Классификация некоторых коизотропных действий алгебраических групп

0.1 Коизотропные гамильтоновы действия и слабо коммутативные однородные пространства.

Диссертация посвящена классификации двух классов действий алгебраических групп на симплектических многообразиях, которые мы опишем ниже в этом пункте.

Основным полем является поле С комплексных чисел. Пусть G — связная алгебраическая группа, а X — гладкое неприводимое алгебраическое многообразие. Говоря, что многообразие X симплектическое, мы имеем в виду, что на X задана регулярная симплектическая 2-форма. Напомним, что 2-форма ш на X называется симплектической, если она замкнута, т. е. duj = 0, и невырождена в каждой точке многообразия X. В этой работе для нас будут важны два класса симплектических многообразий: векторные пространства с постоянной симплектической формой и кокасательные расслоения.

Определение 0.1.1. Пусть G регулярно действует на X симплектомор-физмами, т. е. преобразованиями, сохраняющими симплектическую форму. Действие называется коизотропным, если орбита общего положения является коизотропным подмногообразием в X.

Напомним, что подпространство U в симплектическом векторном пространстве V называется коизотропным, если оно содержит свое косоорто-гональное дополнение, т. е. подпространство.

Ul := {v 6 Vu){v, u) = 0, Vw 6 f/}, где через ш обозначена постоянная симплектическая форма на V. Подмногообразие Y в симплектическом многообразии X называется коизотропным, если для любой точки у Е Y касательное пространство TyY является коизотропным подпространством в симплектическом векторном пространстве ТУХ.

Оба класса интересующих нас действий удовлетворяют одному ограничению: они гамильтоновы.

Определение 0.1.2. Действие связной группы (7 на X симплектомор-физмами называется гамильтоновым, если задано линейное отображение? #? из касательной алгебры д группы (7 в алгебру С[Х] регулярных функций на X, которое обладает следующими двумя свойствами:

1) Н^ = {#?, где {•, •} - скобка Пуассона на X, определяемая бивектором, обратным к симплектической форме.

2) Вектор скорости элемента? совпадает с косым градиентом функции Щ.

Симплектическое многообразие X с заданным на нем гамильтоновым действием группы (7 мы называем гамильтоновым (^-многообразием.

Отображение '¦ X -> д*, заданное формулой ьхех. (0.1) называется отображением моментов гамильтонова (^-многообразия X.

Точные определения скобки Пуассона и косого градиента будут даны в пункте 1.1.

Отметим, что определения гамильтонова действия можно ввести не только для действий алгебраических групп на алгебраических многообразиях, но и для действий групп Ли на гладких вещественных многообразиях. Для этого алгебра регулярных функций заменяется на алгебру гладких функций.

Поскольку действие группы (7 на поле С (Х) сохраняет скобку Пуассона, то для двух рациональных (^-инвариантов /, д их скобка {/, д} также будет (2-инвариантна. Таким образом, имеем индуцированную скобку на поле рациональных инвариантов С (Х)с. Стандартным результатом (см. следствие 1.2.2) является следующая алгебраическая характеризация ко-изотропных гамильтоновых действий: действие (7: X коизотропно тогда и только тогда, когда пуассоново поле С (Х)с коммутативно, иными словами, {/, д} = 0 для любых элементов /, д Е С (Х)с.

Интерес к коизотропным гамильтоновым действиям объясняется с одной стороны тем, что они являются самыми «маленькими», а стало быть, наиболее поддающимися изучению, гамильтоновыми действиями. С другой стороны, они обладают многими замечательными свойствами. Так, например, в препринте [41] показано, что любая инвариантная гамильтонова система на коизотропном гамильтоновом (7-многообразии X интегрируема в классе интегралов Нётер. Именно, пусть размерность многообразия X равна 2п. Гамильтонова система на X с (^-инвариантным гамильтонианом Н называется интегрируемой в классе интегралов Нётер, если найдется п первых интегралов, т. е. коммутирующих между собой и с Н (относительно скобки Пуассона) алгебраически независимых функций 5 на X, каждый из которых является полиномиальной комбинацией функций Я^. Поскольку во многих случаях функции Hc можно указать явно, см., например, примеры 1.1.3,1.1.4, то для интегрируемой в смысле Нётер инвариантной гамильтоновой системы мы можем, по крайней мере теоретически, построить наборы первых интегралов.

Ещё одно замечательное свойство, не доказанное ещё в полной общности, но проверенное для многих частных случаев, состоит в том, что при квантовании коизотропного гамильтонова действия G: X (7-инварианты продолжают коммутировать. Объясним, что понимается под квантованием. Во многих случаях с пуассоновой алгеброй С[Х] можно связать некоторую ассоциативную алгебру «близкую» к С[Х]. Если X является симплектическим векторным пространством, то в качестве такой алгебры обычно берется алгебра Вейля пространства X, т. е. фактор тензорной алгебры пространства X по соотношениям вида ху — ух = и>(х, у), где через и обозначается симплектическая форма на X. Если же X — кокасательное расслоение, скажем, многообразия Y, то в качестве ассоциативной алгебры берется алгебра D (Y) регулярных дифференциальных операторов на Y.

Опишем теперь, какие классы гамильтоновых действий мы будем исследовать.

Первый класс гамильтоновых действий, который нас интересует — это действия редуктивных групп на гладких аффинных многообразиях. Основной для нас пример здесь — линейные симплектические действия: многообразие является симплектическим векторным пространством, а действие группы задается посредством гомоморфизма в полную симплектическую линейную группу. Явный вид отображения моментов приведен в примере 1.1.4.

Второй класс гамильтоновых действий, который мы будем рассматривать, это коизотропные действия на кокасательных расслоениях (симплектическая форма и отображение моментов для кокасательного расслоения описаны ниже в примере 1.1.3). В связи с этим нам будет удобно ввести следующее.

Определение 0.1.3. Пусть G — алгебраическая группа, X — гладкое неприводимое G-многообразие. Мы говорим, что G-многообразие X является слабо коммутативным, если гамильтоново действие G на Т*Х коизо-тропно.

Нас интересуют слабо коммутативные однородные пространства G/H, где подгруппа H редуктивна. Мы даем полную классификацию слабо коммутативных однородных пространств такого вида при некоторых ограничениях технического характера. Эти ограничения будут описаны в следующем пункте.

Теперь объясним почему многообразия называются слабо коммутативными. Как мы упомянули выше, коизотропность действия (7: Т*Х эквивалентна коммутативности поля С (Т*Х)° относительно скобки Пуассона, стало быть, влечет коммутативность скобки Пуассона на алгебре С[Т*Х}С. Обратное неверно. Причина состоит в том, что поле частных последней алгебры может быть значительно меньше поля С (Т*Х)с, соответствующий пример будет приведен в пункте 1.3.

Квантовым аналогом пуассоновой алгебры С[Т*X] является алгебра (алгебраических) дифференциальных операторов на X, которую мы обозначим через Т>{Х). Отметим, что группа (2 естественным образом действует на Т>(Х) автоморфизмами, поэтому можем рассмотреть алгебру (З-инва-риантных дифференциальных операторов Т>(Х)С.

Определение 0.1.4. (^-многообразие X называется коммутативным, если алгебра Т)(Х)° коммутативна.

Недостатком предыдущего определения, опять же, является то, что инвариантных дифференциальных операторов может быть слишком мало. Правильным требованием, вероятно, должно являться коммутативность подтела инвариантов в подходящем варианте тела частных алгебры Т>(Х).

В завершении пункта мы сделаем краткий обзор ранее полученных результатов, относящихся к теме диссертации.

Первой работой, посвященной коизотропным гамильтоновым действиям является статья Гийемина и Стернберга [25]. В ней рассматривались ко-изотропные действия компактных групп на вещественных многообразиях.

Классификация слабо коммутативных линейных действий редуктивных групп дана в [26],[21],[33]. Одновременно с автором классификация ко-изотропных линейных действий общего вида была получена Кнопом, [30]. Подход, примененный в той работе, отличен от нашего.

Среди слабо коммутативных однородных пространств наиболее интенсивному изучению подвергались однородные пространства редуктивных групп. Как показал Кноп в [27], многообразие с действием редуктивной группы слабо коммутативно тогда и только тогда, когда оно сферическое.

Определение 0.1.5. Пусть С? — связная редуктивная алгебраическая группа. Неприводимое нормальное алгебраическое (^-многообразие X называется сферическим, если борелевская подгруппа группы (? имеет открытую орбиту в X.

Сферические однородные пространства с редуктивным стабилизатором были классифицированы в работах [32] (для простой группы (7),[23], [14] (в общем случае). Классификация последних двух работ была, формально, неполной. Она завершена в [42]. Классификация сферических однородных пространств общего вида является, по-видимому, очень сложной задачей, 7 в настоящий момент она проведена лишь для групп специального вида. Подход к классификации принадлежит Луне, [36]. В той же работе проведена классификация сферических однородных пространств для групп? типа А, т. е. для таких групп, все простые идеалы касательной алгебры которых являются специальными линейными алгебрами Ли.

Второй класс слабо коммутативных однородных пространств, который изучался достаточно интенсивно — это однородные пространства вещественных групп Ли с компактным стабилизатором (определения слабой коммутативности и коммутативности, данные выше, переносятся на этот случай с понятными модификациями). Геометрически, условие компактности стабилизатора означает наличие инвариантной римановой метрики. Обзор замечательных свойств слабо коммутативных однородных римано-вых пространств см. в [4],[42]. Упомянем лишь, что такие однородные пространства являются коммутативными, см. [17]. Классификация слабо коммутативных однородных пространств с компактным стабилизатором в частном случае была проведена в [5], а в общем — в [42].

Следующие три пункта посвящены формулировке результатов диссертации.

0.2 Структура аффинных гамильтоновых действий.

Первый из наших основных результатов касается структуры аффинного гамильтонова^{-многообразия} для редуктивной группы (7 на подходящем открытом подмножестве.

Именно, пусть С? — связная редуктивная алгебраическая группа, а Xсимплектическое гладкое аффинное алгебраическое многообразие, на котором группа (7 действует гамильтоново. Для формулировки основного результата нам потребуется напомнить некоторые понятия из теории алгебраических групп преобразований.

Определение 0.2.1. Пусть (7 — произвольная алгебраическая группа, действующая на неприводимом алгебраическом многообразии X. Стабилизатором общего положения (сокращенно с.о.п.) для действия С?: X называется подгруппа (?о С для которой найдется открытое подмножество Х° С X, стабилизаторы всех точек которого сопряжены с (?о в б. Касательную алгебру стабилизатора общего положения мы называем стабильной подалгеброй общего положения (сокращенно, с.п.о.п.).

Из определения видно, что стабилизатор общего положения (если существует) определен однозначно с точностью до сопряжения.

Обозначим через морфизм категорной факторизации X —> Х//0 для действия (7: X. Напомним (см. [6], теорема 7.12), что (для произвольного неприводимого аффинного (7-многообразия X) существует открытое 8 подмножество Z С X//G, для всех точек? которого замкнутая орбита в слое 7Tq^x (z) совпадает с однородным пространством G/C, где подгруппа С С G определена однозначно с точностью до сопряжения в G.

Определение 0.2.2. Подгруппа С из предыдущего абзаца (автоматически редуктивная) называется главной изотропной подгруппой для действия.

G:X.

Нам потребуется ещё одна подгруппа в G, связанная уже со структурой гамильтонова действия G: X.

Определение 0.2.3. Главным централизатором гамильтонова G-много-образия X называется централизатор в G элемента? 0 для точки х? X общего положения (здесь, как обычно, нижний индекс s обозначает полупростую часть).

Отметим, что главный централизатор совпадает с главной изотропной подгруппой для действия G: im/i^x, а потому существует и определен однозначно с точностью до сопряжения в G. Заметим, наконец, что главный централизатор является подгруппой Леви в G.

Далее, нам понадобятся два численных инварианта гамильтонова многообразия. Напомним, что рангом (соотв. дефектом) кососимметриче-ской билинейной формы и на конечномерном векторном пространстве V называется число dim У — dimkero- (соотв. dimkerw).

Определение 0.2.4. Пусть G — произвольная связная алгебраическая группа, и X — неприводимое гамильтоново G-многообразие с симплектической формой си. Корангом (соотв. дефектом) гамильтонова G-многообразия X (обозначаются согкс (Х), defer (X), соответственно) называется ранг ограничения формы и на пространство (соотв. дефект ограничения и на 0*х), где х Е X — точка общего положения. Здесь и далее верхний индекс z обозначает косоортогональное дополнение относительно симлектической формы.

Отметим, что гамильтоново многообразие коизотропно тогда и только тогда, когда его коранг равен 0.

Теперь мы готовы сформулировать основной результат, который будет описывать с.о.п., главную изотропную подгруппу, выражать дефект и коранг в их терминах, а также устанавливать некоторые теоретико-инвариантные свойства гамильтонова G-многообразия X. Некоторые части этой теоремы были доказаны в [11].

Теорема 0.2.5. Пусть G — связная редуктивная алгебраическая группа, X — неприводимое аффинное алгебраическое гамильтоново G-многообра-зие. Мы обозначаем через Go стабилизатор общего положения, через Lq главную изотропную подгруппу, и через L главный централизатор для действия G: X. Имеют место следующие утверждения. 9.

1) Подгруппа LqCG сопряжена подгруппе в L, содержащей (L, L).

2) Найдется разложение Lq = Lq X Sp (2mi) х. х Sp (2mfc), для которого подгруппа G^ сопряжена с подгруппой Lq х Sp (2mi — 1) х. X — 1) (здесь и далее через Sp (2m—1) обозначается стабилизатор ненулевого вектора для тавтологического представления группы Sp (2m)).

3) Общий слой морфизма факторизации ttg, x ' X X//G содержит плотную G-орбиту.

4) Следующие условия эквивалентны: a) Общая орбита группы G замкнута в X (стабильность действия G: X). b) Подгруппа Go редуктивна. c) Подмножество полупростых элементов в {тцс, х плотно (сим-плектическая стабильность действия G: Xтермин принадлежит Э.Б. Винбергу).

5) Имеют место равенства deiG (X) = vkG-rkL0, corkG (X) = dim X — dim G — rk G + dim G0 + rk L0 dimX — dimG — ikG + dimC0 + vk (G°0, G°0) + dim Z (G°0).

Поясним последнее равенство. Поскольку группа Go не редуктивна, то rk (G?o, Gro) + dimZ (Go) ф rkC? o (напомним, что под рангом произвольной произвольной алгебраической группы понимается максимальная размерность подгруппы, изоморфной тору, в этой группе). Например, в случае G°q = Sp (2n — 1) мы имеем rk (G$, = rkG^ = n — 1, dimZ (G°0) = 1.

Отметим, что пункт 5 теоремы позволяет проверять коизотропность многообразия, зная с.о.п. (или только с.п.о.п.).

0.3 Классификация коизотропных симплектических линейных действий.

На данном пункте G — связная редуктивная алгебраическая группа, Vсимплектическое векторное пространство, на котором G действует линейными симплектоморфизмами. Этот пункт посвящен изложению результатов классификации коизотропных действий G: V, полученных в [11].

Если G — подгруппа группы Sp (V), то будем говорить, что линейная группа G коизотропна, если действие G: V коизотропно. В этом же смысле мы употребляем термины «коизотропное представление, коизотропная линейная алгебра Ли» .

Из предложения 2.3.2 будет следовать, что симплектические прямые слагаемые коизотропного представления также являются коизотропными. Поэтому первым шагом к классификации всех коизотропных представлений является классификация неприводимых. Следующая теорема, которую мы докажем в пункте 3.1, классифицирует неприводимые коизотропные представления.

Теорема 0.3.1. Все неприводимые коизотропные линейные группы (7 приведены в таблице 0.1.

Таблица 0.1: Неприводимые коизотропные группы.

N С 00.

1 8р (2/) вр (21 — 1).

2 А^Ь (6) 5 Г (3)0 5 Г (3).

3 8рт (11) 51(5).

4 8рт (13) 51(3) ф 51(3).

5 Ап^р (б) 5 Г (3).

6 8рт±-(12) 51(6).

7 е7 ее.

8 53 ЭЬ (2) 0.

9 Эр (2ш) 0 80(п) п ^ 2т: $о (п — 2т) х 1 (т) 2 т > п: лр (2т — п) х 1([п/2]).

10 8р (2т) 0 8рт (7) т = 1: 51(3) х 1(1) т = 2 :1(2) т = 3,4:0 т ^ 5: 5р (2т -'8).

И ЭЬ (2) 0 8рт (9) 51(3) X 1(1).

12 БЬ (2) 0 С2 аг х 1(1).

13 Эр (4) 0 0.

В таблице 0.1 приведена следующая информация: линейная группа (см. объяснение обозначений в пункте 0.7), с.п.о.п. до Для действия (7: V. При этом, в строках 9−13 полупростая часть алгебры до содержится во втором (ортогональном) множителе алгебры д в случаях (7 = Яр (2т) <8> БО (п), п > 2 т + 2, БЬ (2) 0 8рт (7), БЬ (2) 0 8рт (9), БЬ (2) 0 (?2, и совпадает со с.п.о.п. для действия этого множителя.

Из таблицы 0.1 следует, что у неприводимой коизотропной группы С количество простых множителей не превосходит 3 (и равно 3 для группы О = Бр (2т) 0 80(4) = 8р (2т) 0 БЬ (2) 0 8Ь (2) и только для неё).

Рассмотрим теперь случай, когда V = II ф £У* для некоторого (^-модуля и. Известно, см. теорему 3.2.1, что (7- модуль V коизотропен в том и только том случае, когда С/ является сферическим, см. определение 0.1.5. Известна классификация сферических С-модулей. Кроме того, известно как находить в этом случае стабильную подалгебру общего положения для V. Эти результаты приводятся в пункте 3.2.

Перейдем к изложению результатов классификации коизотропных представлений общего вида. Явное их описание заняло бы слишком много места, однако можно указать «базовые» коизотропные представления, из которых очень несложно получаются все остальные. Для того, чтобы сформулировать соответствующие результаты, нам потребуется некоторая терминология.

Симплектическую линейную группу мы будем называть разложимой, если она представляется в виде прямой суммы двух нетривиальных сим-плектических линейных групп. В противном случае группу будем называть неразложимой. Классификация всех коизотропных групп тривиально сводится к классификации неразложимых.

Приводимую линейную группу С С (или соответствующее представление) будем называть насьщенной (ым), если Zsp (y^(G) — Z (G) (т.е., если группа (7 имеет максимальный возможный центр при заданном коммутанте (С, (7)).

Для заданной приводимой линейной группы С С 8р (1/Г) всегда существует насыщенная симплектическая линейная группа С С Вр (1/), для которой (С, (?) С С С (?. Последняя определена однозначно с точностью до сопряженности в Zsp (v)(G). Линейную группу С будем называть насыщением группы (3. Отметим, что если насыщение С группы (7 неразложимо, то и сама группа О неразложима, в то время, как обратное неверно. Классификацию коизотропных групп можно свести к классификации насыщенных коизотропных групп вместе с нахождением стабильных подалгебр общего положения для последних.

Предложение 0.3.2. Пусть й — связная редуктивная подгруппа в 8р (1/Г), С — её насыщение, и Iо — стабильная подалгебра общего положения для действия С: V. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Действие С: V коизотропно.

2) Действие С?: V коизотропно, и д + [0 = 0.

Следующее утверждение позволяет ограничиться ещё более узким классом коизотропных групп. Пусть (7 = 8Ь (2) х БЬ (2) X Со — редуктивная алгебраическая группа и р — коизотропное локально эффективное симплектиче-ское представление группы С. Рассмотрим подгруппу С = БЬ (2) х Со С (?, где множитель БЬ (2) вложен в БЬ (2) х БЬ (2) С й диагонально. Представления вида рд будем называть А-склеенными, а все оставшиеся — Ai-не-склеенными. Аналогичную терминологию будем применять и к линейным симплектическим группам и т. д. Следующее предложение сводит классификацию всех коизотропных действий к классификации Лгнесклеенных.

Предложение 0.3.3. Пусть Gq, G, G и р таковы, как в предыдущем обсуждении. Пусть io — с.п.о.п для представления р. Тогда io П до является с.п.о.п для представленияра, а коизотропностъ представления ра эквивалентна равенству codim^ lo П до = 2.

Насыщенные Ai-несклеенные неразложимые коизотропные представления (линейные группы, модули) мы будем называть базовыми. Классификация всех базовых коизотропных модулей дается следующей теоремой.

Теорема 0.3.4. Пусть G — базовая коизотропная линейная симплектиче-ская группа. Тогда выполняется в точности одна из приведенных ниже трех возможностей:

1) Линейная группа G неприводима и содержится в таблице 0.1.

2) G-модуль V имеет вид V = U ф U*, где U — G-модулъ, приведенный в таблицах 3.2,3.3.

3) Линейная группа G приведена в таблице 0.2.

Ненасыщенные коизотропные группы, насыщение которых является одной из групп таблицы 0.2, — это в точности линейные группы (G, G) под номерами 1,18,20 (последняя для т= 1). Стабильная подалгебра общего положения во всех трех случаях есть редуктивная подалгебра в i) коразмерности 1, при этом, в случае 20 её проекция на sl (2) нетривиальна.

Таблица 0.2: Базовые приводимые коизотропные группы.

N (G.G) So.

1 Л (тГЗ, 7Г1, 7Гб) (sl (2)es ((2))xt (l).

2 Cl (7Г1, 7Г1, 7Ti), / > 1 $p (2l — 3).

3 Сз^тгьтп) 0.

4 В2(Щ, Щ,7Г2) 0.

5 Dq (7Г5, 7Г1, 7Ti) *m.

6 Spin (12) st (2)(c)sl (2).

7 AJSp (6) 51(2).

8 (SL (2) ф SL (2)) SO (n), n > 4 so (n — 4).

N (С, С) 00.

9 Бр (2т) +8р (2т) йр (2т) ® 80(п), т > 1, п > 2 2 т> п: $р (2т — п — 1) 2 т ^ п: 50 (п — 2га).

10 вр (4) +8р (4) Бр (4) <8> 8рт (7) 0.

И (БЬ (2) е ЭЬ (2)) (8) 8рт (7) 0.

12 Эф)®- 80(11) +80(11) 8рт (11) 5((3).

13 8р (2т) ® 80(12) +8рш (12) Зрт±-(12), т = 1,2 т = 1: 51(4) х 1(1) т = 2: $ 1(2).

14 Эр (4) +8р (4) 80(5) ® 8р (2т) т = 1: 1(1) т > 1: зр (2т — 5).

15 ЭЬ (2) ® 80(7) +8Р}П (7) 8рт (7) ® вЬ (2).

16 вЬ (2) ® 80(8) +80(8) 8рт+(8) ® БЦ2) 51(2) х 1(2).

17 БЬ (2) ® 80(8) +80(8) 8рт+(8) ® вр (4) 0.

18 Л^Цб) +8Ц6) (БЦб) ® БЬ (2)Уутр1 1(1).

19 ЭЬ (2) ® 80(5) +80(5) 8р (4)5^ 0.

20 8р (2т) ® 80(6) +8Ц4) ЗЪ (4.уутр1 т = 1: 1(2) т = 2,3: 0 т ^ 4: $р (2т — 6).

21 $Ц2) ® БО (6) +SL (4) (ЭЬ (4) ® БЦ2) уУтР1 0.

22 БЦ2) ® 80(7) +80(7) § рт (7Уутр1 0.

23 8Ц2)®БО (8) +80(8) 8рт±-(8)^ 51(2) х 1(1).

24 БЦ2) ® 80(10) +80(ю) $рт±{10Уутр1 51(2).

Поясним использованные в таблице 0.2 обозначения. Выделение жирным шрифтом множителя 8Ь (2) означает, что проекция стабилизатора общего положения на этот множитель нетривиальна (в случае 16 проекция стабилизатора общего положения на нормальный делитель БЬ (2) х8Ь (2) С (7 двумерна). Выделение множителя вида Бр (2т) означает, что для т = 1 выполняется вышеозначенное.

Подход к классификации, который мы применяем, базируется непосредственно на теореме 0.2.5 для неприводимых модулей, и на предложении 2.3.2 для приводимых. Он является усовершенствованием подхода, примененного в работе [И]. Независимо классификация была осуществлена Ф. Кнопом в [30]. Она использует теорию, развитую в [31].

0.4 Классификация слабо коммутативных однородных пространств с редуктивным стабилизатором.

Здесь (7 — связная алгебраическая группа, а Я — её алгебраическая подгруппа. Общая задача состоит в классификации всех слабо коммутативных однородных пространств вида (2/Я, где подгруппа Я редуктивна.

Впрочем, мы накладываем некоторые технические ограничения на С, Я.

Отметим, во-первых, что слабая коммутативность пространства (7/Я зависит лишь от пары (д, I)), см. следствие 1.3.2. Мы говорим, что пара (0,1)), состоящая из алгебраической алгебры Ли д и её алгебраической подалгебры I) слабо коммутативна, если однородное пространство С/Я, где касательные алгебры групп С, Я суть д, [), таково. Аналогично, коммутативность однородного пространства С/Я также зависит только от пары (д, I}) (лемма 1.3.7), что дает нам возможность говорить о коммутативной паре (д, Г)).

Отметим, что если подгруппа Я редуктивна, то существует разложение Леви С = ь X n, где группа ь редуктивна, а группа n унипотентна, для которого Я С Ь. Мы говорим, что тройка (п, I, ()) соответствующих алгебр Ли слабо коммутативна (коммутативна), если пара (п XI [, ()) такова.

Теперь обсудим накладываемые ограничения технического плана. Во-первых, мы вводим довольно типичное для теории инвариантов ограничение: именно, мы требуем, чтобы [-модуль п/[п, п] был неприводим. Множество слабо коммутативных однородных пространств без ограничений на структуру модуля п/[п, п] кажется совершенно необозримым. Второе условие, которое мы накладываем: [п, п] ф {0}. Опять же, слабо коммутативных пространств, удовлетворяющих первому условию, но не удовлетворяющих второму, оказывается довольно много, и дать их описание представляется проблематичным.

Классификацию мы проводим в два этапа. Именно, слабая коммутативность тройки (п, I, [)) влечет слабую коммутативность тройки (п, I, I). Это следует, например, из предложения 5.5.8. Поэтому на первом этапе мы описываем слабо коммутативные тройки вида (п, I, I), а потом находим подалгебры I) С [, для которых тройка (п, [, [)) остается слабо коммутативной.

Сейчас мы изложим результаты классификации слабо коммутативных троек вида (п, I, [) (для которых (-модуль п/[п, п] неприводим, и [п, п] ф {0}). При этом мы можем ограничиться случаем, когда представление алгебры I в п эффективно. Отметим также, что если п — коммутативная алгебра, то тройка (п, I, I) автоматически слабо коммутативна.

В случае, когда группа n имеет ступень нильпотентности 2, мы называем соответствующую тройку (п, [, [) тройкой гейзенбергова типа. В этом случае через 3 мы обозначаем [-модуль [п, п]. Через 0 мы обозначим некоторый [-подмодуль в п, дополняющий 3. Согласно нашим соглашениям, [-модуль о неприводим, и 3 ф {0}. Операция коммутирования в алгебре п задается произвольным отображением из Д2 О на 3. Алгебра [ будет действовать на получившейся алгебре дифференцированиями в том и только том случае, когда это отображение Д и 3 является [-эквивариантным.

Сформулируем теперь основную классификационную теорему.

Теорема 0.4.1. Пусть п, 0,3, [ таковы, как описано выше. В пунктах 1−4 алгебра I предполагается полупростой.

1) Если dim3 = 1, то тройка (п, [, [) слабо коммутативна в том и только в том случае, когда n = fjeis (V), где V — коизотропный сим-плектический [-модуль.

2) Неприводимые слабо коммутативные тройки (n, I, I) гейзенбергова типа с неприводимым (соотв. с приводимым) [-модулем dim} > 1, перечислены в таблице 0.3 (соотв. таблице 0.4).

3) Существует ровно 2 слабо коммутативных тройки (n, i, I) со ступенью нильпотентности алгебры п большей 2. Для них ступень нильпотентности алгебры п равна 3 или 4¦ Тройка (п, I, I), для которой ступень нильпотентности равна 4 получается следующим образом: i = si (2), n = ф$=1 Щ, где rii, П3 суть двумерные sl (2)-модули, а П2, гц = 3(п) — одномерные. При этом, для произвольных х, у Е щ, и 6 Пз и некоторых ненулевых элементов z? П2, г> Е П4 выполняются соотношения коммутирования [х, у] = det (x, y) z,[x, z = ф (х), где ф есть в[(2)-эквивариантный изоморфизм из ti в П3, [х, и] = det (x, u) v. Тройка, для которой ступень нильпотентности алгебры п равна 3, есть (n/ri4, [, i).

4) Всякая слабо коммутативная тройка (n, i, I), для которой [-модуль п/[п, п] неприводим, коммутативна.

5) Если алгебра i не полупроста, то слабая коммутативность троек (п, I) и (п, [[, I], [I, I]) эквивалентна.

Таблица 0.3: Неприводимые слабо коммутативные тройки (п, [, I) с неприводимым I-модулем з, dimз > 1.

N 1 0 г.

1 so (n), n > 2, п ф 4 УЫ УЫ.

2 с2 V (tti) УЫ.

3 spin (7) УЫ УЫ.

4 «[(7) УЫ УЫ.

5 $[(п) х во{т), тф 2 Vfa) ® Vfri) УЫ.

6 so (13) УЫ УЫ.

7 50(14) УЫ) УЫ.

8 sp (2n), п > 1 УЫ УЫ.

9 sl (n) X 5pin (7), n четно, или n = 3,5 V (m) <8> V (TT'3) УЫ.

N I 0 3.

10 5(п) хС2) п = 3,4 УЫ) <8> У (тг" ^(тг2).

И 51(3) х 5рт (9) УЫ) <8> К") ^(тг2).

12 5р (4) х 5о (п), п > 2 У (щ) ® УЫх) УМ.

13 5р (4) х 5рт (7) УЫ) ® УМ) УЫ).

14 5р (2т) х 5р (2п), т ^ 2 У (7Г1)0У (7Т'1) У (2п).

15 51(5) X 51(2) У (1г2) <8> У{7Гх) УЫ).

16 5((п) х 5р (2т), п > 2 У (7П) <8> У{ У (2тп).

17 5рт (9) х 51(2) УЫ)®У (А) у (тп).

18 5рт (10) х 51(2) 7(тг4) (8) 7(7^) к (тп).

Таблица 0.4: Неприводимые слабо коммутативные тройки (п, I, I) с приводимым [-модулем з.

N [ 0 г.

1 5рт (13) УЫ) ^(тп)еу (о).

2 5р (2п), п > 1 УЫ) УЫ) Ф ^(0).

3 бр (4) х 5о (п), п > 2 УЫ) ® У (7Г1) УЫ) ® ^(о).

4 5р (4) х 5рт (7) УЫ) ® Ж) УЫ) ф ^(о).

5 5рт (9) х 51(2) ^(тг4) (8) К (ТГ1) УЫ) Ф У (0).

6 51(2) X 51(2) ^(7Гх) (8> УЫх) У (2щ) 9 У (2тт{).

Здесь 7ггобозначают фундаментальные веса первой алгебры, а — второй.

Замечание 0.4.2. Отметим, что во всех перечисленных в таблицах случаях спектр модуля з прост, и кратность каждого неприводимого подмодуля 1-м о дуля з в Д20 равна 1. Отсюда несложно следует, что структура алгебры Ли на д определяется по о и з однозначно с точностью до изоморфизма.

Теперь мы перейдем к рассмотрению случая (ф (). Соответствующие результаты опубликованы в [13]. Из следствия 1.3.4 следует, что) является сферической подалгеброй в I (по определению, это означает, что соответствующее однородное пространство Ь/Н сферическое).

Все слабо коммутативные тройки (п, I, [)), где ступень нильпотентности алгебры п больше 2, несложно получаются из троек пункта 4, см. следствие 5.5.4. Ниже в этом пункте мы полагаем, что ступень нильпотентности алгебры п равна 2. Обозначения в, з имеют тот же смысл, что и выше.

Для изложения наших результатов нам потребуется несколько определений.

Определение 0.4.3. Пусть ri — нилыготентная алгебра Ли, I — редуктив-ная алгебра Ли, которая представляется в п дифференцированиями, f) -редуктивная подалгебра в I. Тройку (n, I, f)) мы назовем неразложимой, если не существует разложения I = I1 ф I2 в прямую сумму идеалов, для которого = (I1 П f)) $ (l2 fil)), al2 представляется в п тривиально. Неразложимую тройку (n, i1,^1) мы называем главной частью тройки (n, I, f)), если [ = l1 х [2, где [2 представляется в I тривиально, и) = f)1 х f)2, где 1) г С 1 г = 1,2.

Определение 0.4.4. Тройку (n, [, f)) мы назовем насыщенной, если dim3([) = 1, з (1) представляется в n нетривиально, и ri[(i)) = f).

С данной неразложимой тройкой (n, [, fj), где ступень нильпотентности алгебры равна 2, а) — сферическая подалгебра в J^ можно связать естественную насыщенную тройку. Именно, положим i := i, если з (1) ф {0}, иначе [ := I х t (l), где элемент х Е t (l) представляется в D умножением на 1, а в з — умножением на 2. Далее, положим i) = rt^(ij). Тройку (n, 1, I)) мы называем насыщением тройки (n, I, I}). Можно показать (это следует из следствия 1.2.3 и предложения 5.5.8), что если тройка (n, I, f)) слабо коммутативна, то и тройка (n, i, i)) такова.

Определение 0.4.5. Пусть fo — редуктивная алгебра Ли, f) o — её редуктивная подалгебра, anнильпотентная алгебра Ли, в которой представляется дифференцированиями алгебра lo xst (2). Положим [ = [q X5I (2) xsp (2n), f) = f) o x $ 1(2) x sp (2n — 2), где идеал st (2) алгебры f) вложен диагонально в sl (2) x sp (2n). Мы говорим, что тройка (n, I, i}) получена из тройки (n, (о x sl (2), f) o x sl (2)) s (2)-удвоением.

Теорема 0.4.6. (1) Насыщенные неразложимые слабо коммутативные тройки (n, I, I?) с f) ф I суть в точности тройки одной из следующих форм: a) (fyzs (C2m+2n), sp (2m+2n), sp (2m)x$p (2n)), (i)eis (C2n), 5p (2n)xsp (2n), sp (2n)). b) (n, i, Ij) получается однократным (соотв., двукратным)$ 1(2)-удвоением из тройки (f)eis (F), t (l) x li, t (l) x у, где li С sp (V) — линейная алгебра NN9−12 (соотв., N9) из таблицы 0.1 (имеющая, разумеется, один или два идеала изоморфных si (2)). c) (n, I, fj) получается однократным (соотв., двукратным) sl (2)-удвоением из троек вида (n, t (l) x li, t (l) x Ii), где (n, (i, li) — тройка NN5,15,16,18 (соотв. N5) из таблицы 0.3.

2) Ненасыщенные неразложимые слабо коммутативные тройки (n, 1,1)) cl) ф I суть в точности тройки одной из следующих форм (отметим, что пункты (b) и © частично перекрываются):

18 a) (п, [[, I], Р) П[1, (]), где (п, I, I)) — насыщенная неразложимая слабо коммутативная тройка с [1,1] С Ьb) (п, I1 х I2,11 х)2), где (п, I1,11) — тройка N15 из таблицы 0.3, а пара (I2,1)2), ?)2 ф I2 — сферическая. c) (п, I, где 1} [I, I], пара ([I, I], П [I, I]) сферическая, а насыщение тройки (п, {, ()) слабо коммутативно.

0.5 Содержание работы.

Здесь мы кратко опишем структуру работы. Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь разбиты на пункты. Теоремы, примеры, замечания и т. д. нумеруются в пределах пункта, а таблицы и уравненияв пределах главы.

Сразу после введения мы приводим соглашения, которые используются в работе и список наиболее часто встречающихся обозначений.

1. Е. М. Андреев, Э. Б. Винберг, А. Г. Элашвили. Орбиты наибольший размерности полупростых линейных групп Ли, Функц. анализ и его прил. 1 (1967), 1, 3−7.

2. Н. Бурбаки. Группы и алгебры Ли, главы 7−8, М.- Мир, 1978.

3. Э. Б. Винберг. Инвариантные линейные связности на однородном пространстве. Труды ММО 9(1960), 191−210.

4. Э. Б. Винберг. Коммутативные однородные пространства и коизо-тропные симплектические действия. УМН, т.56(2001), вып.1(337).

5. Э. Б. Винберг. Коммутативные однородные пространства гейзенбер-гова типа. Труды ММО, N64(2003).

6. Винберг Э. Б., Попов. B.JI. Теория инвариантов, в сер. Современные проблемы математики, фундаментальные направления. Т.55 Алгебраическая геометрия 4 М.: ВИНИТИ, 1989, с. 137−309.

7. Э. Б. Винберг, A.JI. Онищик. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М.: УРСС, 1995.

8. Е. Б. Дынкин. Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли. Мат. сборник (нов. сер.) т.30(1952), с. 349−462.

9. X. Крафт. Геометрические методы в теории инвариантов. М.:Мир, 1987, 312с.

10. С. Ленг. Алгебра. М., Мир, 1968.И. И. В. Лосев. Коизотропные представления редуктивных групп. Труды ММО, (66)2005, 156−183.

11. И. В. Лосев. О комплексных слабо коммутативных однородных пространствах. Труды ММО, 67(2006), с. 228−255.

12. И. В. Лосев. Классификация слабо коммутативных комплексных однородных пространств. УМН 62(2007), N2, с. 181−182.

13. И. В. Микитюк. Об интегрируемости инвариантных гамилътоновых систем с однородными конфигурационными пространствами. Мат. сборник, 129(1986), N4, с. 514−534.

14. A.JI. Онищик. Отношения включения между транзитивными компактными группами преобразований. Труды ММО, 11(1962), 199−242.

15. B.JI. Попов. Критерий стабильности действия полупростой группы на факториальном многообразии. Изв. АН СССР, сер. мат., 36(1970), N2.

16. Л. Г. Рыбников. Слабо коммутативные однородные пространства с редуктивным стабилизатором. УМН 59, вып.4, стр. 199−200.

17. А. Г. Элашвили. Канонический вид и стационарные подалгебры точек общего положения для простых линейных групп Ли. Функциональный анализ и его приложения, т.5, вып. 1, 1972, сс. 51−62.

18. А. Г. Элашвили. Стационарные подалгебры общего положения для неприводимых линейных групп Ли. Функциональный анализ и его приложения, т.5, вып. 2, 1972, с. 65−78.

19. О. С. Якимова. О слабо коммутативных однородных пространствах. УМН т.57(2002), вып. 3, с. 171−173.

20. С. Benson, G. Ratkliff, A classification of multiplicity free actions. J. Algebra, 181(1996), p. 152−186.

21. C. Benson, G.Ratkliff. Rationality of the generalized binomial coefficients for a multiplicity free action, J. of Australian Math. Society, ser. A, 68(2000), 387−410.

22. M. Brion. Classification des espaces homogenes spheriques. Compositio Math. 63(1987), 189−208.

23. V. Guillemin, Sh. Sternberg, Symplectic techniques in physics. Cambridge University Press, 1984.

24. V. Guillemin, Sh. Sternberg, Multiplicity-free spaces. J. Diff. Geometry, 19(1984), p. 31−56.

25. V. Kac, Some remarks on nilpotent orbits, J. Algebra 64 (1980), 190−213.

26. F. Knop. Weylgruppe und Momentabbildung. Invent. Math. 99(1990), p. 1−23.

27. F. Knop. Weyl groups of Hamiltonian manifolds, I. Preprint (1997). dg-ga/9 712 010.

28. F. Knop. Some remarks on multiplicity free spaces. Proc. NATO Adv. Study Inst, on Representation Theory and Algebraic Geometry (A. Broer, G. Sabidussi, eds.). Nato ASI Series C, v. 514, Dotrecht: Kluwer, 1998, p. 301−317.

29. F. Knop. Classification of multiplicity free symplectic representations. Preprint (2005), arXiv: math. SG/505 268.

30. F. Knop. Invariant functions on symplectic representations. Preprint (2005), arXivrmath. AG/506 171.

31. M. Kramer. Spharische Untergruppen in kompakten zusammenhangenden Liegruppen. Compos. Math. 38 (1979), 129−153.

32. A.S. Leahy. A classification of multiplicity free representations. J. Lie Theory, v.8(1998), p. 367−391.

33. P. Littelmann. Koregulare und aquidimensionale Darstellungen halbeinbacher Liegruppen. J. Algebra, v. 123(1989), N1, p. 193−222.

34. I.V. Losev. Algebraic Hamiltonian actions. Preprint (2006), arXiv: math. AG/601 023.

35. D. Luna. Varietes spheriques de type A. IHES Publ. Math., 94(2001), 161 226.

36. J. Marsden, A. Weinstein. Reduction of symplectic manifolds with symmetry. Rep. Math. Phys. 5, 121−130 (1974).

37. D.I. Panyushev. Inductive formulas for the index of seaweed Lie subalge-bras. Moscow Math. J. 1(2001), p. 221−243.

38. G. Schwarz. Representations of simple Lie groups with regular rings of invariants. Invent. Math., 49 (1978), pp. 167−191.

39. E.B. Vinberg. On stability of actions of reductive algebraic groups, in «Lie algebras, rings and related topics», Fong Yuen, A.A. Mikhalev, E. Zel-manov eds. Springer-Verlag, Hong Kong (2000), 188−202.

40. E.B. Vinberg, O.S. Yakimova. Complete families of commuting functions for coisotropic Hamiltonian actions. Preprint (2005), arXiv: math. SG/511 498.

41. O.S. Yakimova. Gelfand pairs. Bonner Mathematische Schriften, N.374. Bonn, 2005.

42. O.S. Yakimova. Principal Gelfand pairs. Transformation groups, 11(2006), N2, p. 305−335.