Использование симметрий для построения новых решений уравнений плоской идеальной пластичности

Настоящая диссертационная работа посвящена построению новых решений нелинейных дифференциальных уравнений плоской (двумерной) идеальной пластичности методами группового анализа, а также использованию законов сохранения для нахождения аналитического решения краевой задачи о вдавливании плоского штампа.

Во введении дано обоснование актуальности выбранной темы, приведен обзор основных работ и основные сведения о системе пластичности, дана краткая аннотация разделов диссертации.

Хорошо известно, что твердые тела являются упругими лишь при малых нагрузках. При воздействии более или менее значительных сил тела испытывают неупругие, пластические деформации. Сейчас, говоря о теории пластичности, обычно имеют в виду теорию пластических деформаций, не зависящих от времени. Именно такие пластические деформации рассматриваются в настоящей работе. Теория пластичности ставит своей целью математическое изучение напряжений и смещений в пластически деформируемых телах.

Теория пластичности имеет важные приложения в технике и физике. Решение многих вопросов прочности разнообразных машин и сооружений опирается на выводы теории пластичности, так как разрушению, как правило, предшествует пластическая деформация.

Общеизвестно народнохозяйственное значение использования процессов пластического деформирования металлов в горячем и холодном состояниях (прокатка, волочение, ковка, штамповка, резание металлов и т. д.) — анализ необходимых усилий для осуществления этих процессов и соответствующего распределения деформаций составляет другую очень важную область применения теории пластичности.

Также известно применение теории пластичности в горнорудной промышленности, в задачах геофизики и геологии.

В настоящее время математическая теория пластичности является одной из хорошо разработанных частей механики деформируемого твердого тела. Первые работы по математической теории пластичности относятся к семидесятым годам XIX века и связаны с именами Треска, Сен-Венана, Леви [1].

Система дифференциальных уравнений двумерной идеальной пластичности является важной основой как для механиков так и для инженеров, потому что служит моделью для расчета различных технологических процессов.

Систематическое исследование двумерных полей напряжений при пластическом состоянии было начато в 20-х годах XX века. В его основе лежит метод, основанный на изучении характеристик гиперболической системы пластичности. Эти характеристики, известные как линии скольжения, обладают рядом замечательных свойств и позволяют построить решения многих практических задач. Работы в этом направлении были начаты Генки, Мизесом, Прандтлем [1] и продолжены Надаи [2], [3], Хил-лом [4], С. А. Христиановичем [5], С. Г. Михлиным [6], В. В. Соколовским [7], Гейрингер [8], Д. Д. Ивлевым [9], А. Ю. Ишлинским [10], Ю.Н. Радае-вым [11] и др.

Однако до настоящего времени уравнения теории пластичности не исследованы в полной мере. Вся сложность заключается в нелинейности системы дифференциальных уравнений как в двумерном так и в пространственном случаях. Что касается получения точных решений в замкнутом виде, то здесь стоит отметить работы Прандтля [12], Надаи [13], Д. Д. Ивлева [9], В. В. Соколовского [7], Б. Д. Аннина [14], С. И. Сенашова [14] и др.

За всю историю изучения системы двумерных уравнений пластичности было получено лишь несколько точных решений для реальных механических задач. Кроме того, точные решения используются для тестирования численных методовпозволяют оценивать надежность несущих конструкций и т. п. Поэтому каждое новое точное решение представляет несомненный теоретический и практический интерес.

Одним из современных методов поиска точных решений дифференциальных уравнений механики является групповой анализ, базой которого являются группы непрерывных преобразований (или точечные симметрии), допускаемые уравнениями. Симметрии позволяют искать различные виды решений, получать новые решения из известных и т. п. В данной работе продолжаются исследования в этом направлении, начатые Б. Д. Анниным, С. И. Сенашовым [14], [15], [16] для двумерных уравнений идеальной пластичности.

Целью работы является построение новых точных решений двумерных уравнений идеальной пластичности с применением методов группового анализа, а также использование законов сохранения для нахождения аналитического решения краевой задачи теории двумерной пластичности о вдавливании штампа.

В основу исследования положены: методы группового анализа, а также методы уравнений в частных производных. Все результаты, полученные в диссертации являются новыми и снабжены строгими доказательствами. Основные элементы новизны в диссертации:

1. Построены новые точные решения системы уравнений двумерной идеальной пластичности методом действия допускаемой группы точечных симметрий на известные ранее решения.

2. Найдены семейства новых решений системы уравнений двумерной идеальной пластичности, как результат гомотопии известных ранее решений.

3. Показано, что система идеальной пластичности распадается относительно допускаемой группы на автоморфную и разрешающую системы.

4. Законы сохранения использованы для построения точных решений краевой задачи о вдавливании плоского штампа.

Теоретическое и практическое значение работы заключается в построении новых точных решений системы уравнений идеальной пластической среды, которые найдут применение в теоретических и практических исследованиях при изучении поведения материалов при пластических деформациях, установлении законов деформирования материалов, могут быть использованы как тестовые.

Результаты, полученные в работе tia разных этапах ее выполнения докладывались и обсуждались на:

1. Международной конференции по прикладной математике «10th WSEAS International conference on Applied Mathematics» (США, Даллас, 2006 г.);

2. Международном конгрессе «World Congress of Nonlinear Analysts -2008» (США, Орландо, 2008 г.);

3. Всероссийской конференции «Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2009 г.);

4. Международной конференции «Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics» (Украина, Киев, 2009 г.);

5. Международной конференции «Symmetry Methods in Physics» (Россия, Дубна, 2009 г.).

Полученные результаты докладывались на научных семинарах СибГАУ. По теме диссертации опубликовано шесть печатных работ [17] - [22]. Из них две статьи [21], [22] в изданиях из перечня ВАК.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка литературы из 30 наименований, 2 приложений и занимает 86 страницы машинописного текста.

Заключение

.

Приведем основные выводы по результатам работы:

1. Реализован метод группового анализа для нахождения решений системы двумерной идеальной пластичности, позволяющий определить поля напряжений в пластической зоне, а именно:

• построены новые точные решения, как результат действия допускаемой группы точечных симметрий на известные точные решения;

• построены семейства новых точных решений как результат гомо-топии известных решений.

2. Описаны поля линий скольжения для полученных решений и найдены соответствующие граничные условия.

3. Изучены свойства системы уравнений двумерной идеальной пластичности, и показано как исходная система распадается относительно допускаемой группы преобразований на автоморфную и разрешающую системы.

4. Законы сохранения системы двумерной пластичности использованы для построения точного решения задачи о вдавливании плоского штампа.