Проблема Варинга для девяти кубов с почти равными слагаемыми

Впервые простейшие тригонометрические суммы стал рассматривать К. Ф. Гаусс. В частности, он исчерпывающим образом исследовал важнейшие свойства носящей его имя «суммы Гаусса» :

Гаусс первый показал пользу тригонометрических сумм как средства решения задач теории чисел, в частности, используя свойства суммы Гаусса, он построил одно из своих доказательств закона взаимности квадратичных вычетов.

В дальнейшем тригонометрические суммы, правда гораздо более общего вида, стали мощным средством решения ряда важных вопросов теории чисел. При этом основной в отношении таких сумм стала проблема разыскания их возможно более точной оценки, то есть возможно более точной верхней границы их модуля.

Сумма Гаусса является частным случаем более общей рациональной тригонометрической суммы: где 1р (х) = апхп +. + ах — многочлен степени п > 1с условием (оп,., аь ЛГ) = 1.

1).

Наилучшую оценку суммы (1) в общем случае дал Хуа Ло-ген. Он установил неравенство с (п)^1-«.

Это неравенство замечательно тем, что при постоянном п в смысле порядка роста правой части с возрастанием N оно, вообще говоря, уже не может быть заменено существенно лучшим.

Рациональная тригонометрическая сумма входит как частный случай в еще более общий класс сумм вида ж) = апхп +. + ах и ап,., а 1- любые вещественные числа.

Впервые общий метод нахождения нетривиальных оценок сумм (2) дал Г. Вейль [1]. Поэтому такие суммы называются суммами Вейля. Г. Вейль построил метод с помощью которого впервые получил нетривиальную оценку тригонометрической суммы (2).

Из оценки Г. Вейля следует закон распределения дробных частей многочлена /(?) = аЬт + а+. 4- ат в отрезке [а, 6] С [0,1), следствием которого является их равномерное распределение по модулю 1. Существенным недостатком метода Вейля является быстрая потеря ее точности с возрастанием т.

И.М. Виноградов[2]-[12] создал новый метод тригонометрических сумм. Этот метод не только позволил коренным образом усовершенствовать решения проблем уже рассматривавшихся ранее с помощью других методов, но и открыл широкий путь к решению новых. Он опубликовал ряд работ о суммах Вейля, в которых с помощью созданного им метода тригонометрических сумм коренным образом улучшил результаты Г. Вейля.

Метод тригонометрических сумм И. М. Виноградова опирается на оценку величин типа Т (ап,., ЛГ)|2А:. Позже И. М. Виноградов заменил сложную оценку сумм степеней Т (ап,., а, более простой оценкой.

2).

0<�х<�Ы интеграла i i.

J (N-, n, k) = J .j T (an,., ai, N)2kdai. dan, о 0 то есть оценкой этой суммы «в среднем» по всем а,. ап и поэтому теорему об оценке J{N] п, к) носит название теоремы И. М. Виноградова о среднем значении. В дальнейшем И. М. Виноградов неоднократно улучшал и уточнял эту теорему.

О значение его работ и их приложения следует судит не только по проблеме Варинга. Его результаты нашли применение в проблеме распределения простых чисел, в теориях дзета функция Римана, L — функции Дирихле, равномерного распределения, диофантовых приближений, в проблеме о целых точек в многомерном эллипсоиде и.т.д.

И.М.Виноградов получил асимптотически точную оценку величины J (N-] п, к) вида.

Отметим, что оценками тригонометрических сумм по методу И. М. Виноградова занимался также Хуа Ло-ген[14]-[15]. В’частности, он в явной форме выделил оценку среднего значения тригонометрическойсуммы из общего метода оценки индивидуальных тригонометрических сумм. В 1942 году Ю. В. Линником [16] было найдено доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа р. Другое р-адическое доказательство, т. е. использующее свойства сравнений по модулю простого числа р, теоремы о среднем значении было получено А. А. Карацубой на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века нового р-адического метода [20]. В дальнейшем его метод, помимо других приложений, позволил не только значительно прояснить и упростить доказательство теоремы о среднем значении, но и получить новые существенные результаты, в частности, вывести нетривиальные оценки величины J (Nп, к) при малых значениях к (см. работы A.A.

Карацубы [21], С. Б. Стечкина [73], Г. И. Архипова [27], Г. И. Архипова и В. Н. Чубарикова [24], Г. И. Архипова и А. А. Карацубы [28], Г. И. Архипова, А. А. Карацубы и В. Н. Чубарикова [31], В. З. Соколинского [74], О.В. Ты-риной [75]).

Продолжением данных исследований является обобщение этих результатов на комплексной плоскости и в полях алгебраических чисел. В полях алгебраических чисел метод тригонометрических сумм оказался полезным при выводе асимптотических формул в аддитивных задачах варинговско-го типа с помощью кругового метода Харди-Литтлвуда-Рамануджана в форме тригонометрических сумм И. М. Виноградова. Первые исследования в этом направлении провел K. J1. Зигель [50] в середине сороковых годов двадцатого столетия. Эти исследования были продолжены Т. Та-тудзавой [78] и О. Кернером [79]. В этих работах впервые получается теорема о среднем значении для тригонометрических сумм Г. Вейля в полях алгебраических чисел. После появления £>-адического метода A.A. Карацубы доказательства теоремы о среднем значении, И. Еда [80] получил теорему о среднем с параметрами, отвечающими результату И. М. Виноградова в случае поля рациональных чисел. Отметим, что дальнейшее развитие метод тригонометрических сумм И. М. Виноградова получил в работах A.A. Карацубы [22], Н. М. Коробова [37], [38], Г. И. Архипова [26], В. Н. Чубарикова [34], О. В. Тыриной [76], И. М. Козлова [77], Сорокина [81], [82] и др.

Следует отметить, что суммы Вейля при маленьких степеней п < 12 в множестве первого класса рассматривались отдельными математиками и наилучший результат принадлежит английскому математику Р. Вон.

И.М.Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм[7]. Данная задача была решена Г. И.Архиповым[26] в начале 70-х годов прошлого века. Г. И. Архипов получил первые оценки двукратных сумм Вейля для многочленов общего вида. В.

1975 г. Г. И. Архипов и В. Н. Чубариков [24]-[25] дали обобщение реультатов Г. И. Архипова на кратный случай.

В 1976 г. В.Н.Чубариков[32]-[33] получил оценки кратных тригонометрических интегралов и кратных полных рациональных тригонометрических сумм.

В течении 80-х годов прошлого столетия Г. И. Архипов, А. А. Карацуба и В.Н.Чубариков[29]-[30] продолжили исследования и получили первые оценки кратных тригонометрических сумм Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена).

В 1987 г. результаты всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Вейля составили содержание монографии «Теория кратных тригонометрических сумм» [31]. В середине 80-х годов прошлого века В. Н. Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте[35]-[36].

Сумма вида.

Тк (аг, х, у)= е{апк), у = х в<1 х—у<�п<�х называются короткими тригонометрическими суммами Вейля.

Короткие тригонометрические суммы Вейля при п = 2ип = 3 В множестве первого класса рассматривал З. Х. Рахмонов [39]-[40] при исследовании тернарной проблемы Эстермана с почти равными слагаемыми.

В 1770 г. Варинг [41] в своих Алгебраических размышлениях" выдвинул гипотезу о том, что каждое четное натуральное число является суммой не более девяти кубов целых положительных чисел, суммой не более 19 биквадратов и т. д. Считается, что тем самым он предполагал следующее: для любого целого положительного числа п > 2 существует число г = г (п), такое, что каждое натуральное число является суммой не более г п-ых степеней натуральных чисел, то есть всякое натуральное число N может быть представлено в виде + а:£ + .+ < = (3) с целыми неотрицательными х,., хг.

Эта гипотеза получила название — проблема Варинга. Вероятно, уже Диофанту было известно, хотя и в другой форме, что каждое натуральное число есть сумма не более четырех квадратов. Впервые точно теорему о четырех квадратах сформулировал в 1621 г. Баше, а Ферма объявил, что доказал ее, однако умер, не раскрыв своего доказательства.

В 1770 г. опираясь на известное алгебраическое тождество Эйлера: а + а + а + + Ь + Ь + Ь24) = <$ + 4 + 4 + с|,.

С1 = аЬ + +а2Ь2 + <23&3 + а4&-4, С2 = Й1&-2 — «2&1 + аз&-4 — 04&-з, сз = — + —^264, С4 = аф 4 — 0461 + 0263 — а36 2,.

Лагранж доказал, что любое натуральное число N представимо в виде квадратов четырех квадратов целых чисел. Доказательство теоремы о четырех квадратах приведено в [45].

В XIX веке проблема Варинга было доказана для отдельных значений п, но реального прогресса на пути к решению проблемы удалось достичь только в ХХ-ом веке. В 1909 г. Д. Гильберт впервые доказал следующую теорему:

Теорема. (Д.Гильберт) Для любого фиксированного натурального числа п существует определенное число г, зависящее только от п, такое, что для каждого натурального N уравнение (3) имеет решение в целых неотрицательных числах хг, х2,., хТ.

Конечно, основное здесь то, что г не зависит от N, иначе утверждение было бы совершенно тривиальным, поскольку N = ж" + х2 +. + х^.

ВерНО При Х — Х2 = • • ¦ = Ждг = 1.

Доказательство Гильберта [43] было очень громоздким в формальном отношении и опиралось на сложные аналитические теории (кратные интегралы). Например, он с помощью 5-кратных интегралов доказал, что для всякого п имеет место тождество м xl + х + х + х + xf) n = rh{aihXl + CL2hX2 + • • • + ashXb)2n.

1=1 с пятью переменными ., ?5, где ацгцелые, а г д-положительные рациональные числа и (2т + 1)(2т + 2) (2т + 3)(2т + 4) 1 • 2 • 3 • 4 '.

После Гильберта ряд математиков дали различные, более простые, чем у Гильберта, доказательства теоремы Варинга. Сравнительно элементарное доказательство теоремы было дано в 1942 г. Линником [17].

Для каждого п можно рассматривать наименьшее значение г, при котором каждое натуральное N представимо в виде (3), и это значение г, зависящее от п, обозначают обычно через д (п).

Например, д{2) = 4. Действительно, как мы отмечали выше, каждое натуральное число представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел и существуют числа не представимые в виде суммы трех квадратов, например, как это легко видеть, все числа вида N = 8к + 7.

Гильберт [42] сложным комбинаторным методом при помощи алгебраических тождеств (см. [51], [52], [53]) первым доказал существование д (п) для всех п.

При п = 3 было доказано, что д (3) < 9. Существуют два числа, а именно 23 и 239, которые нельзя представить в виде суммы восьми кубов, что означает: д (3) > 9, а значит #(3) = 9.

Оказывается, что, кроме этих двух чисел, все остальные натуральные числа представимы в виде суммы восьми кубов. Вообще, для каждого п существуют сравнительно небольшие числа N, для которых в уравнении.

3) приходится брать много слагаемыхналичие таких чисел определяет то, что при увеличении п функция д (п) быстро растет. Легко можно показать, что при N = 2П[^], д (п) — 2п + д (п) >2п + з1 2″ .

32 2″ 2. Это означает, что.

— 2.

2п.

— 2. Имеются основания предполагать, что 2П + является для всех п > 1 истинным значением д (п). Известны следующие результаты.

Теорема. Если при натуральном п, отличном от 4 и 5, имеет место неравенство гоп1 гоп,.

3″ 2П — < 2п — —, (4).

2п — 1.2″ ^ то д (п) = 2п +.

— Зп.

2П.

— 2.

Эта теорема является результатом работ ряда математиков начиная с Лагранжа, рассмотревшего случай п = 2. Частными случаями этой теоремы является то, что д (3) = 9, д (6) = 73, #(7) = 143, #(8) = 279. Случай п—3 был рассмотрен Виферихом в 1909 г., а случай п = 6- индийским математиком Пиллаи [66] в 1940 г. При п > 7 результат теоремы был получен в работах Диксона [57]-[64] и Нивепа [65].

Теорема. Если при натуральном п имеет место неравенство.

ГЗП1 гЗп1 П.

2п 2.

2п. то д{п).

— 2, при 2п =.

3, при 2п <

32 2п.

32 2″ .

4″ .

З75″ .

1 3″ +.

3″ 2″ .

32. 2″ +.

4″ .

3″.

4″.

3″ .

Этот результат принадлежит Диксону. Следует отметить, что неравенство (4) было проверено для очень многих п, и пока не было найдено ни одного натурального п, для которого оно было бы неверным.

В 1957 г. Малер [68] доказал существование щ такого, что формула.

ГЗП1.

9(п) = 2п +.

2п.

— 2 верпа при всех п > по.

С другой стороны, электронно-вычислительные машины дали возможность Стеммлеру [69] в 1964 г. установить справедливость этой формулы для всех п < 200 000.

Существование д (4) было доказано впервые Лиувиллем в 1859 г. Точные значения д{4) и д (5) до сих пор неизвестны. Число 79 нельзя представить в виде 18 биквадратов, так что д (4) > 19. С другой стороны, было доказано, что #(4) < 35, т. е. 19 < .

Обозначим через С (п) наименьшее значение г, при котором уравнение (3) имеет решение в целых неотрицательных числах Х2,., хг, для всех чисел N, начиная с некоторого N > N0, т. е. для всех натуральных чисел N, исключая, может быть, только конечное их число. При п = 2 значения д (п) и* (?(п) совпадают: (2(2) = 4, так как существуют сколь угодно большие числа, не представимые в виде суммы трех квадратов.

Интересной проблемой является оценка числа С?(п), определяемого при п > 2 как наименьшее г, такое, что каждое достаточно большое натуральное число есть сумма не более г п-х степеней натуральных чисел. При этом оказывается, что для больших п С (п) намного меньше, чем д (п), что, естественно, делает его оценку намного более трудной.

В 1920 г. новое доказательство этой же теоремы дали Харди и Литтлвуд [44]. Нужно отметить, что именно они ввели эти две функции д (п) и С?(п). Харди и Литтлвуд доказали, что п < вШ) < п2п~1к] 1ип Н = 1. п->оо.

Самым же важным было то, что Харди и Литтлвуд при г > (п — 2)2n1 + 5 для числа I (N) представлений числа N в виду (3) нашли асимптотическую формулу вида.

I{N) = + (5).

Г [r/n) где erнекоторый особый ряд, сумма которого, как они показали, превосходит некоторое число ci (n, r) и ci (n, r) > 0.

В 1924 г. И. М. Виноградов [4] применил к проблеме Варинга свой метод тригонометрических сумм. Это не только сильно упростило доказательство проблемы Варинга, но и открыло путь к принципиальному уточнению полученных здесь результатов и решению новых проблем. Он доказал [8], что асимптотическая формула Харди и Литтлвуда (5) имеет место при г > 2[n2(21nn + lnlnn + 3)].

В 1934 г. он доказывает [5] также, что G (n) < п (6 In гг+Ю), затем несколько раз уточняет эту оценку и, наконец, в 1959 г. доказывает [9], что.

G (n) < 77.(2 Inn + 4 In 111 77, + 2 In In In nf-13).

A.A. Карацуба [23] применил к оценке G (n) свой р — адический метод и получил более точный результат.

G (n) < 77,(2 In тг + 2 In In п + 12).

Wooley T.D. [49] доказал, что.

G{n) < n Inn + n In Inn + 0(1).

Фактически величина G{n) известна только для к = 2 и к = 4, именно.

G{ 2) = 4, G{ 4) = 16. 13.

Последний результат доказал Davenport [56]. Линник Ю. В. [17] доказал, что G (3) < 7, упрощенное доказательство которого дал Watson [54]. Vaughan [48] доказал, что асимптотическая формула Харди и Литтлвуда (5) имеет место при г = 8 и п = 3.

Диссертационная работа посвящена оценке коротких кубических сумм Вейля, среднему значению модуля восьмой степени таких сумм и выводу асимптотической формулы в проблеме Варинга для девяти кубов при условии, что все слагаемые почти равны.

Диссертация состоит из двух глав. Каждая глава состоит из трех параграфов, первые параграфы которых носят вспомогательный характер.

Во втором параграфе первой главы для случая п — 3 изучается поведение коротких кубических сумм Вейля:

Т3(а', х, у)= е (ст3), а =- + A, (a, q) = 1, q < т, |А| < —. х—у<�п<�х ^ ^.

Теорема 1.2.1. Пусть х > xq > 0, 0<у < 0, Olx, г > 12ху, q <т, а = ^ + A- (a, q) = 1, |А| < Тогда при {ЗАя2} < А > 0 или {ЗАж2} > 1 —^- А < 0 имеет место соотношение.

Т3(а, х, у) = ж, у) + О^П, а при выполнении условия {ЗАгс2} > щ, А > 0 или {ЗАа-2} < 1 — щ, А < 0- имеет место соотношение.

Гз (а, х, у) = ж, у) + 0(д2/3 In q + q^x1″), n=1 V 4 J.

Полученное асимптотическое поведение является обобщением теоремы Р. Вона для коротких сумм и уточнением результата З. Х. Рахмонова.

Доказательство этой теоремы проводится методом оценки тригонометрических сумм Ван дер Корпута с применением формулы суммирования.

Пуассона, оценки тригонометрических сумм по величине модуля производных первого и второго порядка, оценки тригонометрических интегралов.

Следствие 1.2.1.1 Пусть х > х0 > 0, у < 0,01жт > 12 ху, д <т, а = | + А-(а>д) = 1, |А| <

Тогда имеет место соотношение.

Тз (а, у) = д)7(Лу) + 0(д½+£),.

0,5 у (-, х, у)= I е (А (х-| +.

— 0,5.

Следствие 1.2.1.2 Пусть х > хо> 0, у < 0,01жт > 12ху, ц < т, а = ^ + Л- (а, д) = 1,.

Тогда имеет место оценка.

Т3(а, ж, у) < 1пд + д^х1'2.

В третьем параграфе первой главы для среднего значения модуля восьмой степени коротких кубических сумм Вейля обобщена теорема Хуа Ло-гена:

Теорема 1.3.1. При х > хо > 0, у/х < у < 0,012- имеет место оценка 1.

I Т (а-х, у)8с1аСу5+?. о.

Основу доказательства этой теоремы составляют вышеупомянутый метод Вейля и соображение о том, что интеграл от четной степени модуля суммы Вейля выражается через количество решений диофантового уравнения.

Во втором параграфе второй главы доказывается следующая теорема:

Теорема 2.2.1. Особый ряд.

Я=1 а=0 У Ч /.

4 (о, д)=1 абсолютно сходится и существует положительная постоянная такая, что, а = > С > 0.

В третьем параграфе второй главы, асимптотическая формула в проблеме Варинга для девяти кубов доказывается с более жесткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны.

Теорема 2.3.1.Пусть ЛГ — достаточно большое натуральное число, I (ТУ, Н) — число решений в целых числах Х2, • •., хд уравнения х + х1 +. + х1 = N с условиями.

Л/Л1/3 г = 1,9, #≠(—) .

Тогда при.

Н > ЛГ3/10+£ справедлива асимптотическая формула 259 723³ *(ГГ)Н* (Я8 где сг (А^) — особый ряд, сумма которого превосходит некоторого числа с{Ы) > 0.

Доказательство теоремы проводится круговым методом Харди, Литтл-вуда, Рамануджана в форме тригонометрических сумм И. М. Виноградова.

Не ограничивая общности, будем считать, что 0,5ЯЬ-1, т = 24(Л¹ + Н) Н, аег = 1, Е = [—ае, 1 — эе]. Легко можно показать, что.

Н) = I Т9(аМг + Я, 2Н) е (-аМ)с1а + О, Е.

Разобьем множество Е на множества Ец, и Е2: а а.

Обозначая через /ц, /12 и /2 соответственно интегралы по множествам Ец, Е2 и, будем иметь.

В последней формуле /ц доставляет главный член асимптотической формулы для /(./V, Н), а /12 и /2 входят в его остаточный член.

Для получения асимптотической формулы для /ц используем следствие 1.2.1.1 теоремы 1.2.1 (поведение коротких кубических тригонометрических сумм Вейля в множестве Ец) и теорему 1.3.1. об оценке средней значение модуля восьмой степени коротких кубических тригонометрических сумм Вейля.

Оценка интеграла Д2 проводится тернарным методом с применением следствие 1.2.1.2 теоремы 1.2.1 (оценка коротких кубических тригонометрических сумм Вейля в множестве Ей) и теорему 1.3.1.

Оценка интеграла /2 также проводится тернарным методом с использованием оценки Вейля для короткой кубической тригонометрической суммы и теоремы 1.3.1.

В заключение автор выражает глубокую благодарность профессорам В. Н. Чубарикову и З. Х. Рахмонову за научное руководство, за постоянное внимание и помощь в работе.

6).

1. weyl н. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins// Math. Ann, 1916, 77, s.313−352.

2. Виноградов И. М. Об одной общей теореме Варинга// Матем.сб., 1924, Т.31, № 3−4, с.490−507.

3. Виноградов И. М. О теореме Варинга//Изв. АН СССР, ОМЕН, 1928, с.393−400.4. виноградов И.м. Новое решение проблемы Варинга//ДАН СССР, 1934, № 2, с.337−341.

4. Виноградов И. М. О верхней границе G (k) в проблеме Варин-га//Известия АН СССР, ОФМН, 1934, с.1455−1469.

5. Виноградов И. М. К вопросу о верхней границе для G{n) // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1959, Т.23, № 5, с.637−642.

6. И. м. виноградов Общие теоремы о верхней границе модуля тригонометрической суммы// Изв. АН СССР, Сер. мат., 1951, Т.15, № 2, с.109−130.

7. Виноградов И. М. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1952.

8. Виноградов И. М. Особые варианты методов тригонометрических сумм. -М.: Наука, 1976.

9. Виноградов И. М. Основы теории чисел М.:Наука, 1981 г., 176с.

10. Ло-КЕН Хуа. Аддитивная теория простых чисел// Труды МИАН СССР, 1947, Т, 22, с.1−179.

11. ХУА ЛО-ген Метод тригонометрических сумм. М.: Мир, 1964, -190с.

12. Линник Ю В. Оценки сумм Вейля// ДАН СССР, 1942, Т.34, № 7, с. 201−203.

13. ЛИННИК Ю В. О разложении больших чисел па семь кубов// ДАН СССР, 1942, № 35, с.179−180.

14. ЛИННИК Ю В. О разложение больших чисел на семь кубов// Матем. сб., 1943, Т. 12(54), № 2, с.218−224.

15. Линник Ю В. Элементарное решение проблемы Варинга по методу Шнирельмана, Математический сборник// Матем. сб., 1943, Т.12(54), № 2, с.225−230.

16. Карацуба A.A. Проблема Варинга для сравнения по модулю, равному степени простого числа//Вестник МГУ, 1962, Сер.1, № 1, с.28−38.

17. КАРАЦУБА A.A. Средние значения модуля тригонометрической суммы// Изв. АН СССР, Сер.матем., 1973, Т.36, № 6, с.1203−1227.

18. КАРАЦУБА A.A. Основы аналитической теории чисел. 2-ое изд, М.: Наука, 1983.

19. КАРАЦУБА A.A. О функции G (n) в проблеме Варинга// Изв. АН СССР, Сер. мат., 1985, Т.49, № 5, с.935−947.

20. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. О кратных тригонометрических суммах// ДАН СССР, 1975, Т. 222, № 5, с.1017−1019.

21. Архипов Г. И., Карацуба A.A., Чубариков В. Н. Равномерные оценки кратных тригонометрических суммах// ДАН СССР, 1980, Т. 252, № 6, с. 1289−1291.

22. Архипов Г. И., Карацуба A.A., Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы и их приложения //Изв.АН СССР.Сер.мат., 1980, Т.44, с.723−781.

23. Архипов Г. И., Карацуба A.A., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. -М.: Наука, 1987, -368с.

24. ЧУБАРИКОВ В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах// Мат. заметки, 1976, Т.20, № 1, с.61−68.

25. ЧУБАРИКОВ В. Н. Об одном кратном тригонометрическом интегра-ле//ДАН СССР, 1976, Т.227, с.1308−1310.

26. WARING Е. Meditationes algebraicae. Cambridge. 1770.

27. ГИЛЬБЕРТ Д. Избранные труды. Т.1. Теория инвариантов. Теория чисел. Алгебра. Геометрия. Основания математики. -М.: Изд-во «Факториал», 1998. 575с.

28. Hardy G.H., Littlwood J.E. Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl. 1920. p.33−54. IV: Math. Z. 1922. Bd. 12. pp.161−168.45. hardy G.h., Wright E.M.An introduction to the theory of numbers, 5th edn. Oxford: Oxford University Press B], 1979.

29. Р. Вон Метод Харди-Литтлвуда-Перев.с.анг. М. Мир, 1985, -184c.

30. VAUGHAN R.C. Some remarks in Weyl sums. Coli. Math. Soc. Janos. Bolyani, Budapest 1981.

31. Ellison, W. J. Waring’s problem// Am. Math. Mon., 1971, 78, pp.10−36.54. watson G.L. J. London math. Soc., 1951, 26, pp.153−156.

32. Уиттекер Э. Т., batcoh Дж.Н. Курс современного анализа, ч. 1. Основные операции анализа. Изд. 2-е. Перев. с англ.-М.: Физматгиз, 1963.-342 с.

33. Dickson L. E. On Waring’s problem and its generalization// Ann. Math., 1936, 37, pp.293−316.

34. Dickson L. E. The ideal Waring theorem for twelfth powers// Duke Math. J., 1936, 2, pp. 192−204.

35. Balasubramanian R. Mozzochi C. J. An improved upper bound for G (k) in Waring’s problem for relatively small к// Acta Arith., 1984, 43, 283−285.

36. MAHLER K. On the fractional parts of the powers of a rational number II// Mathematika, 1957, 4, pp.122−124.

37. STEMMLER R.M. The ideal Waring theorem for exponents 401−200 000// Math.Сотр., 1964, 18, pp.144−146.70. thomas H. E. Jr. Waring’s problem for twenty two biquadrates// Trans.Am.Math. Soc., 1974, 193, pp.427−430.

38. Титчмарш E.K. Теория Дзета-Функции Римана. -М.:Изд-во Иностранной Литературы, 1953, -409с.

39. Абрамович В. Числа Бернулли// Квант, 1974, № 6, с. 10−14.73. стечкин С.б.о средних значениях модуля тригонометрический суммы// Труды МИАН им. В. А. Стеклова АН СССР, 1975, Т.134, с.283−309.

40. Tatuzava Т. On the Waring problem in an algebraic number field// Jour. Math. Soc. Japan, 1958, 10,№ 3,pp.322−341.79. korner O. Uber Mittelwerte trigonometrischen Zahlkorpern// Math. Ann., 1962, 147, pp.205−209.

41. Eda Y. On the meanvalue problem in an algebraic number field// Jap. J. Math., 1967, 36, pp. 5−21.

42. Рахмонов З. Х., Мирзоабдугафуров К. И. Об оценках коротких тригонометрических сумм Г. Вейля// ДАН РТ, 2008, Т.51,№ 1, с.5−15.

43. Рахмонов З. Х., Мирзоабдугафуров К. И. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми// ДАН РТ, 2008, Т.51,№ 2, с.83−86.

44. Мирзоабдугафуров К. И. О среднем значении коротких сумм Вей-ля.// ДАН РТ, 2008, Т.51,№ 4, с. 245−247.