Перенос пассивных величин в случайных средах

Актуальность исследований*.

Перенос пассивных величин в движущийся среде — явление, часто встречающееся в природе. Пассивность переносимых величин означает, что их влияние на характеристики самого потока пренебрежимо мало. В этом смысле, хорошим примером подобного процесса является распространение ветром загрязнения, выбрасываемого в атмосферу через трубы заводов. Перенос температуры также можно рассматривать, как перенос пассивной величины, если влияние конвекции на распределение скоростей в потоке не велико. Обе рассмотренные величины скалярные, векторной величиной, часто встречающейся в движущейся среде, является магнитное поле.

Систематическое изучение процессов переноса скалярных величин началось еще в начале 20 века. В 1915 г. специалист в области гидромеханики Дж. И. Тейлор, исследуя процессы переноса в атмосфере, получил ряд результатов, сформировавших основы теории длинны перемешивания [Taylor 1915].

В 1966 г. Штенбек, Краузе и Рэдлер обнаружили альфа-эффект, позволяющий объяснить рост крупномасштабного магнитного поля в турбулентном потоке. Начиная с этой работы появляется значительное число публикаций, посвященных решению различных задач магнитной гидродинамики в терминах средних полей. При этом понятие «среднего поля» остается достаточно размытым. Так, согласно гипотезе Тейлора, в ряде случаев осреднение по пространству может быть заменено осреднением по времени.

Теория турбулентности А. Н. Колмогорова описывающая поля скоростей с высокими значениями чисел Рейнольдса оказала сильное влияние на общую теорию переноса. С одной стороны она позволила дать вероятностную трактовку понятия «среднего поля», понимая процедуру «осреднения» как интегрирование по пространству элементарных событий. С другой стороны применение вероятностных методов к задачам переноса позволяет изучить такое важное явление, как перемежаемость, практически, не различимое врамках-теории-средних.полей, см. [Zeldovich et al. 1988].

Цели и задачи работы.

Основной целью настоящей работы является исследование поведения пассивных величин в случайном потоке с восстановлением. На первом этапе исследования решались следующие задачи:

1. Получение замкнутых уравнений переноса средних величин в 3-мерном случайном потоке с восстановлением и сравнение результатов с аналогами, полученными при рассмотрении короткокорре-лированного потока и потока с обновлением.

2. Рассмотрение ряда приближений и сведение общих уравнений переноса в потоке с восстановлением к более простым выражениям.

3. Установление роли потери временных корреляций в механизме генерации быстрого динамо.

Цель второго этапа исследования заключается в рассмотрении модельного примера, достаточно богатого для демонстрации основных эффектов теории переноса, и в тоже время достаточно простого для полного математического изучения. В качестве модельного примера была выбрана задача о распространении света во вселенной однородной лишь в среднем. На втором этапе решались следующие задачи:

1. Получение астрофизически правдоподобных результатов с помощью аппарата современной теории переноса.

2. Построение математической теории, в рамках которой можно достаточно полно изучить модельную задачу.

3. Установление ряда новых для общей теории переноса эффектов, справедливых для модельной задачи.

Научная новизна.

Впервые рассмотрены процессы переноса пассивных скалярных и векторных величин в случайной среде с восстановлением. Развитаятехника позволила исследовать процессы переноса в межзвездных средах с учетом эффектов восстановления, которые обусловлены взрывами сверхновых. Получены замкнутые уравнения для средней концентрации межзвездной пыли и для среднего значения магнитного поля. Впервые в рамках точно решаемых моделей обнаружена зависимость турбулентных коэффициентов от временных корреляционных свойств случайной среды.

Впервые в рамках, точно решаемых моделей переноса в случайных средах продемонстрирован переход между динамо в среде с конечным временем памяти (в данном случае — временем восстановления) и динамо в стационарном потоке. Показано, что даже достаточно редкие восстановления, связанные со взрывами сверхновых, могут обеспечить работу быстрого динамо на кинематической стадии развития этой неустойчивости.

Впервые методы теории переноса в случайных средах применены к решению задачи о распространении света во вселенной, однородной лишь в среднем. Применение современной математической техники позволило получить уже известные результаты в более ясной и компактной форме.

Впервые рассмотрена конструкция геодезической, кривизна вдоль которой является случайным процессом. Получен ряд математических результатов, описывающих поведение поля Якоби вдоль геодезических со случайной кривизной, которые справедливы при весьма общих условиях.

Показан экспоненциальный рост поля Якоби с вероятностью 1. Показано существование с вероятностью 1 бесконечной последовательности сопряженных точек. Найдена оценка для среднего расстояния между соседними сопряженными точками.

Продемонстрирована глубокая связь между полученными математическими результатами и рассмотренными астрофизическими задачами. В частности, показана возможность существования гравитационных линз, связанных не с конкретнымиастрономическимителамиа с эффектом кумулятивного действия многих случайно расположенных возмущений. На примере возникновения сопряженных точек показана принципиальная невозможность описания некоторых эффектов в рамках теории средних полей и необходимость исследования типичных реализаций.

Теоретическая и практическая ценность.

Техника получения уравнения для средних значений пассивных величин в потоке с восстановлением может быть применена для получения аналогичных уравнений в более сложных моделях поля скорости. Так развитая в настоящей работе техника использована в работе [Elperin et al. 2001] для получения уравнения эволюции среднего значения пассивного скаляра в сжимаемом потоке с восстановлением.

Уравнение эволюции среднего магнитного поля в потоке с восстановлением может быть применено для коррекции моделей галактического динамо с учетом взрывов сверхновых. Полученное уравнение допускает как численное, так и аналитическое исследование.

Найденный переход между быстрым динамо в турбулентном потоке и отсутствием генерации магнитного поля в стационарном поле скорости может внести вклад в решение задачи о быстром динамо в стационарном потоке.

Оценка для среднего расстояния между соседними сопряженными точками может быть использована для поиска гравитационных линз, обусловленных многочисленными флуктуациями кривизны пространства.

Результаты о строении геодезических со случайной кривизной представляют геометрический интерес и могут лечь в основу стохастической римановой геометрии .

Содержание работы.

В первой главе настоящей работы рассматриваются процессы переноса пыли и магнитного поля в межзвездной среде. Эти величины с высокой степенью точности можно считать пассивными. Примесь, в отличие от температуры, не вызывает конвекцииа галактическое магнитное-поле,-хотя и теоретически может оказать влияние на распределение скоростей, обладает энергией существенно меньшей, чем кинетическая энергия межзвездной среды.

Процесс переноса примеси во многом определяются механизмом турбулентной диффузии. В простейшем случае уравнение для переноса средней концентрации оказывается по форме тем же, что и истинное уравнение переноса примеси, однако коэффициент диффузии перенормируется и становится равным коэффициенту турбулентной диффузии Dt, определяемым соотношением:

Dr = |fVr где v* - среднеквадратичная скорость потока, аГ — его корреляционная длина. Считая, что время памяти t* определяется временем оборота турбулентного вихря I*fv*, эту формулу можно переписать в виде:

От = |{Vff.

Эти простые представления, восходящие к работе [Taylor 1915], принято называть теорией длины перемешивания.

Уравнение переноса средней величины может иметь более сложную форму, чем соответствующее микроскопическое уравнение. Например, в уравнении переноса среднего магнитного поля возникает новый член, связанный с т.н. «-эффектом, или средней спиральностью. Однако для соответствующего коэффициента переноса удается предложить простые формулы в рамках представлений теории длины перемешивания (см., напр., [Краузе и Рэдлер 1984, Рузмайкин и др. 1988]).

В настоящей работе рассматривается, как на турбулентные коэффициенты переноса влияют детали временных корреляций случайного поля скорости. Численные исследования в этой области сильно затруднены потому, что трудно моделировать среду со столь большими значениями чисел Рейнольдса, как в межзвездной турбулентности: Исследования, основанные на различных гипотезах замыкания, подтверждают важную роль временных корреляций для описания турбулентной диффузии. В тоже время, эти исследования привлекают различные гипотезы о расщеплении корреляций, и результаты существенно зависят от самих гипотез. Кроме того, точно решаемые примеры для исскуственных потоков [Арнольд и др. 1981, Zeldovichet al. 1984] показывают, что, по крайней мере, для магнитного поля могут существовать тонкие эффекты, которые качественно меняют поведение примеси в случае очень длинных временных (или пространственных) корреляций. В этой связи, особую роль приобретает возможность построения моделей турбулентного потока, в которых задача о переносе пассивной примеси решается без привлечения гипотез о расщеплении корреляций.

Подобный подход восходит к С. А. Молчанову, чей вклад в современную теорию переноса в случайных средах сложно переоценить. Предложенный им метод исследования заключается в том, чтобы проводить осреднение не самого уравнения, а его решения. Поскольку уравнения для переноса пассивных величин являются линейными, с помощью метода функциональных интегралов можно выписать их явные решения, в которых для некоторых моделей случайных потоков корреляции расщепляются точно, а не приближенно [Zeldovich et al. 1988].

До сих пор на этом пути удавалось изучить короткокоррелирован-ную модель, в которой время памяти считается бесконечно малым [Молчанов и др. 1983], и модель с обновлением, в которой случайный поток теряет память в заранее предписанные равноотстоящие моменты обновления [Dittrich et al. 1984, Elperin et al. 2000]. Оказывается, что результаты, полученные в рамках обоих моделей, хорошо согласуются с теорией длины перемешивания. Для первой совпадение полное, для второй, — уравнения переноса магнитного поля [Dittrich et al. 1984] и пассивного скаляра [Elperin et al. 2000] становятся интегральными по пространству, но скорость турбулентной диффузии для небольших времен корреляции та же, что и в теории длины перемешивания.

Предписанные моменты обновления нарушают однородность времени, в то время, как межзвездная среда, по всей видимости, такой однородностью обладает. Однородность по времени можно восстановить, если считать моменты потери памяти не заранее предписанными, а случайными пуассоновскими событиями. Такая модель с восстановлением является точно решаемой, однако детальные вычисления ранее не проводились. Проведенные вычисления показывают, что удается не только устранить формальные пробелы в научном знании, но и обнаружить несколько новых эффектов.

В результате перехода от моделей с обновлением к моделям с восстановлением уравнение для среднего поля еще более усложняется и становится интегральным не только по пространству, но и по времени. Однако, как мы увидим ниже, перенос сохраняет черты диффузии. Неожиданным является то, что коэффициент турбулентной диффузии вдвое отличается от предсказания теории длины перемешивания. Это различие может быть проиллюстрировано на простом примере. Рассмотрим два случайных блуждания частицы по прямой. В первом случае частица совершает скачки на расстояние Vr в моменты времени t = т, ?2 = 2 т, h = Зт., причем с вероятностью ½ скачок совершается влево, и с той же вероятностью — вправо (это и есть модель теории длины перемешивания). В другой модели моменты ?2, •••• являются пуассоновским потоком событий со средним временем г между событиями (А = 1 /т — параметр пуассоновского процесса). Для достаточно большого времени поведение частицы в обоих случаях описывается диффузионным приближением и прямой подсчет показывает, что во втором случае коэффициент диффузии вдвое больше, чем в первом. Физическая природа этого различия связана с тем, что во втором случае встречаются сравнительно длинные промежутки времени, в которые частица движется поступательно. Несмотря на то, что вероятность этих промежутков мала, они вносят заметный вклад в коэффициент диффузии. Это обстоятельство сближает рассматриваемый эффект с явлением перемежаемости [Zeldovich et al. 1988]- можно ожидать, что для переноса высших моментов он проявляется сильнее. Подчеркнем, что отличие коэффициентов турбулентной диффузии в двух моделях не связано с тем, что tn не совпадает с пт, поскольку разница между этими велитшнами порядка п1!2 и не дает вклад в коэффициент турбулентной диффузии. Более того, отличие сохраняется и в том случае, если считать скорость произвольно распределенной случайной величиной с нулевым средним (см. Приложение А).

Рассмотрение процесса переноса магнитного поля в среде с восстановлением показывает, что отмеченный фактор 2, влияет также и на коэффициент средней спиральности, который отвечает за величину а-эффекта.

Переход к потоку с восстановлением позволяет ответить на один вопрос, связанный с фундаментальной проблемой теории динамо — задачей о динамо в стационарном потоке. Суть этой проблемы заключается в следующем [Zeldovich et al. 1983, Childress and Gilbert 1995]. Уравнения галактического (равно как и звездного и, в определенной степени, планетарного) динамо, получаются путем усреднения микроскопического уравнения индукции по турбулентным пульсациям поля скорости. При этом, естественно, делаются те или иные предположения о свойствах межзвездной турбулентности, которые не являются совершенно реалистическими. Традиционный опыт математической физики рекомендует подкрепить подобные построения исследованием какой-нибудь задачи, в которой поле скорости детерминировано и упрощено настолько, что удается построить ее точное решение, причем оно воспроизводит свойства решений осредненных уравнений.

На рубеже 80-х годов было осознано, что точно решаемые задачи динамо для уравнения индукции ведут себя совсем не так, как решения уравнений среднего поля в задаче галактического динамо. В этих тотгао решаемых задачах не удается полутшть такую же эффективность генерации, как в задачах-динамо среднего поля. В" простейшем случае скорость нарастания магнитного поля оказывается очень медленной, безнадежно недостаточной для генерации магнитных полей галактик за время существования Вселенной. В этой связи проблема получила название проблемы быстрого динамо.

Сейчас не вызывает особых сомнений то, что причина быстрого роста галактического магнитного поля связана с эффективной потерей памяти межзвездной турбулентностью. Однако до сих пор это убеждение оставалось декларативным, поскольку не удавалось заполнить промежуток между моделями турбулентного динамо, дающими быстрый рост магнитного поля, и моделями динамо в стационарном потоке, в которых рост магнитного поля связан со всевозможными осложнениями.

В ходе рассмотрения модели с восстановлением, по-видимому, удается заполнить этот пробел. Важно, что обсуждаемая модель мотивирована не только соображениями математической физики, но и воспроизводит специфические свойства межзвездной среды в гораздо большей степени, чем стандартные модели турбулентности.

Уравнения, описывающие перенос величин в трехмерном случайном потоке достаточно сложны, и на настоящий момент удается получить достаточно полную картину поведения только для статистических моментов переносимой величины. Получающиеся выражения, весьма громоздки, а потому дальнейшее исследование осуществляется в некоторых приближениях, справедливых только в конкретных физических задачах.

Во второй главе настоящей работы теория переноса применена к исследованию задачи о распространении света во Вселенной, однородной лишь в среднем. Эта задача может быть переформулирована в простых математических терминах, а потому допускает достаточно детальное изучение не только средних значений, но и типичной реализации исследуемой величины.

Важно отметить, что исследуемая задача является не только модельным примером, позволяющим проиллюстрировать основные эффекты общей теорией переноса, но и сама по себе представляет существенный интерес для космологии. Еще в 1964 г. Я. Б. Зельдович обратил внимание на то, что мелкомасштабные отклонения Вселенной от однородности и изотропии, связанные с существованием индивидуальных объектов, например, галактик, могут заметно влиять на угловой размер и видимую величину далеких объектов (см. [Зельдович 1964]).

Несколькими годами позже были предложены поправки, корректирующие наблюдательные тесты для определения параметров космологических моделей на рассматриваемый эффект, см. [Зельдович и Новиков 1967] и [Зельдович и Новиков 1975] и приведенные там ссылки. Эти поправки были основаны на наблюдениях дискретных источников, расположенных на расстояниях, сравнимых с расстоянием до горизонта. В целом смысл поправок состоит в том, что, скажем, Вселенная с критической плотностью несоответственно, плоским пространственным сечением начинает напоминать Вселенную с отрицательной кривизной и плотностью, меньшей критической (см. рис. 89 на стр. 467 в [Зельдович и Новиков 1967]).

Одновременно выяснилось, что вся группа рассматриваемых тестов сильно отягощена неопределенностями, связанными с эффектами эволюции источников, поэтому, во всяком случае, таким способом не удается достичь удовлетворительных оценок параметров моделей Вселенной [Зельдовичи Новиков 1967, Зельдович и Новиков 1975]. Поэтому, эффект Зельдовича не находился в последующие годы в центре внимания специалистов по космологии.

Сравнительный анализ работ [Зельдович 1964, Zeldovich et al- 1988, Зельдович и др. 1991] обнаруживает глубокую формальную общность обсуждаемого эффекта Зельдовича и изучавшихся им же эффектов перемежаемого роста векторных (магнитных) полей при их переносе в случайных средах, а сличение соответствующих текстов в [Зельдович и Новиков 1967] и [Зельдович и Новиков 1975] показывает, что Зельдович, по-видимому, осознавал это сходство. В то же время работа [Зельдович 1964] представляет собой столь раннее обращение к проблематике переноса в случайных средах, что ее автор был вынужден воспользоваться элегантным, но искусственным приемом, который позволил ему получить желаемый результат, но не позволил наметить пути дальнейшего изучения вопроса.

Во второй главе эффект Зельдовича изложен на базе современной техники изучения процессов переноса в случайных средах. При этом удается сформулировать результат [Зельдович 1964] в более компактной и ясной форме.

Оказывается, что излагаемая ниже компактная форма представляет определенный интерес не только для исследования космологических моделей, но и для римановой геометрии, которая является математическим аппаратом космологии.

Геометрический интерес рассматриваемой задачи состоит в следующем. Основные результаты геометрии в целом о строении римановых многообразий относятся либо к объектам с положительной, либо к объектам с отрицательной кривизной, например, теорема о сфере, см., например, [Громол и др. 1971] или теорема Ефимова, см. [Ефимов 1966]. Между тем, хотелось бы получить какие-нибудь общие результаты о строении объектов со знакопеременной кривизной. Конечно, изучение внутренней геометрии конкретного многообразия знакопеременной кривизны или конкретной поверхности знакопеременной кривизны не вызывает принципиальных затруднений, однако неясно, как выделить общие свойства подобных объектов, которые и могли бы составить предмет содержательной теории.

Задача, рассмотренная во второй главе, показывает полезность введения вероятностных понятий в геометрию. К задаче выявления общих свойств многообразий знакопеременной кривизны можно также применить вероятностный подход. Идея заключается в рассмотрении не всех многообразий, а «почти всех». Иными словами, предлагается ввести некоторую вероятностную меру на множестве многообразий и формулировать результаты^ справедливые, например, для некоторого подмножества, имеющего меру 1.

В соответствии с описанной идеей, в третьей главе введено понятие геодезической на многообразии со случайной кривизной и доказан ряд теорем, описывающих свойства близких геодезических со случайной кривизной, принимающей как положительные, так и отрицательные значения. Показано, что близкие геодезические на таких многообразиях экспоненциально разбегаются, а поле Якоби вдоль геодезической обращается в ноль в бесконечной последовательности точек. Оба перечисленных свойства справедливы с вероятностью 1. Таким образом, многообразия со случайной кривизной обнаруживают общность свойств как с многообразиями отрицательной, так и с многообразиями положительной кривизны.

На основе построенного математического аппарата в разделе 4.5 строится асимптотически верхняя оценка для среднего расстояния между соседними сопряженными точками.

Не смотря на то, что построенная оценка сформулирована в виде математической теоремы, она имеет очевидное астрофизическое применение. В сопряженных точках геодезическое отклонение обращается в ноль, и образуются гравитационные линзы, которые находятся последнее время под пристальным вниманием специалистов в области астрофизики, см. например [Takada и др. 2000, Munshi and Jain 2001].

Отличительной особенностью гравитационных линз, получаемых в рассмотренной модели, является то, что они связаны не с единичными массивными телами, а с несколькими, возможно, не очень тяжелыми телами, согласованно искривляющими пространство. На настоящий момент большинство наблюдаемых линз связываются именно с единичными телами большой массы. В тоже время, известно несколько гравитационных линз, которые не удается связать ни с одним из известных в той области пространства массивных тел. Не исключено, что своим существованием эти линзы обязаны как раз когерентному действию нескольких не слишком тяжелых тел.

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Дмитрию Дмитриевичу Соколову за постоянную заботу, внимание и помощь в работе.

Особую признательность автор выражает Валерию Николаевичу Ту-тубалину за полезные обсуждения, конструктивные замечания и постоянный интерес к работе.

Большое спасибо Карл-Хейнцу Рэдлеру (Karl-Heinz Radler) за помощь в интерпретации результатов.

1. Арнольд и др. 1981. Арнольд В. И., Зельдович Я. Б., Рузмайкин А. А.,.

2. Соколов Д. Д. ЖЭТФ. — 1981. — Т. 81. — 2052.

3. Арнольд 1974. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1974.

4. Гантмахер 1967. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967.

5. Гихман, Скороход 1977. Гихман И. И., Скороход А. В Введение в теориюслучайных процессов. — М.: Наука, 1977.

6. Громол и др. 1971. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. — М.: Мир, 1971.

7. Ефимов 1966. Ефимов Н. В. Гиперболические задачи теории поверхностей: Труды международного конгресса математиков. — М., Мир, 1966.

8. Зельдович и др. 1987. Зельдович Я. В., Молчанов А., Рузмайкин А. А.,.

9. Соколов Д. Д. Перемежаемость в случайной среде / / УФН. — 1987.1. Т. 152. — 3.

10. Зельдович 1964. Зельдович Я. Б. Астрон. ж. — 1964. — Т. 41. — 19.

11. Зельдович и Новиков 1967. Зельдович Я. В., Новиков И. Д. Релятивистская астрофизика. — М.: Наука, 1967.

12. Зельдович и Новиков 1975. Зельдович Я. В., Новиков И. Д. Строение иэволюция Вселенной. — М.: Наука, 1975.

13. Зельдович и др. 1991. Zeldovich Ya.B., Ruzmaikin А.А., SokolofFD.D. The.

14. Almightly Chance. — Singapur: World Sci., 1991;

15. Колмогоров 1941a. Колмогоров A. Hi Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой при очень больших числах Рейнольдса / / Доклады АН СССР — 1941 — Т. 30^ - 9−13;

16. Колмогоров 1941b. Колмогоров А. НК вырождению изотропной турбулентности в незжимаемой вязкой жидкости / / Доклады АН СССР- - 1941. — Т. 31- - 538−540.

17. Колмогоров 1941с. Колмогоров А. Н. Рассеяние энергии при локальноизотропной турбулентности. Доклады АН-СССР. — 1941. — Т. 32- 1. 16−18.

18. Краузе и Рэдлер 1984. Kpaj^e Ф., Рэдлер К.-Х. Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо. — М.: Мир, 1984, 314 с.

19. Ламбурт и др. 2000а. Ламбурт B.F., Соколов Д. Д., ТУтубалин В. Н. Турбулентная диффузия в межзвездной среде / / Астрономический журнал. 2000.-Т. 77, N 10. — 743−749.

20. Ламбурт и др. 2000b. Ламбурт B-F., Соколов Д. Д., Тутубалин В-Н;

21. Многообразие переменной кривизны и асимптотические результатыо произведении случайных матриц / / В сб. Математическаяфизика, математическое моделирование и приближенные методы. Тезисы докладов, Обнинск, 2000. — 37−38 .

22. Ламбурт и др. 2000с. Ламбурт В-Г., Соколов Д. Д., ТУтубалин В. Н: Геодезические на многообразии со случайной кривизной / / В сб. Межд. школа-семинар по геометрии, анализу и теории вероятностей, поев. 90-летию Н. В. Ефимова, Ростов, 2000. — 195−196.

23. Ламбзфт и др. 2001. Ламбурт В. Г., Соколов Д. Д., Быстрое динамо вмежзвездной турбулентности / / Астрон. ж. — 2001. — Т. 78, N 1. 1. 116−121.

24. Ламбурт и др. 2002. Ламбурт В. Г., Соколов Д. Д., Тутубалин В. Н. Поля.

25. Якоби на геодезических со случайной кривизной / / Математическиезаметки. — 2003. — Т. 74, N 3. — 416−424.

26. Ламбурт и др. 2003b. Ламбурт В. Г., Розендорн Э. Р., Соколов Д. Д., Тутубалин В. Н. Геодезические со случайной кривизной на римановых и псевдоримановых многообразиях. Труды геометрического семинара: Межвуз. темат. сб. науч. тр. Казань 2003. с. 99−106.

27. Ландау и Лившиц 1962. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. (7-еиздание). М.: Наз^а, 1988. — 512.

28. Молчанов и др. 1983. Молчанов А., Рузмайкин А. А., Соколов Д.Д.

29. Магн. Гидродин. — 1983. — Т. 4. — 67.

30. Молчанов и др. 1985. Молчанов А., Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д.,.

31. Кинематическое динамо в случайном потоке / / Успехи физ. наук.- 1985. — Т. 145. — 307.

32. Рузмайкин и др. 1988. Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д., Шукуров A.M.

33. Магнитные поля галактик. М.: Наука, 1988. — 279.

34. Синг 1963. Синг Дж. Обитая теория относительности. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

35. Соколов 1975. Соколов д .д. Крупномасштабное магнитное поле и глобальное устройство вселенной / / Письма в АЖ. — 1975. — Т. 1, Н. 6. — С. 3.

36. Фриш 1998. Фриш У. Турбулентность. Наследие Колмогорова. М.: Фазис, 1998.

37. Childress and Gilbert 1995. Childress S., Gilbert A.D. Stretch, Twist and.

38. Fold: The-Fast Dynamo. Berlin.: Springer, 1995. 258 P.

39. De Felice and Clarke 1990. De Felice, F. and C.J.S. Clarke. Relativity oncurved manifolds. Cambridge, 1990.

40. Dittrich et al. 1984. Dittrich P., Molchanov S.A., Sokoloff D.D., Ruzmaikin.

41. A.A. Mean maganetic field in renovating random flow / / Astron. Nachr.- 1984 — V. 305, N. 3, — P. 119−125.

42. Elperin et al. 2000. Elperin Т., Kleeorin N., Rogachevskii I., D. Sokoloff Passive scalar transport in a random flow with a flnite renewal time / / Phys.

44. Elperin et al. 2001. Elperin Т., Kleeorin N., Rogachevskii L, D. Sokoloff.

45. Mean-field theory for a passive scalar advected by a turbulent velocity field with random renewal time / / Phys. Rev. E. — 2001. — V. 64, 1. N2.

46. Furstenberg 1963a. Furstenberg H. A Poisson formula for semi-simple Liegroups / / Annals of Mathematics. — 1963. — V.77. N2. — P. 335−386.

47. Furstenberg 1963b. Furstenberg H. Noncommuting random products / /.

48. Trans, of Amer. Math. Soc. — 1963. — V. 108. N3. — P. 377−428.

49. Gunn 1967. Gunn E. A Fundamental Limitation on the Accuracy of Angular.

50. Dynamo / / Astronomical and Astrophisical Transactions. — 2003. — V.22. N. 1. — P. 15−18.

51. Moss et. al, 1993. Moss D., Brandeburg A., Donne K.J., Thomasson M.

52. Models for the magnetic field of M81 / / Astrophysical Journal, Part1 -1993 — V. 409. N. 1 — P. 179−189.

53. Munshi and Jain 2000. Munshi, D. and B. Jain. The statistics of weak lensing at small angular scales: probability distribution function / / Mon.

54. Not R. Astron. Soc. — 2000. — V. 318. — P. 109−123.

55. Munshi and Jain 2001. Munshi, D. and B. Jain. Statistics of weak lensingat small angular scales: analytical predictions for lower order moments / / Mon. Not R. Astron. Soc. 2001. — V. 322. — P. 107−120.

56. Takada и др. 2000. Takada, M., Komatsu, E. and Futamase T. Gravitational Lensing Effect on the Two-Point Correlation of Hot Spots in the.

57. Cosmic Microwave Background / / Astrophys. J. — 2000 — V. 533. — P.83−87.

58. Taylor 1915. Taylor G.I. Eddy motion in the atmosphere / / Phil. Trans.

59. Royal Soc. — 1915. — A 215 — P. 1−26.

60. Zeldovich et al. 1983. Zeldovich Ya.B., Ruzmaikin A.A., Sokoloff D.D. Magnetic Fields in Astrophysics. — NY.: Gordon &- Breach, 1983, p. 364.

61. Zeldovich et al. 1984. Zeldovich Ya.B., Ruzmaikin A.A., Molchanov S.A.,.

62. Sokoloff D.D. Kinemaic Dynamo Problem in a Linear Velocity Field / /.

63. J. Fluid Mech.- 1984. — V. 144. — P. 1.

64. Zeldovich et al. 1988. Zeldovich Ya.B., Ruzmaikin A.A., Molchanov S.A.,.

65. Sokoloff D.D. Intermittancy, Diffusion and Generation in a Nonstationary Random Medium / / Sov. Sci. Rev., С Math. Phys. — 1988 — V. 7. 1. P. 1.