Аналитическая характеристика решений специальных дифференциальных систем второго ряда

Одним из главных предметов анализа является интегрирование дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных.

Теория аналитических функций с одной или более комплексными переменными, введенная Коши, Вейерштрассом и Риманом [40,75,79], применялась ими для изучения дифференциальных уравнений. Основной задачей теории обыкновенных дифференциальных уравнений является задача нахождения всех решений данного уравнения. Однако за исключением нескольких простых случаев интегрирование представляет трудность, и до настоящего времени решения многих дифференциальных уравнений не найдены. В связи с этим возникла необходимость изучения свойств интеграла непосредственно по виду дифференциального уравнения.

Проблемы аналитической теории дифференциальных уравнений значительно усложняются наличием в решениях особых точек, положение которых зависит от начальных условий. Вопрос о поведении решений в окрестности особых точек впервые был поставлен Врио и Буке [1,7,53−54], считавшими особыми такие точки, в которых нарушается хотя бы одно из условий теоремы Коши существования и единственности решения. В работе Фукса [73] особые точки решений дифференциальных уравнений разделены на два класса — неподвижные и подвижные. К подвижным особым точкам решения отнесены точки, конфигурация и характер которых меняются при переходе от одного частного решения к другому, т. е. зависят от начальных условий.

Классические исследования С. В. Ковалевской по теории движения твердого тела вокруг неподвижной точки [23 ] привели к постановке задачи об изыскании класса уравнений, интегралы которыхфункции однозначные.

Из работ Пенлеве [76−7в], Гамбье [64J, Гарнье [65,66], Бюро [бб], Шази [во] и других известно, что задача об отыскании необходимых и достаточных условий отсутствия подвижных критических особых точек у решений уравнений

R VC/', =0, (0.1) где R — рациональная функция относительно Х/, V*/' с аналитическими по Z коэффициентами, в общем случае до сих пор не решена.

Исследование уравнений первого порядка вида

Р =0} (0.2) где Р — многочлен относительно W', VK/ с аналитическими по В S Ъ коэффициентами, проводилась в работах Врио и Буке [54,72,77] .

Фукс [74] доказал теорему об отсутствии подвижных критических точек. Однако исследования Фукса не исключали возможности существования в решениях трансцендентных особенностей или точек неопределенности. Продолжая изучение свойств решений уравнений (0.2), Пенлеве [76 ] доказал теорему о том, что эти уравнения в решениях не содержат подвижных неалгебраических особенностей.

В работах Пенлеве, а затем Гамбье выделены классы уравнений вида з (0.3) где R — рациональная функция относительно Х/', VX/ с аналитическими по В коэффициентами, интегралы которых не содержат подвижных критических точек. Используя теорему Пуанкаре о разложении решений дифференциальных уравнений по степеням малого параметра, Пенлеве разработал метод (метод малого параметра

Пенлеве) отсеивания тех уравнений вида (0.3), которые заведомо имели неоднозначные подвижные особые точки, что дает возможность указать необходимые условия в поставленной задаче. Вторая часть задачи состоит в доказательстве отсутствия в вьщеленных уравнениях подвижных критических особых точек. Таким образом устанавливается достаточность.

В результате исследований было [64,78j выделено 50 различных классов уравнений (0.3), решения которых не содержат подвижных критических особых точекшесть из них приведены ниже: ty" • PI

W" = + P2

CvX/" =* ZM^-WV/^Uyy/1 + - P Ъ

1)+2^ +2?zx/2(tf/ + p 5

— 2? 1) 1) (2 Z vx^~i)2

P 6 где U, Jb, и S* - постоянные.

Интегрирование этих уравнений показало, что шесть из них (неприводимые уравнения Пенлеве) порождают, вообще говоря, новые трансцендентные функции (трансцендентные Пенлеве), решения остальных уравнений выражаются: а) либо через элементарные функции, б) либо через известные классические трансцендентные функции, в) либо через решения некоторых линейных уравнений, г) либо через решения вьщеленных шести уравнений.

На этом исследование считалось законченным. Позже Н.П.Еру-гин в работах jjE4-I6,I8j поставил ряд задач относительно свойств функций, определяемых выделенными шестью уравнениями Пенлеве.

Представление решений уравнений pi во всей области существования через отношение целых функций указано в [б, 17], для Р2 — в работах А. И. Яблонского [~44j, для остальных-в работах Н. А. Лукашевича [34J и других. Подробное исследование неприведен-ных уравнений Пенлеве проведено в работах [l0,II, 19,39,29,30,31, 44 47], в [10] дана подробная библиография.

В результате решений задач, поставленных Н. П. Еругиным, были найдены условия интегрируемости уравнений ЗР ~5Р в элементарных функциях при некоторых специальных значениях параметров, условия существования рациональных решений. Доказано, что 2Р-6Р имеют однопараметрическое семейство решений, выражающееся через классические трансцендентные функции. Для второго уравнения Пенлеве — это функция Эйри, для третьего, четвертого и пятого уравнений — соответственно функции Бесселя, Вебера-Эрмита, Уиттеке-ра [4з]. Шестое уравнение Пенлеве имеет однопараметрическое семейство решений, выражающихся через решения гипергеометрического уравнения [29,Зб].

Многие задачи естествознания, механики и математической физики в плане их теоретического обоснования связаны с дифференциальными уравнениями и системами различных порядков [4,5,13].

Теория уравнений Пенлеве находит применение в ряде прикладных вопросов (например, при исследовании диффузии электронов и ионов в нейтральном газе [б]).

Задача о синхронизации лампового генератора [4J поставила вопрос об исследовании одного вида систем с кубической нелинейностью справа: =au+Q>vи (иг+хгг) = си +clv- -v-(uz+ v*).

К системам такого типа приводят явления, наблюдаемые в биохимических процессах, гидрологии [2].

В работах Гарнье [ 67,68] исследуются системы вида где, R2 — рациональные однородные функции относительно U и V". Он показал, что выделенные им классы таких систем с неподвижными критическими точками интегрируются в конечном виде.

Исследование систем дифференциальных уравнений в новом направлении было проведено Н. П. Еругиным [*14,15,1б]. Им выделены классы систем вида й-к. fo Ч"). ^-fcfrf.o), <�°.В) где R, и — рациональные функции U и V" с аналитическими коэффициентами, которые не имеют подвижных существенно особых точек.

Им выделены также классы систем (0.5), не содержащих под-'вижных точек типа существенных и разработан метод исследования характера подвижных особых точек. Системы вида где R, и Rj — рациональные функции по U и с аналитическими по? коэффициентами, рассмотрены А. И. Яблонским [47].

В работах Н. А. Лукашевича [32 — 35^ были изучены системы дифференциальных уравнений вида где Р (<�£, Ц^") и Q U, 1>*) — полиномы по U и с аналитическими по 2 коэффициентами.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейностью второй степени и аналитическими коэффициентами по независимой переменной Z в случае отсутствия подвижных критических особых точек у ее решений была рассмотрена в работе [37] и затем в [61].

В [37] доказано, что общее решение таких систем выражается либо через элементарные функции, либо через функции-решения линейного уравнения, либо через эллиптические функции, либо через функции-решения первого, второго и четвертого неприводимых уравнений Пенлеве. В случае автономности квадратичной системы последняя интегрируется в элементарных или эллиптических функциях, если ее решения не имеют критических особых точек [~8j.

Рассматривая вопрос об интегрируемости системы второго порядка с полиномиальными правыми частями по W и ^ и аналитическими по В коэффициентами было установлено [34], что в случае отсутствия подвижных критических особых точек при нелинейности W эти системы возможно выписать в явном виде. Это же позже подтверждено в работе Бюро [57]. В работе [34J был приведен пример системы второго порядка с полиномиальной правой частью четвертой степени, которая интегрировалась в функциях-решениях шестого неприводимого уравнения Пенлеве, что позволило на основе [i] сделать вывод о том, что системы второго порядка с полиномиальными правыми частями степени Ш Ъ-Ц и аналитическими коэффициентами в случае отсутствия подвижных критических особых точек интегрируются либо в элементарных, либо в эллиптических функциях, либо в функциях-решениях линейного или одного из шести неприводимых уравнений Пенлеве.

Каждое из дифференциальных уравнений второго порядка можно заменить системой двух уравнений первого порядка, а также задачи, поставленные для одного уравнения второго порядка, естественно переносятся на систему. Для систем типа (О.б)прИ' достаточно общих предположениях относительно Р (2,11,17″) и также можно ставить задачи выделения систем, решения которых обладают наперед заданными свойствами.

Системы дифференциальных уравнений второго порядка с неподвижными критическими особыми точками исследовались в работах [24−28,67−70,47−52] и ряде других. Эта задача распространяется и на системы высших порядков [41,42].

Данная работа представляет собой исследование в области аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В ней рассматриваются системы дифференциальных уравнений второго порядка с коэффициентами аналитическими по Z. Ставится задача из множества систем рассматриваемых видов выделить те, решения которых не содержат подвижных критических особых точек, т. е. указать необходимые и достаточные условия отсутствия подвижных критических особых точек в решениях системы.

Работа состоит из трех глав и списка цитируемой литературы.

В первой главе изучается однородная система дифференциальных уравнений вида а0и' +a, uV+a2ttJ +avu^+asi>2 -о бр и’г+ g. u'iA & (Л fa* +, (0*7) где коэффициенты Gi, ,, ест, ь аналитические функции по переменной ^ .

Поставлена цель из всех систем вида (0.7) выделить те, решения которых не содержат подвижных критических точек.

С этой целью введением замены от рассмотрения системы (0.7) приходим к рассмотрению дифференциального уравнения вида д «+Яг few)*-' (г,*/) -О <5С> где, К-0,3, полиномы по степеням УУ, с коэффициентами аналитическими по z? .

Для уравнения) отдельно рассматриваются случаи

Jo (г)* О и л" («г) = о.

В первом случае, т. е. при

Л (г)* о уравнение) распадается на два самостоятельных уравнения: ao^vtfAQ^vx/) =0, (X) каждое из которых исследуется подробно (§ 2.1). Если то исследование приводит к трем возможным случаям:, 6.^0(5 2.2) — о (5 2.3) — а.(г) ?-0, B.(?Jо {§ 2.4).

Уравнение в случае отсутствия подвижных критических точек представляет собой: либо линейное, либо уравнение Риккати, либо одно из уравнений Врио и Буке вида х/'г = Ро (w-4), или

Таким образом, в работе найдены необходимые и достаточные условия отсутствия подвижных критических точек у решений уравнения ().

Полученные условия являются необходимыми для отсутствия подвижных критических точек в решениях однородной системы второго порядка (0.7).

В § 3 получены некоторые достаточные условия отсутствия подвижных критических точек однородной системы (0.7). При условии Go = 0, Qo, =0 (§ 3.1) для системы (0.7) найдены решения без подвижных критических особых точек. В ряде других частных случаев решение системы (0.7) проведено полностью (§ 3.2, случай П- § 3.5). В остальных случаях до конца провести интегрирование систем вида (0.7) затруднительно и достаточные условия представлены в веде сложных соотношений коэффициентов системы.

Во второй главе рассматривается система дифференциальных уравнений второго порядка с кубической нелинейностью.

Поскольку системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с полиномиальными правыми частями степени 1ЮЗ в общем виде с помощью аффинных невырожденных преобразований привести к виду, допускающему сведение данной системы к нелинейному уравнению второго порядка с рациональными коэффициентами по зависимой переменной, не представляется возможным, то в случае отсутствия у решений подвижных критических точек целесообразно воспользоваться некоторыми результатами, полученными в работе 32] и уточненными в [34]. С помощью аффинного преобразования, применяя метод малого параметра и налагая определенные условия на коэффициенты исходной системы (§ I), приходим к системе вида (0.8) где a,'(?) «^fe) (L'OTl/ ,) функции, аналитические по в области

Э cu, a?, , ft. некоторые постоянные. В силу ?32,34J: если система второго порядка с полиномиальными правыми частями по и U и аналитическими коэффициентами по независимой переменной в решениях не содержит подвижных критических особых точек, то она приводится к виду

0.9) где I,-и*!М (ie{l, 2} ,) полиномы по степеням W с аналитическими по }? коэффициентами.

В § I рассматриваются различные возможности относительно коэффициентов С (б и G? , определяющих кубическую нелинейность. Возможны: I. a€=0, а7*0 — 2) CU=Q7=0 — з) cva7 фо — 4) a€*o, a.

Применяя дважды аффинные преобразования, установлено, что система вида (0.8) при Об^О, G* О сводится к виду (0.8) в случае, G? * 0 .

Система, полученная из (0.8) в случае а^о, q? -о аффинным преобразованием у? = у. —^, U — Ц

3 Об о приводится к нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению где Afert), V&) f с wj — рациональные дроби.

Выделение из всего множества уравнений (0.10) классов без подвижных критических точек осуществляется на основе метода Пенлеве-Гамбье fI, с.426−477].

Показано (§ 1), что уравнение (0.10), а следовательно и исходная система всегда имеют решения с подвижными 1фитическими особыми точками.

Таким образом сужена область поиска решений систем вида (0.8) без подвижных критических точек.

В § 2 рассмотрены системы, полученные из (0.8) в случае a6-a7 —о и а6=о, а7*о Аналогично § I каждая из систем сводится к обыкновенному нелинейному уравнению типа (0.10), а затем для вьщеления классов без подвижных критических особых точек применяется метод Пенлеве-Гамбье ?l].

Доказано, что система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с кубической нелинейностью (0.8) в случае отсутствия в решениях подвижных критических точек интегрируется: а) либо в элементарных функциях, б) либо в эллиптических функциях, в) либо в функциях решениях некоторых линейных уравнений, г) либо в функциях-решениях первого, второго и четвертого неприводимых уравнений Пенлеве.

В третьей главе строится однопараметрический класс решений, представляющий собой общее решение нераспадающегося уравнения

0, (0.II) для которого выполняется теорема Фукса об отсутствии подвижных критических особых точек. Решения этого класса в общем случае выражаются через решения линейных уравнений класса Фукса, имеющих четыре регулярные особые точки.

В § I доказано следующее утверждение:

Теорема I. Все решения уравнения

W'^flg^^-MK-A} (0.12) являются одновременно решениями шестого неприводимого уравнения Пенлеве при $ = О .

В § 2 показано, что уравнение (0.12) в случае oL= 3 = 0, J^^^f имеет однопараметрическое семейство решений, которые с точностью до преобразований выражаются через решения уравнения Гаусса: если в (0.12), то это уравнение имеет однопараметрическое семейство решений, представляющее собой с точностью до преобразований общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка, которое является уравнением класса Фукса, имеющим четыре регулярные особые точки.

Таким образом, результаты, полученные для (0.12), верны для шестого неприводимого уравнения Пенлеве.

Следовательно, шестое уравнение Пенлеве имеет однопарамет-рическое семейство решений, выражающихся через решения гипергеометрического уравнения, а также уравнения класса Фукса с четырьмя регулярными особыми точками.

Следует отметить, что между дифференциальным уравнением (0.12), изучаемым в третьей главе работы, и уравнением (^z) из первой главы существует соответствие при определенном соотношении коэффициентов.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Получены необходимые и достаточные условия отсутствия подвижных критических точек в нелинейном дифференциальном уравнении первого порядка.

2. Получены необходимые, а для отдельных случаев и достаточные условия отсутствия подвижных критических точек в решениях однородной дифференциальной системы второго порядка.

3. Проведена классификация систем дифференциальных уравнений второго порядка с кубической нелинейностью в случае отсутствия в решениях подвижных критических точек.

4. Найдены необходимые и достаточные условия отсутствия подвижных критических точек для систем второго порядка с полиномиальными правыми частями третьей степени.

5. Вцделено нелинейное уравнение первого порядка специального вида, имеющее однопараметрическое семейство решений. Установлена связь между решениями вьщеленного уравнения и решениями шестого уравнения Пенлеве.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах и докладывались на I Гродненской областной конференции молодых ученых (1979), У Республиканской конференции математи

Гродненского государственного университета и Белорусского государственного университета, на Республиканском научном семинаре по обыкновенным дифференциальным уравнениям, на научном семинаре кафедры высшей математики Киевского института народного хозяйства. ков Белоруссии (1980), семинаре по дифференциальным уравнениям

I.I)

1. Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Харьков: ГНТИУ. 1939. — 717 с.

2. Альмухамедов М. И. Об условиях наличия особой точки «центр». В сб. Изв.физ.матем.об-ва. Казань, 1937, т.9, № 3, с.105−121.

3. Андреев А. Ф. Особые точки. Минск: Вышэйшая школа, 1979, -136 с.

4. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.-Л.: Физматгиз, 1959. 915 с.

5. Блго Э., Ингольд Д., Озеров В. Диффузия электронов и ионов в нейтральном газе. Сб. «Термоэмиссионное преобразование энергии», 2. М.: Атомиздат, 1965.

6. Голубев В. В. К теории уравнений Пенлеве. Матем.сб., 28, № 2, 1912.

7. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. — 436 с.

8. Горбузов В. Н. Системы со специальными аналитическими и качественными свойствами. Автореф.канд.дисс. — Минск: ЕГУ имени В. И. Ленина, 1981. — 15 с.

9. Громак В. И. Об однопараметрических семействах решений уравнений Пенлеве. Дифференц. уравнения, 1978, т.14, № 12, с.2131−2135.

10. Громак В. И., Лукашевич Н. А. Специальные классы решений уравнений Пенлеве. Дифференц. уравнения, 1982, т.18, № 3, с.419−428.

11. Громак В. И. О решениях второго уравнения Пенлеве. Дифференц. уравнения, 1982, т.28, № 5, с.753−762.

12. Добровольский В. А. Очерки о развитии аналитической теории дифференциальных уравнений. Киев: Вища школа, 1974. — 456 с.

13. Должанский Ш. В., Кляцкин В. И., Обухов A.M., Чусов М. А. Нелинейные системы гидродинамического типа. М.: Наука, 1974. -247 с.

14. Еругин Н. П. Аналитическая теория нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. ПММ, 1952, т.16, в.4. с.465−486.

15. Еругин Н. П. К аналитической теории нелинейных дифференциальных уравнений. Вестник ЛГУ, 1956, в.2, № 7, с.60−70,

16. Еругин Н. П. Аналитическая теория нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Труды института физики и математики АН БССР, в.2, 1957, с.235−248.

17. Еругин Н. П. К теории первого уравнения Пенлеве. Доклады АН БССР, 1958, т.2, № I, с.3−8.

18. Еругин Н. П. Аналитическая и проблемы вещественной теории дифференциальных уравнений, связанные с первым методом и методами аналитической теории. Дифференц. уравнения, 1967, т. З, № II, с.1822−1863.

19. Еругин Н. П. Теория подвижных особых точек уравнений второго порядка, I. Дифференц. уравнения, 1976, т.12, № 3, с.387−416- П. — Дифференц. уравнения, 1976, т.12, № 4, с.579−598.

20. Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1979. — 743 с.

21. Еругин Н. П. Проблема Римана. Минск: Наука и техника, 1982. — 336 с.

22. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1970. — 720 с.

23. Ковалевская С. В. Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки. Научные работы С. В. Ковалевской. Изд. АН СССР, 1948. с.153−244.

24. Кондратеня С. Г., Яблонский А. И. О подвижных особенностях систем двух дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1968, т.4, * 6, с.983−990.

25. Кондратеня С. Г. О подвижных особых точках решений некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1968, т.4, № 6, с.991−999.

26. Кондратеня С. Г., Яблонский А. И. Об особенностях решений некоторых систем дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1969, т.5, № 7, с.1321−1323.

27. Кондратеня С. Г., Яблонский А. И. Об особых точках решений систем дифференциальных уравнений второго порядка. Дифференц. уравнения, 1970, т.6, № II, с.1970;1975.

28. Кондратеня С. Г., Яблонский И. А. Условия существования решений с особыми начальными условиями нелинейных систем двух дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1973, т.9, № 10, е.1765−1773.

29. Лукашевич Н. А., Яблонский А. И. Об одном классе решений шестого уравнения Пенлеве. Дифференц. уравнения, 1967, т. З, F 3, с.520−523.

30. Лукашевич Н. А. К теории четвертого уравнения Пенлеве. -Дифференц.уравнения, 1967, т. З, № 5, с.771−789.

31. Лукашевич Н. А. К теории третьего уравнения Пенлеве. Дифференц. уравнения, 1967, т. З, № II, с.1913;1923.

32. Лукашевич Н. А. О функциях, определяемых одной системой дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1969, т.5, № 2, с.379−381.

33. Лукашевич Н. А. К теории уравнений Пенлеве. Дифференц. уравнения, 1970, т.6, № 3, с.425−430.

34. Лукашевич Н. А. Некоторые задачи аналитической теории дифференциальных уравнений. Автореф.докт.дисс., Киев: АНУССР, 197I. 16 с.

35. Лукашевич Н. А. Некоторые задачи аналитической теории дифференциальных уравнений. Дисе.. докт.физ.-мат.наук, — 274 с.

36. Лукашевич Н. А. К теории шестого уравнения Пенлеве. Дифферент уравнения, 1972, т.8, № 8, с.1404−1408.

37. Лукашевич Н. А., Мататов В. И. Системы второго порядка без подвижных критических особых точек. Дифференц. уравнения, 1973, т.9, № 3, с.449−455.

38. Лукашевич Н. А. Уравнения третьего порядка без подвижных критических точек (п.к.т.). Дифференц. уравнения, 1982, т.18, № 5, с.778−785.

39. Лукашевич Н. А. Элементарные решения некоторых уравнений Пенлеве. Дифференц. уравнения, 1965, т.1, № 6, с.731−735.

40. Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций.- М.: Наука, 1978. 416 с.

41. Мартынов И. П. 0 дифференциальных уравнениях без подвижных критических особых точек. Дифференц. уравнения, 1973, т.9, № 10, с.1780−1791.

42. Мартынов И. П. Необходимый признак отсутствия многозначных подвижных особых точек у решения дифференциального уравнения. Сборник научных статей (физико-математические науки).- Минск: Вышэйшая школа, 1974.

43. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа, чЛ.- Изд. 2-е. М.: ГИШ, 1963. — 344 с.

44. Яблонский А. И. Общее представление решений второго уравнения Пенлеве. Доклады АН БССР, 1958, т.2, № II.

45. Яблонский А. И. Аналитическая характеристика решений второго уравнения Пенлеве. Автореф, канд.дисс. — Минск, 1961.

46. Яблонский А. И. Дифференциальные уравнения с решениями без особых точек в конечной плоскости. Дифференц. уравнения, 1965, т.1, с.67−78.

47. Яблонский А. И. Об одной системе дифференциальных уравнений без подвижных особых точек. Дифференц. уравнения, 1966, т.2, № 6, с.752−762.

48. Яблонский А. И. Системы дифференциальных уравнений, критические особые точки которых неподвижны. Дифференц. уравнения, 1967, т. З, № 3, с.468−478.

49. Яблонский А. И. О подвижных особенностях систем дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1967, т. З, № 5, с.749−760.

50. Яблонский А. И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1970, т.6, № 10, с.1752−1760.

51. Яблонский А. И. Аналитические свойства решений системы дифференциальных уравнений. Дисс.. докт.физ.-матем.наук. — Минск, 1971. — 326 с.

52. Мячин В. Ф. О системе двух уравнений Врио и Буке. Вестник ЛГУ, сер.мат., мех. и астр., 1958, Ш 7. вып.2, с.88−102.

53. Briot С., Buguet Т. Recherches sur lea proprie tes des fonctions definier pas des eguations differentielles. J. Ecole Imp. Polytech, 1856, t.2I, pp 133−198.

54. Briot C., Bouguet T. Theopie des fonctions doublement periodigues et, en particulier, des fonctionst elliptigues. 1859, c. 88.

55. Bureau P.Y. C.R. t.257, H 6, 1963.

56. Bureau P.Y. Differential eguations with fixed critikal points. Annali di Mathematica pura ed applicaeta, serie IV, t. LXVI, 1964, pp I-II6.

57. Bureau F.Y. Systemes differentiels a points fixes. VII.1.s systemes differentiels polynomiaux stables. Bull.cl.sci. Acad.rou.Belg., I981, 67, N 7, p.512−528.

58. Bureau F.Y. Systemes differentiels a points critigues fixes. VII. Les systemes differentiels polynomiaux stadles. Bull.cl.sci. Acad.гор. Beld, 1981, 67, N 9, 512−528.

59. Bureau F.Y. Systemes differentiels a points fixes, VIII. Les systemes differentiels polynomiaux stables suite Bull, cl.sci. Acad.roy. Beld., 1981, V.67, N 10, p.637−665.

60. Bureau F.Y. Systemes differentiels a points critigues fixes.1. Les systemes differetiespolynomiaux stables (suite}. Bull.cl.sci. Acad.rou. Beld., 1981, V.67, N II, p.755−781.

61. Bureau F.Y. Systemes differentiels a points critigues fixes.X. Les systemes differentiels polunomiaux stables (suite). Bull.cl.sci. Acad.rou. Beld., 1981, vol.67, И 12, p.942−957.

62. Bureau F.Y. Systemes differentiels a points critigues fixes.XI. Les systemes differentiels polynomiaux stables (suite). Bull.cl.sci. Acad.roy. Belg., 1982, v.68, N 3, p.120−130.

63. Bureau F.Y. Systemes differentiels a points critigues fixes.XII. Les systemes differentiels polyndimiaux stables (suite). Bull.cl.sci. Acad.rou. Belg.1982, v.68, N 4, p.220−248.

64. Gambier B. Sur les e’guations dffifferentiellies du second ordre dont l’intedrale generale est uniforme. C.R. Acad.sci., Paris, t. I42, 1906, 266−269.

65. Gamier R. C.R. Acad.sc. Paris, 1916, v.162, p.939.

66. Gamier R. C, R. Acad.sc. Paris, 1916, v.163, p.118.

67. Gamier R. Sur des systemes differentielles du second ordre dont l’itegrale est uniforme.- C, R. Acad, sci., Paris, t.249, К 20, p. I982-I986, 1959.

68. Garnier R. Sur des systemes differentielles du second ordre dont j’integrale est uniforme. Ann.Scient. Ecole norm, super., I960, t.77, Ж 2, p.123−144.

69. Gsrnier R. Contribution a 1*etude des solution de l’egutions (v) de Painlere. C.R. Acad, sci., v.264, 1967, p.817−822, 861−862.

70. Garnier R. Contribution a 1"etude des solutions de l’egutons 4v) de Painleve. Yort.Math.pures et appl., 46, 1967, p.353−413.

71. Garnier R. Y.Math.pures et appe. 16, 1968, р. ЗбЗ a 413.

72. Fuchs L. Uber Differentialgleichungen, derer Integralefeste Verzweigungspunkte besitzen. Ges. Merke, t. II, c"355> I9II.

73. Fuchs L. Uber die V/erte, welche die Integrale iinerDifferentialgleichunden ester Ordnung in singulSren Punkten annehemen KSnen. Sitzung Sber. Akad., Berlin, 1886, pp.279−300.

74. Fuchs R. C.R. Acad. Sc. Paris, 1905, v.141, p.555.

75. Gauchy A. C.R., t.9, 10, II, 15. 23. 1839−1849. Oeuvres, t.4−7, 10, r.I.

76. Painleve P. Lecons sur la theorie analytigue des a Stochholm. 1896.

77. Painleve P. Lesons sur la theorie analytigue des egyations differentielles professes a Stockholm, 1895″ Hermann, Paris, 1897, p.589.

78. Painleve P. C.R. Acad. sc. Paris, 1906, v.143, p.IIII.

79. Riemann B. Gesammelte Werke, 2, p.379.

80. Chazy J. Acta Math., t34, I9II.

81. Прокашева В. А. 0 специальных решениях некоторых классов уравнений Пенлеве. У Республиканская конференция математиков Белоруссии (29−30 окт. 1980 года): Тез. докл., ч. П, Гродненский гос. ун-т. — Гродно: Минвуз БССР, 1980, с. 67.

82. Громак В. И., Прокашева В. А. Специальные классы решений шестого уравнения Пенлеве. 10 с. — Рукопись деп. в ВИНИТИ 9.01.84, I? 252−84 Деп. Представлена редкол. ж. «Дифференциальные уравнения» .

83. Прокашева В. А. Однородные системы первого порядка без ¦ подвижных критических точек (случай AQ 4- 0). Вестн. Белорусского ун-та. Сер. I, физ., мат. и мех., 1984, № 2, с.37−41.

84. Прокашева В. А. Однородные системы первого порядка без подвижных критических точек (случай, А = 0). Вестн. Белорусского ун-та. Сер. I, физ., мат. и мех., 1984, № 3.