля скоростей, в случае ортогональной системы координат и в общем случае. Результаты сформулированы в виде теорем.
Теорема 0.2. Подмодель (0.16) в случае линейного поля скоростей.
Щ = ацу 4- a2z + а, w = а2у + а22z + а2, где a, i, aij — постоянные, допускает 3 типа решений, которые классифицируются по кратным волнам с точностью до преобразований подобия УГД [22, § 23]:
1. 0-волна v — w — pi — 0 при 7 = 2;
2. 1-волна vi = ацу + auz, wi = a2iy + a22z: pi = 0, Oil + «22 = 1, «1122 — «12"21 = 0 при 7 = 3/2;
3. 2-волна.
Vi — У, Wi — z, pi — 0 при 7 — 4/3- vi = —2y, wi — —2z, pi = -3(y2 + z2) при 7 = 2/3.
Теорема 0.3. Подмодель (0.16) в ортогональной системе координат с линиями тока в качестве координатных линий имеет решения только с линейным полем скоростей. Решения классифицируются по кратным волнам [22, § 23] с точностью до преобразований подобия УГД и образуют три типа решений:
1. 0-волна vi = w = р = 0 при 7 = 2;
2. 1-волна г>1 = (у sin во + z cos во) sin во, w = {у sin во + z cos во) cos во,.
Pi — 0 при 7 = 3/2, где во — постоянная;
3. 2-волна vi — у, wi = z, pi = 0 при 7 — 4/3- vi = -2 у, wi = -2 z, pi = -3 {у2 + z2) при j = 2/3.
Теорема 0.4. Подмодель (0.16) имеет решения только для четырех значений показателя 7 уравнения состояния (0.3).
7 = 2: pi = v = wi = 0;
7 = 3/2: pi = 0, г/i = isinJ, w — A cos 5, где A = у sin 6 + z cos 5 — x (0> X — x (0 ~~ произвольная функция, т (1) = —у cos J + z sin 6: 5 — постоянная;
7 = 4/3: pi=0, Уг=у-Ф (1), wi = z-^f{l), где функции Ф, Ф связаны равенством z — ф) ф' = (у — ф) ф';
7 = 2/3: Pl = -3(i/2 + z2), = «л = -2г.
В третьей главе рассмотрена гидродинамическая система ранга 2 стационарного типа.
Fu = иих + vuy + R~guPx + gPy) = аи,.
Fv = uvx + vvy + R-gPx + gvPy) = a.
Fr = uRx 4- vRy + R (ux + vy) = aR = ifaf, (0.17).
Fp = uPx + vPy + A (R, P)(ux + vy) = ap,.
Fk = uw* + vwy = afc, где к — 1,., n, фиксированные функции ^(ж, ?/), ди{х, ?/) > 0, ^(яг, у) > 0, Д2 = gugv д2 > Q. a?{x, y, u, v, R, PiWl,., wn), v = u, v, R, P, l,., n, — линейные или квадратичные функции по переменным и, и, wk. Функция Л считается произвольной (произвольным элементом) и определяется уравнением состояния.
Системы вида (0.17) появляются при рассмотрении регулярных частично инвариантных подмоделей ранга 2 УГД. Решается задача групповой классификации этой системы, включающая вычисление допускаемой ею алгебры и возможных специализаций элемента А. Операторы алгебры Ли, допускаемой системой (0.17), представляются в виде: х = сдх+еду++?dv+ckdwk+tRdR+fdP, где = У> u-> vj Р> Р> wl> ••> wn). В качестве независимых производных выбираются величины их, vyi wly, Ry, Рх, Ру, г = 1, ., п. Далее записываются условия инвариантности системы (0.17) относительно оператора X с неопределенными множителями:
X{Fy — av) = (Л" + Ких + АХ + ЛuRRy + ЛuPlPx + vP2Py + А>*)(</ - Fp), где Xi — продолженный на первые производные оператор X. Неопределенные множители A", AJ, j — и, v, R, PI, Р2,1,., п, зависят от переменных ж, и, и, uR, Р. Зависимые производные выражены через независимые из уравнений системы (0.17).
Условия инвариантности содержат не более чем квадратичные слагаемые по независимым производным. Искомые функции ^ не зависят от производных. В результате расщепления уравнений по степеням независимых производных получается переопределенная система уравнений для нахождения координат допускаемого оператора. Приравнивание нулю коэффициентов при различных квадратичных и линейных слагаемых по независимым производным приводит соответственно к 2-уравнениям и 1-уравнениям [24]. Оставшиеся уравнения не содержат независимых производных и образуют 0-уравнения [24].
Интегрирование 2- и 1-уравнений приводит к двум Леммам. Лемма 0.1. Общее решение 2-уравнений имеет вид:
Z" = e (x, y), f = №, n) лу = 0. (0.18).
Замечание 0.2. Утверждение Леммы 0.1 согласуется с работой [49]. Лемма 0.2. Интегрирование 1-уравнений дает представление для координат оператора X и для неопределенных множителей Хи при, А ^ 0: с = иси+иех+<, с =™++ к = У, < Р)), = - 2W — 2п),.
Ptffoi/J+^Or.y), Xu = -Ufi, Xv = А* = Яд, (0.19).
Afc — 2 Л2 ^(Яг1 — шр) — Хр = -ш-еР~ Ац, где 11 = 2 Л2 (rap — R~l)uj 4- w = uj (x1y, wt1JJS (R, P))>
J = gVy? 2guv + flfV+ 2 Л2 т (Л, P),.
ASp + RSr = 0, Amp + йтд = AR~l. (0.20).
Кроме того, 1-уравнения включают равенства для определения координат £у: п = ^ + g{gvT4yx — {gvYldgv = g + ^ - {guYldgu,.
1 — 2 (0.21).
А2 (G/T1^ + (sT1® = dg — -g [(guYldgu + (.
При A = 0 в равенствах (0.19), (0.20) нужно считать? p — ?p (x, у, P), m — 0- Xя — —R^pp + R/i, a S (R, P) заменяется на P.
Замечание 0.3. В Лемме 0.2 выражения для Хр, ц уточняют формулы из работы [Щ.
О-уравнения имеют вид: и2ехх + 2 uv? y + v2eyy + аи{£ + uujjJu + 2и)+ av{ixy + uujjJv) + R~l{gu? + + u{uux + vuy)+ +u{uJx + vJy) uj J + aluujwi — Xau — (ap — Aaf) u = 0- еще одно уравнение получается из предыдущего уравнения заменой и <�—> г/, х <�—>¦ у;
4- шак + + + +(и Jx 4 vJy + auJu + avJv)?kj.
— Xak — (ap — Aaf) A* = 0- (0.23) u (g — 2n + g + фх + v (g -2n + g + фу + afo;
Xaf — wwx — vuy — (uJx 4- vJy 4- auJu + avJv) uj— —tfujyji — (ap — Aaf) R-1XR = 0- v& + + + + + фу + U0JX + VU>y+ (uJx + vJy + auJuIavJv) u)j 4- alujwi + af (w 4-~Xap — (ap — Aaf) Xp = 0.
Эти уравнения более точные, чем в [49].
С помощью классификационного соотношения (0.22) получено 13 случаев специализации элемента, А (уравнения состояния). Десять случаев совпадает с результатами групповой классификации УГД в случае общего уравнения состояния [26, табл. 1]. В оставшихся трех случаях получаются более общие уравнения состояния, чем в [26, табл. 1]. Они появляются при групповой классификации подмоделей, построенных по подалгебрам 2.6 и 2.19 из [26, табл. 6]. Групповая классификация для первой подмодели приведена в [68], а для второй в [12].
С помощью полученных формул вычислены алгебры допускаемые подмоделями (0.8) и (0.10) из Теоремы 0.1.
В четвертой главе в силу Теорем 0.1 и 0.4 формулируется Утверждение 0.1. Уравнения движения сжимаемой жидкости (0.1), (0.3) на подалгебре с базисом (0.5) имеют решения вида (0.13) только для четырех значений показателя 7: о ож п 1 Вр0-х2 7 = 2: и = v = w = P=~t2> р =—' В (р0−1)-х2 V2B (0−24) г4 ' а~.
X «2 — Y (IJ) 1.
7 = 3/2: и = 3—, i- = 0, w =-p =.
BpT — За-2 B (pS/2 — 1) — За2 /3~1.
P =-i5-' 5 =-*-' a=sV2BW ж 2/-Ф (0 1.
7 = 4/3: и = 4—, w =-p =.
BpT ~ «B{pl'Z — 1) — 6×2 /41 1 p =-P-' ^ =-P-' V3 Й' где функции ФФ связаны равенством (z — Ф) Ф' = (у — Ф) Ф';
7 = 2/3: г/= р = р = (я," 1'3 — 3r2).
0.26).
0.27).
S = (ад1'3 — 1) — Зг2) Л г где г = х, U = -2— и, v, w — компоненты вектора скорости, р — плотность, р — давление, S — функция энтропии, а — скорость звука.
В решениях (0.24)-(0.27) берется ро = 1. В решении (0.24) взято В = 2 и рассматриваются одномерные движения сжимаемой жидкости. В решениях (0.25)-(0.27) меняются масштабы координат, скорости, давления, функции энтропии и скорости звука х —>• л/уВж, й —> у/^Вй, р —" -S1 —> 7−05, a —> у/^Ва, масштабы времени и плотности не меняются t —" t, р р. В решении (0.26) масштабы функций Ф, Ф меняются как и масштаб координат. Изменение масштабов сделано для того, чтобы в решениях не было постоянной В. Уточнения для решений (0.24)-(0.27) примут соответственно вид:
7 = 2: р = (2 — х2) Г S = -хН~ а = 2I*!" 1- (0.28).
7 = 3/2: р = 3(2/9 — ж2) Г6, 5 = -Зж2Г6, a = (0.29).
7 = 4/3: р = ¾ (1 — 8ж2) Г8, 5 = -6x2t~ a = М" 1- (0.30) 7 = 2/3: р = 3/2(1 -2r2)i4, 5 = -3r?, a = И" 1. (0.31).
Для каждого из решений (0.24)-(0.27) с уточнениями (0.28)-(0.31) движение жидкости рассматривается в области, в которой давление положительно. Предполагается, что на поверхности с нулевым давлением жидкость переходит в другую фазу, которая не может быть описана уравнением состояния (0.3). Такие поверхности далее называются поверхностями фазового перехода (фазовыми границами). Звуковой поверхностью называется поверхность, на которой скорость частиц жидкости равна скорости звука.
Решение (0.24) с уточнением (0.28) описывает коллапс частиц в точку или мгновенный точечный источник при одномерном изоэнтропическом движении. Решение обрезается характеристиками и склеивается в непрерывное решение одномерной подмодели в конечной области. Показана возможность непрерывного периодического неизоэнтропического движения сжимаемой жидкости в ограниченной области под действием поршня.
Решение (0.25) с уточнением (0.29) описывает расслоенное по параллельным плоскостям трансзвуковое движение сжимаемой жидкости из мгновенного дозвукового источника. Это движение можно интерпретировать как движение жидкости в канале, если ограничить движение стенками. Для частиц, вылетевших из данной точки, звуковая линия есть эллипс, лежащий в плоскости движения частиц и с центром в точке вылета частиц. Под звуковой линией понимается линия, на которой скорость частиц равна скорости звука.
Хорошо известно решение задачи о расширяющемся поршне для одномерных движений со сферическими волнами (см., например, [37, § 21]). Это решение автомодельное (инвариантно по группе растяжений) и существует, когда поршень расширяется в покоящийся политропный газ из точки (начала координат) с постоянной скоростью. По покоящемуся газу идет сферическая ударная волна. Есть инвариантные решения, для которых мировые линии движения частиц являются ветвями парабол г = где, а > 0 — постоянный показатель автомодельности, Rq характеризует скорость движения частиц [1, § 20].
Решение (0.27) с уточнением (0.31) неавтомодельное, но частично инвариантное решение уравнений движения сжимаемой жидкости (0.1) с уравнением состояния (0.3) вида р = -р2/3 + S, где S — функция энтропии. Мировые линии для этого решения задаются равенством г = Rot, где.
Ro — постоянная, характеризующая скорость частиц, а показатель отрицательный. Решение описывает расширение при t < 0 и сжатие при t > О сжимаемой жидкости под действием сферического поршня. Жидкость движется с трансзвуковыми скоростями. В области движения жидкости не возникает ударных волн. Описан характер распространения сферического возмущения, возникшего на поршне, в одномерной постановке задачи. При сжатии жидкости возмущение со временем сходится к центру. При расширении жидкости часть возмущения задерживается в сферическом слое данного радиуса, другая часть возмущения доходит до поверхности фазового перехода.
Решение (0.26) с уточнением (0.30) описывает движение сжимаемой жидкости из мгновенного дозвукового источника через звуковую поверхность к фазовой границе. Возможно два случая многообразия источника: кривая в плоскости х = 0 или точка в начале координат. В первом случае, когда многообразие источника есть окружность единичного радиуса, звуковая поверхность представляет собой эллипсоид. Во втором случае звуковая поверхность так же является эллипсоидом, построены поверхности уровня t = const характеристического коноида. Выяснено, что если возмущение возникло в точке, расположенной внутри звуковой поверхности, то поверхности уровня коноида вложены друг в друга. Если возмущение возникло в точке на звуковой поверхности, то поверхности уровня коноида касаются друг друга в одной точке. Если возмущение возникло в точке за звуковой поверхностью, то поверхности уровня коноида имеют общие сечения.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
На защиту выносятся следующие положения:
— групповое свойство гидродинамической системы стационарного типа с двумя независимыми переменными, которая обобщает частично инвариантные подмодели ранга 2 уравнений газовой динамики;
— новые инвариантные подмодели сжимаемой жидкости ранга 2 и 3 на 12-и двумерных подалгебрах и подмодели ранга 2 на одной 4-мерной подалгебре из оптимальной системы 13-мерной алгебры Ли, допускаемой уравнениями движения сжимаемой жидкости;
— способ получения всех решений переопределенной подмодели сжимаемой жидкости ранга 2 дефекта 2, полученной на 4-мерной подалгебре;
— физическая интерпретация решений подмодели ранга 2 дефекта 2.
Методы исследования. Аналитические результаты получены с помощью методов группового анализа дифференциальных уравнений и методов общей теории дифференциальных уравнений.
Научная новизна работы состоит в следующем:
— построены новые подмодели сжимаемой жидкости;
— найдены новые частично инвариантные решения уравнений сжимаемой жидкости и дана их физическая интерпретация;
— проведена групповая классификация гидродинамической системы ранга 2 стационарного типа с помощью модифицированного способа неопределенных множителей.
Теоретическая значимость.
Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях: теория движения сжимаемой жидкости, групповой анализ дифференциальных уравнений. При решении задачи групповой классификации гидродинамической системы ранга 2 стационарного типа найдено представление решений определяющих уравнений алгебры Ли. Это облегчает процесс нахождения допускаемой группы для конкретных систем уравнений такого вида.
Разработан новый метод интегрирования переопределенных систем, основанный на использовании новых переменных лагранжевого типа .
Доказана разрешимость пространственно подобной задачи Гурса, возникающей при сопряжении специальных решений уравнений сжимаемой жидкости.
Практическая значимость. Полученные точные решения можно использовать в качестве тестовых задач для численных методов.
Результаты работы использовались при составлении отчета о НИР Института механики УНЦ РАН № 01.200.211 712 инв. № 02.2.006 7 719 за 2008 г.
Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обусловлена строгостью доказательств полученных результатов и использованием развитых методов группового анализа.
Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались на следующих конференциях и семинарах:
— 34-ой Региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2003);
— II конкурсе научных работ молодых ученых и аспирантов Уфимского научного центра и АН РБ (Уфа, 2003);
— 35-ой Региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2004);
— Всероссийской молодежной научной школе-конференции «Чеботарев-ские чтения по проблемам современного группового анализа и его приложениям в нелинейной механике» (Казань, 2004);
— XX Всероссийской школе-семинаре «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа» (Абрау-Дюрсо, 2004);
— II Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Абрау-Дюрсо, 2004);
— Всероссийской научной конференции «Современные проблемы физики и математики» (Стерлитамак, 2004);
— III конкурсе научных работ молодых ученых и аспирантов Уфимского научного центра и АН РБ (Уфа, 2004);
— 36-ой Региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2005);
— Российской конференции «Механика и химическая физика сплошных сред» (Вирск, 2007).
— Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы», посвященной юбилею академиков Ильина В. А. и Моисеева Е. Н. (Стерлитамак, 2008);
— Научных семинарах Института механики Уфимского научного центра РАН под руководством д.ф.-м.н. С. Ф. Урманчеева, профессора В. Ш. Ша-гапова.
В 2005 г. работа связанная с результатамрг второй главы диссертации была удостоена диплома за II место на III конкурсе научных работ молодых ученых и аспирантов Уфимского научного центра и АН РБ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах [69]-[77], из них 4 входят в список ВАК.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 140 страниц, в том числе 13 рисунков и 18 таблиц.
Список литературы
состоит из 78 наименований.
Заключение
.
На основании полученных в работе результатов можно сделать следующие выводы:
1. Получены все инвариантные подмодели с 2-мя и 3-мя независимыми переменными в каноническом виде и некоторые регулярные частично инвариантные подмодели сжимаемой жидкости.
2. Найдены все решения одной частично инвариантной переопределенной подмодели сжимаемой жидкости методом обобщенных лагранже-вых переменных.
3. Проведена групповая классификация гидродинамических систем стационарного типа с двумя независимыми переменными по функции, задающей уравнение состояния.
4. Доказана возможность непрерывного сопряжения двух решений одномерной подмодели, описывающих движение сжимаемой жидкости к коллапсу и движение из мгновенного точечного источника.
5. Дана физическая интерпретация 3-х решений частично инвариантной подмодели. Первое решение описывает расслоенное по параллельным плоскостям трансзвуковое движение сжимаемой жидкости из мгновенного дозвукового криволинейного плоского источника. Второе решение описывает безударное сжатие жидкости. Третье решение описывает трансзвуковое движение сжимаемой жидкости по касательному направлению к мгновенному дозвуковому плоскому криволинейному источнику.
