Исследование разностного уравнения Шредингера для некоторых физических моделей

Диссертация посвящена исследованию спектральных свойств, а также рассеяния, для некоторых разновидностей одночастичного уравнения Шредингера, возникающих в квантовой теории твердого тела. При этом рассматривается конечно-разностное приближение, но можно также считать, что физические модели рассматриваются в приближении сильной связи, поскольку оба приближения, с математической точки зрения, приводят к похожим разностным уравнениям.

Важность математического исследования уравнения Шредингера в разностном подходе (или в приближении сильной связи) объясняется, во-первых, значительно возросшей в последние 20−30 лет популярностью такого подхода в физической литературе, относящейся к наноразмерным устройствам — основе будущей микроэлектроники (см., например, [2]-[5]). (Заметим, что классическая теория рассеяния для уравнения Шредингера, основанная на интегральном (матричном) уравнении Липпмана-Швинге-ра, в настоящее время особенно актуальна для данных физических приложений, поскольку вероятность прохождения оказывается пропорциональной электронной проводимости в квантовой проволоке (см. [1]).) Во-вторых, это связано с тем, что, несмотря на физическую актуальность, математических работ, исследующих данные модели, сравнительно немного и относятся они, как правило, к решеткам Zd, с1 ^ 1. Между тем, математические модели в этой области даже в одномерном случае (на графе) имеют достаточно интересные и необычные свойства.

Отметим некоторые математические работы, близкие по содержанию к теме диссертации.

В статье [6] рассматривается двумерная модель периодического волновода с дискретным неоднородным оператором Лапласа. Доказано существование квазиуровней (мод) и решения уравнения Липпмана-Швингера. Обсуждаются, на основе численных расчетов, особенности рассеяния вблизи квазиуровней.

В статье [7] рассмотрен разностный оператор Шредингера на графе, полученный из обычного оператора Шредингера электрона в системе, состоящей из квантовой проволоки и квантовой точки. Изучается существование и поведение в зависимости от малой константы связи собственных значений и резонансов, а также задача рассеяния для малых потенциалов.

Автор работы [8] рассматривает систему, состоящую из конечной цепочки атомов (бильярда), которая присоединена (параллельно или последовательно) к бесконечной цепочке. Исследовано поведение матрицы рассеяния вблизи резонанса в случае слабой связи бильярда с бесконечной цепочкой.

В статье [9] рассматривается семейство дискретных операторов Шредингера //(/с), полученных из двухчастичного оператора, где к — двухчастичный квазиимпульс. При определенных условиях для размерностей 1, 2 доказано, что если нуль является квазиуровнем оператора Н (0), то операторы Н (к) имеют собственное значение левее существенного спектра.

В статье [10] различными способами получены формулы для функции Грина некоторых разновидностей разностного оператора Лапласа.

В [11] показано, что расстояние между собственными значениями дискретного одномерного оператора Шредингера для конечной цепочки с граничными условиями Дирихле или Неймана, отделено от нуля равномерно по длине цепочки (получена явная оценка снизу). В частности у спектров таких операторов нет вырожденных собственных значений.

Статья [12] посвящена описанию существенных спектров, а также оценкам убывания собственных функций на бесконечности разностных аналогов операторов Шредингера и Дирака.

В статье [13] строится общая теория самосопряженного дискретного оператора Лапласа на графе, при этом основные результаты получены для графов-деревьев определенного вида.

В статье [14] изучается поведение на бесконечности решений одномерного разностного уравнения Шредингера с потенциалом, который в некотором смысле убывает на бесконечности. Кроме того, в статье представлен дискретный аналог метода ВКБ.

Целью работы является исследование собственных значений и резо-нансов, а также изучение задачи рассеяния для разностного уравнения Шредингера с потенциалами, описывающими электрон в квантовых проволоках, в квантовом волноводе и в периодической слоистой структуре.

Задачи, решаемые в диссертации:

1) изучение общих спектральных свойств разностного уравнения Шредингера с потенциалами определенного вида;

2) исследование существования и поведения квазиуровней (т. е. собственных значений и резонансов) для разностного оператора Шредингера в случае малого потенциала;

3) исследование рассеяния, нахождение в определенных случаях простых формул для вероятностей прохождения и отражения.

На защиту выносятся:

1) теоремы существования и единственности квазиуровней (т. е. собственных значений и резонансов) разностного оператора Шредингера, отвечающего пересечению квантовых проволок, исследовано асимптотическое поведение квазиуровней;

2) нахождение для данного оператора вероятностей распространения квантовой частицы в возможных направлениях, получение условий полного отражения (прохождения);

3) теоремы существования и единственности квазиуровней двумерного разностного оператора Щредингера, отвечающего квантовому волноводу, исследована асимптотика квазиуровней;

4) найдены вероятности отражения (прохождения) для данного оператора в случае малого потенциала и медленных квантовых частиц;

5) нахождение вероятностей прохождения и отражения для разностного оператора Шредингера в периодической слоистой структуре в случае малого петенциала и малой перпендикулярной составляющей угла падения частицы на потенциальный барьер.

Перейдем к подробному обзору содержания диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав (двенадцати параграфов) и списка литературы. Применяется двойная нумерация лемм, теорем, формул, определений, замечаний и следствий (например, теорема 2.4 — это четвертая теорема в работе, находящаяся во втором параграфе).

1. Buttiker М. Generalizet many-channel conductance formula with application to small rings / M. Buttiker, Y. 1. ry, R. Landauer, S. Pinhas // Phys. Rev. B. -1985. -Vol. 31, № 10. -pp. 6207−6215.

2. Miroshnichenko A. E. Engineering Fano resonances in discrete arrays / A. E. Miroshnichenko, Y. S. Kivshar // Phys. Rev. E. -2005. -Vol. 72, № 5. -56 611 (7p).

3. Bellissard J. Scattering theory for lattice operators in dimension d ^ 3 / J. Bellissard, H. Schulz-Baldes // Rev. Math. Phys. -2012. -Vol. 24. -1 250 020 (51p).

4. Karachalios N. I. The number of bound states for a discrete Schrodinger operator on Zn, N ^ 1, lattices / N. I. Karachalios //J. Phys. A: Math. Theor. -2008. -Vol. 41, № 45. -455 201.

5. Ziletti A. Coherent transport in multi-branch circuits / A. Ziletti, F. Borgonovi, G. L. Celardo, F. M. Izrailev, L. Karlan, V. G. Zelevinsky // Phys. Rev. B. -2012. -Vol. 85, № 5. -52 201 (5p).

6. Ptitsyna N. A. lattice model for resonance in open periodic wavequides/ N. Ptitsyna, S. P. Shipman // arXiv: 1101.0170vl math-phj. -2010.

7. Чубурин Ю. П. Об одном дискретном операторе Шредингера на графе / Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -2010. -Т. 165, № 1. -С. 119−133.

8. Арсеньев А. А. Резонансы и туннелирование при рассеянии на квантовой бильярде в приближении сильной связи / А. А. Арсеньев // Теор. и матем. физика. -2004. -Т. 141, № 1. -С. 100−112.

9. Лакаев С. Н. О спектре двухчастичного оператора Шредингера на решетке / С. Н. Лакаев, А. М. Халхужаев // Теор. и матем. физика. -2008. -Т. 155, № 2. -С. 287−300.

10. Chung F. Discrete Green’s Function / F. Chung, S.-T. Yau // Journal of Combinatorial Theory, Series A. -2000. -Vol.91, № 1−2. -pp. 191−214.

11. Rivkind A. Eigenvalue repulsion estimates and some applications for the one-dimensional Anderson model / A. Rivkind, Y. Krivolapov, S. Fishman, A. Soffer // J. Phys. A.: Math. Theor. -2011. -Vol. 44, № 30. -305 206 (19p).

12. Rabinovich V. S. Essential spectra and exponential estimates of eigenfunctions of lattice operators of quantum mechanics / V. S. Rabinovich, S. Roch //J. Phys. A: Math. Theor. -2009. -Vol. 42, № 38. -385 207 (21pp).

13. Dutkay D. E. Spectral theory for discrete Laplacians / D. E. Dutkay, P. E. T. Jorgensen // Complex Analysis and Operator Theory. -2010. -Vol.4, № 1. -pp. 1−38.

14. Evans M. On the behavior at infinity of solutions to difference equations in Schrodinger form / Evans M., Harrell II // arXiv:1109.4691vl math.CA., -2011.

15. Рид М. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ / М. Рид, Б. Саймон. -М.: Мир, 1977. -360 с.

16. Рид М. Методы современной математической физики. Т. З. Теория рассеяния / М. Рид, Б. Саймон. -М.: Мир, 1982. -446 с.

17. Рид М. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов / М. Рид, Б. Саймон. -М.: Мир, 1982. -428 с.

18. Тинюкова Т. С. Квазиуровни дискретного оператора Шредингера с убывающим потенциалом на графе / Т. С. Тинюкова, Ю. П. Чубурин // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные Науки. -2009. -Вып. 3. -С. 104−113.

19. Тинюкова Т. С. Квазиуровни дискретного оператора Шредингера для квантового волновода / Т. С. Тинюкова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. -2011. -Вып. 2. С. 88−97.

20. Тинюкова Т. С. Уравнение Липпмана-Швингера для квантовых проволок / Т. С. Тинюкова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. -2011. -Вып. 1. -С. 99−104.

21. Тинюкова Т. С. Рассеяние в случае дискретного оператора Шредингера для пересекающихся квантовых проволок / Т. С. Тинюкова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. -2012. -Вып. 3. -С. 74−84.

22. Тинюкова Т. С. Дискретное уравнение Шредингера для квантового волновода / Т. С. Тинюкова // Вестник Удмуртского университета.Математика. Механика. Компьютерные науки. -2012. -Вып. 4. -С. 8093.

23. Тинюкова Т. С. Рассеяние электрона на кристаллическом слое / Т. С. Тинюкова, Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -2013. -Т. 176, № 176. -С. 444−457.

24. Ашихмина Т. С. О свойствах одного конечно-разностного уравнения на графе / Т. С. Ашихмина // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения XX». -Воронеж, 2009. -С. 202.

25. Тинюкова Т. С. Уравнение Липпмана-Швингера для квантовых проволок / Т. С. Тинюкова // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения XXI». -Воронеж, 2010. -С. 280.

26. Тинюкова Т. С. Дискретное уравнение Шредингера для квантового волновода / Т. С. Тинюкова, Ю. П. Чубурин // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения XXIII». -Воронеж, 2012. -С. 212.

27. Березин Ф. А. Уравнение Шредингера / Ф. А. Березин, М. А. Шубин, / М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. -392 с.

28. Baranova L. Y. Quasi-levels of the two-particle discrete Schrodinger operator with a perturbed periodic potential / L. Y. Baranova, Y. P. Chuburin // J. Phys. A.: Math. Theor. 2008. -Vol. 41. -435 205 (11 P).

29. Альбеверио С. Решаемые модели в квантовой механике / С. Альбеве-рио, Ф. Гестези, Р. Хёэг-Крон, X. Хольден. -М.: Мир, 1991. -568 с.

30. Гатауллин Т. М. О возмущении квазиуровней оператора Шредингера с комплексным потенциалом / Т. М. Гатауллин, М. В. Карасев // Теор. и матем. физика. -1971. -Т. 9, № 2. -С. 252−263.

31. Тейлор Дж. Теория рассеяния. Квантовая теория нерелятивистских столкновений / Дж. Тейлор. -М.:Мир, 1975. -567 с.

32. Ганнинг Р. Аналитические функции многих комплексных переменных / Р. Ганнинг. -М.: Мир, 1969. -395 с.

33. Морозова JI. Е. Об уровнях одномерного дискретного оператора Шредингера с убывающим потенциалом / JI. Е. Морозова, Ю. П. Чубурин // Известия Института математики и информатики. -2004. -Вып. 1(29). -С. 85−94.

34. Herczynski Y. On the spectrum of the Schrodinger operator / Y. Herczynski // Bull. Acad. Pol. sci: Ser. sci. math. -1981. -T. 29, № 1−2. -C. 73−77.

35. Simon B. Schrodinger operators in the twentieth century / B. Simon // Journal of mathematical physics. -2000. -Vol. 4, № 6. -pp. 3523−3555.

36. Чубурин Ю. П. О малых возмущениях оператора Шредингера с периодическим потенциалом / Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -1997. -Т. 110, № 3. -С. 443−453.

37. Chuburin Yu. P. On levels of a weakly perturbed periodic Schrodinger operator / Yu. P. Chuburin // Commun. Math. Phys. -2004. -Vol. 249. -pp. 497−510.

38. Чубурин Ю. П. О решениях уравнения Шредингера в случае полуограниченного кристалла / Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -1994. -Т. 98, № 1. -С. 38−47.

39. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. М.: Наука, 1971. -512 с.

40. Schwartz L. Theorie des distributions a valeurs vectoriels I / L. Schwartz // Ann. Inst. Fourier. -1958. -Vol. 7. -pp. 1−142.

41. Schwartz L. Theorie des distributions a valeurs vectoriels II / L. Schwartz // Ann. Inst. Fourier. -1958. -Vol. 8. -pp. 1−210.

42. Grothendieck A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires / A. Grothendieck. -American Mathematical Society. -1979. -140 c.

43. Шефер X. Топологические векторные пространства / X. Шефер. -М.:Мир, 1971. -360 с.

44. Чубурин Ю. П. О рассеянии для оператора Шредингера в случае кристаллической пленки / Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -1987. -Т. 72, т. -С. 120−131.