Конечные p-группы с циклическим коммутантом

1.1 Обсуждение тематики.

По теореме Силова конечная группа содержит подгруппы, порядок которых — степень простого числа р. Поэтому знания о детальном строении ргрупп могут быть полезны в решении многих задач, связанных с конечными группами. Например, результаты исследований конечных 2-групп оказали значительную помощь в классификации конечных простых групп.

Конечные р— группы являются весьма сложным объектом для изучения, так как с ростом порядка группы разнообразие в строении ргрупп и их количество возрастает черезвычайно быстро. Например, неизоморфных 2-групп порядка 26 уже более тысячи. Поэтому особый интерес представляет поиск и изучение тех классов р-групп, которые поддаются детальному описанию.

Один из таких классов — конечные р-группы с циклическим коммутантом. Он интересен и тем, что любая неабелева ргруппа обязательно содержит подгруппу с неединичным циклическим коммутантом.

Первая часть диссертации посвящена изучению этого класса р-групп. Одним из первых результатов на эту тему было описание (с точностью до изоморфизма) экстраспециальных1 групп, полученное Ф. Холлом [15]. Эти группы особым образом (при помощи центрального произведения2) собираются из двух двупорожденных групп порядка р3.

Существует множество работ, в которых с разных точек зрения изучались группы с циклическим коммутантом и некоторыми добавочными условиями (смотри, например, [8], [19], [24], [4], и [26]). Наиболее широкий класс — р-группы с циклическим коммутантом при р > 2 и 2 -группы С с циклическим коммутантом и дополнительным условием [С?, (?, О] С [С, С?]4, то р-группы, у которых центр и подгруппа Фраттини имеют порядок р.

2Центральное произведение — это гомоморфный образ прямого произведения, в котором «склеиваются» только подгруппы из центров сомножителей. исследован Я. Ченгом [8], показавшим, что эти группы пред-ставимы в виде центрального произведения 2-порожденной группы и группы класса нильпотентности 2.

Что касается групп класса 2 с циклическим коммутантом, то изучением их строения занимались многие авторы, и в [19] и [20] Леонгом получено описание (с точностью до изоморфизма) конечных ргрупп класса 2 с циклическим центром (и значит, с циклическим коммутантом).

На пути описания с точностью до изоморфизма более широких классов групп В. В. Сергейчуком [4] обнаружено непреодолимое препятствие: получение описания конечных р-групп с коммутантом типа (и без ограничений на центр) эквивалентно решению дикой матричной задачи — приведению к каноническому виду пары матриц одновременными преобразованиями подобия.

В диссертации получены следующие результаты: во-первых, исследовано строение 2-групп, в которых не выполняется условие [О, С, С] С [(7, С]4. Такие группы представимы в виде центрального произведения не более чем 4-порожденной группы с группой класса 2.

Во-вторых, описаны с точностью до изоморфизма конечные р-группы с циклическим коммутантом, циклическим центром и классом нильпотентности больше 2 (при р = 2 описаны только группы с условием [С, С, О] С [С, (?]4). Описание получилось весьма громоздким (такие группы представимы в виде центрального произведения 2-порожденной группы одного из 13 типов, задаваемого пятью числовыми параметрами, с группой класса 2). Учитывая результаты В. В. Сергейчука, можно даже предположить, что это — максимальный естественно определенный класс р-групп, допускающий приемлемое описание.

Другое направление исследований в диссертации — это установление связи между р-группами и кольцами Ли.

Конечную р-группу можно построить из абелевой, последовательно присоединяя автоморфизмы порядка р, поэтому коммутаторная структура^{-группы} в большой степени характеризует структуру всей группы, и коммутаторное исчисление — один из основных инструментов в изучении р-групп.

Известен следующий подход, облегчающий вычисления: на множестве элементов группы определяют операции кольца Ли, определенным образом связанные с групповой операцией, что позволяет линеаризовать некоторые коммутаторные вычисления в группе.

С 50'х годов был известен только один способ подобного превращения ргруппы в кольцо Ли3, основанный на формуле Бейкера-Хаусдорфа, которая возникла из следующих соображений.

Рассмотрим степенной ряд ех — 1 + х/1! + х2/2. в ассоциативной алгебре, А над полем характеристики 0. Возникают некоторые проблемы с определением сходимости подобных рядов, но их можно преодолеть, ограничившись нильпотент-ными алгебрами (в этом случае ряд превращается в конечную сумму), или вводя на алгебре некоторую топологию [1]. Операция хОу — г, определенная по правилу ехеу = ег, является групповой операцией на множестве элементов А. Оказывается, если брать х и у из Ь — подалгебры алгебры Ли, ассоциированной с А, то г тоже лежит в Ь. Более того, существует формула х<�Эу = х + у+ (х, у)/2 +. (под (х, у) имеется в виду лиево коммутирование — (х, у) = ху — ух), известная как формула Кемпбелла — Бейкера — Хаусдорфа — Дынкина, позволяющая выразить групповую операцию О через сложение и лиево коммутирование. Таким образом, можно определить на некоторых алгебрах Ли групповую структуру [1].

Эта формула впервые была открыта в 1898 году Кемпбел-лом для некоторых матричных алгебр, затем передоказана независимо Бейкером и Хаусдорфом в более абстрактном случае, и в 1947 году Дынкиным были в явном виде вычислены.

3Можно строить градуированное кольцо Ли на факторах нижнего центрального ряда [16], но при этом заведомо теряется некоторая информация о строении группы. ее коэффициенты.

Основываясь на этой формуле А. И. Мальцев [2], установил связь между полными4 нильпотентными группами без кручения и нильпотентными алгебрами Ли над полем рациональных чисел.

Изучение коэффициентов в формуле Бейкера — Хаусдор-фа показывает, что знаменатели коэффициентов при слагаемых, не лежащих в р-ом члене нижнего центрального ряда, взаимно просты с р. Это позволяет перенести результаты Мальцева на конечные ргруппы (так как их можно считать «полными» группами, если ограничиться извлечением корней степени, взаимно простой с р). Это и было проделано Лаза-ром в [18], установившим связь между конечными р-группами класса нильпотентности, меньшего р, и соответствующими кольцами Ли.

Следует заметить, что группы и кольца Ли, связанные формулой Бейкера — Хаусдорфа, обладают похожими алгебраическими свойствами, так как групповому гомоморфизму соответствует кольцевой гомоморфизм, подгруппе соответствует подкольцо и т. п.

Этот факт был успешно использован Сановым [3], Магнусом [21], Хухро [5] и некоторыми другими авторами для получения значительных результатов о р-группах, в частности, при решении ослабленной проблемы Бернсайда.

В связи с этим представляется интересным поиск других классов регулярных р-групп, допускающих превращение в кольца Ли с сохранением основных абстрактных алгебраических свойств.

Начало следующему этапу исследований в этом направлении положил Куппер, когда ввел в [10] понятие вербалъно-абелевой группы. Это — группа, на которой можно ввести при помощи группового слова }?(а, Ь) операцию, а + Ь = 1У (а, Ь),.

4Группа называется полной, если в ней разрешается вычислять корни, то есть для любого элемента х из группы и натурального п в группе существует такой у, что у" = х. относительно которой множество элементов группы является абелевой группой. Там же Куппер «вручную» доказал, что вербально-абелевыми являются ргруппы класса 3 при р > 3 (вербальная абелевость ргрупп класса 2 при р > 2 была известна уже давно). А в [13] Гроуз установил вербальную абелевость конечных р-групп класса нильпотентности, меньшего р1 методами, не использующими формулу Бейкера — Хаусдор-фа. Им же было замечено, что вербально-абелевы ргруппы регулярны. Отметим, что не все регулярные группы являются вербально-абелевыми.

Критерий регулярности до сих пор не найден, но известны два условия, каждое из которых влечет регулярность р-группы: коммутант экспоненты5 не выше р, или «узкий» коммутант — условие типа [С, С,., С] С (С)р.

В [6] Е. И. Хухро построил пример регулярной 3-порожденной р-группы экспоненты р и класса р, допускающей автоморфизм со свойствами, которых не может быть у автоморфизма абелевой группы (в частности это означает, что эта группа не вербально-абелева и не может быть превращена в кольцо Ли). В связи с этим было принято решение искать группы, допускающие превращение в кольца Ли, среди групп с «узким» коммутантом.

В диссертации найден специфически определенный класс ргрупп (содержащий все конечные ргруппы с циклическим коммутантом), допускающих подобного рода превращение в кольцо Ли.

Кроме того, в диссертации приводится новое доказательство собирательной формулы Ф. Холла, точнее, доказательство регулярности р-групп, класса нильпотентности меньшего р, — утверждения, с которого началось изучение регулярных р-групп. Все предыдущие доказательства этого факта [17], [1],.

5 Говорят, что группа имеет экспоненту п, если п — наименьшее число для которого хп = 1 является тождеством в группе.

16] основаны на использовании собирательного процесса6, и поэтому в них необходимо применение специфических комбинаторных вычислений. Предлагаемое доказательство не использует собирательный процесс, а основано на методах, развитых при изучении строения минимальных нерегулярных р-групп [22] [23], благодаря чему оно небольшое по объему и содержит только стандартные теоретико-групповые рассуждения.