Итерационные методы исследования состояний и управление колебаниями нелинейных строительных и электромеханических систем

Все большее значение для повышения точности расчетов при проектировании конструкций и машин приобретают задачи исследования их устойчивости и колебаний на основе нелинейных моделей.

Многочисленные аварии, связанные с увеличением фактических нагрузок вследствие возбуждения колебаний, неточности показаний приборов, отклонения размеров деталей, обрабатываемых на металлорежущих станках, приводят к необходимости тщательного исследования колебательных режимов, возникающих вследствие потери устойчивости узлов машин и конструкций, а также их активного гашения.

В зависимости от вида механических систем выбираются методы исследования их устойчивости и колебаний. Различают консервативные и неконсервативные механические системы. Существуют различные подходы к определению консервативных и неконсервативных систем. Так, в работах Болотина В. В. 12] и Парса JI. 89] под консервативными понимаются механические системы, подверженные действию внешних сил, обладающих потенциалом. В этом случае открытым остается вопрос о консервативности (неконсервативности) внутренних сил. Циглер Г. в работе[108] консервативными считает системы, находящиеся под действием сил, работа которых на любом допустимом перемещении системы зависит лишь от ее начальной и конечной конфигураций. В этом случае в число консервативных включаются силы, работа которых на допустимых перемещениях системы равна нулю (например, нормальные реакции, кориолисовы силы, гироскопические моменты).

Нам представляется более строгим следующее определение консервативных систем: консервативными называются деформируемые системы, подверженные действию внешних и внутренних сил, работа которых зависит лишь от начальной и конечной конфигураций систем.

Неконсервативными, в соответствии с работой Циглера Л. [108], назовем системы, которые содержат хотя бы одну силу, не относящуюся к консервативным. В соответствии с этим приведем классификацию неконсервативных систем: диссипативные — системы, подверженные действию внешних и внутренних сил трениянестационарные — системы, находящиеся под действием сил, явно зависящих от временициркуляционные — системы, нагруженные неконсервативными силами, не зависящими от скорости и времени.

Системы первого и третьего типов могут быть объединены в одну группуавтономные системы.

Целью настоящей работы является исследование устойчивости и колебаний неконсервативных нелинейных систем с общих позиций теории устойчивости движения. Предлагаемый подход предусматривает:

— определение стационарных (в частности равновесных) состояний системы ;

— выявление критических значений параметров систем, соответствующих поверхностям раздела устойчивых и неустойчивых стационарных состояний;

— расчет амплитудно — частотных характеристик периодических режимов, ответвляющихся от стационарных состояний;

— исследование устойчивости этих режимов;

— оптимальное управление колебаниями, с целью их гашения или ограничения амплитуд.

Определение равновесных состояний нелинейных деформируемых систем может быть выполнено методом простой итерации [7], НьютонаРафсона [18,99 ], наискорейшего спуска [91] или приведения нелинейных алгебраических уравнений к линейным дифференциальным уравнениям [20,45]. Недостатком этих методов является предположение о единственности решения. Устранение указанного недостатка достигается использованием теории ветвления решений нелинейных уравнений [15,71] .

Выявление критических параметров, соответствующих поверхностям раздела устойчивых и неустойчивых равновесных состояний, может быть проведено на основе первого [83,84] и второго методов Ляпунова. Недостатком первого метода является ограниченность исследования устойчивости равновесных состояний в первом приближении (устойчивости в малом).Второй метод сопряжен с трудностями построения функций Ляпунова.

Способы решения задач о колебаниях, ответвляющихся от равновесных состояний, квалифицируем по следующим признакам:

— применению «точных» и численных методов решения уравнений основных состояний;

— использованию асимптотических методов [11] решения нелинейных дифференциальных уравнений;

— применению способов приведения исходных уравнений к линейным, что дает возможность реализовать хорошо разработанные алгоритмы решения линейных краевых задач.

Одним из наиболее распространенных «точных» методов решения нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих движение неконсервативных систем, является способ «точечного преобразования» поверхностей А. А. Андронова [3]. К «точным» методам примыкают различные алгоритмы численного решения нелинейных уравнений. Достоинства численных методов обеспечены:

— эффективными «стандартными» алгоритмами численного решения на ЭВМ нелинейных дифференциальных уравнений как с постоянными, так и с переменными коэффициентами;

— принципиальной возможностью применения точных методов исследования устойчивости нелинейных систем.

Недостатки «прямых» методов:

— большие затраты машинного времени при решении краевых задач, например, с учетом значительного числа выборочных реализаций случайных процессов, воздействующих на систему;

— сложность оценки точности полученных результатов, выделения скрытых периодичнос-тей;

— отсутствие гарантий того, что какие-либо экспериментальные условия функционирования систем оказались неучтенными.

Более широко в задачах об устойчивости и колебаниях применяют асимптотические методы.

Разработан А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым, использован Л. И. Мандельштамом [86] и развит А. А. Андроновым.

Систему дифференциальных уравнений.

Метод малого параметра.

1) представляют в виде.

X = (7, ц) + [ХЦ (I, X) + ц 2?2 (*, Х)+.

2) где X Е /Ц — малый параметр. Решение Х^ (П «порождающих» уравнений считают известным. Подставляя в выражение (2) ряд т к=1 получают последовательность систем уравнений для нахождения вектор-функций хм.

Метод В ан-дер-Поля.

Предложен в 1922 г. [16] для систем с одной степенью свободы, обобщен и обоснован Л. И. Мандельштамом и Н.Д.Папалекси[86].

Уравнения движения систем, близких к консервативным, преобразуют к форме х + а2х = лг{1,х, х) (з) где вектор-функция X, X ^ = >.//у] является непрерывной по всем переменным, а есть диагональная матрица:

О2 = .со2].

Предполагая амплитуды и фазы (V). колебаний медленно изменяющимися функциями времени, решения уравнений (З) разыскивают в виде х.(1) = Л фсотЧ'/О, = Ш/+ Фдо и получают уравнения и.

А (1) = —^А, V).

2Ю jAj где введены обозначения д, =, /р- = /^сохЧ^.

Предусмотрена возможность приведения задач к уравнениям с разделяющимися неизвестными, А. и ф этом случае делается предположение, что производные А.

7 И.

271 р постоянны в течение периодаи производится замена этих функций средними за у период значениями:

27t.

2% ф, =.

М:

7 2тгюАо.

Полученные уравнения могут быть представлены в более коротком виде fvjft. AWdVj ф. (A, t). 0j (A, t).

Aj = -1-,.

7 2ЯЙЬ J ImD: A:

J 3 3.

Уравнения (4) позволяют исследовать периодические и непериодические движения, в том числе процессы установления. В задачах об устойчивости колебаний метод Ван-дер-Поля позволяет составить лишь необходимые условия.

Близким к методу Ван-дер-Поля является метод усреднения, предложенный Н. М. Крыловым и H.H. Боголюбовым [78] для исследования уравнений типа.

X = juF (t, jut, X) (5) где X{t^ вначале считается медленно изменяющейся вектор — функцией времени. Решение первого приближения получают из уравнения.

X0(t) = juM.

F (t, jUt, X0) (6) где моператор усреднения по явно входящему «быстрому» времени / .Подставляя векторфункцию (б) в правую часть уравнения (5) и разлагая |И Хд ^ в ряды Фурье, составляют выражения.

Щ = У к 0 М*, х0) еш к И к = о 1к.

Аналогично могут быть получены второе и последующие приближения.

Метод Крылова-Боголюбова.

Асимптотический метод Крылова-Боголюбова [10] также в известной мере можно считать обобщением метода Ван-дер-Поля.

Решение уравнения (3) разыскивают в виде.

Х] + ., — (7).

А] =ыj +х/Ау{Л, Ц1ухг) + х2 ., — ф^- + + .' - ^.

А = [А1.= .%]*. причем, правую часть (3) раскладываем в ряды х, х) цК +. , =Хк ^.А^ЫЧ* +гк + (9) Здесь вектор-функция =^СО «I» ф — X|(j)Y} считаются медленно изменяющимися функциями времени.

Для определения неизвестных функций /А, выражения (7) и (9) подставляют в исходную систему уравнений (З) и приравнивают выражения при одинаковых степенях параметра р .

Для нахождения решения в первом приближении не требуется отыскания функций иХ], 1Л2],. ряда (7), причем уравнения для амплитуд и фаз аналогичны^). Нахождение функций Т 5 Т уравнений (8) представляет собой более сложную задачу, для решения которой предварительно определяются функции 11ц. Метод может быть использован также и при решении задач, описываемых уравнением типа (5),.

Помимо указанных методов, а также методов линеаризации [74,78,94,97,98,100] и Ляпунова-Шмидта [15,43,44,84,112,114,116], о которых будет сказано позже, упомянем некоторые другие методы: энергетический метод Теодорчика [103,104], который представляет собой модифицированный метод Ван-дер-Поляметод Бубнова-Галеркина [39], позволяющий рассчитывать установившиеся режимы в колебательных системах. Так как этот метод требует задания формы решения, то он, по сути дела, близок к методу линеаризацииметоды статистической линеаризации, предложенные И. Е. Казаковым [68] и Б. Г. Доступовым [47].

Исследование устойчивости периодических режимов, ответвляющихся от стационарных состояний, приводит к дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами [115]. Решение этих уравнений, как правило, громоздко и дает области неустойчивости колебательных режимов. Однако, существует упрощенная методика исследования устойчивости периодических режимов[9], которая развивается нами в работах [22,24,25,43,44].

Методы исследования устойчивости движения нелинейных систем [6,46,73,83] и асимптотические методы позволяют выявить области неустойчивости равновесных состояний и построить локальные (в окрестностях состояний равновесия) периодические решения.

Для ограничения амплитуд периодических и хаотических колебаний строительных конструкций, подверженных действию ветровых, сейсмических и технологических нагрузок, в практике отечественного строительства широко используются пассивные методы управления: кинематические опорыскользящие пояса — освобождающиеся связи и т. д. Методы активного подавления колебательных режимов конструкций распространения не получили.

Автоматизированные системы управления колебаниями сооружений, особенно социально опасных, используются проектировщиками США и Японии. Опубликованы многочисленные работы по управлению конструкциями с применением аэродинамических, гидравлических и других исполнительных механизмов [120−122]. При этом предполагается, что конструкции оснащены системой наблюдения, а исполнительные механизмы управляются ЭВМ.

Расчет оптимальных управлений электромеханическими системами зарубежные и отечественные авторы проводят на основе теоремы Летова-Калмана [4,21,96]. При этом задачи приводятся к нелинейным дифференциальным уравнениям типа Риккати. Существенное упрощение алгоритмов обеспечивает введение критерия «обобщенной» работы А. А. Красовского [76], приводящего задачу к линейным разрешающим уравнениям при одноточечных граничных условиях.

Следует отметить значительное (квадратичное) превышение разрешающих уравнений над числом степеней свободы системы, что приводит к большому объему вычислений.

Актуальность темы

Широкое внедрение новых конструкционных материалов (полимеры, композиты и др.), усложненные режимы эксплуатации строительных и электромеханических систем (неконсервативные нагрузки, ветровые и сейсмические воздействия) вызывают необходимость создания более корректных математических моделей этих объектов и усовершенствованных инженерных методов их расчета. Одним из факторов уточнения расчетных моделей деформируемых сред является учет их геометрической и физической нелинейности. Учет этого фактора требует нового подхода к исследованию дифференциальных уравнений, описывающих поведение нелинейных, неконсервативных систем. Этот подход, осуществляемый с общих позиций теории устойчивости движения, предусматривает определение равновесных состояний конструкцийнахождение областей неустойчивостивычисление амплитудно-фазовых характеристик колебательных режимов и проверку их устойчивости. Вычисление амплитудно-фазовых характеристик периодических режимов, возникающих в строительных и электромеханических системах, основывается на итерационном методе и методе эквивалентной линеаризации, позволяющих: использовать хорошо разработанные методы решения линейных дифференциальных уравненийприменять эффективные (с точки зрения вычислительного процесса) алгоритмы.

Подавление колебаний строительных (особенно социально опасных) и электромеханических систем или ограничение их амплитуд является одной из важных задач механики. Эта задача решается применением средств активного гашения колебаний. Теоретической основой решения этой задачи является теория оптимального управления механическими системами.

Цель исследования: на основе общей теории устойчивости движения разработать метод и алгоритмы исследования поведения существенно нелинейных вязкоупругих систем в окрестностях значений параметров, примыкающих к пограничным поверхностям неустойчивостиразработка альтернативного метода оптимального оценивания и активного управления нелинейными системами при малой информативности средств наблюдения.

В частности, в цели работы входили:

— развитие метода эквивалентной линеаризации в сочетании с итерационным применительно к автоколебательным и параметрически возбуждаемым системам;

— модификация метода Ляпунова-Шмидта для расчета автоколебательных режимов, ответвляющихся от состояний равновесия;

— получение единой системы линейных уравнений, определяющих оптимальные управления при квадратичном критерии качества, на основе формализма Эйлера.

Научная новизна. В работе получены уравнения движения неконсервативных, нелинейных деформируемых сред, которые вариационными методами сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Предложена методика расчета критических параметров деформируемых конструкций, основанная на совместном решении уравнений «основного» состояния и линеаризированных уравнений возмущенного движения.

На основе метода эквивалентной линеаризации в сочетании с итерационным разработаны методики определения амплитудно-частотных характеристик: однои многочастотных автоколебательных режимовпараметрически возбуждаемых колебанийвзаимодействующих колебаний нелинейных систем при параметрическом резонансе. Предложена методика исследования устойчивости указанных периодических режимов.

Модифицированный метод Ляпунова-Шмидта применен к расчету автоколебаний нелинейных систем. Проведено сравнение эффективности этого метода и метода эквивалентной линеаризации.

Предложена методика оптимального оценивания и активного управления линейными и нелинейными детерминированными системами. Эта методика, основанная на варицион-ном принципе Эйлера, позволяет свести задачу построения оптимального управления наблюдаемой конструкцией к системе линейных дифференциальных уравнений. Она предусматривает наличие в уравнениях внешних воздействий и позволяет производить их оценку.

Практическая ценность. Разработанные в работе методы, алгоритмы и программы предусматривают применение их при: исследовании устойчивости и колебаний нелинейно деформируемых конструкций в широком диапазоне значений характеризующих их параметрыпостроении систем активного управления колебаниями с целью их подавления или ограничения амплитуд.

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в курсе строительной механики при расчете зданий и сооружений на сейсмические воздействия, ветровые и технологические нагрузки.

На защиту выносится новая концепция решения динамических нелинейных задач механики, основанная на общей теории устойчивости движения деформируемых тел и предусматривающая:

— определение стационарных (в частности равновесных) состояний;

— выявление критических значений параметров конструкций на основе совместного решения уравнения «основного» состояния и спектральной задачи;

— расчет амплитудно-частотных характеристик периодических режимов, ответвляющихся от равновесных состояний и взаимодействующих с вынужденными колебаниями методом эквивалентной линеаризации в сочетании с итерационным и модифицированным методом Ляпунова-Шмидта;

— исследование устойчивости этих режимов;

— оптимальное управление колебаниями с целью их гашения или ограничений амплитуд на основе альтернативного метода, использующего формализм Эйлера.

По результатам работы сделаны доклады на следующих конференциях:

5-й Всесоюзной конференции «Проблемы устойчивости в строительной механике», 3−5 февраля 1977 г;

6-й тематической конференции «Практическая реализация численных методов расчета инженерных сооружений», Ленинград, 18−20 мая 1983 года;

2-м Всесоюзном симпозиуме «Устойчивость в механике деформируемого твердого тела», Калинин, 27−30 июня 1086 г;

3-м Всесоюзном совещаниисеминаре «Современное состояние и основные направления исследования сейсмостойкости и прочности энергетического оборудования», Фрунзе, 10−15 сентября 1987гконференции «Нетрадиционные системы сейсмозащиты зданий и сооружений», Севастополь, 12−13 марта 1990гконференция «Надежность и эффективность нетрадиционных систем сейсмозащиты зданий и сооружений», Севастополь, 25−26 марта 1991 г.- конференции «Динамика конструкций при вибрационных и сейсмических нагрузок», Севастополь, 6−8 мая 1991 г.;

1-й Всесоюзной конференции «Технологические проблемы прочности несущих конструкций», Запорожье, 24−26 сентября 1991 г.- конференции «Динамика и сейсмостойкости зданий и сооружений с нетрадиционной сейс-мозащитой», Севастополь, 2−4 апреля 1992 г.- конференции «Исследование вибраций машин, механизмов и конструкций», Севастополь, 5−7 мая 1992 г.- конференции «Динамика и прочность машиностроительных конструкций», Севастополь, 31 мая-4 июня 1993 г.- итоговой конференции по межвузовской научно — технической программе «Строительство», Нижний Новгород, 25−28 октября 1993 г, — международной научно — практической конференции «Инженерные и социально — экономические проблемы ускорения НТП», РостовнаДону, 7−11 апреля 1997 г,.

По теме диссертации опубликованы 35 статей в центральных журналах и сборниках трудов ВУЗов [22−38,49−67].

Диссертация изложена на 223 страницах машинописного текста и состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, включающего 125 наименований. Работа иллюстрирована 38 рисунками и содержит 3 таблицы.

Основные выводы по диссертации.

1. На основе принципа виртуальной работы и метода конечных элементов получены уравнения основного и возмущенного движений геометрически и физически нелинейных наследственно деформируемых тел, которые уточняют уравнения, выведенные О. Зенкевичем. В отличие от подхода К. Васидзу, предусматривающего процедуру последовательного перехода от промежуточных конфигураций системы к окончательной, в настоящей работе: нелинейные уравнения основного движения составляются относительно полных перемещенийнелинейные уравнения возмущенного движения, получаются варьированием уравнений основного движения. Уравнения могут быть использованы при: расчете равновесных состояний и эйлеровой устойчивости деформируемых телнахождении критических параметров, соответствующих поверхностям раздела областей устойчивого и неустойчивого состояний системрасчете автои параметрически возбуждаемых колебаний, ответвляющихся от равновесных состояний систем, и исследовании их устойчивостиописании переменных состояния управляемых систем.

2. Предложен новый метод расчета критических параметров систем, соответствующих границам раздела областей устойчивого и неустойчивого состояний равновесия. Этот метод основан на совместном решении уравнений основного (статического) состояния и «спектральной» задачи.

3. Для расчета периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия в окрестностях критических значений параметров системы, предложен метод линеаризации в сочетании с итерационным. Этот метод реализован при решении новых (с точки зрения применения этого метода) задач: расчете однои многочастотных автоколебательных режимовопределении амплитудночастотных характеристик параметрически возбуждаемых колебанийрасчете сложных колебательных режимов, возникающих при взаимодействии вынужденных колебаний с автоили параметрически возбуждаемыми колебаниями как в нерезонансном, так и в резонансном случаях. Предложена новая методика исследования устойчивости этих режимов. Она предусматривает постулирование возмущений исследуемых состояний возмущениями амплитуд этих состояний. Это дает возможность значительно упростить исследование устойчивости периодических режимов.

4. Разработана модификация метода ЛяпуноваШмидта применительно к системам с конечным и бесконечным числом степеней свободы, предусматривающая: расчет статических состоянийвыявления условий возникновения автоколебанийисследование автоколебательных режимов, ответвляющихся от равновесных состояний, и их устойчивости. Составлен и реализован на ЭВМ алгоритм нахождения критических параметров, частот и амплитуд автоколебаний фрикционных систем (с конечным и бесконечным числом степеней свободы) и систем обработки металлов резанием с учетом запаздывания в последних сил резания по отношению к перемещениям. Сравнение результатов, полученных при решении одних и тех же задач методами эквивалентной линеаризации и Ляпунова-Шмидта, позволяет сделать вывод: метод эквивалентной линеаризации дает точность, сопоставимую с точностью первого приближения метода ЛяпуноваШмидта.

5. Для задач об определении оптимальных управлений, доставляющих минимум квадратичным критериям качества применена вариационная теория ЭйлераЛагранжа, обеспечивающая: сведение задачи аналитического конструирования регулятора к линейной краевой задаче с широким спектром краевых условийот задачи Коши до связанных двухточечных задач с подвижными границамивозможность оценки внешних воздействий и переменных состояния управляемой и наблюдаемой системы. Применение метода эквивалентной линеаризации позволяет: обобщить теорию ЭйлераЛагранжа на задачи об оптимальных оцениваниях и управлениях системами, описываемыми нелинейными уравнениями с переменными коэффициентамипостроить итерационный процесс нахождения переменных состояния и оптимальных управлений. Разработана и реализована программа расчета оптимальных управлений колебаниями строительных и электромеханических систем.

6. Результаты исследований, выполненных в диссертации, могут быть использованы при решении широкого класса прикладных задач, имеющих большое народнохолзяйствен-ное значение.