Нелинейные характеристики многих механических систем можно аппроксимировать степенными многочленами относительно обобщенных координат и скоростей. Коэффициенты этих полиномов являются постоянными, а для нестационарных систем они нередко являются периодическими функциями времени. В связи с этим математической моделью многих механических систем является система динамических уравнений полиномиальной структуры с периодическими или постоянными параметрами. Такие математические модели широко применяют в динамике виброзащиты приборов и устройств. Исследование нелинейных систем с конечным числом степеней свободы представляет сложную актуальную проблему по сравнению с линейными системами. Исследование нелинейных систем не сводится к определению конечного числа частных решений, поскольку нелинейные системы не обладают свойством суперпозиции решений. В современной теории нелинейных колебаний широко используется метод малого параметра, метод Ван-дер-Поля. Известен метод возмущений, представленный в работах А. Пуанкаре и являющийся вариантом метода малого параметра [2]. Применяется также метод итераций. Эффективный способ решения нелинейных задач, позволяющий строить высшие приближения на основании метода усреднения, был предложен Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым [11]. Широко используется метод гармонического баланса и метод гармонической линеаризации. Как отмечено И. Г. Малкиным в приближенных методах важное значение имеет удачный выбор исходного приближения. Неудачный выбор порождающего решения приводит к сложным последующим уточнениям.
В диссертации применяется метод многочленных преобразований опубликованный Г. И. Мельниковым в 1963 г. и в последующие годы [59]- [61]. В этом методе в качестве порождающего решения выбрано решение преобразованных уравнений, которое связано с исходными дифференциальными уравнениями многочленным преобразованием относительно фазовых переменных.
Применение метода многочленного преобразования к многомерным сложным механическими системам приводит к большому объему символьных вычислений и расчетов. В условиях современного развития компьютерного моделирования такие вычисления целесообразно выполнять с применением компьютерных пакетов символьных вычислений, которые имеются в математических пакетах программ Mathematica, MatLab, Maple, MatCad и других. Для выполнения символьных вычислений в математическом пакете необходимо программирование алгоритмических расчетных формул в среде пакета.
В диссертации развивается метод многочленных преобразований для голономных периодически нестационарных механических систем с одной, двумя и тремя степенями свободы. Метод применен для решения нелинейных задач виброзащиты приборных систем, имеющих теоретическое и практическое значение. В связи с этим тема диссертационной работы является актуальной.
На основе символьных компьютерных вычислений составлен пакет программ для практического применения метода многочленных преобразований к задачам виброзащиты нелинейных приборных динамических систем. Эта задача является актуальной, поскольку ее решение направлено на повышение точности работы приборов и устройств, установленных на вибрирующем основании. Целью диссертационной работы являются:
1. Разработка программного обеспечения метода многочленных преобразований для исследования вынужденных колебаний нелинейных систем, которые описываются дифференциальными уравнениями второго, четвертого и шестого порядка с правыми частями в виде многочленов четвертой степени относительно фазовых переменных. Коэффициенты многочленов постоянные или периодические во времени функции.
2. Получение алгоритмических формул метода многочленных преобразований, удобных для составления программ с использованием символьных вычислений.
3. Применение разработанного пакета программ для исследования нелинейных задач виброзащиты приборных систем с одной, двумя и тремя степенями свободы.
4. Определение существенных динамических констант механических систем при помощи разработанного пакета программ.
5. Разработка программного обеспечения для определения установившихся режимов колебаний нелинейных систем с периодическими параметрами по методу многочленных преобразований.
6. Исследование установившихся режимов колебаний нелинейных виброзащитных систем с одной, двумя и тремя степенями свободы в условиях периодического кинематического возмущения с применением разработанной программы.
В результате применения метода многочленных преобразований получаем преобразованную автономную систему с точностью принятой при выводе динамических уравнений. Полученную преобразованную систему можно рассматривал* как исходную систему, но записанную в новых фазовых переменных с допустимой точностью. Метод многочленных преобразований обеспечивает минимизацию количества постоянных параметров в системе дифференциальных уравнений. Сохраняющиеся константы являются существенными константами, определяющими свойство динамической системы. Преобразованная система содержит значительно меньшее количество ненулевых коэффициентов, чем исходная. Сокращение количества ненулевых коэффициентов существенно упрощает исследование сложных нелинейных систем. С помощью преобразованных систем упрощается задача исследования переходных и установившихся процессов исходных систем.
Для реализации метода многочленных преобразований автором составлен пакет программ. Получены алгоритмические формулы метода для использования символьных компьютерных вычислений. С целью проверки достоверности алгоритмических формул применен численный метод Рунге — Кутта при определении стационарных режимов и переходных процессов. На основании разработанного пакета программ исследуются нелинейные виброзащитные системы с одной, двумя и тремя степенями свободы.
Метод многочленных преобразований вместе с разработанным пакетом прикладных программ является общим методом исследования нелинейных виброзащитных систем с одной, двумя и тремя степенями свободы и других периодических нестационарных голономных систем.
При решении задач виброзащиты широко применяют линеаризацию динамических систем, что нередко приводит к большим погрешностям и качественных неточностям анализа. В диссертации решаются задачи виброзащиты в нелинейной постановке, которые являются новыми, имеют теоретическое и практическое значение. Во всех решаемых задачах выполняется приведение исследуемой системы к автономному виду путем многочленной подстановки с периодическими параметрами и минимизации количества нелинейных членов. На основании автономизации системы определяются периодические режимы колебаний и производится расчет переходных процессов.
Разработанный пакет программ применен к задачам виброзащиты нелинейных приборных динамических систем. Пакет программ позволяет с заданной точностью проводить анализ виброзащищенности приборов и устройств, находящихся под воздействием внешних периодических сил. С помощью разработанного пакета программ найдены существенные константы, получены числовые оценки переходных и установившихся режимов колебаний. Определено влияние нелинейных составляющих виброзащитных систем. Проведены числовые расчеты при конкретных параметрах нелинейных виброзащитных систем. Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель и задачи исследования, методы исследования, приведена краткая аннотация глав диссертации.
В первой главе рассматривается голономная механическая система которая является стационарной по отношению к поступательно движущейся системы отсчета. Для системы с п степенями свободы приводится матричная форма уравнений Лагранжа, которые содержат обобщенные силы и силы инерции поступательно движущейся системы отсчета. Приведенная матричная форма уравнений Лагранжа удобна для составления динамических уравнений голономной механической системы.
Применяя матричную систему уравнений Лагранжа необходимо выбрать обобщенные координаты, найти матрицу и вектор обобщенных сил из кинетической энергии и мощности. Матричные уравнения Лагранжа приводятся к нормальной форме. Рассмотрен случай механической систему с двумя степенями свободы стационарную по отношению поступательно движущейся системы отсчета. Приведена матричная форма уравнений Лагранжа для системы с двумя степенями свободы, такж^е выполнено преобразование матричных уравнений Лагранжа к нормальной форме.
Определяется схема алгоритма метода многочленных преобразований для динамической системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянным^ и периодическими параметрами. Приводится описание алгоритма метода многочленных преобразований. Рассмотрен вопрос устойчивости нулевого решения, получены оценки области устойчивости. Проведен анализ точности получаемых результатов методом многочленных преобразований. Полученные результаты показывают применимость метода для качественных и количественных оценок исследуемых переходных и установившихся колебаний динамических систем находящихся в условиях периодического внешнего воздействия. Во второй гла§ е исследуются вынужденные колебания динамических систем с одной степенью свободы. Рассматривается математическая модель вынужденных колебаний маятниковой системы с осью подвеса вибрирующей в произвольном направлении. Посредством метода многочленных преобразований определены существенные константы преобразованной системы, получены переходные и установившиеся режимы колебаний в нерезонансном случае. В случае резонанса исходная система преобразована к автономному виду. С помощью разработанного пакета программ проведен анализ маятниковой системы при конкретных числовых параметрах системы. Построены графики установления колебаний маятниковой системы с вибрирующей осью подвеса, а также стационарного режима колебаний. Методом многочленных преобразований получено верхнее, устойчивое положение равновесия маятниковой системы, а также получены оценки области устойчивости верхнего положения равновесия. Приведены числовые расчеты.
В третьей главе рассматриваются динамические системы с двумя степенями свободы. Приводится схема метода многочленных преобразований для систем с двумя степенями свободы, описывается программная реализация метода. Получены алгоритмические формулы для расчета неизвестных коэффициентов преобразования и преобразованной системы с двумя степенями свободы. Проведено исследования вынужденных колебаний механической приборной системы, установленной на вибрирующем основании содержащей нелинейные характеристики до четвертой степени относительно фазовых переменных в случае отсутствия резонанса. Для составления уравнений движения динамической системы использовались уравнения Лагранжа. Методом многочленных преобразований неавтономная периодическая система с заданной точностью приведена к автономному виду, найдены существенные константы, определяющие качество движения. С помощью составленной щюграммы выполнено исследования механической приборной системы, установленной на вибрирующем основании при заданных числовых параметрах, построены графики переходных и установившихся режимов вынужденных колебаний системы.
В четвертой главе исследуется проблема виброзащиты нелинейной приборной системы от внешних воздействий. Для виброзащиты аппаратуры, приборов используют большое количество типов амортизаторов. Приводятся нелинейные характеристики амортизаторов, применяемых в виброзащитных системах. Рассмотрена виброзащитная система с двумя степенями свободы в условиях внешнего периодического возмущения. Система состоит из объекта защиты — прибора, установленного посредством пружинного амортизаторы с малым демпфированием на платформу, имеющую большую массу, которая закреплена с помощью виброизоляторов на основание. На систему действует внешнее возмущение — вертикальные вибрации. Прибор и платформа перемещаются в вертикальном направлении. Пружинные виброизоляторы имеют нелинейные характеристики, которые можно представить в виде полинома третей степени. Демпфирование в виброизоляторах малое. С помощью уравнений Лагранжа составлены уравнения движения виброзащитной системы.
Методом многочленных преобразований система преобразована к автономному виду. Получено решение системы методом многочленных преобразований в нерезонансном случае. Показано, что колебания платформы и прибора происходят с частотой внещней силы. Построены графики установившегося режима колебаний виброзащитной системы, а также переходного процесса установления колебаний. Проведена автономизация системы в случае единичного резонанса. Рассмотрена модель виброзащитной системы в случае пассивного гармонического возбуждения, {согда внешняя сила воздействует на основание. Выполнено преобразование системы к автономному виду, найден установившийся режим вынужденных колебаний. В случае резонанса определены существенные константы, характеризующие качество движения.
Рассмотрена модель динамического гашения колебаний нелинейным пружинным инерционным гасителем. С помощью уравнения Лагранжа получены уравнения движения системы. В результате многочленного преобразования с точностью до членов четвертого порядка система приведена к автономному виду, найдены коэффициенту преобразованной системы. Определены переходные и установившиеся режимы вынужденных колебаний динамической системы. Построены графики стационарного и переходного процесса колебаний. Исследован маятниковый динамический гаситель для подавления крутильных колебаний. Найдены установившиеся вынужденные колебания и переходный процесс виброзащитной системы с маятниковым гасителем.
В пятой главе осуществляется анализ переходных процессов нелинейной нестационарной периодической виброзащитной системы с двумя степенями свободы в услрвиях кинематического возмущения. Рассматривается проблема виброзащиты нелинейной приборной системы на вибрирующем основании. На этом основании установлена посредством амортизаторов и демпферов массивная платформа, на которой монтируется подпружиненная и демпфированная приборная система. Пред полагается, что амортизаторы и демпфирующие устройства виброзащитной системы имеют нелинейные кубические характеристики. Система относится к классу нелинейных нестационарных периодических систем с двумя степенями свободы со сложным кинематическим возмущением. Методом многочленных преобразований математическая модель системы приводиться к автономному виду в рамках принятой точности, выделяются существенные константы, характеризующие переходные процессы. Определено влияние нелинейных составляющих виброзащитной системы. Показана целесообразность применения виброзащитной системы с нелинейными характеристиками амортизаторов и демпфирующих устройств. Для оценки переходного процесса нелинейной виброзащитной системы использовались коэффициент относительного перемещения, скорости и ускорения. Эти коэффициенты получены интегрируя соответствующее уравнение движения с помощью метода многочленных преобразований. Построены графики зависимости этих коэффициентов от частоты внешних возмущений, массы платформы, коэффициентов жесткости и коэффициентов демпфирования виброзащитной системы. Получено, что для переходного процесса установления колебания в виброзащитной системе значения коэффициентов жесткости амортизатора и коэффициенщв трения демпфера, установленных между массивной платформой и вибрирующим основанием слабо влияют на величину коэффициентов относительного перемещения, скорости и ускорения. Для амортизатора и демпфирующего элемента установленного между платформой и объектом виброзащиты рледует увеличивать значения коэффициентов жесткости и выбирать коэффициенты демпфирования меньшими 1. Целесообразно применять в рассмотренной виброзащитной системе платформу, имеющую массу в 10 раз большую, чем масса объекта виброзащиты. Показано, что увеличение частоты внешнего возмущения приводит к уменьшению значений коэффициента относительного перемещения. Рассмотренная виброзащитная система с кубической характеристикой демпфирующего устройства применима в случае высоких частот внешнего возмущения.
В шестой главе рассматривается нелинейная виброзащитная система с тремя степенями свободы, с нелинейными правыми частями в виде многочлена третей степени от фазовых переменных с постоянными и периодическими параметрами. Система виброзащиты, состоит из объекта виброзащиты установленного на две платформы, находящиеся одна под другой, нижняя из которых поставлена на вибрирующее основание. Внешнее гармоническое возмущение воздействует на основание. Предполагается, что упругие элементы системы имеют вид полинома третей степени, демпфирующие элементы имеют нелинейную кубическую характеристику. Методом многочленных преобразований уравнения движения системы приводиться к автономному виду в рамках принятой точности. В нерезонансном случае получено решение преобразованной системы. Выделяются существенные константы, характеризующие переходные процессы и установившиеся режимы колебаний.
Приведена схема метода многочленных преобразований для периодических нестационарных голономных систем с тремя степенями свободы, описывается алгоритм и основные блоки программной реализации метода. В заключении приведены основные результаты работы.
6.4. Выводы.
Рассмотрена нелинейная виброзащитная система с тремя степенями свободы с нелинейными правыми частями в виде многочлена третей степени от фазовых переменных с постоянными и периодическими параметрами. Система виброзащиты, состоит из объекта виброзащиты установленного на две платформы, находящиеся одна под другой, нижняя из которых поставлена на вибрирующее основание. Внешнее гармоническое возмущение воздействует на основание. Предполагается, что упругие элементы системы имеют вид полинома третей степени, демпфирующие элементы имеют нелинейную кубическую характеристику. Методом многочленных преобразований уравнения движения системы приводиться к автономному виду в рамках принятой точности. В нерезонансном случае получено решение преобразованной системы. Выделяются существенные константы, характеризующие переходные процессы и установившиеся режимы колебаний. Приведена схема метода многочленных преобразований для систем с тремя степенями свободы, описывается алгоритм программной реализации метода. Метод позволяет получить достаточно подробные качественные и количественные характеристики изучаемых движений, исследовать установившиеся режимы колебаний для систем, находящихся в условиях периодического внешнего воздействия, а также изучать переходные процессы.
Заключение
.
Математической моделью многих механических систем является система динамических уравнений полиномиальной структуры с периодическими или постоянными параметрами. Такие математические модели широко применяют в динамике виброзащиты приборов и устройств. В диссертации развивается метод многочленных преобразований [59]- [61] для голономных периодически нестационарных механических систем с одной, двумя и тремя степенями свободы. Метод применен для решения нелинейных задач виброзащиты приборных систем, имеющих теоретическое и практическое значение. На основе символьных компьютерных вычислений составлен пакет программ для практического применения метода многочленных преобразований к задачам виброзащиты нелинейных приборных динамических систем. Эта задача является актуальной, поскольку ее решение направлено на повышение точности работы приборов и устройств, установленных на вибрирующем основании.
Разработано программного обеспечения метода многочленных преобразований для исследования рынужденных колебаний нелинейных систем, которые описываются дифференциальными уравнениями второго, четвертого и шестого порядка с правыми частями в виде многочленов четвертой степени относительно фазовых переменных. Коэффициенты многочленов постоянные или периодические во времени функции. Получены алгоритмические формулы метода многочленных преобразований, удобные для составления программ с использованием символьных вычислений. Разработанный пакет программ применен для исследования нелинейных задач виброзащиты приборных систем с одной, двумя и тремя степенями свободы. Определены существенные динамические константы механических систем при помощи разработанного пакета программ. Разработанный пакет программ применим для определения установившихся режимов колебаний нелинейных систем с периодическими параметрами по методу многочленных преобразований. Проведено исследование установившихся режимов колебаний нелинейных виброзащитных систем с одной, двумя и тремя степенями свободы в условиях периодического кинематического возмущения.
В результате применения метода многочленных преобразований получаем преобразованную автономную систему с точностью принятой при выводе динамических уравнений. Полученную преобразованную систему можно рассматривать как исходную систему, но записанную в новых фазовых переменных с допустимой точностью. Метод многочленных преобразований обеспечивает минимизацию количества постоянных параметров в системе дифференциальных уравнений. Сохраняющиеся константы являются существенными константами, определяющими свойство динамической системы. Преобразованная система содержит значительно меньшее количество ненулевых коэффициентов, чем исходная. Сокращение количества ненулевых коэффициентов существенно упрощает исследование сложных нелинейных систем. С помощью преобразованных систем упрощается задача исследования переходных и установившихся процессов исходных систем.
Метод многочленных преобразований вместе с разработанным пакетом прикладных программ является общим методом исследования нелинейных виброзащитных систем с одной, двумя и тремя степенями свободы и других периодических нестационарных голономных систем. При решении задач виброзащиты широко применяют линеаризацию динамических систем, что нередко приводит к большим погрешностям и качественным неточностям анализа. В диссертации решаются задачи виброзащиты в нелинейной постановке, которые являются новыми, имеют теоретическое и практическое значение. Во всех решаемых задачах выполняется приведение исследуемой системы к автономному виду путем многочленной подстановки с периодическими параметрами и минимизации количества нелинейных членов. На основании автономизации системы определяются периодические режимы колебаний и производится расчет переходных процессов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международной конференции «Нелинейные науки на рубеже тысячелетий», VI международной научной конференции «Проблемы пространства, времени, движения», всероссийской научной конференции по механике «Третьи Поляховские чтения» и опубликованы в работах автора [33−44], среди них 6 статей, 6 научных докладов.
