Влияние нелинейных характеристик среды и форм-фактора на термо-и фотофорез твердых нагретых аэрозольных частиц сфероидальной формы при малых числах Рейнольдса

Актуальность темы

В настоящее время все большее значение приобретают научные исследования по различным проблемам физики аэродисперсных систем. Это связано с ежегодным увеличением использования аэрозолей в практике — в промышленности, технике, медицине, сельском хозяйстве и т. д. Образующиеся в результате производственной деятельности человека аэрозоли могут оказывать вредное воздействие на людей и окружающую среду. В связи с обострением экологической ситуации все большего внимания требуют вопросы очистки промышленных отходов от аэрозольных частиц, природа образования которых может быть произвольной.

Одной из основных проблем физики аэродисперсных систем, активно разрабатываемой как в нашей стране, так и за рубежом, является проблема теоретического описания поведения взвешенных в газообразных средах частиц. Без знания закономерностей этого поведения невозможно математическое моделирование эволюции аэродисперсных систем и решение такого важного вопроса как целенаправленное воздействие на аэрозоли.

Важным научным направлением, развиваемым в рамках механики аэродисперсных систем, является теоретическое исследование закономерностей движения твердых частиц в неоднородных по температуре газообразных средах — термофоретического и теплофоретического движения. Термофоретическое движение частиц происходит во внешнем поле градиента температуры. Под действием термофоретической силы и силы вязкого сопротивления среды частицы приобретают постоянную скорость, называемою скоростью термофореза. Теплофоре-тическое движение частиц возникает при неоднородном нагреве частиц внутренними источниками тепла произвольной природы. Если выделение тепла происходит в результате взаимодействия частиц с электромагнитным излучением, то в этом случае движение частиц называется фотофорезом, а сила, вызывающая это движение — фотофоретической. Эти явления практически всегда сопутствуют термодинамически неравновесным системам, которые, как правило, и встречаются в природе. Зачастую они могут оказаться определяющими в динамике дисперсных систем.

К настоящему времени в литературе достаточно полно разработана теория движения твердых аэрозольных частиц сферической формы как в случае малых, так и в случае больших относительных перепадов температуры. Под относительным перепадом температуры понимают отношение разности между температурой поверхности частицы Г5 и температурой области в дали от нее Тф к последней, то есть величину (Т^ - Тх)/Тт. Относительный перепад температуры считается малым при (Г4 -Тх)/Тх «1 и большим в противном случае. Частицы, входящие в состав реальных дисперсных систем, могут иметь произвольную форму поверхности, например, сфероидальную. Движение аэрозольных частиц сфероидальной формы изучено лишь в случае, когда относительный перепад темперы мал.

Таким образом, исследование вопросов, связанных с переносом аэрозольных частиц сфероидальной формы в неоднородных по температуре вязких средах, носит актуальный характер и представляет как теоретический, так и практический интерес.

Цель работы. Построение в приближении Стокса при числах Рейнольдса и Пекле много меньших единицы теории термои фотофо-реза твердых нагретых аэрозольных частиц сфероидальной формы.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1. Решить линеаризованное по скорости уравнение Навье-Стокса с учетом сжимаемости среды (зависимости плотности газообразной среды от температуры) и зависимости коэффициентов молекулярного переноса (вязкости и теплопроводности) от температуры в сфероидальной системе координат.

2. Изучить влияние форм-фактора (отношения полуосей сфероида) и нагрева поверхности на силу сопротивления и скорость гравитационного движения твердых аэрозольных частиц сфероидальной формы.

3. Построить в приближении Стокса при числах Рейнольдса и Пекле много меньших единицы теорию термои фотофоретического движения твердых аэрозольных частиц сфероидальной формы при произвольных относительных перепадах температуры в их окрестности.

Методы исследований: методы теории дифференциальных уравнений, методы вычислительной математики.

Научная новизна работы. Доказана теорема существования решения краевой задачи для линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса с учетом сжимаемости среды и зависимости коэффициентов молекулярного переноса от температуры в сфероидальной системе координат.

Впервые на основе гидродинамического подхода разработана теория термои фотофоретического движения твердых высокотеплопроводных аэрозольных частиц сфероидальной формы при произвольных относительных перепадах температуры. Изучено влияние форм-фактора и нагрева поверхности на силу сопротивления и скорость гравитационного движения твердой аэрозольной частицы сфероидальной формы.

Практическая и теоретическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический и практический характер. Математические методы, используемые при решении линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса и теплопереноса, могут быть применены при теоретическом описании движения частиц с более сложной геометрией. Результаты научного исследования могут быть использованы для вычисления силы и скорости термои фотофорезапри описании процесса осаждения аэрозольных частиц в каналахпроектировании экспериментальных установок, в которых необходимо обеспечить направленное движение аэрозольных частиц несферической формы поверхностипри разработке методов тонкой очистки газов от аэрозольных примесей.

Кроме того, материалы данной диссертационной работы могут быть востребованы при разработке спецкурсов по гидродинамике, а также при подготовке курсовых и дипломных работ студентов 3−5 курсов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Решение линеаризованного по скорости уравнение Навье-Стокса с учетом сжимаемости среды и зависимости коэффициентов молекулярного переноса от температуры в сфероидальной системе координат.

2. Решение задачи о влиянии нагрева поверхности и форм-фактора на силу сопротивления и скорость гравитационного движения твердой аэрозольной частицы сфероидальной формы.

3. Теория термои фотофоретического движения твердых аэрозольных частиц сфероидальной формы при значительных перепадах температуры в их окрестности.

Достоверность полученных научных результатов и выводов обусловлена корректностью математических выкладок с использованием положений и теорем теории дифференциальных уравненийкорректностью построения математических моделей физических системсогласованностью полученных в диссертации результатов с известными результатами и экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены на II Международной научно-практической конференции «Экология: образование, наука, промышленность и здоровье» (г. Белгород, 2004) — Международной научно-практической конференции «Аэрозоли и безопасность — 2005» (г. Обнинск, 2005) — Всероссийской конференции по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложениям (г. Рязань, 2006) — Международной научной конференции: «Современные методы физико-математических наук» (г. Орел, 2006) — на научных семинарах кафедры теоретической физики Белгородского государственного университета.

Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми и опубликованы в работах [68−78,88].

Обзор литературы по термои фотофорезу аэрозольных частиц и исследованию решения уравнения Навье-Стокса.

В современной науке и технике, в области химических технологий, гидрометеорологии, охраны окружающей среды и т. д. широко применяют многофазные смеси.

Аэродисперсной системой называют однокомпонентную или многокомпонентную газообразную среду, со взвешенными в ней частицами.

Наибольший интерес представляют аэродисперсные смеси, состоящие из двух фаз, одна из которых есть твердые частицы, а втораягаз. Газы со взвешенными в нем частицами (как твердыми, так жидкими) называют аэрозолями, а сами частицы — аэрозольными.

В зависимости от природы аэрозоли подразделяют на естественные и искусственные. Естественные аэрозоли образуются под воздействием природных сил, например, при вулканических явленияхсочетании ветра с эрозией почвыатмосферных явлениях и т. п. Искусственные аэрозоли образуются в результате хозяйственной деятельности человека. Важное место среди искусственных аэрозолей занимают промышленные аэрозоли, являющиеся нежелательными отходами производственной деятельности общества и оказывающими неблагоприятное влияние на окружающую среду и здоровье населения. Таким образом, аэродисперсные системы находят широкое применение, и всестороннее изучение их свойств представляет значительный научный и практический интерес.

На входящие в состав аэродисперсных систем аэрозольные частицы могут действовать силы различной природы, вызывающие их упорядоченное движение относительно центра инерции газообразной среды. Так, например, седиментация и электрофорез происходят в поле гравитационной и электрической силы. В газообразных средах с неоднородным распределением температуры возникновение упорядоченного движения частиц обусловлено действием сил молекулярного происхождения. Их появление вызвано передачей частицам молекулами газообразной среды нескомпенсированного импульса. При этом движение частиц, обусловленное внешним градиентом температуры, называют термофорезом. Неоднородное распределение температуры в окрестности частиц может возникнуть при их нагреве (охлаждении) источниками (стоками) тепла произвольной физической или химической природы, так называемыми внутренними источниками тепла. Внутренние источники (стоки) тепла — это модельное представление удобное для описания реальных процессов, сопровождающихся выделением тепла в объеме аэрозольной частицы. Так можно моделировать нагрев частицы под действием химической реакции, радиоактивного распада вещества частицы, внешнего электромагнитного излучения и т. п. Наиболее изученным является вопрос о движении капель и частиц, неравномерно нагретых внешним электромагнитным излучением. Такое движение в научной литературе получило название фотофореза. В результате неоднородного распределении температуры движение аэрозольных частиц может происходить, например, в каналах теплои массообменников, в зонах просветления облаков и туманов, в устройствах, предназначенных для нанесения тонких покрытий из аэрозольных частиц, химических реакторах и т. д. [20,27,29,32,46−47,50,83−84,86−87].

Направленное термофоретическое движение и движение под действием неоднородно распределенных в объеме частицы внутренних источников тепла может быть использовано при проектировании устройств, предназначенных для селективного разделения частиц по размерам, тонкой очистки газов, при получении веществ с заданными свойствами.

Кроме того, аэрозольные частицы могут оказать значительное влияние на протекание различных физических и физико-химических и процессов в аэродисперсных системах (например, процессов массои теплообмена). Это обстоятельство нужно учитывать при нахождении распределений физических величин внутри рассматриваемых систем.

Среднее расстояние между аэрозольными частицами у значительной части встречающихся на практике аэродисперсных систем намного больше характерного размера частиц. В таких системах учет влияния аэрозоля на развитие физического процесса можно проводить основываясь на знание законов динамики движения и теплои массообмена с бесконечной окружающей средой отдельных аэрозольных частиц. Поэтому изучение закономерностей движения отдельных частиц в газообразных как однородных, так и неоднородных средах является важной актуальной задачей, представляющей значительный теоретический и практический интерес.

Размеры твердых или жидких аэрозольных частиц, взвешенных в газообразной среде, могут находиться в очень широком диапазоне (до 300-Т-500 мкм). Для классификации аэрозольных частиц по размерам применяют критерий Кнудсена [38]:

Кп = —, Я где А,-средняя длина свободного пробега молекул газообразной средыЯ — характерный размер аэрозольной частицы.

Частицы называются крупными, если <0.01, умеренно крупными при 0.01<£и<0.3 и мелкими при Кп" 1.

Если на поверхности частицы происходит испарение (сублимация) или конденсация образующего их вещества, то такие частицы называют летучими. В случае отсутствия фазового перехода на поверхности частиц их называют нелетучими.

Основной задачей газовой динамики является изучение движения газа как целого и его взаимодействия с другими физическими телами. Описание движения аэрозольной частицы является сложной задачей.

Это связано с тем, что в газах движение конкретной частицы определяется как поверхностными явлениями (обусловленными непосредственным взаимодействием молекул газообразной среды с поверхностью частицы), так и объемными эффектами, возникающими из-за неоднородного распределения гидродинамического и температурного полей.

Число Кнудсена позволяет разграничить всю область газа, окружающего частицу, на гидродинамическую и газокинетическую. При описании движения частицы в гидродинамической области (феноменологическая модель) решаются обычные уравнения газовой динамики, учитывающие, однако, поправки, связанные с отличием числа Кнудсена от нуля, в первую очередь в граничных условиях. Такой подход предполагает введение «скачков» макроскопических параметров — температуры, скорости газа и т. п. на границе раздела фаз.

Суть газокинетического подхода заключается в следующем. В кинетической теории газов используется модель, основанная на статистическом (вероятностном) описании поведения совокупности молекул. Основную роль в этой модели играет уравнение Больцмана для функции распределения молекул по их положениям в пространстве и по скоростям. Этот путь требует решения достаточно сложного кинетического уравнения Больцмана, которое в общем случае провести не удается. Применяемые для этой цели приближенные методы состоят либо в замене уравнения Больцмана, либо в поисках приближенного решения самого уравнения Больцмана с помощью одного из известных методов [1−2,17,43,57−61,89,82−83,95,100,119].

Укажем лишь, что наряду с газокинетическим и гидродинамическим методом используется и термодинамический метод, основанный на анализе выражения производства энтропии вблизи поверхности частицы [10−12,122].

Поскольку в данной работе используется гидродинамический подход, то основной акцент в обзоре будет сделан на него. Следует, однако, отметить, что точность гидродинамического подхода в построении теории термо-и фотофореза зависит от граничных условий на поверхности частицы, которые получаются из решения кинетического уравнения Больцмана. Поэтому граничные условия справедливы только в той ситуации, для которой решено уравнение Больцмана.

Перейдем к обзору литературы по термофорезу и фотофорезу крупных твердых аэрозольных частиц. По своей физической природе термофорез и фотофорез обусловлен тепловым скольжением газа вдоль твердой поверхности аэрозольной частицы.

Приведем краткую историческую справку по термои фотофорезу. Явление термофореза открыто экспериментально более 100 лет назад. Помещая в газ, где с помощью внешних источников тепла поддерживается градиент температуры ЧТ, аэрозольную частицу, было обнаружено, что, несмотря на отсутствие обычных внешних сил, частица приходит в движение в направлении изменения температуры. Измерения показали, что скорость установившегося движения пропорциональна градиенту температуры, по крайней мере, для малых градиентов, и направлена в ту же сторону, что и поток тепла, обусловленный теплопроводностью газа.

В 1918 году Эренхафт совершенно неожиданно обнаружил (наблюдая за движением частиц пыли, взвешенных в воздухе в луче мощной лампы), что некоторые частицы двигаются по направлению к источнику излучения — эффект, который нельзя объяснить действием светового давления, всегда направленным от источника света. Открытый эффект был назван фотофорезом.

Обзор ранних теоретических и экспериментальных работ по фотофорезу достаточно полно изложен в [136]. Любопытным фактом является то, что сам автор термина «фотофорез» Ф. Эренхафт объяснил наблюдаемое в эксперименте движение частиц в поле излучения как «электродинамический эффект второго рода» для отличия от явления светового давления [127]. Вскоре явление фотофореза было объяснено уже известным радиометрическим эффектом для неоднородно нагретых излучением частиц [135]. Отметим также, что в [135] впервые был сформулирован принцип разделения задачи на электродинамическую и газокинетическую.

Первые расчеты распределения плотности электромагнитного поля в объеме сферических частиц по теории Ми [126,130] позволили качественно объяснит природу положительного и отрицательного фотофореза (движение частиц в направлении распространения излучения и в противоположном). Как оказалось, знание интенсивности внутреннего поля не несет информации ни о направлении, ни о величине фотофоре-тической силы и скорости движения частиц. Усредненной характеристикой, определяющей фотофоретическую силу, является фактор асимметрии поглощения излучения Jx (аналог дипольного момента плотности тепловых источников), относящийся к комплексу микрофизических, оптических характеристик, ответственных за динамику аэрозолей [18,19,65,120]. Способ расчета указанной характеристики является чисто электродинамическим.

Классическая гидрои газодинамика не могла объяснить явления термои фотофореза поскольку распределение скоростей и температур в системе газ — аэрозольная частица согласно классической гидро-и газодинамике определяются решением уравнений Навье-Стокса и Лапласа с граничными условиями ип = о, ит = О, Те=Тп = дг дг а, в случае термофореза, и граничным условием, что на бесконечности задан постоянный градиент температуры Те = +{уТ-п) (Ле и^{.-коэффициенты} теплопроводности газа и частицыпиторты нормали и касательной к поверхности частицыТе, Т1 — температура газа и частицы- -температура газообразной среды вдали от частицы). Поля скоростей и температуры в такой постановке совершенно независимы, и, как следствие, относительного движения газа и частицы в отсутствие внешних сил не происходит.

Впервые связь между полем течения и температурой обнаружили теоретически Максвелл и экспериментально Рейнольде [134]. Было установлено, что если поддерживать в газе вдоль его границы с твердым телом градиент температуры, то в направлении этого градиента возникает движение газа. Это явление было названо криком или тепловым скольжением. Скорость скольжения по Максвеллу равна v. vr" где ve — кинематическая вязкость газа.

Эти работы положили начало развитию новой ветви гидрои газодинамики «со скольжением», в которой классические условия «прилипания» газа на стенке заменяются условиями «скольжения».

Гидродинамический метод был впервые применен для построения теории термофореза крупных твердых сферических аэрозольных частиц в простом (однокомпонентном) газе П. С. Эпштейном в 1929 г. [128]. В [128] для скорости термофореза им была получена следующая формула.

2Хvr,.

4 Г, 2Х.+Х, где VTзаданный с помощью внешних источников в газовой фазе малый постоянный градиент температуры.

Коэффициент ¾ появился в связи с использованием Эпштейном полученной Дж. К. Максвеллом [134] формулы для касательной к плоской поверхности аэрозольной частицы компоненты скорости теплового скольжения. П. С. Эпштейн записал ее в виде касательной составляющей вдоль сферической поверхности, заменив Vln Те на 1 дТ.

RT Э9 где 0 — азимутальный угол в полярной системе координат, предполагая, что радиус сферической частицы Я"Х, Х-средняя длина свободного пробега молекул газообразной среды.

Из формулы Эпштейна видим, что скорость термофореза пропорциональна коэффициенту ¾. Это связано с предположением Максвелла, что газовые молекулы, движущиеся к плоской границе раздела между твердой поверхностью и газом, сохраняют вплоть до столкновения с ней, функцию распределения по скоростям, которую они имели в объеме газа вдали от границы раздела. Отраженные от стенки молекулы Максвелл разделил на две категории — долю молекул отражающуюся от стенки диффузно с изотропным распределением по координатам и объемным максвелловским распределением по скоростям, и долю которая отражается упруго и зеркально с сохранением полной абсолютной величины скорости и ее составляющей, касательной к стенке. Величина q удовлетворяет условию: 0<д<1.

Опыты показали, что формула Эпштейна дает для X / X < 1 несколько заниженное (примерно в 1.5 раза) значение скорости термофореза. Особенно плохо формула «работает» в случае, когда X IX «1.

Скорость термофореза, как показали эксперименты, хотя и несколько падает, но не в такой значительной степени, как это предсказывает формула Эпштейна.

Такое расхождение может быть объяснено следующим образом. Подход Максвелла существенно упрощает истинную картину поведения молекул в слое газа на расстояниях порядка средней длины их свободного пробега. Этот слой газа принято называть слоем Кнудсена. На самом деле молекулы газа, перед тем как столкнуться с поверхностью стенки, испытывают в слое Кнудсена, по крайней мере, одно столкновение с молекулами, отраженными от стенки. Поэтому, в реальных условиях имеет место зависимость функции распределения по скоростям газовых молекул от расстояния до стенки в зоне шириной порядка X до поверхности. Корректное рассмотрение задачи взаимодействия газа с поверхностью должно опираться на решение кинетического уравнения Больцмана для функции распределения по скоростям газовых молекул в слое Кнудсена. Однако, несмотря на не строгость и даже противоречивость допущения Максвелла, с физической точки зрения его результат обладает лишь одним существенным недостатком: полученное им значение коэффициента теплового скольжение не зависит от характера взаимодействия молекул газа с межфазной поверхностью. Коэффициент ¾ в научной литературе называют коэффициентом теплового скольжения и обозначают^. Впоследствии были предприняты попытки улучшить результат Максвелла Дерягиным Б. В., Бакановым С. П., Яламовым Ю. И., Ивченко И. Н., Sone J., Loyalka S.K., Абрамовым Ю. И., Openheim А., Ониши, Юшкановым A.A., Латышевым A.B. и т. д., см. например, [9,14,44, 62−63]. Предпринимались попытки и экспериментального определения коэффициента теплового скольжения [98]. Отметим, что при qn 1 (диффузное отражение) коэффициент Kts лежит в интервале 1.1−1.2. Для зеркального отражения (q = 0) Kls=0J5. Таким образом, интервал возможных теоретических значений Kts составляет 0.75−1.2.

Гидродинамический метод для фотофореза дает следующий результат где q? — плотность тепловых источников внутри частицыq (zdV-дппольный момент плотности тепловых источниковпг — единичный вектор в направлении оси ог, в ту же сторону падает электромагнитное излучение, которое неоднородно нагревает поверхность аэрозольной частицы. V.

Видим, что скорость термофореза и фотофореза пропорциональна коэффициенту теплового скольжения, т. е. по своей физической природе эти явления подобны.

Аналитическая теория термофореза и фотофореза крупных твердых частиц как сферической, так и несферической формы, при числах Рейнольдса и Пекле много меньших единицы и при малых перепадах температуры в их окрестности разработана достаточно подробно. В этом случае, решая уравнения газовой динамики, можно пренебречь зависимостью коэффициентов молекулярного переноса и плотности вязкой несущей среды от температуры. Результаты теории, описывающей термофоретическое и фотофоретическое движение крупных аэрозольных частиц при малых относительных перепадах температуры можно найти, например, в работах [6,13,15−16,36,40,42,53−55,80,90−94,96,102, 121,123−125,129−133]. Подавляющее большинство экспериментов по определению термои фотофоретической силы проведено для случая малых относительных перепадов температуры [21−23,45,48,137]. Этот вопрос при условии больших относительных перепадов температуры, ввиду отсутствия надежных экспериментальных данных, остается открытым. Даже изучение аэродинамического сопротивления при наличии тепло и массообмена с окружающей средой представляет собой весьма сложную задачу, как в теоретическом, так и в экспериментальном отношении. Немногочисленные исследования показали, что при движении в холодной газовой среде сопротивление горящих и не горящих, но разогретых частиц может во много раз превышать сопротивление частиц, поверхность которых имеет температуру газообразной среды. Особенно заметен эффект увеличения сопротивления при малых числах Рейнольдса. В частности, в работе [8] было показано, что при неизотермическом движении коэффициент аэродинамического сопротивления частицы характеризуется в основном не температурой набегающего потока, а температурой пристеночных слоев газа и может быть рассчитан по температуре частицы. Также в [8] была предложена полуэмпирическая формула для вычисления аэродинамического сопротивления частицы неправильной формы, аналог формулы Стокса: f = Зя&Учрги<1, где vч — кинематическая вязкость газа при температуре частицы, рг-плотность газа при температуре набегающего потока, <1- средний размер. Коэффициент к рассматривался как коэффициент формы.

Движение аэрозольных частиц, происходящее в однокомпонент-ных газообразных средах при значительных перепадах температуры в их окрестности, рассмотрено в работах [25,37,51,66−67,81−82,107−117]. Впервые решение задачи о силе сопротивления движению однородно нагретой твердой сферической частицы было проведено в работе [131]. Однако, полученные в [131] результаты из-за неудачно выбранного метода решения уравнений газодинамики нельзя было использовать при значительных перепадах температуры. К тому же авторы [131] ограничились рассмотрением случая линейной зависимости от температуры коэффициентов теплопроводности и динамической вязкости.

Описание термои фотофореза нагретых аэрозольных частиц сферической формы с учетом степенных зависимостей коэффициентов молекулярного переноса газообразной среды (вязкости, диффузии и теплопроводности) от температуры было проведено в работах [79,81, 107−117]. При этом уравнения газовой динамики решены, предложенным Щукиным Е. Р. методом, в виде степенных разложений функций задачи относительно параметра £(у) = Г0/(у+Г0), где Г0=^+а-1, /?.=7^/7^, у = г/Лбезразмерная радиальная координата. В работе Малая Н. В. [81] впервые были получены аналитические выражение для силы и скорости термодиффузиои фотофореза крупных и умеренно крупных нагретых аэрозольных частиц сферической формы.

В некоторых работах, связанных с неизотермическими течениями газообразной среды, учитывались дополнительно «барнеттовские температурные напряжения» [25,37,51]. В [37,51] было показано, что при повышении температуры поверхности частицы происходит монотонное возрастание величины силы сопротивления. В ходе решения уравнения конвективной теплопроводности был использован метод сращиваемых асимптотических разложений [30]. В рамках разработанной в [37,51] схемы решения задачи было установлено, что при обтекании потоком сильно однородно нагретой сферы барнеттовские температурные напряжения вызывают появление подсасывающей силы, направленной в сторону движения частицы. Действие этой силы может привести к значительному уменьшению силы вязкого сопротивления среды движению частиц по сравнению с силой Стокса. В работе [25] в процессе численного интегрирования уравнений газовой динамики был рассмотрен термофорез однородно нагретой частицы сферической формы. Появление этого вида термофореза обусловлено действием объемных барнеттовских температурных напряжений. В [117] такая же задача была решена аналитически. Решение уравнений газовой динамики в [117] было проведено также в виде бесконечных сходящихся степенных рядов относительно параметра I. Барнеттовские напряжения могут оказать сильное влияние на движение частиц, но вопрос о необходимости учёта барнеттовских температурных напряжений при решении неизотермических задач до настоящего времени однозначного ответа не получил. Поэтому в настоящей работе барнеттовские напряжения не учитывались.

Перейдем к краткому обзору литературы по решению уравнения Навье-Стокса. Теоретическая гидродинамика давно привлекала к себе внимания ученых разных специальностей. Наглядность ее экспериментов, сравнительная простата основных уравнений и четкая постановка задач вселяли надежду получить полное количественное описание динамических явлений, происходящих в жидкой и газообразной средах. Однако в действительности простота задач оказалась обманчивой.

Вследствие общей их нелинейной природе получить точные решения уравнений гидродинамики не представляется возможным. До сих пор не увенчались полным успехом усилия, направленные на разрешение двух принципиальных вопросов: 1) имеют ли уравнения гидродинамики при дополнительных граничных и начальных условиях единственное решение и 2) насколько удовлетворительно описывают решения этих уравнений реальные течения.

Богатейший теоретический и экспериментальный материал, накопленный в гидродинамике, по-видимому, недостаточен для строгого математического анализа происходящих в жидкости и газе явлений. Многочисленные парадоксы гидродинамики указывают на то, что до окончательной теории еще далеко.

Для решения задач гидродинамики и теплообмена используются три различных подхода: 1) экспериментальный, 2) численный и 3) аналитический. При экспериментальном подходе заранее спроектированная и изготовленная модель помещается в аэродинамическую трубу, где и осуществляется ее экспериментальное исследование. Экспериментальный подход позволяет найти наиболее близкие к действительности решения многих гидромеханических задач, однако его стоимость растет с каждым днем. Кроме того, сложность оборудования, проблемы моделирования, коррекция измеренных значений и сложность измерений, не говоря уже о его стоимости, делает этот метод не эффективным. При использовании численного подхода делается ограниченное количество предположений, и получающаяся в результате система уравнений гидродинамики или газовой динамики решается численно на ЭВМ. Применение численных методов имеет ряд ограничений: погрешности округления, проблема задания граничных условий и стоимость машинного времени. При использовании аналитического подхода делаются некоторые упрощающие предположения, что позволяет найти решение задачи по возможности в замкнутом виде. Аналитические методы, эффективность которых в самых разных областях прикладной математики всеми признана, остаются одними из самых главных методов исследования. Суть аналитических методов заключается в том, что при их применении достигается синтез простоты и точности за счет локализации: в окрестности некоторого предельного состояния находится упрощенное решение задачи, которое тем точнее, чем меньше эта окрестность. Однако и этот метод имеет ряд существенных ограничений: ограничен простыми геометрическими конфигурациями и физическими моделямиобычно применяется лишь к линейным задачам.

Поскольку в данной работе используется аналитический подход, то основной акцент в обзоре будет сделан на него.

В гидродинамике с учетом того, что общая система гидрои газодинамических уравнений нелинейная, были разработаны приближенные методы, позволяющие в той или иной мере упростить уравнения гидродинамики и приспособить их к характеру отдельных типов конкретных задач. Большинство конкретных задач о движении вязкой изотермической жидкости, имеющих тот или иной практический интерес, решено именно на основании приближенных уравнений движения вязкой изотермической жидкости с использованием метода возмущений (метод многих масштабов, метода сращиваемых асимптотических разложений, метод усреднения и т. д.). О некоторых вопросах изложенных выше можно найти, например, в работах [4−5,7,28,35,56,100,106].

Весомый вклад в развитие теории уравнения Навье-Стокса внесла O.A. Ладыжевская, одна из замечательных представителей петербургской математической школы. Главным результатом Ладыжевской в этой области было полное решение проблемы в двухмерном случае (доказала однозначность разрешимости задачи). В трехмерном случае она получила частичные результаты: доказала однозначную разрешимость уравнений на конечном промежутке времени, а также решила общую задачу в предположении малости числа Рейнольдса.

Следует отметить, что до настоящего времени остаются открытыми такие вопросы как: наличие однозначной разрешимости «в целом» общей трехмерной начально-краевой задачи в каком-либо классе обобщенных решений без предположения малости об известных в задаче функциях и областях, заполненных жидкостьюсуществование при всех числах Рейнольдса хороших решений (ламинарные течения) общей нелинейной стационарной задачи в многосвязных областяхразрешимость стационарных задач обтекания в неограниченных областях при любом числе Рейнольдса и т. д.

Задача описания движения аэрозольных частиц существенным образом усложняется, когда мы описываем их поведение при больших относительных перепадах температуры. В случае значительных перепадов температуры при решении уравнений гидродинамики и теплопе-реноса необходимо учитывать зависимость коэффициентов молекулярного переноса (вязкости, теплопроводности, диффузии) и плотности газообразной среды от температуры.

Как уже отмечалось выше, многие частицы, встречающиеся в промышленных установках и в природе, имеют форму поверхности, отличной от сферической, например, сфероидальную. В настоящее время движение твердых сфероидальных частиц при малых относительных перепадах температуры в их окрестности в изотермических газообразных средах исследовано достаточно подробно (см. выше). В данной диссертационной работе впервые в научной литературе строится теория движения крупной твердой нагретой аэрозольной частицы сфероидальной формы при произвольных перепадах температуры в ее окрестности в неизотермической вязкой газообразной среде.

Движение аэрозольных частиц при значительных перепадах температуры в их окрестности может происходить в поле лазерного излучения, при сублимации твердых частиц и испарении капель в сильно перегретых газообразных средах, протекании в объеме частиц и на их поверхности химических реакции. В связи с этим изучение законов движения нагретых частиц является важным научным направлением динамики аэродисперсных систем. Это направление исследований в настоящее время интенсивно развивается.

5. Выводы.

1. В квазистационарном приближении при числах при числах Рейнольдса и Пекле много меньших единицы построена теория термофоретиче-ского движения крупной твердой нагретой аэрозольной частицы сфероидальной формы с учетом зависимости коэффициентов молекулярного переноса (вязкости, теплопроводности), плотности газообразной среды и теплопроводности частицы от температуры.

2. Проведенный на основании полученных формул численный анализ показал, что форм-фактор оказывает заметное влияние на термофорез, однако, как и в случае фотофореза, его роль по сравнению с нагревом поверхности остается второстепенной. Применение формул, отвечающих малым перепадам температуры с усредненными значениями физических величин при данной температуре поверхности частицы для случая больших относительных перепадов температуры, приводит к значительным ошибкам. Кроме того, сила и скорость фотои термо-фореза существенно зависит от значений показателей а,(3 и у.

3. В предельном случае при а->Ь, полученные формулы для силы и скорости термофореза нагретой сфероидальной частицы переходят для силы и скорости термофореза нагретой частицы сферической формы [66,81−83,109−110,116−117], а в случае, когда средняя температура поверхности частицы незначительно отличается от температуры окружающей среды в известные формулы [14−15,42,45,85,96,54,55,80,90, 104,120].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. Решено линеаризованного по скорости уравнение Навье-Стокса при числах Рейнольдса и Пекле много меньших единицы в сфероидальной системе координат с учетом зависимости коэффициентов молекулярного переноса (вязкости, теплопроводности), плотности газообразной среды и теплопроводности частицы от температуры.

2. В квазистационарном приближении построены теории гравитационного движения равномерно нагретой и неравномерно нагретой твердой крупной аэрозольной частицы сфероидальной формы при произвольных перепадах температуры и степенном виде зависимости вязкости и теплопроводности от температуры. Получены аналитические формулы для силы сопротивления и скорости гравитационного падения сфероидальной частицы.

3. Проведенный на основании полученных формул для силы и скорости гравитационного движения анализ показал, что нагрев поверхности частицы существенно влияет на величину силы и скорости ее гравитационного падения. Форм — фактор оказывает незначительное влияние.

4. В квазистационарном приближении построены теории фотофорети-ческого и термофоретического движения нагретой твердой крупной аэрозольной частицы сфероидальной формы при произвольных перепадах температуры и степенном виде зависимости коэффициентов молекулярного переноса (вязкости и теплопроводности) от температуры.

5. Получены аналитические выражения для силы и скорости фотои термофореза, которые позволяют описывать движение аэрозольной частицы сфероидальной формы при произвольном не азимутально-симметричном распределении плотности тепловых источников по объему частицы.

6. Проведенный на основании полученных формул численный анализ показал, что форм-фактора оказывает заметное влияние на термофо-рез, однако, как и в случае фотофореза его роль по сравнению с нагревом поверхности остается второстепенной. Применение формул, отвечающих малым перепадам температуры с усредненными значениями физических величин при данной температуре поверхности частицы для описания случая больших относительных перепадов температуры, приводит к существенным ошибкам. Кроме того, сила и скорость фотои термофореза значительно зависит от значений показателей а,|3 и у.