Математическое описание многих физических процессов приводит к уравнениям с частными производными, одним из основных методов поиска точных решений которых является метод Фурье разделения переменных, когда после подстановки специального вида решения и (х) + v (y) или u (x)v (y) получается уравнение, левая часть которого не зависит от х, а правая — от у. Будучи равными между собой, обе части уравнения не зависят ни от х, ни от у, и, следовательно, равны некоторой постояннойпоэтому мы приходим к дифференциальным уравнениям на функции одного переменного. Если же после подстановки специального вида решения правая часть равна 0, а левая часть является суммой произведений функций одного переменного, содержащей более двух слагаемых, то применение леммы Фурье невозможно. В этом случае мы будем говорить об обобщенном разделении переменных.
В диссертации использован метод обобщенного разделения переменных, основанный на лемме Э. Р. Розендорна [21], которая в дальнейшем будет часто упоминаться как «основная лемма» .
Лемма [21]. Пусть, а = {cti (xi),., ««(zi)} - система п функций, заданных на промежутке 1 числовой оси ОХ, (3 = {(З^х^), • • •, Pnfa)} система п функций, заданных на промежутке h числовой оси OY. Пусть, кроме того, ai (xi)(3i{x2) +. + an{xi)(3n{x2) = 0 на h х /2, (0.1) тогда rank, а + rank /3 < п.
Если при этом {а,., ар} максимальная линейная независимая подсистема в а, причем р atp+k = dkiCXi' = Я = п~р, г=1 то функции (3{,. ,/Зр линейно выражаются через {Зр+1,. ,/Зп, а именно я.
А = - i = k=1.
Иногда эту лемму нетрудно применять непосредственноособенно когда речь идет о поиске решения специального вида.
Пример 0.1. Пусть, а и 6 — постоянные, причем, а ф 0. Выясним при каких значениях b уравнение.
62zd2z 1,. имеет решения вида г = и (х) 4- v (y) и найдем эти решения.
Решение: подставим z = и (х) 4- v (y) в уравнение (0.2) и для того чтобы воспользоваться основной леммой, выпишем полученные системы функций. u" (x)v" (y) — ах — by = 0 (0.3) а = {и", ах, 1 }.
0 = {v" ,-l ,-Ъу}.
По условию, а ф 0, следовательно, функции 1 и ах — линейно независимы, и rank, а > 2. Если b ф 0, то аналогично получаем, что rank/З > 2, и, следовательно, rank, а + rank f3 > 4, что противоречит основной лемме, которая утверждает, что rank, а + rank /3 < 3.
Таким образом, единственно возможный вариант: Ъ = 0. Тогда уравнение (0.3) принимает вид u" (x)v" (y) = ах и может быть решено методом Фурье разделения переменных. J х = Л> «/»" (*).
X v" (y) а & Л'.
Г и (х) = + Cix + Сз, *>(*/) =txy2 + C2y + C,.
Ответ: z{x, y) = + fxy2 + Слх+С2у + С, Л, Съ С2, С = const, А ^ 0. В других случаях при применении основной леммы требуется перебор возможных вариантов выбора базисных подсистем, трудоемкость которого зависит от числа слагаемых.
В работе [21] лемма применялась для нахождения некоторых классов частных решений уравнения Монжа-Ампера переменного типа.
ZxxZyy ~ {zxyf + aV* = 0, (0.4) где, а — заданный постоянный ненулевой вектор, Vz — градиент искомого решения z = z (x, у). Решения искались в виде произведения функций одного переменного z = X (x)Y (y). (0.5).
Было доказано [21,44], что если решение z е С2 уравнения (0.4) имеет вид (0.5) и не сводится к функции одного аргумента, то оно выражается формулой ^ z = ?~cх ~ с («у ~ + z° при С = | х2 Ук{у), где Yk — любая из функций.
У = У, У2 = tg у, У3 = th у, У4 = cthy, У5 = - ctg у, а посредством xq, уо, zq, ь, с обозначены произвольные постоянные, удовлетворяющие условиям b Ф 0, с ф 0.
Как было отмечено в [21], лемма Э. Р. Розендорна справедлива в линейном пространстве функций, заданных на множестве вида I х /2, где 1о — открытые множества в топологических пространствахх: у — независимые аргументы, х? Д, у € /2.
Ранее уравнение с разделяющимися переменными вида (0.1) было рассмотрено в работах Мартина [38,39]. Однако в них применялся несколько иной, геометрический подход для поиска решений с разделяющимися переменными.
Определение (М.Н. Martin [39]).
Две точки и и v называются ортогональными, если их координаты um, vm п удовлетворяют линейному соотношению umvm = 0. m= 1.
Два множества М, N ортогональны, если любые две точки u, v такие что u G М, v е N — ортогональны.
Лемма (Martin М.Н. [38, 39]).
Для того чтобы для функций #](&¦),., otn (x), (3i (y),., 0п (у) выполнять лось равенство ]Г] ат (х)Зт (у) — 0 необходимо и достаточно, чтобы крит= 1 вые М: ит = ат (х), N: vm — /Зт{у) принадлежали линейным подпространствам п.
Sp ' Ьктитп — 0, к = 1,.
777 = 1.
П.
Tq: ? ClimVm = 0, г = р + q = п,.
7тг=1 ортогональным в начале координат.
Пусть ранги матриц, А = (aim)i=Tj, m=Tji> в = (bkm)k=T7q, m=TJi равны р и q соответственно. Линейные подпространства Зр и Tq ортогональны в на, чале координат, тогда и только тогда, когда.
— = const,.
В к !.kq где Аи минор размерности р, образовашшй столбцами i,., ip матрицы A- — минор размерности q, образованный столбцами к,., кч матрицы Ви индексы ц,., гр, к,., kq образуют четную перестановку чисел 1,., п.
Поскольку леммы Э. Р. Розендорна и М. Х. Мартина приводят к равносильным условиям на функции ах (ж),. ,/Зп (у), то между этими условиями должна существовать алгебраическая взаимосвязь. В диссертации показано как из условий на неизвестные и на заданные функции исходного уравнения, возникающих при применении одной из лемм, получить условия другой леммыи наоборот.
В [38] лемма Мартина применена к уравнению.
А-ф + е (у)фу = 0, (0.6) где е (у) — некоторая аналитическая функция переменного у. После замены координат в уравнении (0.6) = + (у — Ь)2)2, у = у найдены решения вида ф = X (?)Y (y) для некоторых специальных классов е (у).
В [39] лемма Мартина использована для поиска частных решений уравнения Лапласа ихх 4- иуу = 0, (0.7) представимых в виде и = и (Х (х) -f У (у)) — Причем найдены все действительные решения указанного вида. Кроме того, в качестве примера, найдено комплексное решение вида (0.7), такое что после выделения его действительной и мнимой частей получаются два действительных решения, уже не принадлежащих к искомому классу.
В [8] результаты [39] применены к задаче разделения переменных для уравнений Lu (x, y) + R (x, y) — 0, где R — известная «разделяющаяся» вектор функция, то есть функция, компоненты которой представимы в виде суммы произведений функций одного переменногоL — разделяющий оператор, определенный на некотором множестве вектор-функций от двух переменных. Оператор назван разделяющим, если существуют совокупности операторов Щк х иLy (hj>s>k ~ некоторые натуральные числа) таких, что действуют только по переменной х. a L’Jk только по переменной у, и для всех вектор-функций вида i i у) = Хц (х)Уц (у), • • •, Xni (z)Yni (y)), i=l i= 1 на которых определен оператор L,.
П Щк I. п П1пк !¦
Lu = (? Е Е • ¦ ¦ ¦ Е Е Е vL^mW^. fc^l i=l j-1 fc=l г=1.
Кроме того, рассмотрено обобщение этой задачи на случай тензорного произведения двух сепарабсльных гильбертовых прстанств, и приведена теорема, обосновывающая использованный метод.
Ниже речь пойдет о действительных функциях действительного аргуменп та и о точных решениях вида 2(ж, у) = щ (я)щ (у)¦ Ранее такой вид частных г=1 решений уже использовался рядом авторов (см. [3,4.15,16,26−28, 36]).
В работе [26] рассмотрен вопрос о представимости решений линейных уравнений с частными производными с двумя независимыми переменными в виде «конечных сумм» — получено достаточное условие такой представимости и указаны некоторые классы уравнений, к которым оно применимо. В качестве примеров найдены новые точные решеиия преобразованного уравнения минимальных поверхностей и уравнения Трикоми. В [27] сформулирован метод «конечных колец», и для ряда уравнений получены решения, не являющиеся многочленами ни по одной из переменных. В [28] для уравнений математической физики с особенностями изложены методы построения оо решений в виде специальных степенных рядов u (x, t) = Qmn{t)Smn (x), т, п—О дана строгая постанока задачи о рекурентности вычисления коэффициентов, доказаны нетривиальные теоремы о сходимости этих рядов.
В работе [3] предложен способ построения точных решений вида v (t, x) = ip (t)[.
В работах [4,36] представлен более общий, чем в [3]. подход к поиску подобных точных решений для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными вида Tp (v) = Xq (v), где Тр (о) — многочлен степени р от функции v (x, t) и ее производных по t? 1R, a Xg (v) — многочлен степени q от функции и и ее производных по х € JR. Решения ищутся в виде к г=1 где fi (x), a, i (t), i = 1, к — некоторые гладкие функции, подлежащие определению.
Основная идея метода, использованного в [36] при решении уравнения с квадратичными нелинейностями вида Т1^) = X2(v), состоит в требовании, чтобы-мерное линейное пространство Wk = ?{/i,., являющееся линейной оболочкой функций /1,., (предполагалось, что они линейно независимы), было инвариантным относительно нелинейного опрератора Х2{-): X2(Wk) С WkОчевидно, что эта задача непосредственно связана с проблемой отыскания конечномерных линейных пространств, инвариантных относительно заданного оператора .Х2(-).
В [4] рассматривалось уравнение вида Г2 (г?) = X2(v) с постоянными коэффициентами. Решения искались в виде (0.9). Предполагалось, что функции «1 (t),., as (t) составляют базис пространства.
4 = С{1, {а*}, {didj, i < .7'}}, а функции fi (x),., fr (x) — базис пространства f = ?{i,{fi}, Wi>i.
Г S №{аи ., ак) = X) *Mfi> •••,/*), (°-10) i~l i= 1 в котором коэффициенты Fj, зависят от функций ai,., и их производных, а коэффициенты А{ — от функций /i, и их производных.
Как указано в [4] соотношение (0.10) может быть выполнено, если найдутся такие постоянные {Apj}, что я.
Fi (cn,., ак) = apApi, р= 1 откуда следует, что функции {/$} удовлетворяют системе уравнений г л (/ъ./*) = £/<р= г=1.
Здесь следует отметить, что описанный метод обобщенного разделения переменных является частным случаем леммы Розендорна [21], когда базисные подсистемы выбираются среди функций 1, {с^}, {aiaj, г < j}, а частные производные по t от функций ai (t) в базисные подсистемы не входят. Но для примеров, рассмотренных в [36] и [4] (когда присутствует .лишь одно слагаемое, содержащее производные по времени), этот метод дает те же решения вида (0.9), что и основная лемма.
Инвариантно-групповые аспекты этой проблемы рассматривались в [5, 6,.
20].
В [15] был рассмотрен класс дифференциальных уравнений с частными производными вида.
Еп Г.. d2w dvu пЫщ + где F— заданный нелинейный дифференциальный оператор, зависящий от w и ряда независимых переменных xm+i,., xj?. которые не входят явно в левую часть уравнения. Функция w искалась в виде w = w (r-. , т г2 = (Pi (xi) и за счет уменьшения числа независимых переменных опиг=1 сывалась более простым уравнением. Неизвестные функции.
В [16,18] приведены два метода (дифференцирования и расщепления) решения функционально-дифференциального уравнения.
Ф1(Х)Фг (У) +. + Ф"(Х)Ф"(У) = 0, (0.11) полученного после подстановки частного вида решения п.
Х’У) = ^Vi&tyiiy) i=l в исходное уравнение. Метод дифференцирования, изложенный в [16,18], дает все решения функционального уравнения (0.11), однако приводит к увеличению порядка исходного уравнения и появлению констант интегрирования, которые надо убирать на заключительном этапе. Метод расщепления из [16] является частным случаем основной леммы [21], когда число функций в базисной подсистеме равно | в случае четного п и ^ в случае нечетного п. В [18] метод расщепления распространяется на случай любого числа функций в базисной подсистеме, однако не предполагает перебора всех вариантов базисных подсистем, что может привести к потере решений искомого вида.
В этих же работах описано функциональное разделение переменных, когда точные решения ищутся в виде п w (x, у) = F©, С = 4>т (х)фт{у).
В [16] этод метод применен к уравнениям теплопроводности с нелинейным источником.
Ранее, в работах [1, 37, 40, 43] были описаны все нелинейные уравнения теории волн и теории теплопроводности вида дци> dxxw = f (w), которые допускают точные решения с функциональным разделением переменных w (x, t) = F{(), С = <�р (х) + (0.12).
Одномерное нестационарное уравнение теплопроводности dtw = dx[f (w)dxw], имеющее решения вида (0.12), описаны в [35].
В работах [7, 14, 17, 18] рассмотрено много нелинейных уравнений математической физики разных типов (в том числе и уравнений, зависящих от произвольных функций), которые допускают решения с обобщенным и функциональным разделением переменных.
Данная диссертация может рассматриваться как продолжение перечисленных исследований. В ней описаны некоторые классы линейных и нелинейных уравнений с частными производными с двумя независимыми переменными и специальные классы их решений, которые допускают применение основной леммы.
Однако применимость метода еще не гарантирует наличие решений специального вида, поскольку в результате применения леммы получается переопределенная система дифференциальных уравнений, которая может не иметь решений. В диссертационной работе выделены классы уравнений, которые заведомо не имеют решений вида u (xi) 4- v (x2) или u (x{)v{x2).
Применение основной леммы приводит к необходимости рассматривать системы функций одного переменного и находить их базисные подсистемы. Ситуации, когда по виду систем функций можно определить, какие из их подсистем не могут являться базисными, сокращают перебор возможных вариантов. В диссертации рассмотрены системы специального вида и указаны такие их подсистемы, которые заведомо не являются базисными.
Во второй главе диссертации рассмотрен специальный класс нелинейных систем уравнений. Участвующие в системе операторы могут быть как дифференциальными, так и интегральными или интегродифференциальными.
Пусть €ij (x), r) jj (y) — фиксированные элементы линейных пространств функций Ь{1), L (I2), где IJ2 — открытые множества в линейных пространствах размерности, а и г соответственнох, у — независимые аргументы, х = (хи ¦ ¦ ¦, av) € h, у = (yi, ., ут) е h.
Ui (x, y), U2{x, y) — искомые функции на множестве Ji х 12, то есть принадлежащие линейному пространству L{I х 12).
Gi (Ui, U2), г — 1,2, — операторы, действующие из L{h х h) х L{I] х 12) в L (Ii х 12).
Рассмотрим систему уравнений: ' (у) + Ых) Ш2{уШ (х, у) + Gl (U1(x, у)-, U2(x, у)) = = Ы{х)тз{у) + Ы{х)т)и (у), Гп -| о.
Ы®)Ыу) + Ых) Ыу)Шх, у) + G2(U1(x, у)-и2(х, у)) = {иЛ6), = ы{х)г]2ъ{у) + ы{х)г]2а{у).
Предположим, что для операторов Gi существуют такие операторы i7^-, что для функций вида.
Ul{x, y) = Al{x)Bl{y), U2(x, y)=A2(x)B2(y), где Ai, В{ф 0, выполняются тождества.
Gi (Ub U2) = Fn (AiА2) ¦ Ft2(BVi ДО, i = 1,2. (0.15).
В диссертации сформулированы 4 типа условий А,., Г на функции и щ, такие что если тождества (0.15) выполнены, тогда система уравнений (0.13) имеет решения в виде (0.14) при выполнении любой из четырех групп условий А,., Г. При этом найдены все решения указанного вида. если тождества (0.15) выполнены, заданные функции таковы, что системы ii-?i2>, {vn-vr2}, {61 562} «{772122} линейно независимы, и если ни одна из четырех групп условий А-Г не имеет место, то система уравнений (0.13) не имеет решений вида (0.14).
Система вида (0.13) возникает, в частности, при построении модели тропического циклона.
По данным аэрофотосъемки с внешней стороны циклон может быть представлен в виде цилиндра высотой до 15 километров. Одной из удивительных и отличительных черт ураганов и тайфунов является так называемый глаз бури — более или менее круговая центральная область 5−50 км в диаметре. Иногда диаметр глаза достигает 300 км. В глазе приземное давление минимально, облаков на верхних и средних уровнях почти нет, ветры слабые, направление их изменчиво. На нижних уровнях (ниже высоты 1000 м) облачность присутствует почти всегда, что свидетельствует о слабой конвекции внизу. Глаз окружен стеной мощных облаков (стена глаза), достигающих тропопаузы. На некотором расстоянии от стены глаза, с внешней ее стороны, тангенциальная скорость ветра достигает максимального значения. Обычно глаз образуется в циклоне, когда давление в центре опускается ниже 985.
0.14) гПа. При выходе циклона на сушу глаз сначала приобретает эллиптическую форму, затем исчезает.
В глазе циклона температура выше, чем в его окружении, причем превышение температуры над фоновой AT (на периферии циклона) максимально на изобарических поверхностях 250−300 гПа и составляет 10 — 12 °C. Максимальная зарегистрированная величина AT равнялась 25 °C. Относительная влажность в глазе в нижней тропосфере составляет 80−90%, что ниже, чем в стене глаза, но значительно превышает (на 10−30%) относительную влажность в средней тропической атмосфере в период ураганов.
В большей части шторма существует сильная циклоническая циркуляция.
Воздух, втекающий в циклон па нижних уровнях за счет адвекции относительного момента импульса и его генерации под действием силы Корио-лиса (то есть адвекции абсолютного момента импульса), увеличивает свою тангенциальную скорость о приближением к центру циклона. Потери момента импульса при трении о поверхность несколько уменьшают скорость нарастания v. С увеличением v и уменьшением г растет центробежная сила, которая на некотором расстоянии от центра циклона становится больше силы градиента давления. В результате равнодействующая сила меняет знак и становится направленной от центра. Направленная к центру радиальная составляющая скорости ветра быстро уменьшается до нуля или даже меняет направление. Воздух начинает подниматься (в основном в мощных кучевых облаках), образуя стену глаза, а в самом глазе бури нисходящее движение.
Система уравнений, описывающая эволюцию циклона, сложна, и ее решение можно получить только численными методами. Однако такие методы решения требуют значительных усилий и больших затрат машинного времени. В связи с этим в ряде случаев желательно создать малопараметрическую модель циклона, с помощью которой можно наглядно установить роль тех или иных факторов в эволюции циклона. При этом введение априорных зависимостей между компонентами скорости ветра в циклоне, а также зависимостей этих компонентов от расстояния до центра циклона иногда позволяет настолько упростить исходную систему уравнений, что удается получить аналитическое решение задачи либо в какой-нибудь зоне циклона (чаще всего в пограничном слое), либо во всей области. В аналитических решениях легче проследить зависимость от тех или иных параметров задачи. Кроме того, аналитические решения могут использоваться для проверки работоспособности численных моделей, а также в качестве начальных приближений при численном интегрировании более детализированных моделей.
В третьей главе речь пойдет о неполном разделении переменных, когда решение разделяется по пространственным переменным х,., хп, но не разделяется по времени t. Некоторые классы линейных и нелинейных уравнений с частными производными, которые допускают решения в виде суммы или произведения функций с неполным разделением переменных w (xu ., хп, t) = wi (xu t) +. + wn (xn, t) (0.16) w{xi, xn, t) = Wi (xi, t) •. • wn (xn, ?), (0.17) описаны в [13]. В [14] проведено неполное разделение переменных в уравнениях пограничного слоя.
В диссертации обобщаются классы уравнений, описанные в [13], которые допускают точные решения с неполным разделением переменных.
В результате неполного разделения переменных в методе А. Д. Полянина при поиске частных решений в виде (0.16) или (0.17) исходное уравнение сводится к системе уравнений с частными производными на функции двух переменных Wk (xк, t). Эти уравнения содержат произвольные функции Afc (?), п на которые накладывается единственное условие ^ А*, (г) = 0. В диссертации ь= 1 для ряда классов нелинейных уравнений показано, что в результате выбора Ak{t) не всегда получается новое решение исходного уравнения. А именно [45]: решение (0.16) или (0.17) можно представить в виде w (xi,., хп, t) = w{(xi, t) + .+ w^(xn, t) + Ф (£), или w (xu ¦ ¦ ¦ = w[(xut) •. ¦ vTn (xn, t) • где Wk (t) получены при Ak (t) = 0, а Ф (4) задается дифференциальным уравнением, порядок старшей производной которого равен наибольшему порядку частной производной по времени в исходном уравнении.
Автор выражает благодарность своему научному руководителю Эмилю Ренольдовичу Розендорну за плодотворные обсуждения поставленных задач и постоянную поддержку.
§ 3.4. Выводы по главе 3.
В Третьей главе рассматривается метод неполного разделения переменных, то есть решения разделяются по пространственным переменным, но не разделяются по времени. Метод применяется А. Д. Поляниным. В работах [14,13] построено много классов, допускающих неполное разделение переменных. В настоящей диссертации расширены некоторые классы, рассмотренные А. Д. Поляниным. И показано, что в определенном смысле полученные классы являются максимальными. А именно найдены достаточные условия на произвольные функции, задействованные в уравнениях, при которых эти уравнения допускают решения в виде суммы или произведения функций с неполным разделением переменных.
Метод А. Д. Полянина заключается в сведении исходного уравнения с подставленным в него искомым решением специального вида к системе уравнений с частными производными на функции двух аргументов: пространственной координаты и времени. В получаемых таким образом уравнениях после применения метода появляются произвольные функции переменного времени, которые связаны единственным соотношением: их сумма равна нулю. В диссертации показано, что для определенных классов уравнений влияние на итоговые решения произвольных функций переменного времени определяется решением вспомогательного дифференциального уравнения.
Заключение
.
Диссертационная работа посвящена исследованию двух методов поиска точных решений нелинейных уравнений математической физики. Этими методами являются обобщенное и неполное разделение переменных.
Метод обобщенного разделения переменных, используемый автором, опирается на лемму Э. Р. Розендорна, В диссертации приведены классы уравнений, допускающие применение метода, а также классы уравнений, заведомо не имеющих решений в виде суммы или произведения функций одного переменного. Приведены утверждения, позволяющие сократить перебор возможных вариантов выбора базисных подсистем, возникающий при применении метода.
Кроме того, для некоторого класса систем нелинейных уравнений с двумя неизвестными функциями двух переменных сформулированы необходимые и достаточные условия на известные (заданные) функции, при выполнении которых существуют решения системы в виде произведения функций одного переменного. Для этого класса найдены все такие решения.
Результаты применены для исследования осесимметричной стационарной модели тропического циклона. Найдены явные формулы для скоростей воздушных масс в циклоне, а также так называемый угол поворота ветра и один из первых интегралов движения. Полученные результаты согласуются с реально наблюдаемыми данными.
Метод неполного разделения переменных опирается на работы А. Д. Полянина. В диссертации расширены классы уравнений, рассмотренные А. Д. Поляниным. Для некоторых классов показано, что влияние на результат неполного разделения переменных произвольных функций переменного времени, возникающих в методе А. Д. Полянина, определяется решением вспомогательного дифференциального уравнения, порядок которого равен наибольшему порядку частной производной по времени в исходном уравнении.
